Teoria dei Segnali — Guida completa, esercizi e allenamento

Metodo di studio

Come usarla davvero

Capisci: usa i laboratori per vedere operazioni, convoluzione, armoniche, aliasing, filtri e distribuzioni.
Ricostruisci: chiudi la scheda e prepara per iscritto definizione, ipotesi, formule e grafico.
Dimostra: riordina la catena logica e motiva il passaggio tra due righe, non imparare simboli isolati.
Applica: affronta gli esercizi semi-guidati e usa gli indizi solo dopo avere impostato il problema.
Simula: estrai una prova reale da tre esercizi; il formato ufficiale concede 150 minuti.

Confine rigoroso: la guida usa soltanto lezioni, appunti, domande, formulari e prove della professoressa. I libri presenti nella cartella non ampliano il programma.

Capire prima di ricordare

Otto lezioni accompagnate, dalle fondamenta

Ogni capitolo parte dall’immagine mentale, costruisce i passaggi uno alla volta e chiude con controlli di comprensione. I richiami all’intelligenza artificiale spiegano perché queste idee sono fondamentali, senza aggiungere argomenti al programma della professoressa.

1Lezione accompagnata · Capitolo 1Come si legge davvero un segnale continuo prima di calcolare?Segnali nel dominio del tempo continuo

Un segnale continuo non è prima di tutto una formula: è una regola che assegna un valore a ogni istante. La formula è il modo compatto con cui descriviamo quella regola. Prima di integrare o trasformare, bisogna quindi rispondere a quattro domande: dove il segnale è non nullo, quanto vale, come cambia nel tempo e quale proprietà globale vogliamo misurare.

La difficoltà tipica nasce quando si tenta di ricordare separatamente decine di formule. Il metodo più solido è invece seguire sempre la stessa catena: dominio → geometria → proprietà → misura. Per esempio, il supporto dice dove integrare; la parità può dimezzare il lavoro; la periodicità suggerisce di lavorare su un solo periodo; il decadimento indica se è ragionevole aspettarsi energia finita.

1. Trasforma la formula in un disegno mentale

Per \(x(t)\), individua zeri, salti, centro, ampiezza e supporto. Se compare \(x(at-b)\), non affidarti alla frase «scala e trasla»: segui un punto caratteristico imponendo \(at-b=t_x\). Il punto che in \(x\) era in \(t_x\) compare nel nuovo segnale in \[ t=\frac{t_x+b}{a}. \] Questa equazione evita quasi tutti gli errori di verso e di fattore.

Perché: Il disegno non è decorativo: determina estremi degli integrali, simmetrie e controlli dimensionali.

Controllo: Sai ricavare supporto, centro e durata senza ancora calcolare energia o potenza?

2. Distingui quantità locali e quantità globali

Il valore \(x(t_0)\) è locale. Media, energia, potenza e correlazione riassumono invece il comportamento su un intervallo o su tutto l’asse. L’energia \[ E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,\mathrm dt \] accumula il modulo quadro; la potenza normalizza la stessa quantità rispetto alla durata osservata. La normalizzazione è il motivo per cui un periodico non nullo ha in genere energia infinita ma potenza finita.

Perché: Capire che cosa viene accumulato e che cosa viene normalizzato rende le formule inevitabili, non arbitrarie.

Controllo: Sai prevedere la classe energia-potenza osservando durata, periodicità e decadimento?

3. Usa le simmetrie prima degli integrali

Se \(|x(t)|^2\) è pari, l’integrale sull’intero asse diventa due volte quello sulla semiretta positiva. Se l’integrando è dispari su un intervallo simmetrico, il contributo è nullo. La simmetria è una proprietà matematica da dimostrare con \(t\mapsto -t\), non una sensazione ricavata dal grafico.

Perché: Riduce i calcoli e fornisce un controllo indipendente sul segno del risultato.

Controllo: Hai verificato la simmetria dell'integrando, non soltanto quella del segnale?

4. Interpreta la correlazione come uno scorrimento

In \(R_x(\tau)\) una copia del segnale resta ferma e l’altra viene traslata. Per ogni \(\tau\) si misura quanto le due copie si sovrappongono e concordano. Prima dell’integrale conviene quindi chiedersi: per quali ritardi i supporti si intersecano? Quanto è lunga l’intersezione? I segni si rinforzano o si cancellano?

Perché: La correlazione diventa comprensibile quando il ritardo è visto come una variabile geometrica.

Controllo: Sai prevedere supporto, simmetria e valore in zero dell'autocorrelazione?

Perché costruisce basi solide per l’IA

Questa parte costruisce tre abitudini fondamentali anche nello studio dei dati: rappresentare correttamente un oggetto, scegliere una misura globale coerente e quantificare la somiglianza. Il collegamento non aggiunge formule all’esame: mostra perché supporto, energia e correlazione sono un linguaggio di base per trattare informazione numerica.

Puoi passare oltre quando…

Partendo da una formula, ricavo prima il supporto e poi imposto gli integrali.
Distinguo senza esitazione energia, potenza e valor medio.
Uso parità e periodicità dichiarando perché sono applicabili.
Interpreto la correlazione tramite sovrapposizione e ritardo.

2Lezione accompagnata · Capitolo 2Che cosa cambia quando il tempo diventa un indice intero?Segnali nel dominio del tempo discreto

Una sequenza \(x[n]\) esiste soltanto per \(n\in\mathbb Z\). Tra due campioni consecutivi non esiste un valore implicito: per questo somme, traslazioni e scale temporali non si comportano esattamente come nel continuo. Il primo passo è sempre disegnare gli steli nei soli indici ammessi.

Nel discreto gli estremi delle somme contano davvero. Un campione incluso due volte altera il risultato, mentre nel continuo un singolo punto non cambia un integrale ordinario. Anche la periodicità diventa aritmetica: una sinusoide è periodica solo se la frequenza normalizzata è razionale.

1. Pensa per campioni, non per tratti

Per descrivere una sequenza elenca gli indici non nulli e il valore di ciascun campione. Quando compare \(x[n-n_0]\), ogni stelo si sposta di \(n_0\) indici. Quando compare \(x[Mn]\), sopravvivono soltanto i campioni dell’originale raggiunti dagli indici multipli di \(M\).

Perché: Evitare l'interpolazione mentale continua impedisce di inventare campioni che non esistono.

Controllo: Sai costruire la nuova tabella indice-valore prima di disegnare?

2. Tratta gli estremi delle somme come campioni

Se dividi una somma in \(m\), usa \[ \sum_{n=a}^{b}x[n] =\sum_{n=a}^{m}x[n]+\sum_{n=m+1}^{b}x[n]. \] Inserire \(m\) in entrambe le parti significa contare due volte lo stesso campione. Ogni passaggio deve quindi dichiarare esplicitamente gli estremi.

Perché: Nel discreto un errore di un solo indice cambia davvero energia, convoluzione e probabilità.

Controllo: Hai controllato quanti interi appartengono al supporto?

3. Riduci la periodicità a un problema tra interi

Per \(e^{j2\pi\nu_0 n}\) serve un intero \(N>0\) tale che \[ \nu_0N\in\mathbb Z. \] Se \(\nu_0=p/q\) in forma ridotta, il periodo fondamentale dell’esponenziale è \(q\). Il ragionamento viene prima della formula: l’incremento di fase dopo \(N\) campioni deve essere un multiplo intero di \(2\pi\).

Perché: La condizione mostra perché alcune sinusoidi discrete non si ripetono mai.

Controllo: Sai distinguere frequenza razionale, periodo candidato e periodo fondamentale?

4. Espansione e decimazione cambiano la griglia

L’espansione inserisce zeri fra i campioni; la decimazione conserva un campione ogni \(M\). Non sono semplici deformazioni grafiche: cambiano quali informazioni restano nella sequenza. Conviene sempre scrivere alcuni indici a sinistra e a destra dello zero prima di applicare la definizione.

Perché: Una tabella di pochi campioni rende visibile il meccanismo e previene errori nelle trasformate.

Controllo: Sai dire quali campioni vengono creati, conservati o eliminati?

Perché costruisce basi solide per l’IA

Quasi tutti i dati trattati da un calcolatore sono indicizzati: campioni temporali, vettori o griglie. Imparare a rispettare indici, supporti e ricampionamenti significa imparare a non perdere o duplicare informazione senza accorgersene.

Puoi passare oltre quando…

Disegno una sequenza soltanto sugli indici interi.
Gestisco correttamente estremi inclusi e numero di campioni.
Ricavo il periodo da una condizione aritmetica.
Distinguo espansione, decimazione e semplice traslazione.

3Lezione accompagnata · Capitolo 3Come si passa da una scatola ingresso-uscita a un modello calcolabile?Sistemi LTI e convoluzione

Un sistema è una regola che porta \(x\) in \(y\). Le proprietà di linearità, tempo-invarianza, causalità, memoria e stabilità non sono etichette: dicono quali esperimenti possiamo combinare, quali dati temporali sono usati e se un ingresso ragionevole può produrre un’uscita incontrollata.

Per un sistema LTI tutta la regola è racchiusa nella risposta impulsiva \(h\). La delta scompone l’ingresso in contributi elementari; linearità e tempo-invarianza dicono come rispondere a ciascun contributo; la somma o l’integrale dei contributi produce la convoluzione.

1. Verifica una proprietà dalla definizione

Per la linearità confronta \[ \mathcal T\{a x_1+b x_2\} \quad\text{con}\quad a\mathcal T\{x_1\}+b\mathcal T\{x_2\}. \] Per la tempo-invarianza confronta l’uscita all’ingresso traslato con la traslazione dell’uscita originaria. Non basta osservare che nella formula compare il tempo.

Perché: La definizione costruisce una prova che vale per ogni ingresso, non per un esempio fortunato.

Controllo: Hai usato due ingressi generici e coefficienti generici quando controlli la linearità?

2. Leggi causalità, memoria e stabilità come domande sui dati

Chiedi quali campioni o istanti dell’ingresso servono per calcolare \(y\) ora. Se serve il futuro, il sistema non è causale. Se serve un istante diverso da quello corrente, possiede memoria. Per la stabilità BIBO devi controllare se un limite uniforme sull’ingresso produce un limite uniforme sull’uscita.

Perché: Queste proprietà descrivono la possibilità reale di implementare e controllare un sistema.

Controllo: Sai indicare esplicitamente quale valore futuro o passato compare nell'uscita?

3. Costruisci la convoluzione come sovrapposizione

Nel continuo, \[ y(t)=\int x(\tau)h(t-\tau)\,\mathrm d\tau. \] Per un \(t\) fissato, ribalta e trasla \(h\), determina l’intersezione dei supporti, scrivi gli estremi e solo dopo integra. Nel discreto la stessa idea diventa una somma. I limiti non si memorizzano: si ricavano dalla sovrapposizione.

Perché: Il metodo geometrico spiega da dove nasce ogni tratto dell'uscita.

Controllo: Sai dire per quali valori di \(t\) l'intersezione è vuota, crescente, completa o decrescente?

4. Ricava i criteri direttamente da \(h\)

Per un LTI continuo: causalità significa \(h(t)=0\) per \(t<0\); stabilità BIBO significa integrabilità assoluta; assenza di memoria significa \(h(t)=K\delta(t)\). Un ritardo \(K\delta(t-t_0)\) conserva la forma, ma per \(t_0\ne0\) introduce memoria secondo la terminologia degli appunti.

Perché: Una sola funzione permette di classificare l'intero sistema.

Controllo: Sai distinguere senza ambiguità assenza di memoria e assenza di distorsione di forma?

Perché costruisce basi solide per l’IA

Questo capitolo allena a descrivere una trasformazione tramite proprietà e risposta a elementi semplici. È una forma di pensiero centrale quando si costruiscono catene di elaborazione: capire cosa conserva una trasformazione, quali dati usa e come propaga ampiezza ed errori.

Puoi passare oltre quando…

Dimostro linearità e tempo-invarianza dalle definizioni.
Classifico causalità, memoria e stabilità motivando ogni risposta.
Imposto la convoluzione dai supporti, non da limiti ricordati.
Ricavo i criteri LTI dalla risposta impulsiva.

4Lezione accompagnata · Capitolo 4Perché un segnale periodico può essere descritto tramite armoniche?Serie di Fourier

La serie di Fourier cambia il punto di vista: invece di descrivere il segnale valore per valore nel tempo, lo descrive tramite le sue coordinate rispetto a funzioni oscillanti ortogonali. Ogni coefficiente dice quanto è presente una specifica armonica.

L’ortogonalità è il meccanismo che rende possibile separare le coordinate. Moltiplicando per l’armonica desiderata e integrando o sommando su un periodo, tutte le armoniche diverse si annullano e resta soltanto quella cercata.

1. Identifica periodo e frequenza fondamentale

Prima dei coefficienti determina il periodo fondamentale \(T_0\) o \(N_0\). Nel continuo \(f_0=1/T_0\); le righe sono in \(k f_0\). Se scegli un periodo non fondamentale, la rappresentazione può contenere zeri sistematici e nascondere la struttura reale.

Perché: La griglia delle frequenze dipende interamente dal periodo scelto.

Controllo: Hai verificato che il periodo usato sia il più piccolo positivo?

2. Leggi il coefficiente come una proiezione

\[ X_k=\frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}\,\mathrm dt. \] Il prodotto confronta il segnale con l’armonica \(k\); l’integrale accumula la concordanza; il fattore \(1/T_0\) normalizza rispetto alla durata del periodo. Questa lettura spiega la formula senza impararla come simboli isolati.

Perché: Sapere cosa misura il coefficiente permette di prevedere zeri e simmetrie prima del calcolo.

Controllo: Sai prevedere quali armoniche spariscono per simmetria?

3. Separa convergenza e identità puntuale

Sotto le condizioni di Dirichlet, nei punti continui la serie ricostruisce il segnale; nelle discontinuità di prima specie converge alla semisomma dei limiti laterali. In media quadratica l’errore energetico tende a zero, ma questo non significa necessariamente convergenza uniforme.

Perché: Evita di scrivere un'uguaglianza puntuale senza dichiarare in quale senso vale.

Controllo: Hai specificato cosa accade esattamente in un salto?

4. Usa Parseval come controllo energetico

Parseval afferma che la potenza media nel tempo coincide con la somma delle potenze delle righe spettrali: \[ P_x=\sum_k|X_k|^2. \] Se i coefficienti sono stati calcolati male, simmetrie e potenza spesso non coincidono. È quindi sia un risultato teorico sia un controllo di qualità.

Perché: Collega due descrizioni diverse dello stesso segnale e permette una verifica indipendente.

Controllo: La componente continua coincide con il valor medio del segnale?

Perché costruisce basi solide per l’IA

Rappresentare un oggetto tramite coordinate rispetto a una base è una delle idee matematiche più riutilizzabili nello studio dei dati. Qui la base è armonica e ortogonale: imparare proiezione, coefficienti ed errore di ricostruzione costruisce una comprensione profonda delle rappresentazioni.

Puoi passare oltre quando…

Trovo il periodo fondamentale prima della griglia armonica.
Interpreto ogni coefficiente come una proiezione.
Dichiaro il tipo di convergenza e il comportamento ai salti.
Uso simmetrie e Parseval per controllare i coefficienti.

5Lezione accompagnata · Capitolo 5Come si descrive in frequenza un segnale non periodico?Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier estende l’idea della serie ai segnali non periodici: le righe discrete diventano una funzione continua della frequenza. Tempo e frequenza non sono due segnali diversi, ma due descrizioni dello stesso oggetto.

Le proprietà della trasformata sono scorciatoie ragionate. Prima di integrare direttamente, conviene riconoscere una trasformata nota e ricostruire il segnale tramite scala, traslazione, modulazione, derivazione o convoluzione. Ogni proprietà deve essere accompagnata dall’effetto geometrico sullo spettro.

1. Prevedi lo spettro prima dei conti

Un segnale reale produce simmetria coniugata. Un segnale pari e reale produce una trasformata reale e pari. Una durata temporale piccola tende a richiedere una banda più ampia; maggiore regolarità nel tempo produce decadimento spettrale più rapido.

Perché: La previsione qualitativa rende subito visibili molti errori di segno e scala.

Controllo: Sai anticipare parità, realtà, valore in zero e ordine di decadimento?

2. Scomponi il segnale in blocchi noti

Scrivi il segnale come trasformazione di rettangoli, triangoli, sinc, esponenziali o delta già presenti nel formulario. Poi applica una proprietà alla volta, annotando l’effetto: \[ x(at)\longleftrightarrow \frac1{|a|}X\!\left(\frac f a\right). \] Il valore assoluto scala l’ampiezza; \(f/a\) modifica la larghezza e riflette lo spettro se \(a<0\).

Perché: Riduce l'integrale a una catena controllabile di trasformazioni.

Controllo: Hai applicato sia il fattore esterno sia il cambiamento dell'argomento?

3. Distingui trasformata ordinaria, \(L^2\) e generalizzata

Per \(x\in L^1\) l’integrale ordinario è ben definito. Per segnali di energia in \(L^2\) la trasformata può essere intesa in media quadratica. Delta, sinusoidi persistenti e gradino richiedono le trasformate generalizzate trattate nel corso. Non tutte le non-integrabilità si risolvono nello stesso modo.

Perché: Dichiarare il senso della trasformata impedisce di usare formule fuori dalle loro ipotesi.

Controllo: Hai classificato il segnale prima di scegliere la nozione di trasformata?

4. Nel discreto ricorda la periodicità spettrale

La DTFT \(X(\nu)\) è periodica di periodo \(1\) perché gli indici temporali sono interi. Le frequenze \(\nu\) e \(\nu+1\) producono la stessa sequenza esponenziale. Ogni disegno deve quindi mostrare le repliche e indicare chiaramente l’intervallo fondamentale.

Perché: Evita di trattare lo spettro discreto come una trasformata continua non periodica.

Controllo: Hai replicato correttamente lo spettro ogni unità di frequenza normalizzata?

Perché costruisce basi solide per l’IA

Passare a una rappresentazione dove una struttura diventa più semplice è una strategia generale nell’analisi dei dati. In questo corso convoluzioni, derivate e traslazioni diventano prodotti o fattori facilmente leggibili: la lezione fondazionale è scegliere il dominio in cui il problema è più trasparente.

Puoi passare oltre quando…

Prevedo qualitativamente lo spettro prima del calcolo.
Uso trasformate note e proprietà una alla volta.
Dichiaro il senso di convergenza appropriato.
Ricordo periodicità e intervallo fondamentale della DTFT.

6Lezione accompagnata · Capitolo 6Che cosa fa davvero un filtro alle componenti del segnale?Sistemi LTI nel dominio della frequenza

Per un sistema LTI, ogni esponenziale complesso è un’autofunzione: il sistema non ne cambia la frequenza, ma ne modifica ampiezza e fase tramite \(H(f)\). Un segnale composto da più frequenze viene quindi elaborato componente per componente.

Dire «passa-basso» o «passa-alto» non basta. Bisogna guardare dove il modulo è grande, dove è piccolo, come varia la fase e quale risposta impulsiva corrisponde. Il legame decisivo è \[ Y(f)=H(f)X(f). \]

1. Leggi separatamente modulo e fase

Il modulo \(|H(f)|\) scala l’ampiezza di ciascuna componente; la fase \(\arg H(f)\) ne modifica il ritardo di fase. Disegna prima valori notevoli: continua, frequenza di taglio, alte frequenze e zeri.

Perché: Due filtri con lo stesso modulo ma fase diversa possono produrre forme temporali diverse.

Controllo: Hai calcolato sia modulo sia fase nei punti caratteristici?

2. Classifica il filtro dai limiti

Valuta \(H(0)\) e il comportamento per frequenza grande. Se la continua passa e le alte frequenze sono attenuate, il comportamento è passa-basso; se la continua è annullata e le alte passano, è passa-alto. Zeri o bande intermedie richiedono lo stesso ragionamento locale.

Perché: La classificazione diventa una conseguenza dei dati, non un'etichetta ricordata.

Controllo: Sai giustificare il tipo di filtro con valori o limiti di \(H\)?

3. Interpreta la frequenza di taglio

Nei filtri del primo ordine, alla frequenza di taglio il modulo vale \[ \frac1{\sqrt2} \] del valore di banda passante, cioè una potenza dimezzata e \(-3\,\mathrm{dB}\). La scala in decibel usa \(20\log_{10}|H|\) per rapporti di ampiezza.

Perché: Il fattore \(1/\sqrt2\) non è arbitrario: nasce dal confronto delle potenze.

Controllo: Sai passare coerentemente fra modulo, potenza e decibel?

4. Usa densità spettrali per energia e potenza

La densità spettrale descrive come energia o potenza sono distribuite in frequenza. Per un LTI, la densità in uscita viene moltiplicata per \(|H(f)|^2\). Il quadrato compare perché energia e potenza dipendono dal modulo quadro.

Perché: Permette di ragionare sull'effetto globale del filtro senza ricostruire subito il segnale nel tempo.

Controllo: Hai usato \(|H|^2\), non \(H\), quando trasformi una densità?

Perché costruisce basi solide per l’IA

Separare componenti utili, rumore e disturbi è una forma elementare di preparazione dell’informazione. Questo capitolo insegna a motivare una trasformazione dai suoi effetti sulle componenti, capacità essenziale prima di qualunque elaborazione più complessa.

Puoi passare oltre quando…

Interpreto separatamente modulo e fase.
Classifico il filtro tramite limiti, zeri e banda.
Spiego il significato del punto a meno tre decibel.
Propago correttamente densità spettrali attraverso un LTI.

7Lezione accompagnata · Capitolo 7Quando i campioni conservano davvero l'informazione del continuo?Campionamento e conversione

Campionare significa moltiplicare il segnale per un treno di delta. In frequenza questa moltiplicazione produce repliche periodiche dello spettro. La possibilità di ricostruire nasce da una domanda geometrica: le repliche rimangono separate oppure si sovrappongono?

Il vincolo di Nyquist non è un numero da applicare alla cieca. Occorre prima identificare la massima frequenza presente, cioè la banda \(B\), e poi confrontare la distanza fra le repliche, \(f_s\), con la loro larghezza.

1. Trova la banda dal contenuto spettrale

Non confondere la frequenza di una portante con la banda complessiva. Disegna il supporto di \(X(f)\), individua gli estremi e determina il massimo valore assoluto di frequenza che deve essere conservato.

Perché: Un vincolo di campionamento è corretto soltanto quanto la banda da cui parte.

Controllo: Hai disegnato il supporto prima di dichiarare \(B\)?

2. Visualizza le repliche

\[ X_s(f)=\frac1{T_s}\sum_k X(f-kf_s). \] Ogni copia ha la stessa forma di \(X(f)\), è centrata in \(k f_s\) ed è scalata di \(1/T_s\). Disegnane almeno tre: quella centrale e le due adiacenti. La distanza fra i centri è \(f_s\).

Perché: Il disegno rende immediata la verifica di sovrapposizione.

Controllo: Hai riportato sia la traslazione sia il fattore di scala?

3. Comprendi l'aliasing come perdita irreversibile

Se \(f_s<2B\), repliche diverse occupano le stesse frequenze. Dopo la somma non è più possibile sapere quale copia abbia prodotto ciascun contributo: non è un semplice errore grafico, ma una perdita di informazione. L’uguaglianza \(f_s=2B\) è critica; per sinusoidi campionate in fasi degeneri si usa un lieve sovracampionamento.

Perché: Spiega perché un filtro di ricostruzione non può riparare dati già sovrapposti.

Controllo: Sai mostrare graficamente dove nasce la sovrapposizione?

4. Separa campionamento, ricostruzione e quantizzazione

Il campionamento discretizza il tempo; la ricostruzione interpola idealmente dai campioni; la quantizzazione discretizza l’ampiezza. Sono tre operazioni diverse e introducono limiti diversi. Negli esercizi indica sempre quale passaggio stai analizzando.

Perché: Evitare di mescolare i tre meccanismi chiarisce dove nasce ciascun errore.

Controllo: Sai dire se l'errore osservato dipende da aliasing o quantizzazione?

Perché costruisce basi solide per l’IA

Ogni dato digitale nasce da una misura finita. Capire quando la discretizzazione conserva informazione e quando la distrugge insegna a valutare qualità, risoluzione e limiti dei dati prima di elaborarli.

Puoi passare oltre quando…

Ricavo la banda dal supporto spettrale.
Disegno correttamente le repliche prodotte dal campionamento.
Spiego l'aliasing come sovrapposizione irreversibile.
Distinguo tempo discreto, ampiezza quantizzata e ricostruzione.

8Lezione accompagnata · Capitolo 8Come si trasforma l'incertezza in quantità calcolabili?Probabilità e variabili aleatorie

La probabilità parte dalla descrizione dell’esperimento, non dalle formule. Prima si stabiliscono spazio campione, eventi e informazioni disponibili; poi si sceglie la variabile aleatoria che assegna un numero a ogni esito. CDF, PMF o PDF descrivono la distribuzione di quei numeri.

Ogni esercizio probabilistico dovrebbe iniziare con una frase: che cosa è casuale e che cosa sto osservando? Da qui seguono supporto, eventi, condizionamenti e integrali o somme corretti.

1. Definisci esperimento, esiti ed eventi

Scrivi \(\Omega\), identifica gli eventi e verifica se sono disgiunti, complementari o parte di una partizione. Per estrazioni senza reinserimento, le probabilità cambiano dopo ogni estrazione: la dipendenza non può essere ignorata.

Perché: Una modellazione sbagliata non può essere salvata da calcoli algebricamente corretti.

Controllo: Hai dichiarato se le prove sono indipendenti o senza reinserimento?

2. Parti sempre dal supporto della variabile

Per una PMF elenca i valori possibili e controlla che le masse sommino a uno. Per una PDF individua dove è non negativa e verifica \[ \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,\mathrm dx=1. \] La densità non è una probabilità puntuale e può anche superare uno.

Perché: Il supporto determina limiti di somme, integrali e trasformazioni.

Controllo: Hai controllato normalizzazione e non negatività?

3. Usa la CDF per gestire correttamente gli estremi

\[ F_X(x)=P(X\le x). \] In generale \[ P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a). \] Se l’estremo sinistro è incluso serve il limite sinistro \(F_X(a^-)\). Nel continuo senza masse puntuali la distinzione spesso scompare, ma non va assunta in generale.

Perché: La CDF unifica casi discreti, continui e misti e impedisce errori sugli estremi.

Controllo: Hai controllato se esiste una massa puntuale nell'estremo?

4. Interpreta media, varianza e Bayes

La media è un baricentro probabilistico; la varianza misura la dispersione quadratica attorno alla media. Bayes inverte il condizionamento combinando verosimiglianza e probabilità iniziale. Prima della formula costruisci un albero o una tabella: ogni ramo mostra chiaramente prior, condizionata e probabilità congiunta.

Perché: L'interpretazione rende leggibili i risultati e permette di riconoscere valori impossibili.

Controllo: Il risultato finale è coerente con frequenze iniziali e affidabilità del test?

Perché costruisce basi solide per l’IA

Rappresentare incertezza, aggiornare una valutazione quando arriva un’osservazione e distinguere variabilità da errore sono basi matematiche centrali per ragionare sui dati. Il corso fornisce queste fondamenta tramite variabili aleatorie, momenti, distribuzioni congiunte e condizionamento.

Puoi passare oltre quando…

Definisco lo spazio campione e gli eventi prima delle formule.
Trovo e controllo il supporto di PMF o PDF.
Uso la CDF rispettando inclusione degli estremi e salti.
Interpreto media, varianza, indipendenza e condizionamento.

Allenamento attivo

Centro di allenamento

Non devi correre: prepara la risposta per iscritto, prova i passaggi e usa gli indizi solo quando servono. Il tempo è libero per impostazione predefinita; se attivi il timer, resta un semplice riferimento e non interrompe mai la scrittura.

Tempo libero o configurabileProgressi salvati sul dispositivoErrori trasformati in ripasso

0risposte corrette

0risposte consolidate

0errori da ripassare

Prossimo passo

Inizia con una diagnosi breve

Il percorso userà risposte, indizi ed errori per proporti l'argomento più utile da riprendere.

Quaderno degli errori

Ripassa ciò che ti ha ingannato

Gli errori compariranno qui con spiegazione e collegamento al ripasso.

Vedere prima di memorizzare

Laboratori interattivi

Muovi un parametro alla volta e osserva che cosa cambia nel tempo, in frequenza o nella probabilità. Ogni laboratorio resta entro gli esempi e le distribuzioni presenti nelle lezioni.

Segnale di partenza

Ampiezza \(A\)1.00

Scala temporale \(a\)1.00

Termine \(b\)0.00

Programma reale

Mappa del corso

Otto blocchi, nello stesso perimetro ricostruito dalle lezioni e dagli appunti ufficiali.

Definizioni e osservazioni

Le risposte complete

Ogni scheda contiene risposta, relazione-ancora, scaletta, parole chiave, limiti di validità e fonti del corso.

Filtra per argomento

Nessuna scheda corrisponde alla ricerca o al filtro scelto.

Capitolo 1

Segnali nel dominio del tempo continuo

Segnali elementari, operazioni, media, energia, potenza e correlazione.

1 Definizione · Capitolo 1Che cos'è un segnale?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 3Appunti 01.pdf, pp. 1-2

È una funzione che rappresenta una grandezza fisica o informativa e costituisce l'ingresso elaborabile da un sistema.

Un segnale è una funzione il cui argomento è il tempo continuo oppure l’indice temporale discreto. I suoi valori descrivono una grandezza fisica o informativa; per questo il segnale può essere rappresentato, trasformato e posto in ingresso a un sistema. Nel continuo si scrive tipicamente \(x(t)\), con \(t\in\mathbb{R}\); nel discreto si scrive \(x[n]\), con \(n\in\mathbb{Z}\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

È una funzione che rappresenta una grandezza fisica o informativa e costituisce l’ingresso elaborabile da un sistema.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È una funzione che rappresenta una grandezza fisica o informativa e costituisce l'ingresso elaborabile da un sistema.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Segnale» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Segnale»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Segnale»?

Torna alla mappa

2 Definizione · Capitolo 1Quali sono le operazioni elementari su un segnale e in quale ordine si applicano quando sono combinate?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 3Appunti 01.pdf, pp. 3-8

Si distinguono trasformazioni dell'ampiezza e del tempo; l'ordine va dedotto riscrivendo con chiarezza l'argomento.

Le operazioni considerate sono traslazione \(x(t-t_0)\), scala temporale \(x(at)\), scala d’ampiezza \(A\,x(t)\), derivazione e integrazione. L’ordine non si indovina dal disegno: si compongono le trasformazioni algebricamente. Per \(x\!\left(a(t-t_0)\right)\) si può prima scalare il tempo e poi traslare di \(t_0\); per \(x(at-b)\) è utile raccogliere \(a\), ottenendo \(x\!\left(a(t-b/a)\right)\), così la posizione finale dello shift è \(b/a\). Un’altra costruzione equivalente, usata negli appunti per \(x(2t-3)\), è traslare il segnale originario di \(3\) e poi comprimerlo di \(2\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Si distinguono trasformazioni dell’ampiezza e del tempo; l’ordine va dedotto riscrivendo con chiarezza l’argomento.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Si distinguono trasformazioni dell'ampiezza e del tempo; l'ordine va dedotto riscrivendo con chiarezza l'argomento.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Dire che in \(x(at-b)\) lo spostamento finale è sempre \(b\), ignorando il fattore \(a\).

Come raddrizzare il ragionamento

Raccogli \(a\): la forma \(a(t-b/a)\) rende visibile lo shift finale \(b/a\); specifica poi quale sequenza equivalente stai usando.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Operazioni elementari e ordine di applicazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Operazioni elementari e ordine di applicazione»?

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3 Definizione · Capitolo 1Quali forme assumono derivazione e integrazione di un segnale continuo?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 3Appunti 01.pdf, pp. 11-12

La derivata misura la variazione locale, mentre l'integrale corrente accumula il segnale dal passato fino all'istante osservato.

Per un segnale continuo la derivazione produce \(y(t)=\mathrm{d}x(t)/\mathrm{d}t\). L’integrazione corrente produce invece \(y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\): la variabile \(\alpha\) è muta e il limite superiore \(t\) rende l’uscita dipendente dall’istante. Le due operazioni sono collegate, ma sui segnali con discontinuità la derivata va intesa nel senso generalizzato introdotto negli appunti.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

La derivata misura la variazione locale, mentre l’integrale corrente accumula il segnale dal passato fino all’istante osservato.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La derivata misura la variazione locale, mentre l'integrale corrente accumula il segnale dal passato fino all'istante osservato.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(y(t)\): uscita continua del sistema
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Derivazione e integrazione» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Derivazione e integrazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Derivazione e integrazione»?

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4 Definizione · Capitolo 1Quando un segnale è periodico?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 3Appunti 01.pdf, pp. 12-16

Una traslazione di un numero intero di periodi deve lasciare il segnale invariato.

Un segnale continuo \(x(t)\) è periodico se esiste almeno un \(T_0>0\) tale che \(x(t-kT_0)=x(t)\) per ogni \(t\in\mathbb{R}\) e ogni \(k\in\mathbb{Z}\). Il requisito vale su tutto l’asse temporale, non soltanto su un tratto. Nel discreto la condizione analoga usa un intero positivo \(N_0\): \(x[n-kN_0]=x[n]\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Una traslazione di un numero intero di periodi deve lasciare il segnale invariato.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Una traslazione di un numero intero di periodi deve lasciare il segnale invariato.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Segnale periodico» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Segnale periodico»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Segnale periodico»?

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5 Definizione · Capitolo 1Perché \(T_0\) è detto periodo fondamentale?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 3Appunti 01.pdf, pp. 12-16

È il più piccolo periodo positivo che riproduce esattamente il segnale.

Tra tutti i valori positivi che soddisfano la condizione di periodicità, il periodo fondamentale \(T_0\) è il più piccolo. Ogni multiplo intero di \(T_0\) è ancora un periodo, ma non è fondamentale. Se non esiste un minimo positivo, non si può assegnare un periodo fondamentale nel senso usato nel corso.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

È il più piccolo periodo positivo che riproduce esattamente il segnale.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È il più piccolo periodo positivo che riproduce esattamente il segnale.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Periodo fondamentale» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Periodo fondamentale»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Periodo fondamentale»?

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6 Definizione · Capitolo 1Che cos'è il generatore di un segnale periodico?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 3Appunti 01.pdf, pp. 12-16

È il tratto base non traslato che, replicato ogni periodo, ricostruisce il segnale.

Il generatore \(x_g(t)\) è una descrizione del segnale limitata a un intervallo di durata \(T_0\). Replicando quel tratto a passi di \(T_0\) si ottiene l’intero segnale periodico. La scelta dell’intervallo non è unica, ma la durata deve coprire un periodo completo e il generatore va indicato senza confonderlo con una sua replica già traslata.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

È il tratto base non traslato che, replicato ogni periodo, ricostruisce il segnale.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È il tratto base non traslato che, replicato ogni periodo, ricostruisce il segnale.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Generatore di un segnale periodico» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Generatore di un segnale periodico»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Generatore di un segnale periodico»?

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7 Definizione · Capitolo 1Quali treni di impulsi sono stati studiati?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 4Appunti 01.pdf, pp. 12-15

Il corso considera treni rettangolari, rettangolari alternati, triangolari e ideali.

Negli appunti compaiono quattro famiglie: treno di impulsi rettangolari, rettangolari alternati o onda quadra, treno di impulsi triangolari e treno di impulsi ideali modellati con delta. In tutti i casi un impulso generatore viene replicato con un periodo assegnato. Cambiano la forma del generatore, l’eventuale alternanza di segno e, di conseguenza, le proprietà spettrali.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Il corso considera treni rettangolari, rettangolari alternati, triangolari e ideali.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il corso considera treni rettangolari, rettangolari alternati, triangolari e ideali.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Treni di impulsi» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Treni di impulsi»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Treni di impulsi»?

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8 Definizione · Capitolo 1Qual è il periodo di \(\cos(\pi f_0t)\)?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 4Appunti 01.pdf, pp. 14-16Formulario TDS.pdf, p. 1

Riscrivendo l'argomento nella forma \(2\pi f t\), la frequenza è \(f_0/2\) e il periodo è \(2/f_0\).

La forma standard è \(\cos(2\pi f t)\), che ha periodo \(1/f\). Poiché \(\cos(\pi f_0t)=\cos\!\left(2\pi(f_0/2)t\right)\), la frequenza effettiva è \(f_0/2\). Il periodo vale quindi \(T=2/f_0\); se \(f_0=1/T_0\), allora \(T=2T_0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Riscrivendo l’argomento nella forma \(2\pi f t\), la frequenza è \(f_0/2\) e il periodo è \(2/f_0\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Riscrivendo l'argomento nella forma \(2\pi f t\), la frequenza è \(f_0/2\) e il periodo è \(2/f_0\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Periodo di un coseno» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Periodo di un coseno»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Periodo di un coseno»?

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9 Definizione · Capitolo 1Come si definisce la media temporale per un tratto finito, un segnale di potenza e un segnale periodico?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 4Appunti 01.pdf, pp. 16-18Formulario TDS.pdf, p. 1

La normalizzazione avviene rispetto alla durata osservata; per un periodico basta integrare il generatore su un periodo.

Su \([t_1,t_2]\) la media è \(\langle x\rangle_{t_1}^{t_2}=(t_2-t_1)^{-1}\int_{t_1}^{t_2}x(t)\,\mathrm{d}t\). Per un segnale di potenza si usa il limite simmetrico \(\langle x\rangle=\lim_{T\to\infty}T^{-1}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,\mathrm{d}t\), se esiste. Se \(x(t)\) è periodico, la media si calcola su qualunque intervallo lungo \(T_0\), oppure sul generatore: \(\langle x\rangle=T_0^{-1}\int_{T_0}x_g(t)\,\mathrm{d}t\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

La normalizzazione avviene rispetto alla durata osservata; per un periodico basta integrare il generatore su un periodo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La normalizzazione avviene rispetto alla durata osservata; per un periodico basta integrare il generatore su un periodo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Media temporale» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Media temporale»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Media temporale»?

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10 Definizione · Capitolo 1Quali sono le medie di \(u(t)\), \(\operatorname{sgn}(t)\) e della costante \(A\)?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 4Appunti 01.pdf, pp. 17-18Formulario TDS.pdf, p. 1

Con finestra simmetrica valgono rispettivamente \(1/2\), \(0\) e \(A\).

Il gradino unitario occupa metà della finestra simmetrica, quindi \(\langle u(t)\rangle=1/2\). La funzione segno ha contributi uguali e opposti, dunque \(\langle\operatorname{sgn}(t)\rangle=0\). Una costante non cambia con il tempo, perciò \(\langle A\rangle=A\). Questi risultati sono coerenti con \(u(t)=\tfrac12+\tfrac12\operatorname{sgn}(t)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Con finestra simmetrica valgono rispettivamente \(1/2\), \(0\) e \(A\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Con finestra simmetrica valgono rispettivamente \(1/2\), \(0\) e \(A\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Medie di segnali elementari» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Medie di segnali elementari»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Medie di segnali elementari»?

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11 Definizione · Capitolo 1Quali proprietà ha la media e perché valgono?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 4Appunti 01.pdf, pp. 18-19Formulario TDS.pdf, p. 1

La media è lineare e non cambia se il segnale viene traslato nel tempo.

La media è lineare: \(\langle a\,x+b\,y\rangle=a\langle x\rangle+b\langle y\rangle\), perché integrale e limite sono lineari. È inoltre invariante rispetto alle traslazioni: la media di \(x(t-t_0)\) coincide con quella di \(x(t)\), purché il limite esista. Su un periodico ciò equivale al fatto che l’integrale su un intervallo lungo un periodo non dipende dal punto iniziale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

La media è lineare e non cambia se il segnale viene traslato nel tempo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La media è lineare e non cambia se il segnale viene traslato nel tempo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Proprietà della media» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Proprietà della media»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Proprietà della media»?

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12 Definizione · Capitolo 1Come si definiscono energia e potenza di un segnale continuo?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 5Appunti 01.pdf, pp. 19-23Formulario TDS.pdf, p. 2

L'energia integra il modulo quadro sull'intero asse; la potenza ne misura la media temporale.

L’energia è \(E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t\). La potenza media è \(P_x=\lim_{T\to\infty}T^{-1}\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t\), se il limite esiste. Per un segnale periodico la potenza si ottiene su un solo periodo: \(P_x=T_0^{-1}\int_{T_0}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t\). Il modulo quadro rende le definizioni valide anche per segnali complessi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

L’energia integra il modulo quadro sull’intero asse; la potenza ne misura la media temporale.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: L'energia integra il modulo quadro sull'intero asse; la potenza ne misura la media temporale.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(E_x\): energia totale del segnale
\(P_x\): potenza media del segnale
\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Energia e potenza» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Energia e potenza»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Energia e potenza»?

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13 Definizione · Capitolo 1Quali proprietà di energia e potenza vengono usate nel corso?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 5Appunti 01.pdf, pp. 19-23Formulario TDS.pdf, pp. 2-3

Traslare non cambia energia o potenza; la potenza della somma include il termine mutuo.

Energia e potenza sono invarianti rispetto a una traslazione temporale del segnale. Per segnali reali \(z(t)=x(t)+y(t)\), la potenza soddisfa \(P_z=P_x+P_y+2P_{xy}\), dove \(P_{xy}\) è la potenza mutua. Nel caso complesso il termine incrociato corretto è \(2\operatorname{Re}\{P_{xy}\}\). La relazione mostra che le potenze si sommano direttamente solo quando il termine mutuo è nullo.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Traslare non cambia energia o potenza; la potenza della somma include il termine mutuo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Traslare non cambia energia o potenza; la potenza della somma include il termine mutuo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(P_x\): potenza media del segnale

Errore che sembra innocuo

Sommare sempre \(P_x\) e \(P_y\) dimenticando il termine mutuo.

Come raddrizzare il ragionamento

Verifica prima se i segnali sono ortogonali o incoerenti; altrimenti conserva \(2\operatorname{Re}\{P_{xy}\}\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Proprietà di energia e potenza»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Proprietà di energia e potenza»?

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14 Definizione · Capitolo 1Quando due segnali continui sono ortogonali?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 5Appunti 01.pdf, pp. 22-23Formulario TDS.pdf, p. 3

Il loro prodotto interno, cioè l'energia mutua, deve essere nullo.

Due segnali continui reali \(x(t)\) e \(y(t)\) sono ortogonali quando \(\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y(t)\,\mathrm{d}t=0\). Per segnali complessi il prodotto interno usa il coniugato di uno dei due segnali. L’ortogonalità annulla il termine energetico mutuo e permette di separare i contributi nella somma.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Il loro prodotto interno, cioè l’energia mutua, deve essere nullo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il loro prodotto interno, cioè l'energia mutua, deve essere nullo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Ortogonalità di segnali continui» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Ortogonalità di segnali continui»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Ortogonalità di segnali continui»?

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21 Definizione · Capitolo 1Come si definisce l'autocorrelazione e che cosa misura?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 7Appunti 01.pdf, pp. 36-41Formulario TDS.pdf, p. 3

Confronta un segnale con una propria copia traslata e misura la somiglianza al variare del ritardo.

Per un segnale continuo di energia l’autocorrelazione è \(R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x^{*}(t-\tau)\,\mathrm{d}t\). Il ritardo \(\tau\) scorre la seconda copia e l’integrale misura la sovrapposizione tra le due. Per segnali reali il coniugato si può omettere; per segnali di potenza l’integrale è sostituito dalla media temporale del prodotto.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Confronta un segnale con una propria copia traslata e misura la somiglianza al variare del ritardo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Confronta un segnale con una propria copia traslata e misura la somiglianza al variare del ritardo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(R_x\): autocorrelazione del segnale \(x\)
\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Autocorrelazione» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Autocorrelazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Autocorrelazione»?

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22 Definizione · Capitolo 1Quali sono le proprietà fondamentali dell'autocorrelazione?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 7Appunti 01.pdf, pp. 36-41Formulario TDS.pdf, p. 3

All'origine coincide con energia o potenza, è hermitiana e il suo modulo non supera \(R_x(0)\).

Per un segnale di energia \(R_x(0)=E_x\); per un segnale di potenza \(R_x(0)=P_x\). Vale la simmetria hermitiana \(R_x(-\tau)=R_x^{*}(\tau)\), che nel caso reale diventa parità. Inoltre \(|R_x(\tau)|\leq R_x(0)\), quindi il massimo del modulo è all’origine. L’autocorrelazione non cambia se il segnale viene traslato e, nelle condizioni degli appunti, è continua nell’origine.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

All’origine coincide con energia o potenza, è hermitiana e il suo modulo non supera \(R_x(0)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: All'origine coincide con energia o potenza, è hermitiana e il suo modulo non supera \(R_x(0)\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(R_x\): autocorrelazione del segnale \(x\)
\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Dire semplicemente che \(R_x(\tau)\) è sempre pari, anche per segnali complessi.

Come raddrizzare il ragionamento

Per segnali complessi usa \(R_x(-\tau)=R_x^{*}(\tau)\); la parità segue nel caso reale.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Proprietà dell'autocorrelazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Proprietà dell'autocorrelazione»?

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23 Definizione · Capitolo 1Come si definisce la mutua correlazione e che cosa misura?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 7Appunti 01.pdf, pp. 39-42Formulario TDS.pdf, p. 3

Confronta due segnali diversi dopo aver traslato il secondo; l'ordine dei segnali è significativo.

Per due segnali continui di energia la mutua correlazione è \(R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y^{*}(t-\tau)\,\mathrm{d}t\). Essa quantifica la somiglianza tra \(x(t)\) e una copia ritardata di \(y(t)\). Poiché è \(y\) a essere traslato, scambiare i segnali cambia in generale la funzione; per segnali di potenza si usa la media del prodotto.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Confronta due segnali diversi dopo aver traslato il secondo; l’ordine dei segnali è significativo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Confronta due segnali diversi dopo aver traslato il secondo; l'ordine dei segnali è significativo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Mutua correlazione» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Mutua correlazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Mutua correlazione»?

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24 Definizione · Capitolo 1Quale relazione lega le due mutue correlazioni ottenute scambiando i segnali?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 7Appunti 01.pdf, pp. 39-42Formulario TDS.pdf, p. 3

Scambiando i segnali si ribalta il ritardo e, nel caso complesso, si introduce il coniugato.

Nel caso reale vale \(R_{xy}(\tau)=R_{yx}(-\tau)\). Più in generale, con la definizione complessa, \(R_{xy}(\tau)=R_{yx}^{*}(-\tau)\). La relazione si ottiene con un cambio di variabile nell’integrale e conferma che la mutua correlazione non è normalmente una funzione pari.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Scambiando i segnali si ribalta il ritardo e, nel caso complesso, si introduce il coniugato.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Scambiando i segnali si ribalta il ritardo e, nel caso complesso, si introduce il coniugato.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Simmetria della mutua correlazione» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Simmetria della mutua correlazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Simmetria della mutua correlazione»?

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25 Definizione · Capitolo 1Come si chiamano due segnali se \(R_{xy}(\tau)=R_{yx}(\tau)=0\)?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 7Appunti 01.pdf, pp. 39-42Formulario TDS.pdf, p. 3

Sono incoerenti, cioè privi di correlazione reciproca per ogni ritardo considerato.

Se la mutua correlazione è identicamente nulla, i segnali sono detti incoerenti, o non correlati, nella terminologia degli appunti. Ciò significa che nessuna traslazione di uno dei due produce un termine di correlazione diverso da zero. Non va confuso con il fatto che i segnali siano entrambi nulli: ciascun segnale può avere energia o potenza propria non nulla.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Sono incoerenti, cioè privi di correlazione reciproca per ogni ritardo considerato.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Sono incoerenti, cioè privi di correlazione reciproca per ogni ritardo considerato.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Segnali incoerenti» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Segnali incoerenti»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Segnali incoerenti»?

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1 Osservazione · Capitolo 1Perché il gradino unitario rappresenta un bordo ideale?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 14Appunti 01.pdf, pp. 10-12Appunti 02.pdf, pp. 31-34

Concentra una variazione istantanea tra due livelli e la sua derivata è una delta.

Il gradino \(u(t)\) passa idealmente da \(0\) a \(1\) nell’istante \(t=0\), senza un intervallo di transizione. Modella quindi un bordo netto, cioè una discontinuità di prima specie. La derivata generalizzata \(\mathrm{d}u(t)/\mathrm{d}t=\delta(t)\) concentra il cambiamento nel punto del salto e spiega il legame con i rivelatori di bordo.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Concentra una variazione istantanea tra due livelli e la sua derivata è una delta.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Concentra una variazione istantanea tra due livelli e la sua derivata è una delta.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Gradino come bordo ideale» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Gradino come bordo ideale»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Gradino come bordo ideale»?

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2 Osservazione · Capitolo 1Come si rappresenta con due gradini traslati un tratto acceso di durata finita?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 10-12

La differenza tra un gradino di salita e uno di discesa produce una finestra rettangolare.

L’osservazione va letta operativamente per un intervallo rettangolare: \(u(t-a)-u(t-b)\), con \(a<b\), vale \(1\) per \(a\leq t<b\) e \(0\) altrove. Il primo gradino attiva il segnale in \(a\), il secondo lo disattiva in \(b\). Un singolo gradino non è invece la differenza di due gradini distinti senza introdurre una seconda transizione.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

La differenza tra un gradino di salita e uno di discesa produce una finestra rettangolare.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La differenza tra un gradino di salita e uno di discesa produce una finestra rettangolare.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Ripetere letteralmente che un singolo gradino è sempre una differenza di due gradini.

Come raddrizzare il ragionamento

Precisa che la differenza costruisce un tratto rettangolare acceso tra due istanti.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Intervallo rettangolare mediante gradini»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Intervallo rettangolare mediante gradini»?

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3 Osservazione · Capitolo 1Quale relazione c'è tra segnali di energia e segnali di potenza?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 19-23 e 34-36Formulario TDS.pdf, p. 2

Un segnale con energia finita ha potenza media nulla; un segnale con potenza positiva finita ha energia infinita.

Se \(0<E_x<\infty\), l’energia accumulata resta limitata mentre la finestra di media cresce, quindi \(P_x=0\). Se \(0<P_x<\infty\), l’energia raccolta cresce proporzionalmente alla durata e sull’intero asse risulta \(E_x=\infty\). Le due classi, nelle definizioni del corso, non coincidono; il segnale nullo è un caso degenere da trattare separatamente.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Un segnale con energia finita ha potenza media nulla; un segnale con potenza positiva finita ha energia infinita.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Un segnale con energia finita ha potenza media nulla; un segnale con potenza positiva finita ha energia infinita.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(E_x\): energia totale del segnale
\(P_x\): potenza media del segnale

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Classificazione energia-potenza» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Classificazione energia-potenza»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Classificazione energia-potenza»?

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4 Osservazione · Capitolo 1Come si collegano durata limitata, durata praticamente limitata e periodicità alle classi energia-potenza?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 19-23 e 34-36

I segnali limitati nel tempo sono tipicamente di energia; i periodici non nulli sono tipicamente di potenza.

Un segnale a durata limitata e ampiezza regolare ha normalmente energia finita, quindi appartiene alla classe dei segnali di energia. Lo stesso modello viene usato per segnali praticamente limitati, la cui coda rende comunque integrabile il modulo quadro. Un segnale periodico non nullo ripete indefinitamente la propria energia per periodo: ha potenza finita positiva ed energia infinita.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

I segnali limitati nel tempo sono tipicamente di energia; i periodici non nulli sono tipicamente di potenza.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: I segnali limitati nel tempo sono tipicamente di energia; i periodici non nulli sono tipicamente di potenza.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Trasformare l’osservazione tipica in una regola senza ipotesi su ampiezza e integrabilità.

Come raddrizzare il ragionamento

Aggiungi le condizioni di regolarità: durata finita da sola non autorizza valori di ampiezza non integrabili.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Durata e classe energetica»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Durata e classe energetica»?

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5 Osservazione · Capitolo 1Come si semplifica l'integrale su un intervallo simmetrico per segnali pari o dispari?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 16-18Formulario TDS.pdf, p. 1

Per una funzione pari si raddoppia il semiasse positivo; per una dispari l'integrale simmetrico è nullo.

Se \(x(t)\) è pari e l’integrale esiste, \(\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,\mathrm{d}t=2\int_0^{+\infty}x(t)\,\mathrm{d}t\). Se \(x(t)\) è dispari, i contributi ai due lati dell’origine si cancellano e l’integrale simmetrico vale \(0\). La stessa semplificazione vale su intervalli finiti simmetrici \([-T,T]\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Per una funzione pari si raddoppia il semiasse positivo; per una dispari l’integrale simmetrico è nullo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Per una funzione pari si raddoppia il semiasse positivo; per una dispari l'integrale simmetrico è nullo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Integrali di funzioni pari e dispari» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Integrali di funzioni pari e dispari»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Integrali di funzioni pari e dispari»?

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6 Osservazione · Capitolo 1Come si può costruire un trapezio usando segnali triangolari?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 8-10

La differenza di due triangolari opportunamente scalate o traslate lascia una zona piatta e due rampe.

Un trapezio può essere ottenuto sottraendo due funzioni triangolari \(\Lambda\) con supporti e scale opportunamente scelti. Nella zona in cui le pendenze si compensano resta il tratto piatto, mentre ai bordi rimangono le due rampe. La costruzione va sempre verificata intervallo per intervallo, perché ampiezze e traslazioni determinano altezza e larghezze finali.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

La differenza di due triangolari opportunamente scalate o traslate lascia una zona piatta e due rampe.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La differenza di due triangolari opportunamente scalate o traslate lascia una zona piatta e due rampe.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Trapezio come differenza di triangolari» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Trapezio come differenza di triangolari»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Trapezio come differenza di triangolari»?

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7 Osservazione · Capitolo 1Perché la potenza di un periodico non dipende direttamente dal suo periodo?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 19-23Formulario TDS.pdf, p. 2

A parità di forma normalizzata e ampiezza, la normalizzazione per il periodo cancella la dilatazione temporale.

Per una famiglia ottenuta dilatando nel tempo lo stesso generatore, \(P_x=T_0^{-1}\int_{T_0}|x(t)|^2\,\mathrm{d}t\). Se il periodo viene scalato senza cambiare ampiezza né forma normalizzata, anche l’integrale cresce dello stesso fattore e il rapporto resta invariato. L’affermazione non significa che tutti i segnali periodici con uguale ampiezza abbiano la stessa potenza: forma e duty cycle devono restare gli stessi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

A parità di forma normalizzata e ampiezza, la normalizzazione per il periodo cancella la dilatazione temporale.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: A parità di forma normalizzata e ampiezza, la normalizzazione per il periodo cancella la dilatazione temporale.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(P_x\): potenza media del segnale
\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Dire che la potenza dipende soltanto dal massimo dell’ampiezza per qualunque periodico.

Come raddrizzare il ragionamento

L’invarianza rispetto al periodo vale quando si conserva la forma normalizzata, incluso il duty cycle.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Potenza e scala temporale di un periodico»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Potenza e scala temporale di un periodico»?

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12 Osservazione · Capitolo 1Che cosa rappresenta \(R_x(0)\) e quale simmetria ha \(R_x(\tau)\)?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 36-41Formulario TDS.pdf, p. 3

All'origine si ottiene energia o potenza; per segnali reali l'autocorrelazione è pari.

Ponendo \(\tau=0\), l’autocorrelazione diventa l’integrale o la media di \(|x|^2\): è \(E_x\) per un segnale di energia e \(P_x\) per uno di potenza. Per segnali reali \(R_x(\tau)=R_x(-\tau)\). Nel caso complesso la forma corretta è hermitiana, \(R_x(-\tau)=R_x^{*}(\tau)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

All’origine si ottiene energia o potenza; per segnali reali l’autocorrelazione è pari.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: All'origine si ottiene energia o potenza; per segnali reali l'autocorrelazione è pari.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(R_x\): autocorrelazione del segnale \(x\)
\(E_x\): energia totale del segnale
\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Origine e simmetria dell’autocorrelazione» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Origine e simmetria dell'autocorrelazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Origine e simmetria dell'autocorrelazione»?

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13 Osservazione · Capitolo 1Qual è un esempio pratico dell'uso della correlazione?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 39-42

La ricerca inversa di immagini confronta un contenuto con copie traslate o descrittori per individuare corrispondenze.

L’esempio indicato è la reverse image search: si cerca dove un contenuto di riferimento assomiglia maggiormente a un altro. La correlazione scorre una copia rispetto all’altra e produce valori elevati agli allineamenti più compatibili. L’esempio serve a interpretare il picco della correlazione come indicazione di somiglianza e ritardo, senza entrare in tecniche ulteriori.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

La ricerca inversa di immagini confronta un contenuto con copie traslate o descrittori per individuare corrispondenze.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La ricerca inversa di immagini confronta un contenuto con copie traslate o descrittori per individuare corrispondenze.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Correlazione e ricerca di somiglianze» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Correlazione e ricerca di somiglianze»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Correlazione e ricerca di somiglianze»?

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14 Osservazione · Capitolo 1Quando si può considerare continua la mutua correlazione?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 36-42

Nelle condizioni di regolarità richiamate negli appunti, la continuità delle autocorrelazioni porta alla continuità della mutua correlazione.

L’osservazione pratica della docente collega la continuità di \(R_{xy}(\tau)\) a quella delle autocorrelazioni \(R_x(\tau)\) e \(R_y(\tau)\). Il punto utile all’orale è che la correlazione non genera salti arbitrari quando i segnali soddisfano le condizioni di regolarità considerate. La frase va presentata con tali ipotesi, non come proprietà di qualunque oggetto generalizzato.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Nelle condizioni di regolarità richiamate negli appunti, la continuità delle autocorrelazioni porta alla continuità della mutua correlazione.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Nelle condizioni di regolarità richiamate negli appunti, la continuità delle autocorrelazioni porta alla continuità della mutua correlazione.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Continuità della mutua correlazione» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Continuità della mutua correlazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Continuità della mutua correlazione»?

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17 Osservazione · Capitolo 1Una sinusoide perfettamente nota trasporta informazione nuova?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 03.pdf, pp. 1-4

È certamente un segnale matematico, ma se tutti i suoi parametri sono già noti non porta una variazione informativa.

Una sinusoide è un segnale nel senso matematico del corso. L’osservazione della docente riguarda però l’informazione: se ampiezza, frequenza e fase sono perfettamente note e immutabili, osservare altre oscillazioni non rivela nulla di nuovo. L’informazione può essere introdotta variando uno dei parametri, ma qui basta distinguere il concetto di segnale da quello di novità informativa.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

È certamente un segnale matematico, ma se tutti i suoi parametri sono già noti non porta una variazione informativa.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È certamente un segnale matematico, ma se tutti i suoi parametri sono già noti non porta una variazione informativa.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Rispondere semplicemente che una sinusoide non è un segnale.

Come raddrizzare il ragionamento

È un segnale; la nota riguarda soltanto l’assenza di informazione nuova quando è perfettamente nota.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Sinusoide e informazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Sinusoide e informazione»?

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Capitolo 2

Segnali nel dominio del tempo discreto

Sequenze, periodicità, decimazione, espansione, energia e potenza.

15 Definizione · Capitolo 2Qual è la differenza tra un segnale a tempo continuo e uno a tempo discreto?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 5Appunti 01.pdf, pp. 24-25Appunti 06.pdf, pp. 1-2

Cambia il dominio temporale, non necessariamente l'insieme dei valori di ampiezza.

Un segnale a tempo continuo è definito per \(t\in\mathbb{R}\), mentre un segnale a tempo discreto è definito per \(n\in\mathbb{Z}\). In entrambi i casi l’ampiezza può assumere valori continui: discreto nel tempo non significa automaticamente quantizzato in ampiezza. La quantizzazione è un’operazione distinta, trattata nella conversione analogico-numerica.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

Cambia il dominio temporale, non necessariamente l’insieme dei valori di ampiezza.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Cambia il dominio temporale, non necessariamente l'insieme dei valori di ampiezza.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Dire che un segnale a tempo discreto ha necessariamente ampiezze discrete.

Come raddrizzare il ragionamento

Separa la discretizzazione del tempo dalla quantizzazione dell’ampiezza: sono due passaggi diversi.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Segnali continui e discreti»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Segnali continui e discreti»?

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16 Definizione · Capitolo 2Che cosa produce \(x[an]\) nel tempo discreto?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 5Appunti 01.pdf, pp. 25-28Appunti 04.pdf, pp. 34-38

Una scala intera maggiore di uno decima; un'espansione richiede campioni definiti sugli indici compatibili.

Per \(y[n]=x[an]\) con \(a\) intero e \(a>1\), si conservano soltanto campioni distanziati di \(a\): è una decimazione. L’espansione intera di fattore \(L\) si scrive \(y[n]=x[n/L]\) sugli indici multipli di \(L\); negli altri indici occorre specificare i valori inseriti, tipicamente zeri prima dell’interpolazione. Nel discreto non si può valutare liberamente \(x[\alpha]\) per \(\alpha\notin\mathbb{Z}\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

Una scala intera maggiore di uno decima; un’espansione richiede campioni definiti sugli indici compatibili.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Una scala intera maggiore di uno decima; un'espansione richiede campioni definiti sugli indici compatibili.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(y[n]\): uscita discreta valutata all'indice \(n\)

Errore che sembra innocuo

Scrivere \(x[n/2]\) per ogni \(n\) senza dire che cosa accade quando \(n\) è dispari.

Come raddrizzare il ragionamento

Indica esplicitamente il sottoinsieme \(n\in2\mathbb{Z}\) e il valore inserito negli altri indici.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Scala temporale nel discreto»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Scala temporale nel discreto»?

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17 Definizione · Capitolo 2Qual è la proprietà di riproducibilità di un segnale discreto e perché è importante?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 5Appunti 01.pdf, pp. 28-29Formulario TDS.pdf, p. 4

Ogni sequenza è una somma di impulsi traslati pesati dai propri campioni.

La proprietà di riproducibilità scrive \(x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]\). Per un dato \(n\), la delta seleziona il solo termine con \(k=n\), restituendo \(x[n]\). Questa decomposizione è fondamentale perché consente di determinare l’uscita di un sistema LTI sommando le risposte agli impulsi traslati.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

Ogni sequenza è una somma di impulsi traslati pesati dai propri campioni.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Ogni sequenza è una somma di impulsi traslati pesati dai propri campioni.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Proprietà di riproducibilità nel discreto» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Proprietà di riproducibilità nel discreto»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Proprietà di riproducibilità nel discreto»?

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18 Definizione · Capitolo 2Che cos'è la derivata discreta e quale significato ha?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 6Appunti 01.pdf, pp. 29-30Appunti 04.pdf, pp. 39-42

La differenza tra campioni consecutivi evidenzia bordi e cambiamenti bruschi.

L’analogo discreto della derivata è la differenza prima, per esempio \(y[n]=x[n]-x[n-1]\). Se il segnale varia lentamente, due campioni consecutivi sono simili e l’uscita è piccola; in corrispondenza di un bordo la differenza diventa grande. Per questo l’operatore è usato come rivelatore di variazioni ed è associato a un comportamento passa-alto.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

La differenza tra campioni consecutivi evidenzia bordi e cambiamenti bruschi.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La differenza tra campioni consecutivi evidenzia bordi e cambiamenti bruschi.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(y[n]\): uscita discreta valutata all'indice \(n\)

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Differenza prima» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Differenza prima»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Differenza prima»?

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19 Definizione · Capitolo 2Come si definisce l'integrazione nel discreto?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 6Appunti 01.pdf, pp. 29-30Appunti 02.pdf, pp. 9-10

L'accumulatore somma tutti i campioni fino all'indice corrente.

L’integrazione discreta è rappresentata dalla somma corrente \(y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\). A ogni passo l’uscita aggiorna il valore precedente secondo \(y[n]=y[n-1]+x[n]\). È quindi un accumulatore con memoria: l’uscita presente dipende da tutti i campioni passati inclusi nella somma.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

L’accumulatore somma tutti i campioni fino all’indice corrente.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: L'accumulatore somma tutti i campioni fino all'indice corrente.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(y[n]\): uscita discreta valutata all'indice \(n\)
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Somma corrente» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Somma corrente»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Somma corrente»?

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20 Definizione · Capitolo 2Come si definiscono media, energia e potenza per segnali discreti, anche periodici?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 6Appunti 01.pdf, pp. 34-36Formulario TDS.pdf, pp. 1-2

Gli integrali diventano somme e, per le sequenze periodiche, basta un periodo di \(N_0\) campioni.

Per una sequenza a durata finita la media è la somma dei campioni divisa per il loro numero. Su tutto l’asse si usa \(\langle x\rangle=\lim_{N\to\infty}(2N+1)^{-1}\sum_{n=-N}^{N}x[n]\). Energia e potenza sono \(E_x=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2\) e \(P_x=\lim_{N\to\infty}(2N+1)^{-1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2\). Se il segnale è periodico di periodo \(N_0\), media e potenza si calcolano sui \(N_0\) campioni di un periodo.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

Gli integrali diventano somme e, per le sequenze periodiche, basta un periodo di \(N_0\) campioni.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Gli integrali diventano somme e, per le sequenze periodiche, basta un periodo di \(N_0\) campioni.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(E_x\): energia totale del segnale
\(P_x\): potenza media del segnale
\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Media, energia e potenza nel discreto» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Media, energia e potenza nel discreto»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Media, energia e potenza nel discreto»?

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8 Osservazione · Capitolo 2Perché dopo un'espansione discreta serve interpolare?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 25-28Appunti 04.pdf, pp. 34-38

L'espansore inserisce campioni vuoti; l'interpolatore stima valori intermedi e rimuove le repliche indesiderate.

L’espansione di fattore \(M\) mantiene un campione ogni \(M\) posizioni e inserisce zeri nelle altre. La sequenza così ottenuta non è ancora una ricostruzione regolare: nel dominio della frequenza contiene immagini spettrali multiple. Un interpolatore, anche lineare nell’interpretazione elementare degli appunti, riempie i valori intermedi; in termini di sistema, un passa-basso elimina le repliche indesiderate.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

L’espansore inserisce campioni vuoti; l’interpolatore stima valori intermedi e rimuove le repliche indesiderate.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: L'espansore inserisce campioni vuoti; l'interpolatore stima valori intermedi e rimuove le repliche indesiderate.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Interpolazione dopo espansione discreta» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Interpolazione dopo espansione discreta»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Interpolazione dopo espansione discreta»?

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9 Osservazione · Capitolo 2In che senso espansione e compressione discrete assomigliano a zoom in e zoom out?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 25-28

Cambiano la densità dei campioni che rappresentano l'andamento, ma richiedono regole discrete precise.

L’espansione può essere letta come uno zoom che distribuisce l’informazione su più indici, mentre la decimazione comprime la rappresentazione conservando meno campioni. L’analogia aiuta a intuire l’effetto grafico, ma non sostituisce le definizioni: nell’espansione vanno specificati i nuovi campioni e nella decimazione parte dell’informazione può andare perduta.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

Cambiano la densità dei campioni che rappresentano l’andamento, ma richiedono regole discrete precise.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Cambiano la densità dei campioni che rappresentano l'andamento, ma richiedono regole discrete precise.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Usare l’analogia dello zoom come se definisse da sola l’operazione.

Come raddrizzare il ragionamento

Scrivi sempre la relazione sugli indici e indica quali campioni vengono conservati o inseriti.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Analogia dello zoom nel discreto»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Analogia dello zoom nel discreto»?

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10 Osservazione · Capitolo 2Qual è la massima frequenza di oscillazione distinta per un coseno discreto?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 30-33Appunti 04.pdf, pp. 25-28

Nell'intervallo fondamentale è \(1/2\), che produce la sequenza alternata \(\cos(\pi n)=(-1)^n\).

Le frequenze discrete sono equivalenti modulo \(1\) e, per il coseno, anche rispetto al cambio di segno. Perciò basta \(\nu\in[0,1/2]\). All’estremo \(\nu=1/2\), \(x[n]=\cos(\pi n)=(-1)^n\), che alterna \(+1\) e \(-1\) a ogni campione ed è la più rapida oscillazione distinta.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

Nell’intervallo fondamentale è \(1/2\), che produce la sequenza alternata \(\cos(\pi n)=(-1)^n\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Nell'intervallo fondamentale è \(1/2\), che produce la sequenza alternata \(\cos(\pi n)=(-1)^n\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Massima frequenza discreta distinta» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Massima frequenza discreta distinta»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Massima frequenza discreta distinta»?

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11 Osservazione · Capitolo 2Quale attenzione serve quando si spezza una somma discreta in più intervalli?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 34-41

Un indice di confine incluso in entrambi i tratti verrebbe contato due volte.

Nelle somme gli estremi sono campioni, non punti di misura nulla come negli integrali. Se si divide \(\sum_{n=a}^{b}\) in due parti presso \(m\), bisogna usare per esempio \(\sum_{n=a}^{m}+\sum_{n=m+1}^{b}\), oppure \(\sum_{n=a}^{m-1}+\sum_{n=m}^{b}\). Includere \(m\) in entrambe aggiunge indebitamente un campione.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

Un indice di confine incluso in entrambi i tratti verrebbe contato due volte.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Un indice di confine incluso in entrambi i tratti verrebbe contato due volte.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Estremi nelle somme discrete» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Estremi nelle somme discrete»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Estremi nelle somme discrete»?

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16 Osservazione · Capitolo 2Qual è l'operazione opposta allo smoothing nel contesto degli appunti?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 01.pdf, pp. 29-30Appunti 04.pdf, pp. 39-42

La differenza prima attenua la continua ed enfatizza i cambiamenti rapidi, quindi evidenzia i bordi.

Lo smoothing riduce le variazioni rapide; la differenza prima \(x[n]-x[n-1]\) fa l’opposto. Un tratto costante produce uscita nulla, mentre un salto genera un valore elevato concentrato sul bordo. Per questo la differenza prima è associata all’edge detection e a una risposta passa-alto.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

La differenza prima attenua la continua ed enfatizza i cambiamenti rapidi, quindi evidenzia i bordi.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La differenza prima attenua la continua ed enfatizza i cambiamenti rapidi, quindi evidenzia i bordi.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(y[n]\): uscita discreta valutata all'indice \(n\)

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Differenza prima come edge detection» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Differenza prima come edge detection»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Differenza prima come edge detection»?

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Capitolo 3

Sistemi LTI e convoluzione

Proprietà dei sistemi, delta, risposta impulsiva, convoluzione e stabilità.

26 Definizione · Capitolo 3Che cos'è un sistema?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 7Appunti 02.pdf, pp. 1-3

È un operatore che associa a un segnale d'ingresso un segnale d'uscita.

Un sistema è una trasformazione, indicata per esempio con \(\mathcal{T}\), che elabora un segnale d’ingresso \(x\) e produce un’uscita \(y=\mathcal{T}\{x\}\). La relazione ingresso-uscita può essere continua o discreta e può possedere proprietà strutturali come linearità, tempo-invarianza, causalità, stabilità e memoria. Lo studio del sistema consiste nel capire come tali proprietà vincolino l’uscita.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

È un operatore che associa a un segnale d’ingresso un segnale d’uscita.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È un operatore che associa a un segnale d'ingresso un segnale d'uscita.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Sistema» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Sistema»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Sistema»?

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27 Definizione · Capitolo 3Qual è il significato di linearità, tempo-invarianza, causalità, dispersività e stabilità?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 7Appunti 02.pdf, pp. 1-10Formulario TDS.pdf, p. 5

Le proprietà descrivono sovrapposizione, risposta agli shift, dipendenza temporale, memoria e comportamento rispetto a ingressi limitati.

La linearità impone \(\mathcal{T}\{a x+b y\}=a\mathcal{T}\{x\}+b\mathcal{T}\{y\}\). La tempo-invarianza richiede che traslare l’ingresso trasli allo stesso modo l’uscita. Un sistema è causale se l’uscita presente non dipende dal futuro; negli appunti è non dispersivo, o senza memoria, se l’uscita all’istante \(t\) dipende soltanto dall’ingresso allo stesso istante \(t\). È BIBO stabile se ogni ingresso limitato genera un’uscita limitata. Un puro ritardo può conservare la forma del segnale, ma per \(t_0\ne0\) possiede memoria e non va confuso con la non dispersività così definita.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

Le proprietà descrivono sovrapposizione, risposta agli shift, dipendenza temporale, memoria e comportamento rispetto a ingressi limitati.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Le proprietà descrivono sovrapposizione, risposta agli shift, dipendenza temporale, memoria e comportamento rispetto a ingressi limitati.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Proprietà dei sistemi» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Proprietà dei sistemi»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Proprietà dei sistemi»?

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28 Definizione · Capitolo 3Qual è la proprietà di campionamento della delta nel prodotto?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 8Appunti 02.pdf, pp. 30-32Formulario TDS.pdf, p. 4

Il prodotto con una delta traslata congela il valore del segnale nel punto in cui la delta è concentrata.

La proprietà è \(x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)\). La delta rende irrilevanti tutti i valori di \(x(t)\) tranne quello in \(t=t_0\), che diventa il peso dell’impulso. La relazione vale nel senso delle distribuzioni ed è la base della rappresentazione tramite impulsi e del campionamento ideale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

Il prodotto con una delta traslata congela il valore del segnale nel punto in cui la delta è concentrata.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il prodotto con una delta traslata congela il valore del segnale nel punto in cui la delta è concentrata.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Campionamento mediante delta» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Campionamento mediante delta»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Campionamento mediante delta»?

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29 Definizione · Capitolo 3Che cos'è la risposta impulsiva di un sistema LTI?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 8Appunti 02.pdf, pp. 10-13 e 34-35Formulario TDS.pdf, p. 5

È l'uscita prodotta dalla delta e caratterizza completamente un sistema lineare e tempo-invariante.

La risposta impulsiva è \(h(t)=\mathcal{T}\{\delta(t)\}\), oppure \(h[n]=\mathcal{T}\{\delta[n]\}\) nel discreto. Grazie a linearità e tempo-invarianza, la risposta a ogni impulso traslato è una copia traslata di \(h\); sommando tali contributi si ottiene l’uscita per un ingresso arbitrario. Perciò \(h\) caratterizza completamente il sistema solo nel caso LTI.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

È l’uscita prodotta dalla delta e caratterizza completamente un sistema lineare e tempo-invariante.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È l'uscita prodotta dalla delta e caratterizza completamente un sistema lineare e tempo-invariante.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(h(t)\): risposta impulsiva continua del sistema LTI
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto

Errore che sembra innocuo

Attribuire una caratterizzazione completa tramite risposta impulsiva a un sistema qualunque.

Come raddrizzare il ragionamento

Dichiara esplicitamente le due ipotesi: linearità e tempo-invarianza.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Risposta impulsiva»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Risposta impulsiva»?

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30 Definizione · Capitolo 3Come si definisce la convoluzione e qual è il legame concettuale con la correlazione?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 8Appunti 02.pdf, pp. 11-21 e 34-38Formulario TDS.pdf, pp. 5-6

La convoluzione integra il prodotto con una copia ribaltata e traslata; la correlazione usa un differente orientamento del ritardo.

La convoluzione continua è \((x*y)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha)y(t-\alpha)\,\mathrm{d}\alpha\). Per calcolarla graficamente si ribalta uno dei segnali, lo si trasla e si integra il prodotto di sovrapposizione. La correlazione ha struttura affine ma confronta \(x(t)\) con \(y(t-\tau)\); infatti può essere vista come una convoluzione con una versione ribaltata e, nel caso complesso, coniugata del secondo segnale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

La convoluzione integra il prodotto con una copia ribaltata e traslata; la correlazione usa un differente orientamento del ritardo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La convoluzione integra il prodotto con una copia ribaltata e traslata; la correlazione usa un differente orientamento del ritardo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Convoluzione e correlazione» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Convoluzione e correlazione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Convoluzione e correlazione»?

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31 Definizione · Capitolo 3Quali proprietà ha la convoluzione?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 8Appunti 02.pdf, pp. 17-22Formulario TDS.pdf, pp. 5-6

È commutativa, associativa e distributiva; la delta è l'elemento neutro e una delta traslata produce uno shift.

La convoluzione è commutativa, \(x*y=y*x\), associativa, \(x*(y*z)=(x*y)*z\), e distributiva rispetto alla somma. La delta è l’elemento neutro: \(x*\delta=x\). Più precisamente, \(x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)\). Queste proprietà consentono di riordinare sistemi LTI in cascata o in parallelo e di usare la decomposizione del segnale in impulsi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

È commutativa, associativa e distributiva; la delta è l’elemento neutro e una delta traslata produce uno shift.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È commutativa, associativa e distributiva; la delta è l'elemento neutro e una delta traslata produce uno shift.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Proprietà della convoluzione» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Proprietà della convoluzione»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Proprietà della convoluzione»?

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32 Definizione · Capitolo 3Come si definisce operativamente la delta di Dirac mediante il campionamento integrale?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 8Appunti 02.pdf, pp. 30-32Formulario TDS.pdf, p. 4

Integrata contro un segnale, la delta seleziona il valore del segnale nel proprio punto di applicazione.

La delta di Dirac non è una funzione ordinaria, ma una distribuzione definita dalla proprietà di campionamento. Se il punto \(t_0\) appartiene all’intervallo d’integrazione, \(\int_{t_1}^{t_2}x(t)\delta(t-t_0)\,\mathrm{d}t=x(t_0)\); se non vi appartiene, il risultato è nullo. Nel caso particolare \(t_0=0\), viene estratto \(x(0)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

Integrata contro un segnale, la delta seleziona il valore del segnale nel proprio punto di applicazione.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Integrata contro un segnale, la delta seleziona il valore del segnale nel proprio punto di applicazione.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Delta di Dirac» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Delta di Dirac»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Delta di Dirac»?

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33 Definizione · Capitolo 3Quali sono le proprietà principali della delta di Dirac?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 8Appunti 02.pdf, pp. 30-32Formulario TDS.pdf, p. 4

Ha area unitaria, campiona, è pari, scala con l'inverso del modulo ed è neutra per convoluzione.

La delta ha area unitaria, \(\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,\mathrm{d}t=1\), e soddisfa il campionamento. È pari, \(\delta(-t)=\delta(t)\), e sotto scala vale \(\delta(at)=|a|^{-1}\delta(t)\) per \(a\neq0\). In convoluzione è neutra, mentre una sua traslazione sposta il segnale. Nel prodotto, \(x(t)y(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)y(t_0)\delta(t-t_0)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

Ha area unitaria, campiona, è pari, scala con l’inverso del modulo ed è neutra per convoluzione.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Ha area unitaria, campiona, è pari, scala con l'inverso del modulo ed è neutra per convoluzione.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto

Errore che sembra innocuo

Dimenticare il valore assoluto nella legge \(\delta(at)\).

Come raddrizzare il ragionamento

Il fattore corretto è \(1/|a|\), perché l’area deve restare unitaria anche per \(a<0\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Proprietà della delta di Dirac»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Proprietà della delta di Dirac»?

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34 Definizione · Capitolo 3Qual è la derivata del gradino unitario e quale conseguenza ha per un impulso rettangolare?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 9Appunti 02.pdf, pp. 31-34Formulario TDS.pdf, p. 4

La derivata generalizzata del gradino è la delta; i salti di una finestra rettangolare generano delta traslate con segno opposto.

Nel senso delle distribuzioni \(\mathrm{d}u(t)/\mathrm{d}t=\delta(t)\). Un rettangolo scritto come differenza di due gradini traslati deriva quindi in due impulsi: uno positivo sul fronte di salita e uno negativo sul fronte di discesa. L’ampiezza di ciascuna delta coincide con l’entità del salto, per linearità dell’operatore derivata.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

La derivata generalizzata del gradino è la delta; i salti di una finestra rettangolare generano delta traslate con segno opposto.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La derivata generalizzata del gradino è la delta; i salti di una finestra rettangolare generano delta traslate con segno opposto.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Derivata del gradino» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Derivata del gradino»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Derivata del gradino»?

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35 Definizione · Capitolo 3Come si riconoscono stabilità, causalità e non dispersività dalla risposta impulsiva?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 9Appunti 02.pdf, pp. 22-29 e 35-37Formulario TDS.pdf, p. 5

Per un LTI causalità, stabilità BIBO e assenza di dispersione corrispondono a condizioni precise su \(h\).

Un sistema LTI continuo è causale se \(h(t)=0\) per \(t<0\). È BIBO stabile se \(\int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|\,\mathrm{d}t<\infty\). Secondo la definizione degli appunti è non dispersivo, cioè senza memoria, se \(h(t)=A\delta(t)\), perché allora \(y(t)=A\,x(t)\). È utile distinguere questo criterio dall’assenza di distorsione di forma: \(h(t)=A\delta(t-t_0)\) produce \(y(t)=A\,x(t-t_0)\), ma se \(t_0\ne0\) introduce memoria. Nel discreto l’integrale diventa una somma e il criterio di non dispersività è \(h[n]=A\delta[n]\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

Per un LTI causalità, stabilità BIBO e assenza di dispersione corrispondono a condizioni precise su \(h\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Per un LTI causalità, stabilità BIBO e assenza di dispersione corrispondono a condizioni precise su \(h\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(h(t)\): risposta impulsiva continua del sistema LTI
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Criteri LTI da risposta impulsiva» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Criteri LTI da risposta impulsiva»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Criteri LTI da risposta impulsiva»?

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15 Osservazione · Capitolo 3Perché la media aritmetica produce smoothing?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 02.pdf, pp. 11-21Appunti 04.pdf, pp. 39-42

È una convoluzione con una finestra rettangolare che sostituisce ogni campione con una media locale.

Una media mobile può essere scritta come convoluzione con una finestra rettangolare normalizzata. L’uscita in ogni istante combina valori vicini, riducendo differenze rapide e smussando le discontinuità. In frequenza la finestra si comporta da passa-basso: conserva meglio le variazioni lente e attenua le componenti alte.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

È una convoluzione con una finestra rettangolare che sostituisce ogni campione con una media locale.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È una convoluzione con una finestra rettangolare che sostituisce ogni campione con una media locale.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Media aritmetica come smoothing» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Media aritmetica come smoothing»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Media aritmetica come smoothing»?

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Capitolo 4

Serie di Fourier

Analisi, sintesi, convergenza, simmetrie, Parseval e spettri a righe.

36 Definizione · Capitolo 4Che cos'è la serie di Fourier?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 9Appunti 03.pdf, pp. 1-6Formulario TDS.pdf, p. 5

Rappresenta un segnale periodico come combinazione di armoniche alle frequenze multiple della fondamentale.

La serie di Fourier esprime un segnale periodico di periodo \(T_0\) come somma di esponenziali complessi \(e^{j2\pi kf_0t}\), con \(f_0=1/T_0\) e \(k\in\mathbb{Z}\). I coefficienti \(X_k\) determinano ampiezza e fase di ogni armonica. La rappresentazione rende il segnale una combinazione lineare di componenti ortogonali a frequenze multiple della fondamentale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Rappresenta un segnale periodico come combinazione di armoniche alle frequenze multiple della fondamentale.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Rappresenta un segnale periodico come combinazione di armoniche alle frequenze multiple della fondamentale.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Serie di Fourier» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Serie di Fourier»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Serie di Fourier»?

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37 Definizione · Capitolo 4Che cos'è il fenomeno di Gibbs?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 9Appunti 03.pdf, pp. 7 e 12-15

Le ricostruzioni troncate oscillano vicino alle discontinuità e mostrano un sovraelongamento che non scompare aumentando soltanto il numero di armoniche.

Quando una serie di Fourier viene troncata, vicino a una discontinuità di prima specie compaiono oscillazioni e un sovraelongamento. Aumentando il numero di armoniche la zona disturbata si restringe, ma il picco relativo non si annulla. Nel punto di salto, sotto le condizioni di Dirichlet, la serie converge alla semisomma dei limiti destro e sinistro.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Le ricostruzioni troncate oscillano vicino alle discontinuità e mostrano un sovraelongamento che non scompare aumentando soltanto il numero di armoniche.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Le ricostruzioni troncate oscillano vicino alle discontinuità e mostrano un sovraelongamento che non scompare aumentando soltanto il numero di armoniche.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Fenomeno di Gibbs» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Fenomeno di Gibbs»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Fenomeno di Gibbs»?

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38 Definizione · Capitolo 4Che cos'è un fasore?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 9Appunti 03.pdf, pp. 1-4Formulario TDS.pdf, p. 8

È la rappresentazione complessa polare che separa modulo e fase di una componente sinusoidale.

Un fasore ha la forma \(A e^{j\theta}\): \(A\geq0\) è il modulo e \(\theta\) è la fase. Nel contesto dei segnali, \(A e^{j(2\pi f_0t+\theta)}\) è una componente complessa la cui parte reale è un coseno. Il fasore è una scrittura compatta che semplifica analisi, sintesi e filtraggio delle sinusoidi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

È la rappresentazione complessa polare che separa modulo e fase di una componente sinusoidale.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È la rappresentazione complessa polare che separa modulo e fase di una componente sinusoidale.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Fasore» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Fasore»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Fasore»?

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39 Definizione · Capitolo 4Che cosa vale \(z_1z_1^{*}\)?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 9Appunti 03.pdf, pp. 2-5Formulario TDS.pdf, p. 1

Il prodotto di un numero complesso per il proprio coniugato è il quadrato del modulo.

Se \(z_1=Ae^{j\theta}\), il coniugato è \(z_1^{*}=Ae^{-j\theta}\). Il prodotto elimina la fase: \(z_1z_1^{*}=A^2=|z_1|^2\). Il risultato è reale e non negativo; questa identità spiega perché energia e potenza usano il modulo quadro per segnali complessi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Il prodotto di un numero complesso per il proprio coniugato è il quadrato del modulo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il prodotto di un numero complesso per il proprio coniugato è il quadrato del modulo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Prodotto con il coniugato» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Prodotto con il coniugato»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Prodotto con il coniugato»?

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40 Definizione · Capitolo 4Quale simmetria hanno i coefficienti di Fourier di un segnale reale?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 9Appunti 03.pdf, pp. 7-10Formulario TDS.pdf, p. 6

I coefficienti a indici opposti sono coniugati; ampiezza e fase risultano rispettivamente pari e dispari.

Se \(x(t)\) è reale, i coefficienti soddisfano \(X_{-k}=X_k^{*}\). Di conseguenza \(|X_{-k}|=|X_k|\), quindi lo spettro di ampiezza è pari, mentre le fasi a indici opposti hanno segno opposto, salvo le usuali ambiguità di fase. La proprietà consente di ricostruire la metà negativa dello spettro da quella positiva.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

I coefficienti a indici opposti sono coniugati; ampiezza e fase risultano rispettivamente pari e dispari.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: I coefficienti a indici opposti sono coniugati; ampiezza e fase risultano rispettivamente pari e dispari.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Simmetria dei coefficienti di Fourier» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Simmetria dei coefficienti di Fourier»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Simmetria dei coefficienti di Fourier»?

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41 Definizione · Capitolo 4Che relazione c'è tra due fasori a frequenze armoniche diverse?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 9Appunti 03.pdf, pp. 3-6Formulario TDS.pdf, p. 5

Su un periodo fondamentale hanno prodotto interno nullo e quindi potenza mutua nulla.

Due fasori \(e^{j2\pi kf_0t}\) ed \(e^{j2\pi mf_0t}\), con \(k\neq m\), sono ortogonali su un periodo \(T_0\). Infatti la media del loro prodotto coniugato contiene \(e^{j2\pi(k-m)f_0t}\) e vale zero. Questa ortogonalità permette di isolare ciascun coefficiente nella formula di analisi della serie di Fourier.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Su un periodo fondamentale hanno prodotto interno nullo e quindi potenza mutua nulla.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Su un periodo fondamentale hanno prodotto interno nullo e quindi potenza mutua nulla.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo
\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Ortogonalità delle armoniche» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Ortogonalità delle armoniche»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Ortogonalità delle armoniche»?

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42 Definizione · Capitolo 4Com'è fatta la serie di Fourier di una sinusoide?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 10Appunti 03.pdf, pp. 2-4Formulario TDS.pdf, p. 8

Una sinusoide pura richiede soltanto le due righe alle frequenze opposte; una componente continua aggiunge la riga in zero.

Usando Eulero, \(A\cos(2\pi f_0t+\phi)=\tfrac{A}{2}e^{j\phi}e^{j2\pi f_0t}+\tfrac{A}{2}e^{-j\phi}e^{-j2\pi f_0t}\). La serie ha quindi due soli coefficienti non nulli, agli indici \(k=1\) e \(k=-1\), se \(f_0\) è la fondamentale scelta. Un eventuale offset costante aggiunge \(X_0\), cioè la riga continua.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Una sinusoide pura richiede soltanto le due righe alle frequenze opposte; una componente continua aggiunge la riga in zero.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Una sinusoide pura richiede soltanto le due righe alle frequenze opposte; una componente continua aggiunge la riga in zero.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Serie di Fourier di una sinusoide» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Serie di Fourier di una sinusoide»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Serie di Fourier di una sinusoide»?

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43 Definizione · Capitolo 4Come si interpreta \(x_p(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_ke^{j2\pi kf_0t}\)?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 10Appunti 03.pdf, pp. 5-7Formulario TDS.pdf, p. 5

È la formula di sintesi: il segnale è il limite delle somme parziali delle armoniche pesate.

L’espressione è la sintesi complessa della serie di Fourier. Ogni coefficiente \(X_k\) pesa l’armonica \(e^{j2\pi kf_0t}\); sommando tutte le armoniche si ricostruisce il segnale periodico nel senso di convergenza pertinente. Operativamente si considera la somma parziale da \(-N\) a \(N\) e si manda \(N\) all’infinito.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

È la formula di sintesi: il segnale è il limite delle somme parziali delle armoniche pesate.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È la formula di sintesi: il segnale è il limite delle somme parziali delle armoniche pesate.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Sintesi mediante serie di Fourier» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Sintesi mediante serie di Fourier»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Sintesi mediante serie di Fourier»?

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44 Definizione · Capitolo 4Che differenza c'è tra convergenza uniforme, puntuale e in media quadratica?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 10Appunti 03.pdf, pp. 6-8

Le tre nozioni controllano rispettivamente l'errore massimo, il valore in ogni punto e l'energia media dell'errore.

La convergenza uniforme richiede che il massimo dell’errore tenda a zero e si associa a condizioni forti, come la continuità regolare del segnale. La convergenza puntuale riguarda ogni istante: sotto le condizioni di Dirichlet, in un salto la serie converge alla semisomma dei limiti laterali. La convergenza in media quadratica richiede che l’integrale su un periodo di \(|x(t)-x_N(t)|^2\) tenda a zero, anche se l’errore puntuale non sparisce ovunque.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Le tre nozioni controllano rispettivamente l’errore massimo, il valore in ogni punto e l’energia media dell’errore.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Le tre nozioni controllano rispettivamente l'errore massimo, il valore in ogni punto e l'energia media dell'errore.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Convergenza della serie di Fourier» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Convergenza della serie di Fourier»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Convergenza della serie di Fourier»?

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45 Definizione · Capitolo 4Come cambia la serie di Fourier per segnali pari o dispari?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 10Appunti 03.pdf, pp. 8-10Formulario TDS.pdf, p. 6

Un segnale reale pari usa soli coseni e coefficienti reali; uno reale dispari usa soli seni e coefficienti immaginari puri.

Se \(x(t)\) è reale e pari, \(X_{-k}=X_k\) e i coefficienti risultano reali: la forma trigonometrica contiene soltanto coseni. Se \(x(t)\) è reale e dispari, \(X_{-k}=-X_k\) e i coefficienti sono immaginari puri: compaiono soltanto seni e la componente continua è nulla. La simmetria del segnale riduce quindi il numero di integrali da calcolare.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Un segnale reale pari usa soli coseni e coefficienti reali; uno reale dispari usa soli seni e coefficienti immaginari puri.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Un segnale reale pari usa soli coseni e coefficienti reali; uno reale dispari usa soli seni e coefficienti immaginari puri.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Parità nella serie di Fourier» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Parità nella serie di Fourier»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Parità nella serie di Fourier»?

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46 Definizione · Capitolo 4Come agiscono linearità, traslazione, ribaltamento e derivazione sui coefficienti di Fourier?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 10Appunti 03.pdf, pp. 16-22Formulario TDS.pdf, p. 6

Le operazioni nel tempo diventano combinazioni lineari, fattori di fase, inversione dell'indice e moltiplicazione per la frequenza armonica.

La linearità dà \(a x+b y\leftrightarrow aX_k+bY_k\). La traslazione \(x(t-t_0)\) moltiplica \(X_k\) per \(e^{-j2\pi kf_0t_0}\); il ribaltamento \(x(-t)\) sostituisce \(X_k\) con \(X_{-k}\). La derivazione moltiplica il coefficiente per \(j2\pi kf_0\), annulla la componente continua e pesa maggiormente le armoniche alte.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Le operazioni nel tempo diventano combinazioni lineari, fattori di fase, inversione dell’indice e moltiplicazione per la frequenza armonica.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Le operazioni nel tempo diventano combinazioni lineari, fattori di fase, inversione dell'indice e moltiplicazione per la frequenza armonica.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Proprietà della serie di Fourier» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Proprietà della serie di Fourier»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Proprietà della serie di Fourier»?

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64 Definizione · Capitolo 4Che cosa cambia nella serie di Fourier per un segnale periodico discreto?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 13Appunti 03.pdf, pp. 23-31Formulario TDS.pdf, p. 5

In un periodo di \(N_0\) campioni esistono soltanto \(N_0\) armoniche distinte.

Per un segnale discreto periodico di periodo \(N_0\), gli esponenziali con indici separati di \(N_0\) coincidono. Di conseguenza bastano \(N_0\) coefficienti, scelti su un qualunque periodo dell’indice armonico. Anche i coefficienti sono periodici in \(k\) con periodo \(N_0\), diversamente dalla serie continua che richiede in generale infinite armoniche distinte.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

In un periodo di \(N_0\) campioni esistono soltanto \(N_0\) armoniche distinte.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: In un periodo di \(N_0\) campioni esistono soltanto \(N_0\) armoniche distinte.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(N_0\): periodo fondamentale espresso in campioni

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Serie di Fourier nel discreto» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Serie di Fourier nel discreto»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Serie di Fourier nel discreto»?

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65 Definizione · Capitolo 4Quali sono le formule di analisi e sintesi della serie di Fourier nel continuo e nel discreto?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 13Appunti 03.pdf, pp. 5-6 e 23-31Formulario TDS.pdf, p. 5

Nel continuo l'analisi integra su un periodo e la sintesi somma infinite armoniche; nel discreto entrambe usano \(N_0\) termini.

Nel continuo \(X_k=T_0^{-1}\int_{T_0}x(t)e^{-j2\pi k t/T_0}\,\mathrm{d}t\) e \(x(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}X_ke^{j2\pi k t/T_0}\). Nel discreto \(X_k=N_0^{-1}\sum_{n=0}^{N_0-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N_0}\) e \(x[n]=\sum_{k=0}^{N_0-1}X_ke^{j2\pi kn/N_0}\). La differenza strutturale è quindi integrale contro somma e insieme infinito contro insieme finito di armoniche distinte.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Nel continuo l’analisi integra su un periodo e la sintesi somma infinite armoniche; nel discreto entrambe usano \(N_0\) termini.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Nel continuo l'analisi integra su un periodo e la sintesi somma infinite armoniche; nel discreto entrambe usano \(N_0\) termini.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(N_0\): periodo fondamentale espresso in campioni
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Analisi e sintesi delle serie continua e discreta» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Analisi e sintesi delle serie continua e discreta»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Analisi e sintesi delle serie continua e discreta»?

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19 Osservazione · Capitolo 4Perché si usano i fasori?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 03.pdf, pp. 1-4

Offrono una scrittura compatta di ampiezza e fase; non implicano che la grandezza fisica osservata debba essere complessa.

Il fasore raccoglie modulo e fase in un unico numero complesso e rende immediate molte operazioni su sinusoidi e sistemi LTI. La grandezza fisica può restare reale: si prende la parte reale della rappresentazione complessa quando necessario. L’uso dei complessi è dunque uno strumento di calcolo, non una dichiarazione sulla natura fisica del segnale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Offrono una scrittura compatta di ampiezza e fase; non implicano che la grandezza fisica osservata debba essere complessa.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Offrono una scrittura compatta di ampiezza e fase; non implicano che la grandezza fisica osservata debba essere complessa.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Ruolo dei fasori» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Ruolo dei fasori»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Ruolo dei fasori»?

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20 Osservazione · Capitolo 4Perché nella serie trigonometrica compaiono sia coseni sia seni?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 03.pdf, pp. 3-10

Ogni armonica reale richiede in generale due componenti in quadratura, equivalenti a una coppia di esponenziali complessi.

La forma trigonometrica generale usa, per ogni armonica, un coefficiente del coseno e uno del seno. Le due componenti descrivono ampiezza e fase arbitrarie della stessa frequenza e sono equivalenti alla coppia di coefficienti complessi agli indici opposti. Solo particolari simmetrie eliminano una famiglia: un segnale pari usa coseni, uno dispari usa seni.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Ogni armonica reale richiede in generale due componenti in quadratura, equivalenti a una coppia di esponenziali complessi.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Ogni armonica reale richiede in generale due componenti in quadratura, equivalenti a una coppia di esponenziali complessi.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Coseni e seni nella serie» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Coseni e seni nella serie»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Coseni e seni nella serie»?

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23 Osservazione · Capitolo 4Com'è fatto lo spettro di un segnale periodico?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 16Appunti 03.pdf, pp. 1-6Appunti 04.pdf, pp. 20-24

È formato da righe alle frequenze armoniche, distanziate della fondamentale \(f_0\).

Un segnale periodico di periodo \(T_0\) ha componenti soltanto alle frequenze \(k f_0\), con \(f_0=1/T_0\). La trasformata nel senso generalizzato è quindi una somma di delta pesate dai coefficienti \(X_k\). La distanza tra righe adiacenti è \(f_0\); ampiezza e fase di ciascuna riga dipendono dal generatore.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

È formato da righe alle frequenze armoniche, distanziate della fondamentale \(f_0\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È formato da righe alle frequenze armoniche, distanziate della fondamentale \(f_0\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Spettro a righe dei segnali periodici» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Spettro a righe dei segnali periodici»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Spettro a righe dei segnali periodici»?

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Capitolo 5

Trasformata di Fourier

Trasformate notevoli, proprietà, dualità, modulazione e formule di Poisson.

47 Definizione · Capitolo 5Perché si introduce la trasformata di Fourier?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 10Appunti 04.pdf, pp. 1-4Formulario TDS.pdf, p. 5

Estende l'analisi armonica dai segnali periodici agli aperiodici facendo tendere il periodo all'infinito.

La serie di Fourier produce uno spettro a righe per segnali periodici. Facendo tendere \(T_0\) all’infinito, la distanza \(f_0=1/T_0\) tra le righe tende a zero e nasce uno spettro continuo. La trasformata di Fourier è quindi l’estensione usata nel corso per rappresentare in frequenza i segnali aperiodici.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Estende l’analisi armonica dai segnali periodici agli aperiodici facendo tendere il periodo all’infinito.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Estende l'analisi armonica dai segnali periodici agli aperiodici facendo tendere il periodo all'infinito.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Introduzione alla trasformata di Fourier» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Introduzione alla trasformata di Fourier»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Introduzione alla trasformata di Fourier»?

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48 Definizione · Capitolo 5Quali sono le formule di analisi e sintesi della trasformata di Fourier?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 10Appunti 04.pdf, pp. 1-5Formulario TDS.pdf, p. 5

L'analisi proietta il segnale sulle frequenze, la sintesi integra tutte le componenti per ricostruirlo.

Con la convenzione in hertz, l’analisi è \(X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm{d}t\). La sintesi è \(x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\,\mathrm{d}f\). I segni degli esponenti e il fattore \(2\pi\) devono essere coerenti tra le due formule; \(X(f)\) è in generale complessa.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

L’analisi proietta il segnale sulle frequenze, la sintesi integra tutte le componenti per ricostruirlo.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: L'analisi proietta il segnale sulle frequenze, la sintesi integra tutte le componenti per ricostruirlo.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(X(f)\): trasformata di Fourier del segnale \(x(t)\)
\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Analisi e sintesi di Fourier» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Analisi e sintesi di Fourier»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Analisi e sintesi di Fourier»?

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49 Definizione · Capitolo 5Quali proprietà operative della trasformata di Fourier sono richieste?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 11Appunti 04.pdf, pp. 8-20Formulario TDS.pdf, p. 6

Simmetrie e operazioni temporali si traducono in precise trasformazioni dello spettro.

Per segnali reali vale \(X(-f)=X^{*}(f)\); parità e disparità nel tempo rendono lo spettro rispettivamente reale o immaginario puro. Inoltre \(X(0)=\int x(t)\,\mathrm{d}t\). La trasformata è lineare; traslazione, scala e ribaltamento producono rispettivamente un fattore di fase, \( |a|^{-1}X(f/a)\) e \(X(-f)\). Derivazione, convoluzione e modulazione diventano \(j2\pi fX(f)\), prodotto in frequenza e traslazione dello spettro. Gli appunti includono anche dualità e integrazione generalizzata.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Simmetrie e operazioni temporali si traducono in precise trasformazioni dello spettro.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Simmetrie e operazioni temporali si traducono in precise trasformazioni dello spettro.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Proprietà della trasformata di Fourier» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Proprietà della trasformata di Fourier»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Proprietà della trasformata di Fourier»?

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50 Definizione · Capitolo 5Come si ricavano modulo e fase da \(z=x+jy\)?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 11Appunti 03.pdf, pp. 1-4Formulario TDS.pdf, p. 1

Il modulo è la distanza dall'origine; la fase va calcolata tenendo conto del quadrante.

Per \(z=x+jy\), il modulo è \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\). La fase è l’angolo del vettore \((x,y)\): la formula \(\arctan(y/x)\) da sola non distingue correttamente tutti i quadranti, quindi si usa concettualmente \(\operatorname{atan2}(y,x)\). Se \(z=0\), la fase non è definita.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Il modulo è la distanza dall’origine; la fase va calcolata tenendo conto del quadrante.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il modulo è la distanza dall'origine; la fase va calcolata tenendo conto del quadrante.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Usare \(\arctan(y/x)\) senza correggere il quadrante.

Come raddrizzare il ragionamento

Ragiona sui segni di \(x\) e \(y\), oppure usa \(\operatorname{atan2}(y,x)\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Modulo e fase di un numero complesso»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Modulo e fase di un numero complesso»?

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51 Definizione · Capitolo 5Che cosa afferma la prima formula di Poisson?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 11Appunti 04.pdf, pp. 20-24Formulario TDS.pdf, pp. 7-8

La periodizzazione nel tempo genera uno spettro a righe i cui coefficienti sono campioni della trasformata del generatore.

Se \(x_p(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}x(t-nT_0)\), il segnale ottenuto è periodico di periodo \(T_0\). I suoi coefficienti di Fourier sono \(X_k=T_0^{-1}X(k/T_0)\), dove \(X(f)\) è la trasformata dell’impulso generatore \(x(t)\). Quindi la periodicità nel tempo corrisponde al campionamento dello spettro con passo \(f_0=1/T_0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

La periodizzazione nel tempo genera uno spettro a righe i cui coefficienti sono campioni della trasformata del generatore.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La periodizzazione nel tempo genera uno spettro a righe i cui coefficienti sono campioni della trasformata del generatore.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Prima formula di Poisson» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Prima formula di Poisson»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Prima formula di Poisson»?

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52 Definizione · Capitolo 5Che cosa afferma la seconda formula di Poisson?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 11Appunti 06.pdf, pp. 3-5Formulario TDS.pdf, p. 7

Il campionamento ideale nel tempo replica periodicamente lo spettro con passo uguale alla frequenza di campionamento.

Campionando \(x(t)\) mediante un treno di delta di passo \(T\), si ottiene \(x_\delta(t)=x(t)\sum_n\delta(t-nT)\). In frequenza risulta \(X_\delta(f)=T^{-1}\sum_{k\in\mathbb{Z}}X(f-k/T)\). Lo spettro originario viene dunque replicato ogni \(f_s=1/T\) e scalato di \(1/T\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Il campionamento ideale nel tempo replica periodicamente lo spettro con passo uguale alla frequenza di campionamento.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il campionamento ideale nel tempo replica periodicamente lo spettro con passo uguale alla frequenza di campionamento.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Seconda formula di Poisson» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Seconda formula di Poisson»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Seconda formula di Poisson»?

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66 Definizione · Capitolo 5Come si ottiene e come si scrive la trasformata di Fourier di una sequenza?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 13Appunti 04.pdf, pp. 25-28Formulario TDS.pdf, p. 5

Mandando il periodo discreto all'infinito si ottiene un'analisi mediante somma e una sintesi su un intervallo unitario di frequenza.

La trasformata a tempo discreto è \(X(\nu)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j2\pi\nu n}\). La sequenza si ricostruisce con \(x[n]=\int_{-1/2}^{1/2}X(\nu)e^{j2\pi\nu n}\,\mathrm{d}\nu\), oppure su qualunque intervallo di lunghezza \(1\). La variabile \(\nu\) è una frequenza normalizzata e lo spettro è periodico.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Mandando il periodo discreto all’infinito si ottiene un’analisi mediante somma e una sintesi su un intervallo unitario di frequenza.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Mandando il periodo discreto all'infinito si ottiene un'analisi mediante somma e una sintesi su un intervallo unitario di frequenza.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Trasformata di Fourier a tempo discreto» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Trasformata di Fourier a tempo discreto»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Trasformata di Fourier a tempo discreto»?

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67 Definizione · Capitolo 5Perché \(X(\nu)\) è periodica di periodo \(1\)?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 14Appunti 04.pdf, pp. 25-28Formulario TDS.pdf, p. 5

Le frequenze \(\nu\) e \(\nu+1\) generano la stessa sequenza esponenziale sugli indici interi.

Per ogni \(n\in\mathbb{Z}\), \(e^{j2\pi(\nu+1)n}=e^{j2\pi\nu n}e^{j2\pi n}=e^{j2\pi\nu n}\). Sostituendo \(\nu+1\) nella formula di analisi si ottiene quindi lo stesso valore: \(X(\nu+1)=X(\nu)\). La periodicità non dipende dalla sequenza specifica, ma dalla natura intera dell’indice temporale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Le frequenze \(\nu\) e \(\nu+1\) generano la stessa sequenza esponenziale sugli indici interi.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Le frequenze \(\nu\) e \(\nu+1\) generano la stessa sequenza esponenziale sugli indici interi.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Periodicità della trasformata discreta» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Periodicità della trasformata discreta»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Periodicità della trasformata discreta»?

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68 Definizione · Capitolo 5Dove si trovano basse e alte frequenze nella trasformata discreta?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 14Appunti 04.pdf, pp. 25-33Appunti 05.pdf, pp. 11-14

Nell'intervallo fondamentale \((-1/2,1/2)\), le basse frequenze sono vicine a \(0\) e le alte vicine a \(\pm1/2\).

Poiché lo spettro discreto è periodico di periodo \(1\), si osserva un intervallo fondamentale, per esempio \((-1/2,1/2)\). Le componenti lente sono vicine a \(\nu=0\); la massima oscillazione distinta è presso \(\nu=\pm1/2\), dove la sequenza alterna segno. Queste due estremità rappresentano la stessa frequenza per periodicità.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Nell’intervallo fondamentale \((-1/2,1/2)\), le basse frequenze sono vicine a \(0\) e le alte vicine a \(\pm1/2\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Nell'intervallo fondamentale \((-1/2,1/2)\), le basse frequenze sono vicine a \(0\) e le alte vicine a \(\pm1/2\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Basse e alte frequenze nel discreto» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Basse e alte frequenze nel discreto»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Basse e alte frequenze nel discreto»?

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70 Definizione · Capitolo 5Che effetto ha moltiplicare una sequenza per \((-1)^n\)?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 14Appunti 04.pdf, pp. 33-34Appunti 05.pdf, pp. 11-14

Produce una traslazione spettrale di \(1/2\) e scambia il comportamento passa-basso con quello passa-alto.

Poiché \((-1)^n=e^{j2\pi(1/2)n}\), la moltiplicazione \(y[n]=(-1)^nx[n]\) sposta la trasformata: \(Y(\nu)=X(\nu-1/2)\). A causa della periodicità unitaria, la zona intorno a \(0\) si porta intorno a \(\pm1/2\). Per questo la modulazione alternata converte una forma passa-basso nella corrispondente passa-alto, e viceversa.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Produce una traslazione spettrale di \(1/2\) e scambia il comportamento passa-basso con quello passa-alto.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Produce una traslazione spettrale di \(1/2\) e scambia il comportamento passa-basso con quello passa-alto.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Modulazione mediante sequenza alternata» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Modulazione mediante sequenza alternata»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Modulazione mediante sequenza alternata»?

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71 Definizione · Capitolo 5Qual è l'effetto in frequenza dell'espansione nel discreto?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 14Appunti 04.pdf, pp. 34-38

L'inserimento di campioni nulli comprime lo spettro e genera più repliche nel periodo fondamentale.

Nell’espansione di fattore intero \(M\), \(y[n]=x[n/M]\) per \(n\in M\mathbb{Z}\) e \(y[n]=0\) altrimenti. La trasformata è \(Y(\nu)=X(M\nu)\): l’asse frequenziale viene compresso di \(M\). Poiché \(X\) è periodica, nell’intervallo di lunghezza \(1\) compaiono \(M\) repliche; l’interpolazione successiva serve a selezionare quella desiderata.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

L’inserimento di campioni nulli comprime lo spettro e genera più repliche nel periodo fondamentale.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: L'inserimento di campioni nulli comprime lo spettro e genera più repliche nel periodo fondamentale.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Espansione discreta e spettro» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Espansione discreta e spettro»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Espansione discreta e spettro»?

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18 Osservazione · Capitolo 5Che cosa descrivono qualitativamente basse e alte frequenze?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 15Appunti 04.pdf, pp. 11-13

Le basse frequenze seguono l'andamento lento; le alte frequenze rappresentano variazioni rapide e bordi.

Le componenti a bassa frequenza cambiano lentamente e descrivono l’andamento generale del segnale. Le componenti ad alta frequenza oscillano rapidamente e sono importanti per rappresentare transizioni nette, dettagli e bordi. È una lettura qualitativa coerente con il fatto che la derivazione moltiplica lo spettro per \(j2\pi f\) e quindi pesa maggiormente le frequenze alte.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Le basse frequenze seguono l’andamento lento; le alte frequenze rappresentano variazioni rapide e bordi.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Le basse frequenze seguono l'andamento lento; le alte frequenze rappresentano variazioni rapide e bordi.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Interpretazione qualitativa delle frequenze» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Interpretazione qualitativa delle frequenze»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Interpretazione qualitativa delle frequenze»?

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21 Osservazione · Capitolo 5Perché lo spettro di una triangolare decresce più velocemente di quello di un rettangolo?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 16Appunti 04.pdf, pp. 5-10 e 14-16Formulario TDS.pdf, pp. 6-8

La maggiore regolarità temporale porta a uno spettro proporzionale a una sinc al quadrato.

Un impulso triangolare può essere ottenuto dalla convoluzione di due rettangoli. Per la proprietà della trasformata, la convoluzione nel tempo diventa prodotto in frequenza: il suo spettro contiene quindi \(\operatorname{sinc}^2\), mentre quello del rettangolo contiene una sola \(\operatorname{sinc}\). La triangolare è continua e presenta una discontinuità di ordine più alto; per questo le alte frequenze decadono più rapidamente.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

La maggiore regolarità temporale porta a uno spettro proporzionale a una sinc al quadrato.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La maggiore regolarità temporale porta a uno spettro proporzionale a una sinc al quadrato.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Decadimento dello spettro triangolare» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Decadimento dello spettro triangolare»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Decadimento dello spettro triangolare»?

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22 Osservazione · Capitolo 5Qual è l'effetto spettrale della derivazione?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 16Appunti 04.pdf, pp. 11-13Formulario TDS.pdf, p. 6

Il fattore \(j2\pi f\) annulla la componente continua e amplifica relativamente le frequenze alte.

La proprietà è \(\mathrm{d}x(t)/\mathrm{d}t\longleftrightarrow j2\pi fX(f)\). In \(f=0\) il fattore è nullo, quindi la componente continua scompare. Il suo modulo cresce linearmente con \(|f|\), perciò le componenti alte vengono pesate più di quelle basse; ciò spiega l’enfasi sui bordi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Il fattore \(j2\pi f\) annulla la componente continua e amplifica relativamente le frequenze alte.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il fattore \(j2\pi f\) annulla la componente continua e amplifica relativamente le frequenze alte.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(X(f)\): trasformata di Fourier del segnale \(x(t)\)
\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Derivazione e frequenze alte» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Derivazione e frequenze alte»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Derivazione e frequenze alte»?

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Capitolo 6

Sistemi LTI nel dominio della frequenza

Risposta armonica, filtri ideali e reali, distorsione e densità spettrali.

54 Definizione · Capitolo 6Che cos'è la risposta armonica e a che cosa serve?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 12Appunti 05.pdf, pp. 1-3Formulario TDS.pdf, p. 5

È la trasformata della risposta impulsiva e consente di ottenere l'uscita moltiplicando lo spettro d'ingresso.

Per un sistema LTI la risposta armonica è \(H(f)=\mathcal{F}\{h(t)\}\). Poiché \(y=x*h\), in frequenza vale \(Y(f)=X(f)H(f)\). Essa descrive come ogni componente sinusoidale viene amplificata o attenuata e sfasata; dopo il prodotto, l’uscita temporale si recupera con la trasformata inversa.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

È la trasformata della risposta impulsiva e consente di ottenere l’uscita moltiplicando lo spettro d’ingresso.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È la trasformata della risposta impulsiva e consente di ottenere l'uscita moltiplicando lo spettro d'ingresso.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(H(f)\): risposta armonica del sistema alla frequenza \(f\)
\(X(f)\): trasformata di Fourier del segnale \(x(t)\)
\(Y(f)\): trasformata di Fourier dell'uscita \(y(t)\)
\(h(t)\): risposta impulsiva continua del sistema LTI

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Risposta armonica» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Risposta armonica»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Risposta armonica»?

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55 Definizione · Capitolo 6Come si ottengono modulo e fase dell'uscita di un sistema LTI?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 12Appunti 05.pdf, pp. 1-3Formulario TDS.pdf, p. 5

Il modulo dell'uscita è il prodotto dei moduli; la fase è la somma delle fasi.

Dalla relazione \(Y(f)=X(f)H(f)\) segue \(|Y(f)|=|X(f)|\,|H(f)|\). Per gli argomenti complessi vale \(\arg Y(f)=\arg X(f)+\arg H(f)\), modulo multipli di \(2\pi\). Il sistema modifica quindi separatamente ampiezza e fase di ogni frequenza, ma entrambe concorrono alla forma temporale dell’uscita.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Il modulo dell’uscita è il prodotto dei moduli; la fase è la somma delle fasi.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il modulo dell'uscita è il prodotto dei moduli; la fase è la somma delle fasi.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(H(f)\): risposta armonica del sistema alla frequenza \(f\)
\(X(f)\): trasformata di Fourier del segnale \(x(t)\)
\(Y(f)\): trasformata di Fourier dell'uscita \(y(t)\)

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Modulo e fase dell’uscita filtrata» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Modulo e fase dell'uscita filtrata»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Modulo e fase dell'uscita filtrata»?

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56 Definizione · Capitolo 6Perché questi sistemi si chiamano filtri?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 12Appunti 05.pdf, pp. 2-6

Selezionano le componenti in frequenza, lasciandone passare alcune e attenuandone altre.

Un filtro è un sistema la cui risposta armonica agisce selettivamente sulle frequenze. Le zone in cui \(|H(f)|\) è grande costituiscono la banda passante; quelle in cui è piccolo o nullo costituiscono la banda attenuata. Il filtraggio può quindi separare segnale e disturbo oppure evidenziare particolari variazioni, senza introdurre argomenti oltre quelli trattati negli appunti.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Selezionano le componenti in frequenza, lasciandone passare alcune e attenuandone altre.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Selezionano le componenti in frequenza, lasciandone passare alcune e attenuandone altre.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Significato del filtraggio» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Significato del filtraggio»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Significato del filtraggio»?

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57 Definizione · Capitolo 6Quali tipi di filtro sono elencati nel corso?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 12Appunti 05.pdf, pp. 2-6

Sono passa-basso, passa-alto, passa-banda, elimina-banda, a pettine e passa-tutto.

Il passa-basso lascia le frequenze vicine a zero; il passa-alto attenua la zona vicina alla continua. Il passa-banda seleziona una banda, mentre l’elimina-banda o notch la sopprime. Il comb filter presenta bande passanti e attenuate ripetute; l’all-pass ha modulo costante e interviene sulla fase. Sono le tipologie nominate nella sezione della docente.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Sono passa-basso, passa-alto, passa-banda, elimina-banda, a pettine e passa-tutto.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Sono passa-basso, passa-alto, passa-banda, elimina-banda, a pettine e passa-tutto.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Tipi di filtro» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Tipi di filtro»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Tipi di filtro»?

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58 Definizione · Capitolo 6Quali sono le forme ideali e le risposte impulsive di passa-basso, passa-alto, passa-banda ed elimina-banda?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 12Appunti 05.pdf, pp. 3-6Formulario TDS.pdf, pp. 7-8

Finestre rettangolari in frequenza corrispondono a sinc nel tempo; i complementi introducono una delta.

Con la sinc normalizzata, \(H_{\mathrm{LP}}(f)=\Pi(f/(2B))\) corrisponde a \(h_{\mathrm{LP}}(t)=2B\,\operatorname{sinc}(2Bt)\). Il passa-alto ideale è il complemento e ha \(h_{\mathrm{HP}}(t)=\delta(t)-2B\,\operatorname{sinc}(2Bt)\). Due finestre di larghezza \(B\) centrate in \(\pm f_0\) producono \(h_{\mathrm{BP}}(t)=B\,\operatorname{sinc}(Bt)\cos(2\pi f_0t)\); l’elimina-banda ha risposta \(\delta(t)-h_{\mathrm{BP}}(t)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Finestre rettangolari in frequenza corrispondono a sinc nel tempo; i complementi introducono una delta.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Finestre rettangolari in frequenza corrispondono a sinc nel tempo; i complementi introducono una delta.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto

Errore che sembra innocuo

Confondere la larghezza totale della finestra con il parametro usato nell’argomento della sinc.

Come raddrizzare il ragionamento

Leggi prima gli estremi della banda e applica la coppia rettangolo-sinc con la normalizzazione adottata negli appunti.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Filtri ideali e risposte impulsive»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Filtri ideali e risposte impulsive»?

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59 Definizione · Capitolo 6Che cosa accade a un fasore, una sinusoide o un segnale periodico in ingresso a un sistema LTI?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 12Appunti 05.pdf, pp. 15-20Formulario TDS.pdf, p. 5

Ogni armonica mantiene la propria frequenza e viene soltanto scalata e sfasata dalla risposta del sistema a quella frequenza.

Un fasore \(e^{j2\pi f_0t}\) è autofunzione di un LTI: in uscita compare \(H(f_0)e^{j2\pi f_0t}\). Una sinusoide reale mantiene la frequenza, ma ampiezza e fase cambiano secondo \(H(\pm f_0)\). Per un segnale periodico ogni armonica \(k\) viene moltiplicata per \(H(kf_0)\). Nel discreto il principio è analogo, tenendo conto della periodicità in frequenza e del numero finito di armoniche distinte per periodo.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Ogni armonica mantiene la propria frequenza e viene soltanto scalata e sfasata dalla risposta del sistema a quella frequenza.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Ogni armonica mantiene la propria frequenza e viene soltanto scalata e sfasata dalla risposta del sistema a quella frequenza.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Ingressi armonici e periodici nei sistemi LTI» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Ingressi armonici e periodici nei sistemi LTI»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Ingressi armonici e periodici nei sistemi LTI»?

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60 Definizione · Capitolo 6Come si caratterizzano i filtri RC e CR e qual è la loro frequenza di taglio?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 13Appunti 05.pdf, pp. 6-10Formulario TDS.pdf, p. 9

L'RC è passa-basso, il CR passa-alto; entrambi hanno taglio \(f_T=1/(2\pi RC)\).

Il circuito RC considerato è passa-basso con \(H_{\mathrm{RC}}(f)=1/(1+j2\pi fRC)\). Il circuito CR è passa-alto con \(H_{\mathrm{CR}}(f)=j2\pi fRC/(1+j2\pi fRC)\). La frequenza di taglio è \(f_T=1/(2\pi RC)\); in quel punto il modulo rispetto al valore di banda passante è \(1/\sqrt{2}\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

L’RC è passa-basso, il CR passa-alto; entrambi hanno taglio \(f_T=1/(2\pi RC)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: L'RC è passa-basso, il CR passa-alto; entrambi hanno taglio \(f_T=1/(2\pi RC)\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Filtri RC e CR» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Filtri RC e CR»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Filtri RC e CR»?

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61 Definizione · Capitolo 6Come si definisce la scala in decibel per il modulo e perché è utile?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 13Appunti 05.pdf, pp. 7-10Formulario TDS.pdf, p. 9

Il logaritmo comprime grandi dinamiche e trasforma rapporti moltiplicativi in differenze additive.

Per un rapporto di ampiezze si usa \(20\log_{10}(|H(f)|/|H(f_0)|)\,\mathrm{dB}\). La forma equivalente sui rapporti di potenza usa \(10\log_{10}\) del rapporto dei moduli quadri. La scala logaritmica rende leggibili variazioni di molti ordini di grandezza e semplifica il confronto tra guadagni e attenuazioni.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Il logaritmo comprime grandi dinamiche e trasforma rapporti moltiplicativi in differenze additive.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il logaritmo comprime grandi dinamiche e trasforma rapporti moltiplicativi in differenze additive.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(H(f)\): risposta armonica del sistema alla frequenza \(f\)
\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Scala in decibel» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Scala in decibel»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Scala in decibel»?

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62 Definizione · Capitolo 6Quanti decibel si perdono alla frequenza di taglio \(f_T\)?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 13Appunti 05.pdf, pp. 7-10Formulario TDS.pdf, p. 9

Il rapporto \(1/\sqrt{2}\) corrisponde a circa \(-3\,\mathrm{dB}\).

Alla frequenza di taglio il modulo normalizzato vale \(1/\sqrt{2}\). Pertanto \(20\log_{10}(1/\sqrt{2})\approx-3.01\,\mathrm{dB}\), indicato usualmente come \(-3\,\mathrm{dB}\). In termini di potenza il modulo quadro è \(1/2\): la potenza è dimezzata rispetto al valore di riferimento.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Il rapporto \(1/\sqrt{2}\) corrisponde a circa \(-3\,\mathrm{dB}\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il rapporto \(1/\sqrt{2}\) corrisponde a circa \(-3\,\mathrm{dB}\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Attenuazione alla frequenza di taglio» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Attenuazione alla frequenza di taglio»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Attenuazione alla frequenza di taglio»?

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63 Definizione · Capitolo 6Quali modi si usano per definire la banda di un segnale praticamente limitato?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 13Appunti 05.pdf, pp. 8-10 e 25-27

La banda può essere misurata tra zeri, tramite una frazione di energia oppure mediante la soglia a \(-3\,\mathrm{dB}\).

Gli appunti distinguono tre criteri. La banda nullo-nullo è delimitata dai primi zeri significativi dello spettro; la banda energetica è scelta affinché un intervallo contenga una quota fissata dell’energia, per esempio \(\int_{-B}^{B}|X(f)|^2\,\mathrm{d}f=0.9E_x\); la banda a \(3\,\mathrm{dB}\) usa i punti in cui il modulo è sceso di \(3\,\mathrm{dB}\). I tre numeri non sono in generale uguali, quindi il criterio deve essere dichiarato.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

La banda può essere misurata tra zeri, tramite una frazione di energia oppure mediante la soglia a \(-3\,\mathrm{dB}\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La banda può essere misurata tra zeri, tramite una frazione di energia oppure mediante la soglia a \(-3\,\mathrm{dB}\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(E_x\): energia totale del segnale
\(X(f)\): trasformata di Fourier del segnale \(x(t)\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Dare un valore di banda senza specificare il criterio usato.

Come raddrizzare il ragionamento

Nomina sempre il criterio: nullo-nullo, frazione di energia oppure soglia in decibel.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Definizioni operative di banda»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Definizioni operative di banda»?

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69 Definizione · Capitolo 6Come si vede rapidamente che un filtro discreto non è passa-basso?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 14Appunti 05.pdf, pp. 11-14Formulario TDS.pdf, p. 5

Se \(H(0)=0\), il filtro annulla la componente continua e non può essere passa-basso.

La frequenza \(\nu=0\) rappresenta la componente costante. Se \(H(0)=0\), un ingresso costante viene annullato, quindi il sistema non presenta il comportamento passa-basso descritto negli appunti. Inoltre \(H(0)=\sum_n h[n]\): il test equivale a controllare la somma della risposta impulsiva.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Se \(H(0)=0\), il filtro annulla la componente continua e non può essere passa-basso.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Se \(H(0)=0\), il filtro annulla la componente continua e non può essere passa-basso.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(h[n]\): risposta impulsiva discreta del sistema LTI
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Classificare il filtro dalla sola forma di \(h[n]\) senza controllare \(H(0)\).

Come raddrizzare il ragionamento

Valuta prima \(H(0)\): se è nullo, la continua non passa.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Test della componente continua»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Test della componente continua»?

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72 Definizione · Capitolo 6Che tipo di filtri sono differenza prima e media aritmetica, e quale legame hanno?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 14Appunti 04.pdf, pp. 39-42Appunti 05.pdf, pp. 11-14

La differenza prima è passa-alto, la media è passa-basso; per due campioni le risposte si ottengono tramite uno shift spettrale di \(1/2\).

La differenza \(y_{\mathrm{D}}[n]=x[n]-x[n-1]\) annulla la continua ed evidenzia variazioni, quindi è passa-alto. La media \(y_{\mathrm{M}}[n]=\tfrac12(x[n]+x[n-1])\) attenua le alternanze rapide e produce smoothing, quindi è passa-basso. Le rispettive risposte impulsive a due campioni differiscono per il fattore alternato \((-1)^n\), che in frequenza corrisponde a una traslazione di \(1/2\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

La differenza prima è passa-alto, la media è passa-basso; per due campioni le risposte si ottengono tramite uno shift spettrale di \(1/2\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La differenza prima è passa-alto, la media è passa-basso; per due campioni le risposte si ottengono tramite uno shift spettrale di \(1/2\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Differenza prima e media aritmetica» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Differenza prima e media aritmetica»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Differenza prima e media aritmetica»?

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73 Definizione · Capitolo 6Come si definisce la densità spettrale di energia?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 14Appunti 05.pdf, pp. 25-30Formulario TDS.pdf, p. 9

È il modulo quadro della trasformata e la sua area restituisce l'energia totale.

Per un segnale di energia la densità spettrale è \(\Phi_x(f)=|X(f)|^2\). Essa descrive come l’energia è distribuita sulle frequenze, non introduce una nuova energia. Per Parseval, \(\int_{-\infty}^{+\infty}\Phi_x(f)\,\mathrm{d}f=E_x\), uguale all’integrale di \(|x(t)|^2\) nel tempo.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

È il modulo quadro della trasformata e la sua area restituisce l’energia totale.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: È il modulo quadro della trasformata e la sua area restituisce l'energia totale.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(E_x\): energia totale del segnale
\(X(f)\): trasformata di Fourier del segnale \(x(t)\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Densità spettrale di energia» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Densità spettrale di energia»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Densità spettrale di energia»?

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74 Definizione · Capitolo 6Qual è il legame fondamentale tra autocorrelazione e densità spettrale di energia?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 14Appunti 05.pdf, pp. 25-30Formulario TDS.pdf, p. 9

La trasformata dell'autocorrelazione è il modulo quadro dello spettro; l'antitrasformata della densità restituisce l'autocorrelazione.

Per un segnale di energia vale la coppia \(R_x(\tau)\longleftrightarrow |X(f)|^2\). Il risultato si ottiene riconoscendo l’autocorrelazione come una convoluzione tra il segnale e la propria versione ribaltata e coniugata, quindi applicando la proprietà della convoluzione. Nel caso reale la relazione assume la forma riportata nelle domande della docente.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

La trasformata dell’autocorrelazione è il modulo quadro dello spettro; l’antitrasformata della densità restituisce l’autocorrelazione.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La trasformata dell'autocorrelazione è il modulo quadro dello spettro; l'antitrasformata della densità restituisce l'autocorrelazione.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(R_x\): autocorrelazione del segnale \(x\)
\(X(f)\): trasformata di Fourier del segnale \(x(t)\)
\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Legame tra autocorrelazione e densità spettrale» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Legame tra autocorrelazione e densità spettrale»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Legame tra autocorrelazione e densità spettrale»?

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24 Osservazione · Capitolo 6Come si elimina un disturbo sinusoidale stretto nello spettro utile?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 16Appunti 05.pdf, pp. 1-6

Si usa un elimina-banda stretto centrato sulla frequenza del disturbo, limitando la perdita di spettro utile.

Un disturbo sinusoidale produce righe concentrate in \(\pm f_d\). Se tali righe cadono all’interno della banda occupata dal segnale, un filtro passa-basso generale eliminerebbe anche contenuto utile. Gli appunti propongono quindi un notch, cioè un elimina-banda molto stretto, centrato su \(\pm f_d\), così da sopprimere il disturbo e modificare il meno possibile il resto.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Si usa un elimina-banda stretto centrato sulla frequenza del disturbo, limitando la perdita di spettro utile.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Si usa un elimina-banda stretto centrato sulla frequenza del disturbo, limitando la perdita di spettro utile.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Notch per un disturbo sinusoidale» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Notch per un disturbo sinusoidale»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Notch per un disturbo sinusoidale»?

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26 Osservazione · Capitolo 6Che cosa mostra la scala logaritmica e quale significato ha \(X(0)\)?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 16Appunti 04.pdf, pp. 4-13Appunti 05.pdf, pp. 7-10Formulario TDS.pdf, p. 9

La scala logaritmica rende leggibili grandi dinamiche; \(X(0)\) è l'area del segnale, ma non è sempre il massimo senza ulteriori ipotesi.

La rappresentazione in decibel comprime gli ordini di grandezza e rende visibili insieme componenti forti e deboli. Dalla definizione \(X(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,\mathrm{d}t\), quindi la continua coincide con l’area algebrica del segnale. Per segnali reali non negativi vale \(|X(f)|\leq X(0)\), e il massimo del modulo è in \(0\); per un segnale generico con cambi di segno questa conclusione non è automatica.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

La scala logaritmica rende leggibili grandi dinamiche; \(X(0)\) è l’area del segnale, ma non è sempre il massimo senza ulteriori ipotesi.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La scala logaritmica rende leggibili grandi dinamiche; \(X(0)\) è l'area del segnale, ma non è sempre il massimo senza ulteriori ipotesi.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Affermare che \(X(0)\) è sempre il massimo dello spettro soltanto perché è l’area.

Come raddrizzare il ragionamento

Il massimo in \(0\) segue, per esempio, se \(x(t)\geq0\); senza questa ipotesi limita la risposta a \(X(0)=\int x(t)\,\mathrm{d}t\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Scala logaritmica e valore in continua»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Scala logaritmica e valore in continua»?

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Capitolo 7

Campionamento e conversione

Nyquist, aliasing, ricostruzione, quantizzazione, ADC e DAC.

53 Definizione · Capitolo 7Qual è il vincolo di Nyquist per evitare aliasing?

DefinizioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 12Appunti 06.pdf, pp. 4-7Formulario TDS.pdf, p. 7

La frequenza di campionamento deve essere almeno doppia della massima frequenza presente nel segnale a banda limitata.

Se \(X(f)=0\) per \(|f|>B\), le repliche generate dal campionamento non si sovrappongono quando \(f_s\geq2B\). Questa è la condizione di Nyquist usata negli appunti. Con \(f_s<2B\) le copie spettrali si mescolano e nasce aliasing; all’uguaglianza le repliche si toccano, quindi nella pratica si mantiene margine.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina lo spettro originale replicato a intervalli regolari: la ricostruzione è possibile solo se le copie restano distinguibili.

Prima domanda da farti

Qual è il supporto spettrale e quanto distano le repliche?

Perché questo passaggio conta

Nyquist è una condizione geometrica di non sovrapposizione.

La domanda in parole semplici

La frequenza di campionamento deve essere almeno doppia della massima frequenza presente nel segnale a banda limitata.

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: La frequenza di campionamento deve essere almeno doppia della massima frequenza presente nel segnale a banda limitata.
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_s\): frequenza di campionamento

Errore che sembra innocuo

Applicare \(f_s\geq2B\) senza verificare che il segnale sia limitato alla banda \([-B,B]\).

Come raddrizzare il ragionamento

Dichiara prima l’ipotesi di banda rigorosamente limitata e identifica correttamente la massima frequenza.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Vincolo di Nyquist»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Vincolo di Nyquist»?

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25 Osservazione · Capitolo 7Come si collegano campionamento nel tempo, repliche in frequenza e periodicità della trasformata discreta?

OsservazioneTeoria dei segnali domande segnali.pdf, p. 16Appunti 04.pdf, pp. 25-28Appunti 06.pdf, pp. 3-9

Il campionamento replica lo spettro; una volta descritta la sequenza, la DTFT è intrinsecamente periodica di periodo \(1\).

Il prodotto di un segnale continuo con un treno di impulsi genera repliche dello spettro a passi \(f_s\). Passando alla sequenza \(x[n]=x(nT)\) e usando la frequenza normalizzata \(\nu=fT\), la trasformata discreta soddisfa \(X(\nu+1)=X(\nu)\). Sono due descrizioni coerenti dello stesso effetto: il campionamento rende equivalenti frequenze separate da multipli della frequenza di campionamento.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina lo spettro originale replicato a intervalli regolari: la ricostruzione è possibile solo se le copie restano distinguibili.

Prima domanda da farti

Qual è il supporto spettrale e quanto distano le repliche?

Perché questo passaggio conta

Nyquist è una condizione geometrica di non sovrapposizione.

La domanda in parole semplici

Il campionamento replica lo spettro; una volta descritta la sequenza, la DTFT è intrinsecamente periodica di periodo \(1\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inquadrare il concetto e specificarne il dominio di validità.
Mettere a fuoco il punto decisivo: Il campionamento replica lo spettro; una volta descritta la sequenza, la DTFT è intrinsecamente periodica di periodo \(1\).
Concludere con la formula, la conseguenza o l'esempio operativo degli appunti.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Limitarsi a una descrizione intuitiva di «Periodicità spettrale e campionamento» senza dichiarare ipotesi, dominio o criterio operativo.

Come raddrizzare il ragionamento

All’orale enuncia prima la relazione o il criterio, precisa dove vale e solo dopo aggiungi l’interpretazione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi o dominio devi dichiarare quando presenti «Periodicità spettrale e campionamento»?
Quale esempio degli appunti permette di controllare «Periodicità spettrale e campionamento»?

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Capitolo 8

Probabilità e variabili aleatorie

Eventi, Bayes, distribuzioni, trasformazioni, coppie, correlazione e covarianza.

01 Definizione · Capitolo 8Che cos’è lo spazio campione \(\Omega\)?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 3Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

\(\Omega\) è l’insieme di tutti i risultati elementari possibili di un esperimento aleatorio.

Lo spazio campione \(\Omega\) raccoglie tutti e soli i possibili esiti elementari dell’esperimento. La sua scelta dipende da quale informazione si vuole conservare: in un lancio di moneta può essere \(\Omega=\{\mathrm T,\mathrm C\}\), mentre per due lanci può essere \(\Omega=\{\mathrm{TT},\mathrm{TC},\mathrm{CT},\mathrm{CC}\}\).

Gli eventi sono sottoinsiemi di \(\Omega\). Lo spazio intero rappresenta l’evento certo e l’insieme vuoto l’evento impossibile. Definire bene \(\Omega\) viene prima di qualsiasi calcolo, perché stabilisce quali risultati sono distinguibili.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

\(\Omega\) è l’insieme di tutti i risultati elementari possibili di un esperimento aleatorio.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\Omega\): spazio campione: contiene tutti gli esiti possibili

Errore che sembra innocuo

Lo spazio campione è l’insieme degli eventi che hanno probabilità positiva.

Come raddrizzare il ragionamento

\(\Omega\) contiene tutti gli esiti possibili; anche un esito con probabilità nulla può appartenervi in un modello continuo.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è lo spazio campione \(\Omega\)?»?
Come useresti «Che cos’è lo spazio campione \(\Omega\)?» in un esercizio della professoressa?

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02 Definizione · Capitolo 8Che cos’è un evento?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 3Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Un evento è un sottoinsieme di \(\Omega\) al quale la misura di probabilità assegna un numero.

Un evento \(A\) è un sottoinsieme dello spazio campione, \(A\subseteq\Omega\). Si verifica quando l’esito osservato appartiene ad \(A\). L’evento certo è \(\Omega\), quello impossibile è \(\varnothing\); un evento formato da un solo esito è elementare.

Unioni, intersezioni e complementi traducono le operazioni logiche “oppure”, “e” e “non”. La probabilità \(P(A)\) è definita sugli eventi ammessi dal modello.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Un evento è un sottoinsieme di \(\Omega\) al quale la misura di probabilità assegna un numero.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\Omega\): spazio campione: contiene tutti gli esiti possibili

Errore che sembra innocuo

Un evento è un singolo risultato dell’esperimento.

Come raddrizzare il ragionamento

Un evento può contenere uno, più o tutti gli esiti di \(\Omega\); soltanto un evento elementare contiene un unico esito.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è un evento?»?
Come useresti «Che cos’è un evento?» in un esercizio della professoressa?

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03 Definizione · Capitolo 8Quando due eventi sono disgiunti?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 3Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Due eventi sono disgiunti quando non possono verificarsi insieme, cioè quando \(A\cap B=\varnothing\).

Gli eventi \(A\) e \(B\) sono disgiunti o incompatibili se \[ A\cap B=\varnothing . \] Non condividono alcun esito. In questo caso l’assioma di additività dà \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). La disgiunzione è una relazione insiemistica e non va confusa con l’indipendenza, che è una relazione probabilistica.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Due eventi sono disgiunti quando non possono verificarsi insieme, cioè quando \(A\cap B=\varnothing\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Eventi disgiunti ed eventi indipendenti sono la stessa cosa.

Come raddrizzare il ragionamento

Se \(A\cap B=\varnothing\) e \(P(A),P(B)>0\), gli eventi non sono indipendenti perché \(P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Quando due eventi sono disgiunti?»?
Come useresti «Quando due eventi sono disgiunti?» in un esercizio della professoressa?

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04 Definizione · Capitolo 8Che cos’è la probabilità di un evento?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 3Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La probabilità è una misura \(P\) che assegna a ogni evento \(A\) un valore \(P(A)\in[0,1]\) rispettando gli assiomi di Kolmogorov.

La probabilità quantifica quanto è plausibile un evento. Nel modello assiomatico è una funzione \(P\) sugli eventi con valori in \([0,1]\). Se gli esiti elementari sono finiti ed equiprobabili, \[ P(A)=\frac{\#\{\text{casi favorevoli}\}}{\#\{\text{casi possibili}\}}. \] Questo rapporto non è una definizione universale: richiede equiprobabilità. L’interpretazione frequentista collega \(P(A)\) alla frequenza relativa osservata in molte ripetizioni, mentre gli assiomi fissano le proprietà matematiche comuni.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La probabilità è una misura \(P\) che assegna a ogni evento \(A\) un valore \(P(A)\in[0,1]\) rispettando gli assiomi di Kolmogorov.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

La probabilità è sempre il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.

Come raddrizzare il ragionamento

Il rapporto vale soltanto per un numero finito di casi equiprobabili; la definizione generale è assiomatica.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è la probabilità di un evento?»?
Come useresti «Che cos’è la probabilità di un evento?» in un esercizio della professoressa?

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05 Definizione · Capitolo 8Quali sono gli assiomi di Kolmogorov?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 3Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Sono non negatività, normalizzazione e additività numerabile su eventi a due a due disgiunti.

Gli assiomi sono:

non negatività: \(P(A)\ge 0\);
normalizzazione: \(P(\Omega)=1\);
additività numerabile: se \(A_i\cap A_j=\varnothing\) per \(i\ne j\), allora \[ P\!\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i). \]

Da questi tre principi si ricavano, tra le altre, \(P(\varnothing)=0\), la regola del complementare e l’inclusione–esclusione.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Sono non negatività, normalizzazione e additività numerabile su eventi a due a due disgiunti.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Il terzo assioma consente di sommare le probabilità per eventi qualunque.

Come raddrizzare il ragionamento

L’additività diretta richiede eventi a due a due disgiunti; altrimenti occorre correggere le sovrapposizioni.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Quali sono gli assiomi di Kolmogorov?»?
Come useresti «Quali sono gli assiomi di Kolmogorov?» in un esercizio della professoressa?

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06 Definizione · Capitolo 8Come si calcola \(P(A\cap B)\) per eventi indipendenti?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 4Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Se \(A\) e \(B\) sono indipendenti, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

L’indipendenza di \(A\) e \(B\) è espressa da \[ P(A\cap B)=P(A)P(B). \] Se le probabilità condizionanti sono positive, la stessa condizione equivale a \(P(A\mid B)=P(A)\) e a \(P(B\mid A)=P(B)\): conoscere un evento non modifica la probabilità dell’altro. Il prodotto non è valido in generale per eventi dipendenti.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Se \(A\) e \(B\) sono indipendenti, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Per ogni coppia di eventi vale \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

Come raddrizzare il ragionamento

La fattorizzazione vale soltanto quando l’indipendenza è data o dimostrata.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Come si calcola \(P(A\cap B)\) per eventi indipendenti?»?
Come useresti «Come si calcola \(P(A\cap B)\) per eventi indipendenti?» in un esercizio della professoressa?

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07 Definizione · Capitolo 8Che cosa significa che due eventi sono indipendenti?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 4Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Due eventi sono indipendenti se la loro probabilità congiunta fattorizza: \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

Gli eventi \(A\) e \(B\) sono indipendenti quando \[ P(A\cap B)=P(A)P(B). \] Se \(P(B)>0\), ne segue \(P(A\mid B)=P(A)\); se \(P(A)>0\), anche \(P(B\mid A)=P(B)\). Nei due lanci di una moneta, l’esito del secondo lancio non cambia la distribuzione del primo. L’indipendenza va verificata sul modello, non dedotta soltanto dall’impressione che gli eventi siano “diversi”.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Due eventi sono indipendenti se la loro probabilità congiunta fattorizza: \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Due eventi sono indipendenti quando non hanno esiti in comune.

Come raddrizzare il ragionamento

L’assenza di esiti comuni definisce la disgiunzione; l’indipendenza richiede la fattorizzazione delle probabilità.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cosa significa che due eventi sono indipendenti?»?
Come useresti «Che cosa significa che due eventi sono indipendenti?» in un esercizio della professoressa?

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08 Definizione · Capitolo 8Che cos’è la probabilità condizionata?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 4Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Per \(P(B)>0\), \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\): si restringe lo spazio ai casi in cui \(B\) è avvenuto.

La probabilità di \(A\) dato \(B\) è \[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0. \] Il denominatore normalizza la massa probabilistica sul nuovo spazio di riferimento \(B\). Per esempio, in un’estrazione senza reinserimento il primo risultato modifica la composizione disponibile e quindi la probabilità del secondo. Dalla definizione segue \(P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Per \(P(B)>0\), \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\): si restringe lo spazio ai casi in cui \(B\) è avvenuto.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

La formula \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\) è valida anche se \(P(B)=0\).

Come raddrizzare il ragionamento

Nella definizione elementare del corso serve \(P(B)>0\), altrimenti il rapporto non è definito.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è la probabilità condizionata?»?
Come useresti «Che cos’è la probabilità condizionata?» in un esercizio della professoressa?

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09 Definizione · Capitolo 8Che cosa afferma il teorema della probabilità totale?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 4Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Una partizione \(\{B_i\}\) permette di sommare i contributi \(P(A\mid B_i)P(B_i)\) dei casi alternativi.

Sia \(\{B_i\}_{i=1}^{N}\) una partizione di \(\Omega\): gli eventi sono a due a due disgiunti, la loro unione è \(\Omega\) e \(P(B_i)>0\). Allora \[ P(A)=\sum_{i=1}^{N}P(A\mid B_i)P(B_i). \] Ogni termine è la probabilità della porzione \(A\cap B_i\). Il teorema è utile quando \(A\) può prodursi attraverso cause o casi alternativi noti.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Una partizione \(\{B_i\}\) permette di sommare i contributi \(P(A\mid B_i)P(B_i)\) dei casi alternativi.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

È sufficiente scegliere eventi \(B_i\) qualunque e sommare \(P(A\mid B_i)P(B_i)\).

Come raddrizzare il ragionamento

Gli eventi \(B_i\) devono formare una partizione di \(\Omega\) e, nella formula condizionata, avere probabilità positiva.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cosa afferma il teorema della probabilità totale?»?
Come useresti «Che cosa afferma il teorema della probabilità totale?» in un esercizio della professoressa?

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10 Definizione · Capitolo 8Qual è la regola della catena?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 4Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La probabilità di un’intersezione si scompone in un prodotto di probabilità condizionate progressive.

Per eventi con condizionamenti ben definiti, \[ P(A_1\cap\cdots\cap A_n) =P(A_1)\prod_{k=2}^{n}P\!\left(A_k\mid A_1\cap\cdots\cap A_{k-1}\right). \] L’ordine può essere scelto liberamente purché numeratori e denominatori rimangano coerenti. Per tre eventi, una forma equivalente è \[ P(A\cap B\cap C)=P(A\mid B\cap C)P(B\mid C)P(C). \] La catena non presume indipendenza; se gli eventi sono indipendenti, i condizionamenti si eliminano.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La probabilità di un’intersezione si scompone in un prodotto di probabilità condizionate progressive.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Nella regola della catena tutti i fattori possono essere sostituiti dalle probabilità marginali.

Come raddrizzare il ragionamento

Questo accade soltanto in presenza di indipendenza; in generale i fattori sono condizionati agli eventi precedenti.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Qual è la regola della catena?»?
Come useresti «Qual è la regola della catena?» in un esercizio della professoressa?

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11 Definizione · Capitolo 8Quando si usa la distribuzione binomiale?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 5Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Si usa per il numero \(K\) di successi in \(n\) prove indipendenti, con due esiti e probabilità di successo costante \(p\).

Nelle prove ripetute di Bernoulli ogni prova ha due esiti, le prove sono indipendenti e la probabilità di successo \(p\) resta costante. Se \(K\) conta i successi in \(n\) prove, \[ P(K=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n. \] Il prodotto è la probabilità di una particolare sequenza con \(k\) successi; il coefficiente binomiale conta quante sequenze producono lo stesso numero di successi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Si usa per il numero \(K\) di successi in \(n\) prove indipendenti, con due esiti e probabilità di successo costante \(p\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

La binomiale si applica anche se la probabilità di successo cambia a ogni prova.

Come raddrizzare il ragionamento

Servono prove indipendenti e identicamente parametrizzate, con \(p\) costante e due esiti per prova.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Quando si usa la distribuzione binomiale?»?
Come useresti «Quando si usa la distribuzione binomiale?» in un esercizio della professoressa?

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12 Definizione · Capitolo 8Che cos’è una variabile aleatoria?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 5Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Una variabile aleatoria è una funzione \(X:\Omega\to\mathbb R\) che associa un numero reale a ogni esito.

Una variabile aleatoria \(X\) non è un evento: è una funzione \[ X:\Omega\longrightarrow\mathbb R. \] Trasforma gli esiti dell’esperimento in valori numerici, rendendo possibile descriverli mediante distribuzione, media e varianza. Per esempio, in più lanci di moneta \(X\) può contare il numero di teste. L’aleatorietà riguarda l’esito in ingresso; una volta fissato l’esito, il valore della funzione è determinato.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Una variabile aleatoria è una funzione \(X:\Omega\to\mathbb R\) che associa un numero reale a ogni esito.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\Omega\): spazio campione: contiene tutti gli esiti possibili

Errore che sembra innocuo

Una variabile aleatoria è un numero scelto casualmente.

Come raddrizzare il ragionamento

È una funzione deterministica sugli esiti; è il risultato dell’esperimento a essere aleatorio.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è una variabile aleatoria?»?
Come useresti «Che cos’è una variabile aleatoria?» in un esercizio della professoressa?

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13 Definizione · Capitolo 8Che cos’è la funzione di distribuzione cumulativa?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 5Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La CDF di \(X\) è \(F_X(x)=P(X\le x)\).

La funzione di distribuzione cumulativa di una variabile aleatoria \(X\) è \[ F_X(x)=P(X\le x),\qquad x\in\mathbb R. \] Somma tutta la probabilità fino alla soglia \(x\). Esiste per variabili discrete, continue e miste; è non decrescente, continua da destra e tende a \(0\) e \(1\) ai due estremi della retta reale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La CDF di \(X\) è \(F_X(x)=P(X\le x)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(F_X\): funzione di distribuzione cumulativa della variabile \(X\)

Errore che sembra innocuo

La CDF dà la probabilità puntuale \(P(X=x)\).

Come raddrizzare il ragionamento

La CDF accumula \(P(X\le x)\); la massa puntuale è il salto \(F_X(x)-F_X(x^-)\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è la funzione di distribuzione cumulativa?»?
Come useresti «Che cos’è la funzione di distribuzione cumulativa?» in un esercizio della professoressa?

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14 Definizione · Capitolo 8Qual è il legame fra CDF e densità nel caso continuo?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 5Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Se \(F_X\) è assolutamente continua, \(f_X(x)=dF_X(x)/dx\) quasi ovunque e \(F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(\xi)\,d\xi\).

Per una variabile aleatoria continua dotata di densità, \[ F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(\xi)\,d\xi, \qquad f_X(x)=\frac{dF_X(x)}{dx} \] nei punti in cui la derivata esiste. La densità è non negativa e ha integrale unitario. Non rappresenta una probabilità puntuale: nel continuo \(P(X=x)=0\), mentre le probabilità di intervalli sono aree della densità.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Se \(F_X\) è assolutamente continua, \(f_X(x)=dF_X(x)/dx\) quasi ovunque e \(F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(\xi)\,d\xi\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(F_X\): funzione di distribuzione cumulativa della variabile \(X\)
\(f_X\): densità di probabilità della variabile continua \(X\)

Errore che sembra innocuo

Il valore \(f_X(x)\) è la probabilità \(P(X=x)\) e deve essere minore o uguale a \(1\).

Come raddrizzare il ragionamento

Nel continuo \(P(X=x)=0\); una densità può superare \(1\), purché resti non negativa e abbia area totale \(1\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Qual è il legame fra CDF e densità nel caso continuo?»?
Come useresti «Qual è il legame fra CDF e densità nel caso continuo?» in un esercizio della professoressa?

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15 Definizione · Capitolo 8Che cos’è la funzione di massa nel caso discreto?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 5Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La PMF è \(p_X(x)=P(X=x)\); le sue masse sono non negative e sommano a \(1\).

Per una variabile aleatoria discreta si usa la funzione di massa \[ p_X(x)=P(X=x). \] Essa è diversa da una densità continua: assegna direttamente probabilità ai valori del supporto e soddisfa \(\sum_xp_X(x)=1\). La CDF si ottiene sommando le masse fino a \(x\) ed è una funzione a gradini. Nel caso continuo, invece, ogni singolo punto ha probabilità nulla.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La PMF è \(p_X(x)=P(X=x)\); le sue masse sono non negative e sommano a \(1\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(p_X\): funzione di massa della variabile discreta \(X\)
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

La PMF e la PDF continua sono la stessa funzione e si trattano sempre con un integrale.

Come raddrizzare il ragionamento

Nel discreto si sommano masse puntuali; nel continuo si integrano densità su intervalli.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è la funzione di massa nel caso discreto?»?
Come useresti «Che cos’è la funzione di massa nel caso discreto?» in un esercizio della professoressa?

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16 Definizione · Capitolo 8Quali variabili aleatorie discrete sono state studiate?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 5Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Nel programma compaiono Bernoulli e geometrica, con supporti e significati distinti.

La variabile di Bernoulli descrive una singola prova: \[ P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p. \] La variabile geometrica conta il numero della prova in cui si osserva il primo successo: \[ P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\qquad k=1,2,\ldots \] La prima ha supporto \(\{0,1\}\); la seconda ha supporto infinito numerabile e richiede prove indipendenti con probabilità \(p\) costante.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Nel programma compaiono Bernoulli e geometrica, con supporti e significati distinti.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Per la geometrica vale \(P(X=k)=p(1-p)^k\) quando \(X\) conta la prova del primo successo.

Come raddrizzare il ragionamento

Con supporto \(k=1,2,\ldots\), l’esponente corretto è \(k-1\): prima del successo vi sono \(k-1\) fallimenti.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Quali variabili aleatorie discrete sono state studiate?»?
Come useresti «Quali variabili aleatorie discrete sono state studiate?» in un esercizio della professoressa?

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17 Definizione · Capitolo 8Quali variabili aleatorie continue sono state studiate?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 5Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Il corso considera uniforme, esponenziale, Laplace e gaussiana.

Le distribuzioni continue richiamate nel corso sono:

uniforme su un intervallo, con densità costante;
esponenziale su \([0,+\infty)\), governata dal parametro di decadimento;
Laplace, bilatera e simmetrica rispetto alla propria posizione;
gaussiana, determinata da media e varianza.

Per ciascuna occorre dichiarare supporto, parametri, densità e condizioni sui parametri prima di svolgere i calcoli.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Il corso considera uniforme, esponenziale, Laplace e gaussiana.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Il nome della distribuzione basta a determinarla completamente.

Come raddrizzare il ragionamento

Vanno sempre specificati i parametri e il supporto; distribuzioni della stessa famiglia possono avere media e dispersione diverse.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Quali variabili aleatorie continue sono state studiate?»?
Come useresti «Quali variabili aleatorie continue sono state studiate?» in un esercizio della professoressa?

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18 Definizione · Capitolo 8Quali sono le proprietà della CDF?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 6Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La CDF è non decrescente, continua da destra, limitata fra \(0\) e \(1\), con limiti \(0\) e \(1\); i suoi salti sono masse puntuali.

Per ogni variabile aleatoria:

\(F_X(x)\) è non decrescente e continua da destra;
\(\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0\) e \(\lim_{x\to+\infty}F_X(x)=1\);
\(P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)\);
\(P(X=x)=F_X(x)-F_X(x^-)\);
\(P(X>x)=1-F_X(x)\).

Gli estremi vanno trattati con precisione. In generale, \[ P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a^-). \]

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La CDF è non decrescente, continua da destra, limitata fra \(0\) e \(1\), con limiti \(0\) e \(1\); i suoi salti sono masse puntuali.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(F_X\): funzione di distribuzione cumulativa della variabile \(X\)

Errore che sembra innocuo

Per ogni variabile vale \(P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a)\).

Come raddrizzare il ragionamento

La formula con \(F_X(a)\) esclude la massa in \(a\); includendo \(a\) serve \(F_X(a^-)\), salvo continuità in \(a\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Quali sono le proprietà della CDF?»?
Come useresti «Quali sono le proprietà della CDF?» in un esercizio della professoressa?

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19 Definizione · Capitolo 8Quali sono le proprietà di una PDF?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 6Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Una densità è non negativa, integra a \(1\) e produce probabilità integrando sul dominio richiesto.

Una densità continua soddisfa \[ f_X(x)\ge0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,dx=1. \] Per un insieme o intervallo \(D\), \[ P(X\in D)=\int_D f_X(x)\,dx. \] La densità non deve essere monotona e può assumere valori maggiori di \(1\); è l’area, non l’altezza, a essere una probabilità compresa tra \(0\) e \(1\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Una densità è non negativa, integra a \(1\) e produce probabilità integrando sul dominio richiesto.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_X\): densità di probabilità della variabile continua \(X\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

La PDF è crescente perché deriva da una CDF crescente e quindi non può superare \(1\).

Come raddrizzare il ragionamento

La derivata di una funzione crescente è non negativa, non necessariamente crescente; la densità può superare \(1\), ma la sua area totale è \(1\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Quali sono le proprietà di una PDF?»?
Come useresti «Quali sono le proprietà di una PDF?» in un esercizio della professoressa?

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20 Definizione · Capitolo 8Che cos’è la media statistica?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 6Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Il valore atteso è la media pesata dei valori: una somma nel discreto e un integrale nel continuo.

La media statistica o valore atteso di \(X\) è \[ \mathbb E[X]=\sum_i x_i\,p_X(x_i) \] nel caso discreto e \[ \mathbb E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}x f_X(x)\,dx \] nel caso continuo, quando la quantità esiste. È un indice di posizione della distribuzione e non deve necessariamente coincidere con un valore assumibile da \(X\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Il valore atteso è la media pesata dei valori: una somma nel discreto e un integrale nel continuo.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\mathbb E\): operatore di valore atteso, cioè media probabilistica

Errore che sembra innocuo

La media è sempre uno dei valori possibili della variabile aleatoria.

Come raddrizzare il ragionamento

Il valore atteso è un baricentro probabilistico e può non appartenere al supporto, come accade per molti modelli discreti.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è la media statistica?»?
Come useresti «Che cos’è la media statistica?» in un esercizio della professoressa?

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21 Definizione · Capitolo 8Che cos’è il valore quadratico medio?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 6Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

È il secondo momento non centrato \(\mathbb E[X^2]\).

Il valore quadratico medio è \[ \mathbb E[X^2]=\sum_i x_i^2p_X(x_i) \] nel discreto e \[ \mathbb E[X^2]=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_X(x)\,dx \] nel continuo. È un secondo momento non centrato. Entra nella relazione \(\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2\), ma non coincide con la varianza salvo casi particolari.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

È il secondo momento non centrato \(\mathbb E[X^2]\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\mathbb E\): operatore di valore atteso, cioè media probabilistica

Errore che sembra innocuo

Il valore quadratico medio coincide sempre con la varianza.

Come raddrizzare il ragionamento

La varianza è il secondo momento centrato: \(\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è il valore quadratico medio?»?
Come useresti «Che cos’è il valore quadratico medio?» in un esercizio della professoressa?

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22 Definizione · Capitolo 8Che cos’è la varianza?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 6Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La varianza è lo scarto quadratico medio dalla media: \(\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[(X-\mu_X)^2]\).

Ponendo \(\mu_X=\mathbb E[X]\), la varianza è \[ \sigma_X^2=\operatorname{Var}(X) =\mathbb E[(X-\mu_X)^2] =\mathbb E[X^2]-\mu_X^2. \] È non negativa e misura la dispersione quadratica rispetto alla media. La deviazione standard \(\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\) ha la stessa unità di misura di \(X\), mentre la varianza ha unità al quadrato.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La varianza è lo scarto quadratico medio dalla media: \(\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[(X-\mu_X)^2]\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\mathbb E\): operatore di valore atteso, cioè media probabilistica
\(\operatorname{Var}\): varianza: dispersione quadratica attorno alla media

Errore che sembra innocuo

La varianza è \(\mathbb E[X^2]\).

Come raddrizzare il ragionamento

Bisogna sottrarre il quadrato della media: \(\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è la varianza?»?
Come useresti «Che cos’è la varianza?» in un esercizio della professoressa?

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23 Definizione · Capitolo 8Come si estende il condizionamento alla CDF?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 6Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Per \(P(B)>0\), \(F_{X\mid B}(x)=P(X\le x\mid B)\).

La CDF condizionata di \(X\) dato un evento \(B\) è \[ F_{X\mid B}(x) =P(X\le x\mid B) =\frac{P(\{X\le x\}\cap B)}{P(B)}, \qquad P(B)>0. \] Fissato \(B\), questa funzione possiede le proprietà di una CDF. Descrive la distribuzione di \(X\) dopo avere ristretto l’esperimento ai casi in cui \(B\) è avvenuto.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Per \(P(B)>0\), \(F_{X\mid B}(x)=P(X\le x\mid B)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

La CDF condizionata si ottiene dividendo \(F_X(x)\) per \(P(B)\).

Come raddrizzare il ragionamento

Al numeratore serve l’intersezione \(P(\{X\le x\}\cap B)\), non la sola probabilità marginale.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Come si estende il condizionamento alla CDF?»?
Come useresti «Come si estende il condizionamento alla CDF?» in un esercizio della professoressa?

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24 Definizione · Capitolo 8Come si applica la probabilità totale a CDF, PDF e media?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 7Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Una partizione produce miscele pesate di CDF, densità e medie condizionate.

Se \(\{A_i\}_{i=1}^{N}\) è una partizione di \(\Omega\), allora \[ F_X(x)=\sum_{i=1}^{N}F_{X\mid A_i}(x)P(A_i). \] Nel caso continuo, derivando rispetto a \(x\), \[ f_X(x)=\sum_{i=1}^{N}f_{X\mid A_i}(x)P(A_i). \] Quando le medie esistono, \[ \mathbb E[X]=\sum_{i=1}^{N}\mathbb E[X\mid A_i]P(A_i). \] I pesi sono non negativi e sommano a \(1\): si tratta di una miscela di distribuzioni condizionate.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Una partizione produce miscele pesate di CDF, densità e medie condizionate.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\mathbb E\): operatore di valore atteso, cioè media probabilistica
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Nella probabilità totale le distribuzioni condizionate si sommano senza pesi.

Come raddrizzare il ragionamento

Ogni contributo va pesato con \(P(A_i)\), e gli \(A_i\) devono formare una partizione.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Come si applica la probabilità totale a CDF, PDF e media?»?
Come useresti «Come si applica la probabilità totale a CDF, PDF e media?» in un esercizio della professoressa?

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25 Definizione · Capitolo 8Che cosa significa trasformare una variabile aleatoria?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 7Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Dato \(Y=g(X)\), si ricavano distribuzione e momenti di \(Y\) a partire dal modello di \(X\) e dalla funzione \(g\).

Una trasformazione definisce una nuova variabile aleatoria \(Y=g(X)\). L’obiettivo è determinare \(F_Y\), l’eventuale densità \(f_Y\), la media e la varianza. Il corso sviluppa il caso lineare \[ Y=aX+b. \] Per la distribuzione è essenziale distinguere \(a>0\) da \(a<0\), perché una trasformazione decrescente inverte il verso della disuguaglianza; nella densità compare il fattore \(1/|a|\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Dato \(Y=g(X)\), si ricavano distribuzione e momenti di \(Y\) a partire dal modello di \(X\) e dalla funzione \(g\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Nella trasformazione \(Y=aX+b\) il segno di \(a\) non influisce sulla CDF.

Come raddrizzare il ragionamento

Se \(a<0\) la disuguaglianza si inverte; la CDF va espressa mediante una probabilità di coda.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cosa significa trasformare una variabile aleatoria?»?
Come useresti «Che cosa significa trasformare una variabile aleatoria?» in un esercizio della professoressa?

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26 Definizione · Capitolo 8Perché si studiano coppie di variabili aleatorie?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 7Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Servono a modellare simultaneamente due quantità casuali e la loro dipendenza.

Una coppia \((X,Y)\) associa a ogni esito due valori reali. La descrizione congiunta permette di studiare non soltanto le distribuzioni separate, ma anche il modo in cui le variabili variano insieme. Un esempio del corso è la coppia altezza–peso: le marginali descrivono ciascuna quantità, mentre densità congiunta, covarianza e correlazione descrivono la relazione tra le due.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Servono a modellare simultaneamente due quantità casuali e la loro dipendenza.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\Omega\): spazio campione: contiene tutti gli esiti possibili

Errore che sembra innocuo

Conoscere le due distribuzioni marginali determina sempre la distribuzione congiunta.

Come raddrizzare il ragionamento

Le marginali non specificano in generale la dipendenza; coppie diverse possono avere le stesse marginali.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Perché si studiano coppie di variabili aleatorie?»?
Come useresti «Perché si studiano coppie di variabili aleatorie?» in un esercizio della professoressa?

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27 Definizione · Capitolo 8Come si caratterizza una coppia discreta?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 7Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La legge congiunta assegna \(p_{XY}(x_i,y_j)=P(X=x_i,Y=y_j)\); le marginali si ottengono sommando sull’altra variabile.

Nel discreto la funzione di massa congiunta è \[ p_{XY}(x_i,y_j)=P(X=x_i,Y=y_j). \] Le marginali si ricavano eliminando l’altra coordinata: \[ p_X(x_i)=\sum_jp_{XY}(x_i,y_j),\qquad p_Y(y_j)=\sum_ip_{XY}(x_i,y_j). \] Quando la probabilità condizionata è definita, \[ p_{XY}(x_i,y_j)=P(X=x_i\mid Y=y_j)P(Y=y_j). \]

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La legge congiunta assegna \(p_{XY}(x_i,y_j)=P(X=x_i,Y=y_j)\); le marginali si ottengono sommando sull’altra variabile.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(p_X\): funzione di massa della variabile discreta \(X\)
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Per ottenere \(p_X(x_i)\) si somma la congiunta rispetto all’indice \(i\).

Come raddrizzare il ragionamento

Si fissa \(x_i\) e si somma su tutti i valori \(y_j\), cioè rispetto all’altra variabile.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Come si caratterizza una coppia discreta?»?
Come useresti «Come si caratterizza una coppia discreta?» in un esercizio della professoressa?

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28 Definizione · Capitolo 8Che cos’è la CDF congiunta?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 7Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La CDF congiunta è \(F_{XY}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)\).

La funzione di distribuzione congiunta è \[ F_{XY}(x,y)=P(X\le x,\;Y\le y). \] Se esiste una densità congiunta, \[ F_{XY}(x,y) =\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f_{XY}(\alpha,\beta)\,d\beta\,d\alpha. \] Più in generale, la probabilità che \((X,Y)\) appartenga a un dominio \(D\) si ottiene integrando \(f_{XY}\) su \(D\). Il dominio geometrico va disegnato prima di impostare i limiti.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La CDF congiunta è \(F_{XY}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

La CDF congiunta si ottiene sempre moltiplicando \(F_X(x)F_Y(y)\).

Come raddrizzare il ragionamento

La fattorizzazione vale soltanto per variabili indipendenti; in generale serve la legge congiunta.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cos’è la CDF congiunta?»?
Come useresti «Che cos’è la CDF congiunta?» in un esercizio della professoressa?

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29 Definizione · Capitolo 8Come si ricavano le densità marginali dalla congiunta?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 8Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Si integra la densità congiunta rispetto all’altra variabile su tutto il suo supporto.

Per una coppia continua con densità congiunta, \[ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy, \qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dx. \] Se il supporto congiunto è limitato, i limiti effettivi dipendono dalla sezione del dominio alla coordinata fissata. Dopo l’integrazione conviene verificare non negatività e area unitaria della marginale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Si integra la densità congiunta rispetto all’altra variabile su tutto il suo supporto.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_X\): densità di probabilità della variabile continua \(X\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Per ottenere \(f_X(x)\) si integra rispetto a \(x\).

Come raddrizzare il ragionamento

Si mantiene \(x\) fissata e si integra rispetto a \(y\), cioè si elimina l’altra variabile.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Come si ricavano le densità marginali dalla congiunta?»?
Come useresti «Come si ricavano le densità marginali dalla congiunta?» in un esercizio della professoressa?

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30 Definizione · Capitolo 8Che cosa sono correlazione e covarianza?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 8Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La correlazione è \(R_{XY}=\mathbb E[XY]\); la covarianza centra le variabili e vale \(C_{XY}=R_{XY}-\mu_X\mu_Y\).

La correlazione incrociata scalare della coppia è \[ R_{XY}=\mathbb E[XY]. \] La covarianza rimuove le medie: \[ C_{XY} =\mathbb E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] =\mathbb E[XY]-\mu_X\mu_Y. \] Nel continuo, \(\mathbb E[XY]\) è un integrale doppio di \(xyf_{XY}(x,y)\); nel discreto è una somma doppia. La covarianza misura la componente lineare della variazione congiunta e dipende dalle unità di misura.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La correlazione è \(R_{XY}=\mathbb E[XY]\); la covarianza centra le variabili e vale \(C_{XY}=R_{XY}-\mu_X\mu_Y\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(C\): covarianza o correlazione fra due variabili, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Correlazione e covarianza coincidono sempre.

Come raddrizzare il ragionamento

Coincidono soltanto se almeno una delle due medie è nulla; in generale \(C_{XY}=R_{XY}-\mu_X\mu_Y\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cosa sono correlazione e covarianza?»?
Come useresti «Che cosa sono correlazione e covarianza?» in un esercizio della professoressa?

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31 Definizione · Capitolo 8Quando due variabili aleatorie sono incorrelate?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 8Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Sono incorrelate se \(C_{XY}=0\), equivalentemente \(\mathbb E[XY]=\mathbb E[X]\mathbb E[Y]\).

Le variabili \(X\) e \(Y\) sono incorrelate quando \[ C_{XY}=0, \] ossia \[ \mathbb E[XY]=\mu_X\mu_Y. \] Questo esclude una dipendenza lineare misurata dalla covarianza, ma non ogni forma di dipendenza. L’indipendenza implica incorrelazione, quando i momenti esistono; il viceversa è falso in generale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Sono incorrelate se \(C_{XY}=0\), equivalentemente \(\mathbb E[XY]=\mathbb E[X]\mathbb E[Y]\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(C\): covarianza o correlazione fra due variabili, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Se \(C_{XY}=0\), allora \(X\) e \(Y\) sono indipendenti.

Come raddrizzare il ragionamento

La covarianza nulla non esclude dipendenze non lineari; l’implicazione inversa non vale in generale.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Quando due variabili aleatorie sono incorrelate?»?
Come useresti «Quando due variabili aleatorie sono incorrelate?» in un esercizio della professoressa?

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32 Definizione · Capitolo 8Che cosa sono ortogonalità e coefficiente di correlazione?

DefinizioneDomande di Probabilità, p. 8Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

L’ortogonalità richiede \(\mathbb E[XY]=0\); il coefficiente normalizzato è \(\rho_{XY}=C_{XY}/(\sigma_X\sigma_Y)\).

Le variabili sono ortogonali se \[ R_{XY}=\mathbb E[XY]=0. \] Sono incorrelate se \(C_{XY}=0\): le due condizioni coincidono soltanto con opportune medie nulle. Per \(\sigma_X,\sigma_Y>0\), il coefficiente di correlazione è \[ \rho_{XY}=\frac{C_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y}, \qquad |\rho_{XY}|\le1. \] La normalizzazione elimina le unità di misura; il segno indica il verso dell’associazione lineare.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

L’ortogonalità richiede \(\mathbb E[XY]=0\); il coefficiente normalizzato è \(\rho_{XY}=C_{XY}/(\sigma_X\sigma_Y)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(C\): covarianza o correlazione fra due variabili, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Ortogonalità e incorrelazione sono sempre equivalenti.

Come raddrizzare il ragionamento

Ortogonalità significa \(R_{XY}=0\), incorrelazione \(C_{XY}=0\); coincidono, per esempio, quando le medie rendono nullo \(\mu_X\mu_Y\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Che cosa sono ortogonalità e coefficiente di correlazione?»?
Come useresti «Che cosa sono ortogonalità e coefficiente di correlazione?» in un esercizio della professoressa?

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01 Osservazione · Capitolo 8Perché si studia la probabilità in Teoria dei Segnali?

OsservazioneDomande di Probabilità, p. 8Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La probabilità modella fenomeni non prevedibili esito per esito ma dotati di regolarità statistiche, collegando incertezza e informazione.

La probabilità permette di descrivere sorgenti, rumore e misure il cui singolo esito non è noto in anticipo, ma che presentano regolarità osservabili. Una distribuzione non predice il prossimo valore: assegna probabilità agli eventi e consente di calcolare indici sintetici.

Nel linguaggio informativo, ciò che è già completamente noto non porta nuova informazione. Una sinusoide deterministica perfettamente nota è comunque un segnale matematico, ma, se ogni suo parametro è noto, non veicola nuova incertezza da risolvere. La distinzione evita di confondere “essere un segnale” con “trasportare informazione nuova”.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La probabilità modella fenomeni non prevedibili esito per esito ma dotati di regolarità statistiche, collegando incertezza e informazione.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Una sinusoide perfettamente nota non è un segnale.

Come raddrizzare il ragionamento

È un segnale deterministico; nel contesto informativo non porta nuova informazione se è completamente nota.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Perché si studia la probabilità in Teoria dei Segnali?»?
Come useresti «Perché si studia la probabilità in Teoria dei Segnali?» in un esercizio della professoressa?

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02 Osservazione · Capitolo 8Come si traduce “almeno \(r\) successi” nelle prove di Bernoulli?

OsservazioneDomande di Probabilità, p. 8Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Si sommano le probabilità binomiali da \(k=r\) fino a \(k=n\), oppure si usa il complemento quando più conveniente.

Se \(K\sim\operatorname{Bin}(n,p)\), l’evento “almeno \(r\) successi” è l’unione disgiunta dei casi \(K=r,r+1,\ldots,n\). Quindi \[ P(K\ge r)=\sum_{k=r}^{n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. \] Quando \(r\) è piccolo può essere più rapido usare \[ P(K\ge r)=1-P(K\le r-1). \] “Almeno” include il valore di soglia; “più di” partirebbe da \(r+1\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Si sommano le probabilità binomiali da \(k=r\) fino a \(k=n\), oppure si usa il complemento quando più conveniente.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

“Almeno \(r\)” significa calcolare soltanto \(P(K=r)\).

Come raddrizzare il ragionamento

Bisogna includere tutti i valori da \(r\) a \(n\), oppure sottrarre da \(1\) i valori da \(0\) a \(r-1\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Come si traduce “almeno \(r\) successi” nelle prove di Bernoulli?»?
Come useresti «Come si traduce “almeno \(r\) successi” nelle prove di Bernoulli?» in un esercizio della professoressa?

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03 Osservazione · Capitolo 8Qual è la relazione fra indipendenza e incorrelazione?

OsservazioneDomande di Probabilità, p. 9Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Se i momenti esistono, l’indipendenza implica \(C_{XY}=0\); la covarianza nulla non implica in generale indipendenza.

Se \(X\) e \(Y\) sono indipendenti, la legge congiunta fattorizza e quindi \[ \mathbb E[XY]=\mathbb E[X]\mathbb E[Y], \] da cui \(C_{XY}=0\). Il viceversa non vale: la covarianza rileva soltanto la componente lineare della dipendenza.

Un esempio classico nel perimetro dell’osservazione è una relazione simmetrica quadratica: una variabile può dipendere in modo deterministico dall’altra pur dando contributi positivi e negativi che si compensano nel momento misto.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Se i momenti esistono, l’indipendenza implica \(C_{XY}=0\); la covarianza nulla non implica in generale indipendenza.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(C\): covarianza o correlazione fra due variabili, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Indipendenza e incorrelazione sono equivalenti.

Come raddrizzare il ragionamento

L’indipendenza implica incorrelazione, ma la covarianza nulla non esclude dipendenze non lineari.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Qual è la relazione fra indipendenza e incorrelazione?»?
Come useresti «Qual è la relazione fra indipendenza e incorrelazione?» in un esercizio della professoressa?

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Ipotesi, passaggi, conclusione

Dimostrazioni della professoressa

Le dimostrazioni sono scomposte in una catena logica ordinabile: prima si dichiarano le ipotesi, poi si giustifica ogni passaggio.

Capitolo 1

Segnali nel dominio del tempo continuo

Segnali elementari, operazioni, media, energia, potenza e correlazione.

1 Dimostrazione · Capitolo 1Stabilire l'ordine delle operazioni in \(y(t)=x(2t-3)\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 16-17Appunti_01 - Elaborazioni elementari, pp. 3-7

La scrittura \(x(at-b)\) si ottiene traslando prima il segnale di \(b\) e applicando poi la scala \(a\); la fattorizzazione dell'argomento fornisce una seconda sequenza equivalente.

Sia \(z(t)=x(t-3)\). Questa prima operazione trasla \(x(t)\) verso destra di \(3\). Applicando poi la compressione temporale di fattore \(2\) si ottiene \[ z(2t)=x(2t-3)=y(t). \] Quindi, leggendo l’argomento nella forma \(at-b\), la catena è: traslazione di \(b\), poi cambiamento di scala \(a\).

La stessa trasformazione può essere letta fattorizzando: \[ x(2t-3)=x\!\left(2\left(t-\frac32\right)\right). \] Se si pone \(w(t)=x(2t)\), allora \(y(t)=w(t-\frac32)\): in questa decomposizione si comprime prima e si trasla poi di \(3/2\). Non c’è contraddizione: sono due fattorizzazioni della stessa mappa dell’asse temporale.

Il controllo geometrico decisivo è seguire un punto caratteristico. Il punto di \(x\) posto nell’origine compare in \(y\) quando \(2t-3=0\), cioè in \(t=3/2\). Qualunque costruzione grafica deve rispettare questa corrispondenza.

Catena logica della dimostrazione

Si introduce \(z(t)=x(t-3)\), cioè una traslazione verso destra di \(3\).
Si valuta \(z\) nell'istante \(2t\).
Per sostituzione, \(z(2t)=x(2t-3)\).
Si verifica la mappa temporale con \(2t-3=0\Rightarrow t=3/2\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

La scrittura \(x(at-b)\) si ottiene traslando prima il segnale di \(b\) e applicando poi la scala \(a\); la fattorizzazione dell’argomento fornisce una seconda sequenza equivalente.

Come costruire la risposta senza perderti

Riconoscere la forma generale \(x(at-b)\).
Definire \(z(t)=x(t-b)\).
Applicare la scala: \(z(at)=x(at-b)\).
Controllare un punto caratteristico risolvendo \(at-b=0\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(y(t)\): uscita continua del sistema

Errore che sembra innocuo

Dire soltanto «prima scala, poi trasla» senza specificare come è stato fattorizzato l’argomento.

Come raddrizzare il ragionamento

Scrivere le funzioni intermedie: per \(x(at-b)\), \(z(t)=x(t-b)\) e poi \(z(at)\); oppure fattorizzare \(a(t-b/a)\) e dichiarare la sequenza equivalente.

Fermati e verifica se hai capito

Come cambia la costruzione se il fattore di scala è negativo?
Dove finisce in \(y(t)\) un punto di \(x(t)\) posto in \(t=t_x\)?

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2 Dimostrazione · Capitolo 1Dimostrare la media dell'esponenziale monolatero \(x(t)=Ae^{-t/T'}u(t)\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 17-18Appunti_01 - Media temporale, pp. 16-18Formulario_tds, pp. 1-2

L'area accumulata resta limitata mentre la durata di mediazione cresce senza limite; pertanto la media temporale è nulla.

Con \(T'>0\), la media simmetrica è \[ \langle x\rangle=\lim_{L\to\infty}\frac1L \int_{-L/2}^{L/2}Ae^{-t/T'}u(t)\,dt. \] Il gradino elimina il semiasse negativo, dunque \[ \int_{-L/2}^{L/2}x(t)\,dt =A\int_0^{L/2}e^{-t/T'}\,dt =AT'\!\left(1-e^{-L/(2T')}\right). \] Ne segue \[ \langle x\rangle =AT'\lim_{L\to\infty} \frac{1-e^{-L/(2T')}}{L}=0. \] Infatti il fattore tra parentesi è limitato tra \(0\) e \(1\), mentre \(L\) diverge. Equivalentemente, l’esponenziale ha area finita \(AT'\), quindi la sua area per unità di tempo tende a zero.

Catena logica della dimostrazione

Il gradino impone \(t\geq0\).
L'integrale sulla finestra vale \(AT'(1-e^{-L/(2T')})\).
Il numeratore resta limitato per \(L\to\infty\).
La divisione per \(L\) forza il limite a zero.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

L’area accumulata resta limitata mentre la durata di mediazione cresce senza limite; pertanto la media temporale è nulla.

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere la definizione di media su \([-L/2,L/2]\).
Usare \(u(t)\) per ridurre l'integrale a \([0,L/2]\).
Calcolare l'area \(AT'(1-e^{-L/(2T')})\).
Passare al limite dividendo per \(L\).

Errore che sembra innocuo

Confondere il parametro \(T'\) del decadimento con la durata \(L\) della finestra di media.

Come raddrizzare il ragionamento

Usare due simboli distinti e far tendere all’infinito soltanto la durata \(L\).

Fermati e verifica se hai capito

Perché l'energia finita suggerisce una media e una potenza nulle?
Che cosa cambia se \(T'\leq0\)?

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3 Dimostrazione · Capitolo 1Dimostrare che la media del gradino unitario vale \(1/2\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 18-19Appunti_01 - Media temporale, pp. 16-18Formulario_tds, pp. 1-2

Nella finestra simmetrica il gradino vale uno esattamente su metà dell'intervallo, quindi la sua media è \(1/2\).

Per definizione, \[ \langle u\rangle=\lim_{L\to\infty}\frac1L \int_{-L/2}^{L/2}u(t)\,dt. \] Nella finestra simmetrica \(u(t)=0\) per \(t<0\) e \(u(t)=1\) per \(t>0\). Il valore attribuito al singolo punto \(t=0\) non modifica l’integrale. Pertanto \[ \int_{-L/2}^{L/2}u(t)\,dt=\int_0^{L/2}1\,dt=\frac L2, \qquad \langle u\rangle=\lim_{L\to\infty}\frac{L/2}{L}=\frac12. \] La decomposizione coerente è \[ u(t)=\frac12+\frac12\operatorname{sgn}(t), \] perché la componente costante è proprio la media e il termine \(\operatorname{sgn}(t)\) ha media nulla sulla finestra simmetrica.

Catena logica della dimostrazione

Si scrive la media su una finestra simmetrica di durata \(L\).
Il prodotto integrando è nullo sul semintervallo negativo.
L'area sul semintervallo positivo è \(L/2\).
Il rapporto \((L/2)/L\) vale \(1/2\) per ogni \(L>0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Nella finestra simmetrica il gradino vale uno esattamente su metà dell’intervallo, quindi la sua media è \(1/2\).

Come costruire la risposta senza perderti

Partire dalla media simmetrica del gradino.
Separare le parti negativa e positiva della finestra.
Calcolare la lunghezza del tratto attivo, pari a \(L/2\).
Dividere per \(L\) e passare al limite.

Errore che sembra innocuo

Attribuire il fattore \(1/2\) al valore scelto per \(u(0)\).

Come raddrizzare il ragionamento

Il fattore nasce dalla metà positiva della finestra simmetrica; un singolo punto ha misura nulla.

Fermati e verifica se hai capito

Il valore convenzionale di \(u(0)\) influenza la media temporale?
Qual è la media di \(A\,u(t-t_0)\) per un ritardo finito \(t_0\)?

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4 Dimostrazione · Capitolo 1Calcolare la media del treno di impulsi rettangolari con duty cycle \(1/2\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 19-20Appunti_01 - Segnali periodici e media, pp. 12-18Formulario_tds, pp. 1-2

La media di un periodico è l'area del generatore divisa per il periodo; qui l'area è \(AT_0/2\), quindi la media è \(A/2\).

Nel periodo \([-T_0/2,T_0/2]\), il segnale \[ x(t)=A\,\operatorname{rep}_{T_0} \!\left[\Pi\!\left(\frac{2t}{T_0}\right)\right] \] vale \(A\) per \(|t|\leq T_0/4\) e zero altrove. La durata attiva è quindi \(T_0/2\). Per la media di un segnale periodico, \[ \langle x\rangle=\frac1{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)\,dt =\frac1{T_0}\int_{-T_0/4}^{T_0/4}A\,dt =\frac1{T_0}\frac{AT_0}{2}=\frac A2. \] In forma generale, se la durata dell’impulso è \(T\), la media vale \(A\,T/T_0\): è l’ampiezza moltiplicata per il duty cycle. Il caso richiesto ha \(T/T_0=1/2\).

Catena logica della dimostrazione

Il segnale è periodico, quindi basta un solo periodo.
Il rettangolo è attivo per una durata \(T_0/2\).
L'area in un periodo è \(A(T_0/2)\).
La media è l'area divisa per \(T_0\), cioè \(A/2\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

La media di un periodico è l’area del generatore divisa per il periodo; qui l’area è \(AT_0/2\), quindi la media è \(A/2\).

Come costruire la risposta senza perderti

Scegliere un periodo completo.
Individuare il tratto attivo \([-T_0/4,T_0/4]\).
Calcolare l'area \(AT_0/2\).
Dividere l'area per \(T_0\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo

Errore che sembra innocuo

Integrare la funzione \(\Pi\) senza controllare quale sia la sua durata dopo il cambio di scala.

Come raddrizzare il ragionamento

Tradurre prima il supporto: \(\Pi(2t/T_0)\) è attiva per \(|t|\leq T_0/4\).

Fermati e verifica se hai capito

Come cambia la media per un duty cycle generico \(D\)?
Una traslazione del treno modifica la componente continua?

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5 Dimostrazione · Capitolo 1Calcolare l'energia dell'impulso rettangolare continuo e discreto.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 20-21Appunti_01 - Energia e potenza, pp. 19-22Formulario_tds, pp. 2-3

Poiché il modulo è costante sul supporto, l'energia è il quadrato del modulo dell'ampiezza moltiplicato per la durata o per il numero di campioni.

Nel continuo sia \[ x(t)=A\Pi\!\left(\frac tT\right), \] quindi \(x(t)=A\) per \(|t|\leq T/2\) e zero altrove. Allora \[ E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,dt =\int_{-T/2}^{T/2}|A|^2\,dt=|A|^2T. \] Per \(A\) reale si scrive \(E_x=A^2T\).

Nel discreto sia \(x[n]=A R_N[n]\), con \(R_N[n]=1\) per \(n=0,\ldots,N-1\). La somma di energia contiene esattamente \(N\) termini non nulli: \[ E_x=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2 =\sum_{n=0}^{N-1}|A|^2=|A|^2N. \] Il passaggio da integrale a somma sostituisce la lunghezza geometrica \(T\) con il numero di campioni \(N\).

Catena logica della dimostrazione

Il rettangolo continuo è nullo fuori da un intervallo di lunghezza \(T\).
L'integrando sul supporto è \(|A|^2\).
La finestra discreta contiene \(N\) campioni non nulli.
Integrale e somma danno rispettivamente \(|A|^2T\) e \(|A|^2N\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Poiché il modulo è costante sul supporto, l’energia è il quadrato del modulo dell’ampiezza moltiplicato per la durata o per il numero di campioni.

Come costruire la risposta senza perderti

Determinare il supporto del rettangolo continuo.
Integrare \(|A|^2\) su un intervallo di lunghezza \(T\).
Contare i campioni non nulli della finestra discreta.
Sommare \(N\) contributi uguali a \(|A|^2\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(E_x\): energia totale del segnale

Errore che sembra innocuo

Scrivere \(A^2\) anche quando l’ampiezza può essere complessa.

Come raddrizzare il ragionamento

Usare sempre \(|A|^2\); la forma \(A^2\) è valida soltanto per \(A\in\mathbb R\).

Fermati e verifica se hai capito

Perché questi segnali hanno potenza media nulla?
Come cambia l'energia se il rettangolo viene traslato?

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6 Dimostrazione · Capitolo 1Calcolare l'energia dell'impulso triangolare \(x(t)=A\Lambda(t/T)\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 22-23Appunti_01 - Energia dei segnali, pp. 19-22Formulario_tds, pp. 2-3

La parità riduce il calcolo a metà supporto; l'integrale del quadrato della rampa fornisce \(2|A|^2T/3\).

Per \(T>0\), \[ x(t)=A\Lambda\!\left(\frac tT\right) =A\left(1-\frac{|t|}{T}\right) \quad\text{per }|t|\leq T, \] ed è nullo fuori da \([-T,T]\). Pertanto \[ E_x=\int_{-T}^{T}|A|^2 \left(1-\frac{|t|}{T}\right)^2dt. \] L’integrando è pari, dunque \[ E_x=2|A|^2\int_0^T \left(1-\frac tT\right)^2dt. \] Con \(s=t/T\), \(dt=T\,ds\), si ottiene \[ E_x=2|A|^2T\int_0^1(1-s)^2ds =2|A|^2T\left[\frac13\right] =\frac23|A|^2T. \] Per ampiezza reale la formula diventa \(E_x=2A^2T/3\).

Catena logica della dimostrazione

Si eleva al quadrato il modulo del segnale sul suo supporto.
La parità produce il fattore \(2\).
Il cambio \(s=t/T\) estrae il fattore \(T\).
L'integrale normalizzato vale \(1/3\), da cui \(2|A|^2T/3\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

La parità riduce il calcolo a metà supporto; l’integrale del quadrato della rampa fornisce \(2|A|^2T/3\).

Come costruire la risposta senza perderti

Esplicitare il supporto \([-T,T]\).
Usare la parità dell'integrando.
Normalizzare con \(s=t/T\).
Calcolare \(\int_0^1(1-s)^2ds=1/3\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(E_x\): energia totale del segnale

Errore che sembra innocuo

Trattare \(T\) come larghezza totale del triangolo.

Come raddrizzare il ragionamento

Con la definizione del corso \(\Lambda(t/T)\) è attiva per \(|t|\leq T\), quindi la base ha larghezza \(2T\).

Fermati e verifica se hai capito

Perché il supporto di \(\Lambda(t/T)\) ha lunghezza \(2T\)?
Quale controllo dimensionale si può fare sul risultato?

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7 Dimostrazione · Capitolo 1Calcolare l'energia dell'esponenziale monolatero \(x(t)=Ae^{-t/T'}u(t)\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 23-24Appunti_01 - Energia e potenza, pp. 19-22Formulario_tds, pp. 2-3

Il gradino limita l'integrale al semiasse positivo e il quadrato dell'esponenziale dimezza la costante di tempo.

Con \(T'>0\), \[ E_x=\int_{-\infty}^{+\infty} \left|Ae^{-t/T'}u(t)\right|^2dt =|A|^2\int_0^{+\infty}e^{-2t/T'}dt. \] La condizione \(T'>0\) assicura la convergenza. Integrando, \[ \int_0^{+\infty}e^{-2t/T'}dt =\left[-\frac{T'}2e^{-2t/T'}\right]_0^{+\infty} =\frac{T'}2. \] Di conseguenza \[ E_x=\frac{|A|^2T'}2. \] Il risultato è finito: l’esponenziale monolatero è dunque un segnale di energia e, di conseguenza, ha potenza media nulla.

Catena logica della dimostrazione

Il supporto è il semiasse \(t\geq0\).
Il modulo quadrato è \(|A|^2e^{-2t/T'}\).
L'integrale converge soltanto per \(T'>0\).
La sua valutazione fornisce \(|A|^2T'/2\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Il gradino limita l’integrale al semiasse positivo e il quadrato dell’esponenziale dimezza la costante di tempo.

Come costruire la risposta senza perderti

Usare il gradino per porre il limite inferiore a \(0\).
Calcolare il modulo quadrato \( |A|^2e^{-2t/T'}\).
Verificare la convergenza con \(T'>0\).
Valutare la primitiva agli estremi.

Leggi i simboli, non recitarli

\(E_x\): energia totale del segnale

Errore che sembra innocuo

Dimenticare di elevare al quadrato il modulo dell’esponenziale.

Come raddrizzare il ragionamento

Da \(|e^{-t/T'}|^2=e^{-2t/T'}\) segue il fattore \(T'/2\), non \(T'\).

Fermati e verifica se hai capito

Perché nell'esponente compare il fattore \(2\)?
Che cosa accade all'energia per \(T'\leq0\)?

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8 Dimostrazione · Capitolo 1Calcolare la potenza di una sinusoide continua e discreta.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 24-25Appunti_01 - Potenza e segnali periodici, pp. 22-35Formulario_tds, pp. 2-3

Nel caso non degenere la media del termine a frequenza doppia è nulla e la potenza vale \(|A|^2/2\); nel discreto vanno separati i casi a frequenza zero o di Nyquist.

Per il segnale continuo \[ x(t)=A\cos(2\pi f_0t+\phi),\qquad f_0\neq0, \] si usa \(\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2\). Mediando su un periodo, il termine oscillante ha integrale nullo: \[ P_x=\frac1{T_0}\int_{T_0}|A|^2\cos^2(2\pi f_0t+\phi)\,dt =\frac{|A|^2}{2}. \]

Nel discreto, con \[ x[n]=A\cos(2\pi\nu_0n+\phi), \] la stessa identità dà \[ P_x=\frac{|A|^2}{2} \left(1+\frac1{N_0}\sum_{n=0}^{N_0-1} \cos(4\pi\nu_0n+2\phi)\right). \] Se \(2\nu_0\notin\mathbb Z\), la somma dell’armonica non costante su un periodo è nulla e \(P_x=|A|^2/2\).

Se invece \(2\nu_0\in\mathbb Z\), la sequenza è degenere: per \(\nu_0\equiv0\pmod1\) è costante e per \(\nu_0\equiv1/2\pmod1\) alterna soltanto il segno. In entrambi i casi il suo modulo è \(|A\cos\phi|\), quindi \[ P_x=|A|^2\cos^2\phi. \] La formula \(|A|^2/2\) è dunque quella generale soltanto per una sinusoide discreta non degenere.

Catena logica della dimostrazione

Si espande il quadrato del coseno in componente continua e armonica doppia.
Nel continuo non degenere l'integrale dell'armonica doppia su un periodo è zero.
Nel discreto la somma geometrica è zero quando \(2\nu_0\notin\mathbb Z\).
I casi \(2\nu_0\in\mathbb Z\) si calcolano direttamente e danno \(|A|^2\cos^2\phi\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Nel caso non degenere la media del termine a frequenza doppia è nulla e la potenza vale \(|A|^2/2\); nel discreto vanno separati i casi a frequenza zero o di Nyquist.

Come costruire la risposta senza perderti

Applicare \(\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2\).
Mediare il termine costante.
Mostrare che l'armonica doppia ha media nulla nel caso non degenere.
Separare nel discreto i casi \(2\nu_0\in\mathbb Z\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(P_x\): potenza media del segnale
\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Affermare \(P_x=|A|^2/2\) per ogni coseno discreto, inclusi i casi costante e di Nyquist.

Come raddrizzare il ragionamento

Nel discreto controllare \(2\nu_0\): se è intero, la potenza è \(|A|^2\cos^2\phi\); altrimenti è \(|A|^2/2\).

Fermati e verifica se hai capito

Per quali frequenze discrete la media dell'armonica doppia non è nulla?
La fase influenza la potenza di una sinusoide continua non costante?

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9 Dimostrazione · Capitolo 1Dimostrare l'invarianza temporale della potenza.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 25-26Appunti_01 - Proprietà di energia e potenza, pp. 19-23Formulario_tds, pp. 2-3

Una traslazione sposta la finestra di media senza cambiarne la lunghezza; nel limite, i soli tratti di bordo hanno contributo normalizzato nullo.

Sia \(y(t)=x(t-t_0)\), con \(t_0\) finito. Dalla definizione, \[ P_y=\lim_{L\to\infty}\frac1L \int_{-L/2}^{L/2}|x(t-t_0)|^2dt. \] Con \(\tau=t-t_0\), \[ P_y=\lim_{L\to\infty}\frac1L \int_{-L/2-t_0}^{L/2-t_0}|x(\tau)|^2d\tau. \] La nuova finestra ha la stessa lunghezza \(L\). Rispetto alla finestra centrata, cambiano soltanto due intervalli di bordo di lunghezza \(|t_0|\). Per i segnali del corso per i quali la potenza esiste, il contributo di tali intervalli, diviso per \(L\), tende a zero. Resta \[ P_y=\lim_{L\to\infty}\frac1L \int_{-L/2}^{L/2}|x(\tau)|^2d\tau=P_x. \] Per un segnale periodico la conclusione è ancora più immediata: l’integrale su qualunque intervallo lungo un periodo è lo stesso, quindi la traslazione non cambia la potenza.

Catena logica della dimostrazione

La potenza del segnale traslato è scritta sulla finestra centrata.
Il cambio di variabile trasla gli estremi di \(t_0\).
La differenza rispetto alla finestra originale riguarda intervalli di lunghezza fissa.
Dopo la divisione per \(L\) e il limite resta \(P_x\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Una traslazione sposta la finestra di media senza cambiarne la lunghezza; nel limite, i soli tratti di bordo hanno contributo normalizzato nullo.

Come costruire la risposta senza perderti

Sostituire \(y(t)=x(t-t_0)\) nella definizione.
Eseguire il cambio \(\tau=t-t_0\).
Confrontare le due finestre, entrambe di lunghezza \(L\).
Mostrare che i contributi di bordo normalizzati svaniscono.

Leggi i simboli, non recitarli

\(P_x\): potenza media del segnale

Errore che sembra innocuo

Dire che i due integrali sono identici per ogni finestra finita.

Come raddrizzare il ragionamento

Le finestre sono traslate, non identiche; l’uguaglianza emerge nel limite perché i tratti di bordo hanno peso normalizzato nullo.

Fermati e verifica se hai capito

Perché una traslazione non cambia nemmeno l'energia?
Come si dimostra direttamente il risultato per un segnale periodico?

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10 Dimostrazione · Capitolo 1Dimostrare la potenza della somma di due segnali reali e complessi.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 26-28Appunti_01 - Potenza mutua, pp. 22-26Formulario_tds, pp. 2-3

L'espansione del modulo quadrato separa le due potenze e i termini incrociati; nel caso complesso questi ultimi formano due coniugati e danno due volte la parte reale.

Ponga \(z(t)=x(t)+y(t)\). Se i segnali sono reali, \[ |z(t)|^2=x^2(t)+y^2(t)+2x(t)y(t). \] Applicando la media temporale e usando la linearità dell’integrale e del limite, quando i limiti esistono, \[ P_z=P_x+P_y+2P_{xy}, \qquad P_{xy}=\lim_{L\to\infty}\frac1L \int_{-L/2}^{L/2}x(t)y(t)\,dt. \]

Per segnali complessi, \[ |x+y|^2=(x+y)(x^*+y^*) =|x|^2+|y|^2+xy^*+x^*y. \] Definendo \[ P_{xy}=\lim_{L\to\infty}\frac1L \int_{-L/2}^{L/2}x(t)y^*(t)\,dt, \] l’altro termine incrociato è \(P_{xy}^*\). Quindi \[ P_z=P_x+P_y+P_{xy}+P_{xy}^* =P_x+P_y+2\operatorname{Re}\{P_{xy}\}. \] Se i segnali sono ortogonali in potenza, \(P_{xy}=0\), le potenze si sommano senza termine incrociato.

Catena logica della dimostrazione

Si espande il modulo quadrato della somma.
I termini puri generano \(P_x\) e \(P_y\).
I termini incrociati sono medie mutuamente coniugate.
La loro somma è due volte la parte reale di \(P_{xy}\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

L’espansione del modulo quadrato separa le due potenze e i termini incrociati; nel caso complesso questi ultimi formano due coniugati e danno due volte la parte reale.

Come costruire la risposta senza perderti

Porre \(z=x+y\).
Espandere \(|z|^2\).
Mediare separatamente i termini.
Nel complesso riconoscere \(P_{xy}+P_{xy}^*=2\operatorname{Re}\{P_{xy}\}\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(P_x\): potenza media del segnale

Errore che sembra innocuo

Usare \(2P_{xy}\) anche per segnali complessi.

Come raddrizzare il ragionamento

Nel caso complesso i termini sono \(P_{xy}\) e \(P_{xy}^*\), quindi compare \(2\operatorname{Re}\{P_{xy}\}\).

Fermati e verifica se hai capito

Quando la formula complessa si riduce a quella reale?
Che conseguenza ha \(P_{xy}=0\) sulla potenza della somma?

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12 Dimostrazione · Capitolo 1Dimostrare la simmetria dell'autocorrelazione \(R_x(\tau)\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 30-31Appunti_01 - Correlazione, pp. 36-42Formulario_tds, pp. 3

Un cambio di variabile scambia l'ordine delle due copie del segnale: per segnali reali l'autocorrelazione è pari, mentre nel complesso è hermitiana.

Per un segnale reale di energia, \[ R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x(t-\tau)\,dt. \] Calcolando il valore al ritardo opposto, \[ R_x(-\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x(t+\tau)\,dt. \] Con \(\alpha=t+\tau\), dunque \(t=\alpha-\tau\), gli estremi restano infiniti e \[ R_x(-\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(\alpha-\tau)x(\alpha)\,d\alpha. \] La commutatività del prodotto reale permette di invertire i fattori; l’ultimo integrale è esattamente \(R_x(\tau)\). Quindi \[ R_x(-\tau)=R_x(\tau). \]

Se \(x\) è complesso, la definizione corretta usa il coniugato: \[ R_x(\tau)=\int x(t)x^*(t-\tau)\,dt. \] Lo stesso cambio di variabile, seguito dal coniugio, fornisce \[ R_x(-\tau)=R_x^*(\tau), \] non necessariamente una funzione pari reale.

Catena logica della dimostrazione

Si sostituisce \(-\tau\) nella definizione.
Il cambio \(\alpha=t+\tau\) riallinea gli argomenti.
Nel caso reale il prodotto può essere riordinato ottenendo \(R_x(\tau)\).
Nel caso complesso il riordino produce il complesso coniugato.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Un cambio di variabile scambia l’ordine delle due copie del segnale: per segnali reali l’autocorrelazione è pari, mentre nel complesso è hermitiana.

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere \(R_x(-\tau)\) dalla definizione.
Porre \(\alpha=t+\tau\).
Riordinare i fattori nel caso reale.
Nel caso complesso conservare il coniugato.

Leggi i simboli, non recitarli

\(R_x\): autocorrelazione del segnale \(x\)
\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Estendere la parità reale a segnali complessi senza coniugazione.

Come raddrizzare il ragionamento

Per segnali complessi la proprietà è hermitiana: \(R_x(-\tau)=R_x^*(\tau)\).

Fermati e verifica se hai capito

Qual è il valore di \(R_x(0)\) per un segnale di energia?
Perché nel caso complesso non si può affermare in generale che \(R_x\) sia pari?

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13 Dimostrazione · Capitolo 1Calcolare l'autocorrelazione dell'esponenziale monolatero continuo e discreto.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 31-32Appunti_01 - Correlazione, pp. 36-40Formulario_tds, pp. 2-3

I supporti delle due copie traslate determinano l'estremo inferiore; i due casi di segno si ricompongono in un'esponenziale bilatero dipendente dal valore assoluto del ritardo.

Nel continuo sia \[ x(t)=Ae^{-t/T}u(t),\qquad T>0. \] Il prodotto con la copia ritardata è \[ x(t)x^*(t-\tau)=|A|^2e^{-2t/T}e^{\tau/T} u(t)u(t-\tau). \] Per \(\tau\geq0\) occorre \(t\geq\tau\); per \(\tau<0\) basta \(t\geq0\). Integrando nei due casi si trova \[ R_x(\tau)= \begin{cases} \dfrac{|A|^2T}{2}e^{-\tau/T},&\tau\geq0,\\[4pt] \dfrac{|A|^2T}{2}e^{\tau/T},&\tau<0, \end{cases} \] ossia \[ R_x(\tau)=\frac{|A|^2T}{2}e^{-|\tau|/T}. \]

Nel discreto sia \[ x[n]=A r^n u[n],\qquad 0<r<1. \] Per \(k\geq0\), il prodotto è non nullo per \(n\geq k\): \[ R_x[k]=|A|^2\sum_{n=k}^{\infty}r^nr^{n-k} =|A|^2r^{-k}\frac{r^{2k}}{1-r^2} =\frac{|A|^2}{1-r^2}r^k. \] La simmetria dell’autocorrelazione sostituisce \(k\) con \(|k|\): \[ R_x[k]=\frac{|A|^2}{1-r^2}r^{|k|}. \] In entrambi i casi il valore in zero coincide con l’energia.

Catena logica della dimostrazione

Il prodotto dei gradini identifica l'intersezione dei supporti.
Per \(\tau\geq0\) si integra da \(\tau\), per \(\tau<0\) da \(0\).
I due integrali danno \((|A|^2T/2)e^{-|\tau|/T}\).
Nel discreto la somma geometrica per \(k\geq0\) dà \(|A|^2r^k/(1-r^2)\).
La simmetria completa il risultato per ritardi negativi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

I supporti delle due copie traslate determinano l’estremo inferiore; i due casi di segno si ricompongono in un’esponenziale bilatero dipendente dal valore assoluto del ritardo.

Come costruire la risposta senza perderti

Moltiplicare il segnale per la sua copia coniugata e ritardata.
Determinare l'intersezione dei supporti per ritardo positivo e negativo.
Valutare l'integrale esponenziale nel continuo.
Valutare la serie geometrica nel discreto.
Ricomporre i casi con \(|\tau|\) o \(|k|\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(R_x\): autocorrelazione del segnale \(x\)
\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Usare lo stesso estremo inferiore dell’integrale per entrambi i segni del ritardo.

Come raddrizzare il ragionamento

Il prodotto dei gradini impone \(t\geq\max(0,\tau)\); da qui nasce il valore assoluto.

Fermati e verifica se hai capito

Perché il risultato deve essere pari?
Quale condizione su \(r\) assicura la convergenza della serie discreta?

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14 Dimostrazione · Capitolo 1Calcolare l'autocorrelazione dell'impulso rettangolare.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 33-34Appunti_01 - Correlazione, pp. 36-40Formulario_tds, pp. 2-3

L'autocorrelazione è il modulo quadrato dell'ampiezza per la lunghezza di sovrapposizione tra due intervalli uguali; tale lunghezza è triangolare nel ritardo.

Sia \[ x(t)=A\Pi\!\left(\frac tT\right), \] con supporto \([-T/2,T/2]\). La copia \(x(t-\tau)\) è non nulla quando \[ t\in\left[\tau-\frac T2,\tau+\frac T2\right]. \] Il prodotto \(x(t)x^*(t-\tau)\) vale \(|A|^2\) sull’intersezione dei due intervalli e zero altrove. Pertanto l’autocorrelazione è \(|A|^2\) moltiplicato per la lunghezza della sovrapposizione.

Due intervalli di lunghezza \(T\), i cui centri distano \(|\tau|\), si sovrappongono per \[ L(\tau)= \begin{cases} T-|\tau|,&|\tau|\leq T,\\ 0,&|\tau|>T. \end{cases} \] Di conseguenza \[ R_x(\tau)=|A|^2(T-|\tau|)u(T-|\tau|) =|A|^2T\Lambda\!\left(\frac{\tau}{T}\right). \] Il controllo \(R_x(0)=|A|^2T=E_x\) conferma sia l’ampiezza sia il fattore di scala.

Catena logica della dimostrazione

I supporti sono due intervalli di uguale lunghezza \(T\).
Il loro prodotto è costante soltanto sull'intersezione.
La lunghezza dell'intersezione è \(T-|\tau|\) per \(|\tau|\leq T\).
Moltiplicando per \(|A|^2\) si riconosce una triangolare.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

L’autocorrelazione è il modulo quadrato dell’ampiezza per la lunghezza di sovrapposizione tra due intervalli uguali; tale lunghezza è triangolare nel ritardo.

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere i supporti delle due copie del rettangolo.
Intersecare gli intervalli.
Calcolare la lunghezza \(T-|\tau|\) quando si sovrappongono.
Moltiplicare tale lunghezza per \(|A|^2\).
Controllare \(R_x(0)=E_x\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(R_x\): autocorrelazione del segnale \(x\)
\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Dimenticare che nella correlazione compare il prodotto coniugato e scrivere \(A^2\) per un’ampiezza complessa.

Come raddrizzare il ragionamento

Il livello della sovrapposizione è \(|A|^2\); \(A^2\) è ammesso soltanto per \(A\) reale.

Fermati e verifica se hai capito

Perché il supporto di \(R_x\) è \([-T,T]\)?
Quale proprietà generale si verifica valutando \(R_x(0)\)?

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15 Dimostrazione · Capitolo 1Calcolare l'autocorrelazione di potenza del gradino unitario.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 34-35Appunti_01 - Correlazione dei segnali di potenza, pp. 39-42Formulario_tds, pp. 3

Per ogni ritardo finito il prodotto dei due gradini occupa asintoticamente metà della finestra simmetrica; la correzione di lunghezza finita svanisce dopo la normalizzazione.

Il gradino non è un segnale di energia, quindi si usa l’autocorrelazione di potenza: \[ R_u(\tau)=\lim_{L\to\infty}\frac1L \int_{-L/2}^{L/2}u(t)u(t-\tau)\,dt. \] Il prodotto vale uno quando \(t\geq0\) e \(t\geq\tau\), cioè quando \(t\geq\max(0,\tau)\). Per \(L\) abbastanza grande rispetto al ritardo fissato, \[ \int_{-L/2}^{L/2}u(t)u(t-\tau)\,dt =\frac L2-\max(0,\tau). \] Pertanto \[ R_u(\tau)=\lim_{L\to\infty} \left(\frac12-\frac{\max(0,\tau)}{L}\right)=\frac12. \] Il risultato è costante per ogni ritardo finito ed è coerente con \(R_u(0)=P_u=1/2\). Anche la parità richiesta a un’autocorrelazione reale è rispettata.

Catena logica della dimostrazione

Si adotta la definizione normalizzata per segnali di potenza.
Il prodotto è uno per \(t\geq\max(0,\tau)\).
La lunghezza attiva è \(L/2\) meno una correzione indipendente da \(L\).
La correzione divisa per \(L\) svanisce, lasciando \(1/2\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Per ogni ritardo finito il prodotto dei due gradini occupa asintoticamente metà della finestra simmetrica; la correzione di lunghezza finita svanisce dopo la normalizzazione.

Come costruire la risposta senza perderti

Usare la definizione di correlazione per segnali di potenza.
Risolvere i vincoli \(t\geq0\) e \(t\geq\tau\).
Calcolare la lunghezza del tratto attivo nella finestra.
Dividere per \(L\) e mandare \(L\) all'infinito.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Calcolare un integrale infinito non normalizzato e concludere che la correlazione diverge.

Come raddrizzare il ragionamento

Il gradino è un segnale di potenza: bisogna mediare il prodotto su una finestra e dividere per la sua durata.

Fermati e verifica se hai capito

Perché non si può usare l'autocorrelazione di energia per \(u(t)\)?
Quale controllo si ottiene ponendo \(\tau=0\)?

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16 Dimostrazione · Capitolo 1Dimostrare la relazione tra \(R_{xy}(\tau)\) e \(R_{yx}(-\tau)\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 35-36Appunti_01 - Mutua correlazione, pp. 41-42Formulario_tds, pp. 3

Scambiando la variabile di integrazione si inverte l'ordine dei segnali; nel caso complesso compare il coniugato.

Per segnali reali si definisce \[ R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y(t-\tau)\,dt. \] Partendo dalla correlazione con ordine invertito, \[ R_{yx}(-\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)x(t+\tau)\,dt, \] e ponendo \(\alpha=t+\tau\), si ottiene \[ R_{yx}(-\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} y(\alpha-\tau)x(\alpha)\,d\alpha=R_{xy}(\tau). \]

Nel caso complesso la definizione è \[ R_{xy}(\tau)=\int x(t)y^*(t-\tau)\,dt. \] Il complesso coniugato di questa espressione è \[ R_{xy}^*(\tau)=\int x^*(\alpha)y(\alpha-\tau)\,d\alpha. \] Lo stesso cambio di variabile mostra che quest’ultimo integrale è \(R_{yx}(-\tau)\). Pertanto \[ R_{xy}(\tau)=R_{yx}^*(-\tau). \] Per segnali reali il coniugato è superfluo e si recupera \(R_{xy}(\tau)=R_{yx}(-\tau)\).

Catena logica della dimostrazione

Si parte dalla correlazione in ordine inverso e a ritardo opposto.
Un cambio di variabile riallinea gli argomenti.
Per segnali reali il prodotto coincide con quello di \(R_{xy}\).
Per segnali complessi il confronto restituisce il coniugato.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il segnale come un profilo sull'asse del tempo: prima localizza dove esiste, poi misura ciò che fa.

Prima domanda da farti

Quali sono supporto, ampiezza, simmetria e comportamento per tempi grandi?

Perché questo passaggio conta

La geometria del segnale determina estremi, classe energia-potenza e controlli.

La domanda in parole semplici

Scambiando la variabile di integrazione si inverte l’ordine dei segnali; nel caso complesso compare il coniugato.

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere \(R_{yx}(-\tau)\).
Applicare \(\alpha=t+\tau\).
Riconoscere \(R_{xy}(\tau)\) nel caso reale.
Nel caso complesso confrontare con \(R_{xy}^*(\tau)\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Scrivere \(R_{xy}(\tau)=R_{yx}(-\tau)\) anche per segnali complessi.

Come raddrizzare il ragionamento

Nel complesso la relazione contiene il coniugato: \(R_{xy}(\tau)=R_{yx}^*(-\tau)\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale proprietà si ottiene ponendo \(y=x\)?
Perché l'ordine dei segnali nella mutua correlazione conta?

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Capitolo 2

Segnali nel dominio del tempo discreto

Sequenze, periodicità, decimazione, espansione, energia e potenza.

11 Dimostrazione · Capitolo 2Dimostrare la periodicità di una sinusoide discreta e determinarne \(N_0\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 28-30Appunti_01 - Segnali discreti, pp. 31-35Formulario_tds, pp. 1-2

La frequenza normalizzata deve essere razionale; se \(\nu_0=p/q\) è ridotta ai minimi termini, il periodo dell'esponenziale e della sinusoide non degenere è \(q\).

Si consideri prima l’esponenziale complesso \[ s[n]=e^{j(2\pi\nu_0n+\phi)}. \] La condizione \(s[n+N]=s[n]\) per ogni \(n\) equivale a \[ e^{j2\pi\nu_0N}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \nu_0N=k,\qquad k\in\mathbb Z. \] Esiste quindi un intero positivo \(N\) se e solo se \(\nu_0\in\mathbb Q\).

Scrivendo la frequenza in forma ridotta \[ \nu_0=\frac pq,\qquad \gcd(|p|,q)=1,\quad q>0, \] la scelta \(N=q\) soddisfa la condizione. Se esistesse \(0<N<q\), da \(pN/q\in\mathbb Z\) seguirebbe che \(q\) divide \(N\), contro \(N<q\). Il periodo fondamentale dell’esponenziale è quindi \(q\).

Per la sinusoide reale \[ x[n]=A\cos(2\pi\nu_0n+\phi) \] la stessa conclusione vale nel caso non degenere. Esistono però sequenze speciali che collassano, per esempio \(\nu_0=1/2\) e \(\phi=\pi/2\) producono la sequenza identicamente nulla, il cui periodo fondamentale non è \(2\). All’orale conviene dichiarare che la regola del denominatore riguarda l’esponenziale complesso o la sinusoide non degenere.

Catena logica della dimostrazione

La periodicità richiede un incremento di fase pari a \(2\pi k\).
Da \(\nu_0N=k\) segue la necessità di \(\nu_0\in\mathbb Q\).
Se \(\nu_0=p/q\), \(N=q\) è certamente un periodo.
La coprimalità di \(p\) e \(q\) esclude periodi positivi minori.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

La frequenza normalizzata deve essere razionale; se \(\nu_0=p/q\) è ridotta ai minimi termini, il periodo dell’esponenziale e della sinusoide non degenere è \(q\).

Come costruire la risposta senza perderti

Imporre \(x[n+N]=x[n]\).
Ricavare \(e^{j2\pi\nu_0N}=1\).
Concludere \(\nu_0=k/N\in\mathbb Q\).
Ridurre \(\nu_0=p/q\) e provare la minimalità di \(q\).
Controllare eventuali degenerazioni del coseno reale.

Leggi i simboli, non recitarli

\(N_0\): periodo fondamentale espresso in campioni
\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Leggere il denominatore senza prima ridurre la frazione oppure ignorare una sinusoide degenere.

Come raddrizzare il ragionamento

Ridurre \(\nu_0=p/q\) ai minimi termini e dichiarare che \(N_0=q\) vale per l’esponenziale o il coseno non degenere.

Fermati e verifica se hai capito

Perché una frequenza irrazionale non può dare una sequenza periodica?
Quale eccezione può far fallire la regola del denominatore per un coseno reale?

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17 Dimostrazione · Capitolo 2Calcolare l'autocorrelazione dell'esponenziale bilatero discreto \(x[n]=Aa^{|n|}\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 37-38Appunti_01 - Correlazione discreta, pp. 36-42Formulario_tds, pp. 3

Separando la somma in tre intervalli si ottengono due code geometriche e un blocco di termini uguali; la parità sostituisce il ritardo con il suo valore assoluto.

Sia \(0<a<1\). Per un ritardo \(m\geq0\), \[ R_x[m]=|A|^2\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a^{|n|+|n-m|}. \] Si separa l’asse in \(n\leq-1\), \(0\leq n\leq m-1\) e \(n\geq m\).

Nella coda destra, \[ \sum_{n=m}^{\infty}a^{2n-m}=\frac{a^m}{1-a^2}. \] Nel tratto centrale ogni esponente vale \(m\), e i termini sono \(m\): \[ \sum_{n=0}^{m-1}a^m=ma^m. \] Nella coda sinistra, ponendo \(n=-k\) con \(k\geq1\), \[ \sum_{k=1}^{\infty}a^{2k+m} =\frac{a^{m+2}}{1-a^2}. \] La somma complessiva è quindi \[ R_x[m]=|A|^2a^m \left(m+\frac{1+a^2}{1-a^2}\right),\qquad m\geq0. \] Poiché l’autocorrelazione è pari, \[ R_x[m]=|A|^2a^{|m|} \left(|m|+\frac{1+a^2}{1-a^2}\right). \] In \(m=0\) si ritrova \(R_x[0]=|A|^2(1+a^2)/(1-a^2)=E_x\).

Catena logica della dimostrazione

La parità consente di trattare soltanto \(m\geq0\).
La coda destra vale \(a^m/(1-a^2)\).
Il tratto centrale vale \(ma^m\).
La coda sinistra vale \(a^{m+2}/(1-a^2)\).
La somma e la sostituzione \(m\mapsto|m|\) danno la forma finale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una tabella di steli indicizzati: ogni intero è un campione distinto e fra due indici non c'è nulla da inventare.

Prima domanda da farti

Quali indici esistono e quali valori sono davvero non nulli?

Perché questo passaggio conta

Nel discreto un solo indice contato male modifica il risultato.

La domanda in parole semplici

Separando la somma in tre intervalli si ottengono due code geometriche e un blocco di termini uguali; la parità sostituisce il ritardo con il suo valore assoluto.

Come costruire la risposta senza perderti

Usare la parità e fissare \(m\geq0\).
Dividere la somma nei tre intervalli determinati da \(0\) e \(m\).
Calcolare le due code geometriche.
Contare i \(m\) termini del tratto centrale.
Sostituire \(m\) con \(|m|\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(R_x\): autocorrelazione del segnale \(x\)

Errore che sembra innocuo

Dimenticare uno dei due termini di coda oppure contare \(m+1\) termini nel tratto centrale.

Come raddrizzare il ragionamento

Con la partizione \(0\leq n\leq m-1\) il blocco centrale contiene esattamente \(m\) termini; i punti di bordo sono nelle code.

Fermati e verifica se hai capito

Come si verifica il risultato usando \(R_x[0]=E_x\)?
Perché serve la condizione \(0<a<1\)?

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Capitolo 3

Sistemi LTI e convoluzione

Proprietà dei sistemi, delta, risposta impulsiva, convoluzione e stabilità.

18 Dimostrazione · Capitolo 3Dimostrare perché la risposta impulsiva caratterizza un sistema LTI.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 38-39Appunti_02 - Sistemi LTI e risposta impulsiva, pp. 11-19Formulario_tds, pp. 4-5

La riproducibilità scompone l'ingresso in impulsi traslati; linearità e tempo-invarianza trasformano ciascun impulso nella corrispondente copia traslata di \(h\), ottenendo la convoluzione.

Per un sistema \(T\) lineare e tempo-invariante si definisce \[ h(t)=T\{\delta(t)\}. \] La proprietà di riproducibilità rappresenta un ingresso come \[ x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tau. \] Applicando il sistema e usando la linearità, nella classe di segnali per cui è lecito scambiare sistema e integrale, \[ y(t)=T\{x(t)\} =\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau) T\{\delta(t-\tau)\}\,d\tau. \] La tempo-invarianza implica \[ T\{\delta(t-\tau)\}=h(t-\tau). \] Segue \[ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau =(x*h)(t). \]

Nel discreto la dimostrazione è identica ma non richiede un integrale: \[ x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k], \qquad y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]. \] Conoscere \(h\) determina quindi l’uscita per ogni ingresso ammesso: la risposta impulsiva è una caratterizzazione completa del sistema LTI.

Catena logica della dimostrazione

L'ingresso è scritto come sovrapposizione di impulsi pesati.
La linearità consente di sovrapporre le risposte ai singoli impulsi.
La tempo-invarianza trasforma la risposta a \(\delta(t-\tau)\) in \(h(t-\tau)\).
L'integrale risultante è la convoluzione \(x*h\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

La riproducibilità scompone l’ingresso in impulsi traslati; linearità e tempo-invarianza trasformano ciascun impulso nella corrispondente copia traslata di \(h\), ottenendo la convoluzione.

Come costruire la risposta senza perderti

Definire \(h=T\{\delta\}\).
Scomporre l'ingresso tramite la proprietà di riproducibilità.
Portare pesi e somma o integrale fuori da \(T\) per linearità.
Usare la tempo-invarianza sugli impulsi traslati.
Riconoscere la convoluzione.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(y(t)\): uscita continua del sistema
\(\tau\): ritardo usato in correlazione o variabile interna, secondo il contesto
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Dire che ogni sistema possiede una risposta impulsiva che lo caratterizza completamente.

Come raddrizzare il ragionamento

La conclusione vale per sistemi LTI e nella classe operativa di segnali in cui la scomposizione e lo scambio con il sistema sono ammessi.

Fermati e verifica se hai capito

In quale passaggio si usa la linearità e in quale la tempo-invarianza?
Qual è la forma discreta della stessa dimostrazione?

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19 Dimostrazione · Capitolo 3Ricavare causalità, stabilità BIBO e non-dispersività dalla risposta impulsiva.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 40-41Appunti_02 - Proprietà dei sistemi, pp. 4-9Appunti_02 - Sistemi LTI, pp. 22-25Formulario_tds, pp. 4-5

Nel modello LTI, supporto destro, integrabilità assoluta e delta non traslata caratterizzano rispettivamente causalità, stabilità BIBO e assenza di memoria.

Per un sistema LTI, \[ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,d\tau. \]

Causalità. Se \(h(s)=0\) per \(s<0\), allora in \(y(t)\) possono contribuire soltanto i valori con \(t-\tau\geq0\), cioè \(\tau\leq t\): non compare il futuro dell’ingresso. Viceversa, se \(h(s_0)\neq0\) per qualche \(s_0<0\), la risposta a un impulso posto in \(\tau=t-s_0>t\) influenzerebbe l’uscita al tempo \(t\). Quindi \[ \text{causale}\quad\Longleftrightarrow\quad h(t)=0\ \text{per }t<0. \]

Stabilità BIBO. Se \(|x(t)|\leq M_x\), \[ |y(t)|\leq M_x\int_{-\infty}^{+\infty}|h(\alpha)|\,d\alpha. \] L’integrabilità assoluta di \(h\) è dunque sufficiente. Nel consueto modello di convoluzione è anche necessaria: scegliendo un ingresso limitato con fase opposta a quella di \(h(t-\tau)\), i contributi si sommano in modulo e un’integrale assoluto infinito produrrebbe un’uscita non limitata. Pertanto \[ \text{BIBO stabile}\quad\Longleftrightarrow\quad \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|\,dt<\infty. \]

Non-dispersività. Negli appunti questo termine coincide con l’assenza di memoria. Per ogni ingresso si deve dunque avere \[ y(t)=Kx(t). \] Per la neutralità della delta ciò accade se \[ h(t)=K\delta(t), \] e, viceversa, applicando il sistema a \(\delta(t)\), proprio questa deve essere la sua risposta impulsiva. Va distinta l’assenza di distorsione di forma: \(h(t)=K\delta(t-t_0)\) produce soltanto scala e ritardo, ma per \(t_0\ne0\) l’uscita dipende da un istante diverso e il sistema possiede memoria.

Nel discreto si sostituiscono l’integrale con la somma e \(h(t)=K\delta(t)\) con \(h[n]=K\delta[n]\).

Catena logica della dimostrazione

Il supporto di \(h\) sul semiasse non negativo equivale alla causalità.
L'integrabilità assoluta di \(h\) limita uniformemente l'uscita.
Un ingresso allineato alla fase mostra la necessità dell'integrabilità assoluta.
Una delta non traslata rende l'uscita istantanea; una delta traslata introduce invece memoria.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina una scatola che trasforma ingressi in uscite e chiedi quali informazioni usa e quali strutture conserva.

Prima domanda da farti

La proprietà deve valere per ogni ingresso o soltanto per quello dell'esempio?

Perché questo passaggio conta

Le definizioni separano una proprietà generale da un comportamento accidentale.

La domanda in parole semplici

Nel modello LTI, supporto destro, integrabilità assoluta e delta non traslata caratterizzano rispettivamente causalità, stabilità BIBO e assenza di memoria.

Come costruire la risposta senza perderti

Partire dalla convoluzione ingresso-risposta impulsiva.
Leggere la causalità dal vincolo \(t-\tau\geq0\).
Stimare \(|y(t)|\) con \(M_x\int|h|\).
Usare un ingresso allineato alla fase di \(h\) per la necessità BIBO.
Usare la delta non traslata per l'assenza di memoria e distinguere il puro ritardo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(h(t)\): risposta impulsiva continua del sistema LTI
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Presentare la disuguaglianza BIBO come prova sia della sufficienza sia della necessità.

Come raddrizzare il ragionamento

La disuguaglianza prova la sufficienza; la necessità richiede costruire un ingresso limitato che allinei la fase dei contributi di \(h\).

Fermati e verifica se hai capito

Perché un puro ritardo conserva la forma ma, se \(t_0\ne0\), non è senza memoria?
Come diventano i tre criteri nel tempo discreto?

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Capitolo 4

Serie di Fourier

Analisi, sintesi, convergenza, simmetrie, Parseval e spettri a righe.

20 Dimostrazione · Capitolo 4Passare dalla forma trigonometrica alla sintesi complessa della serie di Fourier.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 42-43Appunti_03 - Sviluppo in serie di Fourier, pp. 1-6Formulario_tds, pp. 4-5

Le formule di Eulero separano ciascun coseno e seno in due armoniche complesse opposte, identificando i coefficienti \(X_k\) e \(X_{-k}\).

Con la convenzione trigonometrica degli appunti, \[ x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \left[a_k\cos(2\pi kf_0t)-b_k\sin(2\pi kf_0t)\right]. \] Si applicano \[ \cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}2, \qquad \sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}. \] Per ogni \(k\geq1\), \[ a_k\cos\theta-b_k\sin\theta =\frac{a_k-jb_k}{2}e^{j\theta} +\frac{a_k+jb_k}{2}e^{-j\theta}. \] Ponendo \[ X_0=\frac{a_0}{2},\qquad X_k=\frac{a_k-jb_k}{2},\qquad X_{-k}=\frac{a_k+jb_k}{2}, \] si ricompone la sintesi complessa \[ x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_ke^{j2\pi kf_0t}. \] Se \(x(t)\) è reale, \(a_k\) e \(b_k\) sono reali e le due espressioni mostrano subito la simmetria \(X_{-k}=X_k^*\).

Catena logica della dimostrazione

Ogni coseno si divide in due esponenziali di frequenza opposta.
Ogni seno produce gli stessi esponenziali con coefficienti immaginari opposti.
Il raggruppamento identifica \(X_k\) e \(X_{-k}\).
L'aggiunta del termine continuo \(X_0\) ricostruisce la somma su tutti gli interi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Le formule di Eulero separano ciascun coseno e seno in due armoniche complesse opposte, identificando i coefficienti \(X_k\) e \(X_{-k}\).

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere la serie trigonometrica con la convenzione di segno del corso.
Sostituire le formule di Eulero.
Raggruppare i coefficienti di \(e^{j2\pi kf_0t}\) ed \(e^{-j2\pi kf_0t}\).
Definire \(X_0\), \(X_k\) e \(X_{-k}\).
Verificare la simmetria coniugata per \(x(t)\) reale.

Errore che sembra innocuo

Memorizzare i segni di \(jb_k\) senza controllare la convenzione usata davanti al seno.

Come raddrizzare il ragionamento

Partire sempre dalla formula di Eulero e dal segno effettivo della serie: qui compare \(-b_k\sin(\cdot)\).

Fermati e verifica se hai capito

Come cambia la corrispondenza se la serie trigonometrica usa \(+b_k\sin(\cdot)\)?
Quale proprietà dei coefficienti segue dalla realtà del segnale?

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21 Dimostrazione · Capitolo 4Derivare la formula di analisi dei coefficienti \(X_k\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 43-44Appunti_03 - Coefficienti della serie, pp. 5-8Formulario_tds, pp. 4-5

Moltiplicando la sintesi per l'armonica coniugata e integrando su un periodo, l'ortogonalità annulla tutti i termini eccetto quello desiderato.

Si parte dalla sintesi \[ x(t)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}X_me^{j2\pi mf_0t}, \qquad f_0=\frac1{T_0}. \] Si moltiplica per \(e^{-j2\pi kf_0t}\) e si integra su un intervallo qualsiasi \([t_0,t_0+T_0]\): \[ \int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}dt =\sum_m X_m\int_{t_0}^{t_0+T_0} e^{j2\pi(m-k)f_0t}dt. \] Per \(m=k\) l’integrando vale uno e l’integrale è \(T_0\). Per \(m\neq k\), \[ \int_{t_0}^{t_0+T_0}e^{j2\pi(m-k)t/T_0}dt=0, \] perché si integra un numero intero non nullo di cicli. Resta soltanto \[ \int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}dt=T_0X_k. \] Dividendo per il periodo, \[ X_k=\frac1{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0} x(t)e^{-j2\pi kf_0t}dt. \] L’intervallo iniziale è arbitrario purché la sua ampiezza sia \(T_0\).

Catena logica della dimostrazione

La sintesi viene proiettata sull'armonica di indice \(k\).
Il prodotto genera esponenziali con indice \(m-k\).
L'integrale su un periodo annulla tutti gli indici non nulli.
Il solo termine \(m=k\) vale \(T_0X_k\), da cui la formula.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Moltiplicando la sintesi per l’armonica coniugata e integrando su un periodo, l’ortogonalità annulla tutti i termini eccetto quello desiderato.

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere la sintesi con indice \(m\).
Moltiplicare per \(e^{-j2\pi kf_0t}\).
Integrare su un periodo.
Applicare l'ortogonalità delle armoniche.
Dividere il termine superstite per \(T_0\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo
\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Usare lo stesso indice \(k\) sia nella serie sia nell’armonica selezionata, rendendo invisibile il meccanismo di selezione.

Come raddrizzare il ragionamento

Usare \(m\) nella sommatoria e \(k\) per il coefficiente cercato; l’ortogonalità impone \(m=k\).

Fermati e verifica se hai capito

Perché l'intervallo di integrazione può iniziare in qualunque \(t_0\)?
Quanto vale il coefficiente \(X_0\)?

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22 Dimostrazione · Capitolo 4Calcolare i coefficienti del treno periodico di impulsi rettangolari.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 44-45Appunti_03 - Spettri di segnali periodici, pp. 9-15Formulario_tds, pp. 4-5

L'integrale di analisi si restringe alla durata \(T\) del rettangolo e produce una sinc campionata ai multipli della frequenza fondamentale.

Sia \[ x(t)=\operatorname{rep}_{T_0} \left[A\Pi\!\left(\frac tT\right)\right], \qquad f_0=\frac1{T_0}, \] con \(0<T\leq T_0\) e impulso centrato. Su un periodo il segnale è \(A\) per \(|t|\leq T/2\), quindi \[ X_k=\frac{A}{T_0}\int_{-T/2}^{T/2} e^{-j2\pi kf_0t}dt. \] Per \(k=0\), \[ X_0=\frac{AT}{T_0}. \] Per \(k\neq0\), la valutazione agli estremi dà \[ X_k=\frac{A}{T_0} \frac{\sin(\pi kf_0T)}{\pi kf_0}. \] Introducendo la sinc normalizzata \[ \operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}, \] la stessa espressione comprende anche \(k=0\): \[ X_k=\frac{AT}{T_0}\operatorname{sinc}(kf_0T) =\frac{AT}{T_0}\operatorname{sinc}\!\left(k\frac{T}{T_0}\right). \] Il coefficiente continuo coincide con la media \(A\,T/T_0\), utile controllo del risultato.

Catena logica della dimostrazione

La formula di analisi si restringe al tratto in cui il rettangolo vale \(A\).
Il coefficiente continuo è l'area in un periodo divisa per \(T_0\).
Per \(k\neq0\) gli estremi simmetrici producono un seno.
La normalizzazione raccoglie il risultato nella sinc.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

L’integrale di analisi si restringe alla durata \(T\) del rettangolo e produce una sinc campionata ai multipli della frequenza fondamentale.

Come costruire la risposta senza perderti

Ridurre l'integrale al supporto \([-T/2,T/2]\).
Calcolare separatamente il caso \(k=0\).
Valutare l'esponenziale agli estremi per \(k\neq0\).
Riconoscere la sinc normalizzata.
Controllare che \(X_0\) coincida con la media.

Leggi i simboli, non recitarli

\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo

Errore che sembra innocuo

Applicare la formula integrata con \(1/k\) anche in \(k=0\).

Come raddrizzare il ragionamento

Trattare \(k=0\) direttamente oppure usare l’estensione continua \(\operatorname{sinc}(0)=1\).

Fermati e verifica se hai capito

Come cambia \(X_k\) se il generatore è traslato di \(t_c\)?
Quale significato ha \(X_0\) nel dominio del tempo?

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23 Dimostrazione · Capitolo 4Dimostrare la relazione di Parseval per un segnale periodico.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 45-46Appunti_03 - Parseval, pp. 7-8Formulario_tds, pp. 4-5

L'espansione di \(|x(t)|^2\) genera prodotti fra tutte le armoniche; l'ortogonalità su un periodo elimina i termini incrociati e lascia la somma di \(|X_k|^2\).

Sia \[ x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_ke^{jk\omega_0t}. \] Il complesso coniugato è \[ x^*(t)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}X_m^*e^{-jm\omega_0t}. \] Moltiplicando, \[ |x(t)|^2=\sum_k\sum_m X_kX_m^*e^{j(k-m)\omega_0t}. \] Sotto le usuali condizioni di convergenza, si integra termine a termine su un periodo e si divide per \(T_0\): \[ \frac1{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}|x(t)|^2dt =\sum_k\sum_m X_kX_m^* \frac1{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0} e^{j(k-m)\omega_0t}dt. \] L’ortogonalità rende l’ultimo fattore uguale a \(1\) se \(k=m\) e a \(0\) altrimenti. Rimane \[ P_x=\frac1{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}|x(t)|^2dt =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|X_k|^2. \] Moltiplicando per \(T_0\) si ottiene anche l’energia contenuta in un periodo.

Catena logica della dimostrazione

Il modulo quadrato è il prodotto della serie per la sua coniugata.
Il prodotto genera una doppia somma indicizzata da \(k\) e \(m\).
La media su un periodo annulla i termini con \(k\neq m\).
I termini diagonali valgono \(|X_k|^2\), la cui somma è \(P_x\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

L’espansione di \(|x(t)|^2\) genera prodotti fra tutte le armoniche; l’ortogonalità su un periodo elimina i termini incrociati e lascia la somma di \(|X_k|^2\).

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere la serie di \(x(t)\) e quella di \(x^*(t)\).
Formare la doppia somma per \(|x(t)|^2\).
Mediare su un periodo.
Usare l'ortogonalità per imporre \(k=m\).
Riconoscere la somma \(\sum_k|X_k|^2\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Confondere Parseval della serie con Parseval della trasformata e omettere il fattore \(1/T_0\).

Come raddrizzare il ragionamento

Per un periodico la grandezza a sinistra è la potenza media; l’energia su un periodo è \(T_0\sum_k|X_k|^2\).

Fermati e verifica se hai capito

Qual è l'interpretazione fisica dei termini \(|X_k|^2\)?
Come si ricava l'energia contenuta in un periodo?

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24 Dimostrazione · Capitolo 4Calcolare i coefficienti del treno triangolare di periodo \(T_0\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 46-47Appunti_03 - Esempi di serie di Fourier, pp. 12-16Formulario_tds, pp. 4-5

La parità riduce l'analisi a un integrale di coseno pesato da una rampa; l'integrazione produce \(X_k=(A/2)\operatorname{sinc}^2(k/2)\).

In un periodo, \[ x(t)=A\left(1-\frac{2|t|}{T_0}\right), \qquad |t|\leq\frac{T_0}{2}. \] Il segnale è reale e pari, quindi \[ X_k=\frac{2A}{T_0}\int_0^{T_0/2} \left(1-\frac{2t}{T_0}\right) \cos\!\left(\frac{2\pi kt}{T_0}\right)dt. \] Per \(k=0\), l’area del triangolo divisa per il periodo dà \[ X_0=\frac A2. \] Per \(k\neq0\), integrando la rampa per parti e valutando agli estremi, \[ X_k=\frac{A}{2} \left(\frac{\sin(\pi k/2)}{\pi k/2}\right)^2. \] Con la sinc normalizzata, \[ X_k=\frac A2\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac k2\right), \qquad k\in\mathbb Z. \] Per \(k\) pari e non nullo il coefficiente si annulla; per gli indici dispari i coefficienti decadono come \(1/k^2\), più rapidamente del treno rettangolare perché il triangolo è continuo.

Catena logica della dimostrazione

La parità trasforma l'esponenziale complesso in un coseno su mezzo periodo.
Il coefficiente continuo è l'area triangolare divisa per \(T_0\).
L'integrazione della rampa produce il quadrato del rapporto sinusoidale.
La definizione di sinc raccoglie tutti i coefficienti, incluso \(k=0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

La parità riduce l’analisi a un integrale di coseno pesato da una rampa; l’integrazione produce \(X_k=(A/2)\operatorname{sinc}^2(k/2)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Esplicitare il generatore triangolare su un periodo.
Usare realtà e parità per ridurre l'integrale.
Calcolare \(X_0\) tramite l'area.
Valutare l'integrale per \(k\neq0\) mediante integrazione per parti.
Riconoscere la sinc al quadrato.

Errore che sembra innocuo

Dimenticare il fattore \(1/2\) dovuto all’area del triangolo in un periodo.

Come raddrizzare il ragionamento

Controllare sempre \(X_0=\langle x\rangle=A/2\); la stessa costante deve comparire nella formula compatta.

Fermati e verifica se hai capito

Per quali indici \(k\neq0\) i coefficienti si annullano?
Perché il decadimento è \(1/k^2\) e non \(1/k\)?

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34 Dimostrazione · Capitolo 4Dimostrare perché per un segnale discreto di periodo \(N_0\) bastano \(N_0\) armoniche.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 61-63Appunti_03 - Serie di Fourier discreta, pp. 23-31Formulario_tds, pp. 4-5

Le frequenze ammesse sono \(k/N_0\), ma gli indici che differiscono di \(N_0\) generano la stessa sequenza; le \(N_0\) armoniche residue formano una base ortogonale.

Un esponenziale discreto \(e^{j2\pi\nu n}\) è compatibile con il periodo \(N_0\) se \[ e^{j2\pi\nu(n+N_0)}=e^{j2\pi\nu n}, \] ossia \[ e^{j2\pi\nu N_0}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \nu=\frac{k}{N_0},\qquad k\in\mathbb Z. \] Le armoniche ammesse sono quindi \(e^{j2\pi kn/N_0}\).

Tuttavia, \[ e^{j2\pi(k+N_0)n/N_0} =e^{j2\pi kn/N_0}e^{j2\pi n} =e^{j2\pi kn/N_0}. \] Gli indici \(k\) e \(k+N_0\) descrivono la stessa sequenza. Esistono soltanto \(N_0\) classi distinte, per esempio \(k=0,\ldots,N_0-1\).

Queste armoniche sono ortogonali su un periodo: \[ \sum_{n=0}^{N_0-1} e^{j2\pi kn/N_0}e^{-j2\pi mn/N_0} =N_0\delta_{km}. \] Poiché una sequenza \(N_0\)-periodica è interamente determinata dai suoi \(N_0\) campioni in un periodo, le \(N_0\) armoniche ortogonali costituiscono una base completa dello spazio dei segnali periodici.

Catena logica della dimostrazione

La periodicità temporale quantizza le frequenze in \(k/N_0\).
La periodicità in frequenza identifica gli indici separati da \(N_0\).
Restano \(N_0\) armoniche distinte.
La somma geometrica prova che sono ortogonali.
Essendo \(N_0\) vettori ortogonali in uno spazio di dimensione \(N_0\), formano una base.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina le armoniche come assi ortogonali e i coefficienti come coordinate del segnale periodico.

Prima domanda da farti

Qual è il periodo fondamentale e quale griglia armonica produce?

Perché questo passaggio conta

Periodo e ortogonalità spiegano posizione e valore delle righe spettrali.

La domanda in parole semplici

Le frequenze ammesse sono \(k/N_0\), ma gli indici che differiscono di \(N_0\) generano la stessa sequenza; le \(N_0\) armoniche residue formano una base ortogonale.

Come costruire la risposta senza perderti

Imporre la periodicità all'esponenziale discreto.
Ricavare le frequenze \(\nu_k=k/N_0\).
Mostrare che gli indici si ripetono modulo \(N_0\).
Provare l'ortogonalità su un periodo.
Confrontare con i \(N_0\) gradi di libertà del segnale.

Leggi i simboli, non recitarli

\(N_0\): periodo fondamentale espresso in campioni

Errore che sembra innocuo

Dire che bastano \(N_0\) armoniche soltanto perché si scelgono \(N_0\) campioni, senza mostrare che siano distinte e indipendenti.

Come raddrizzare il ragionamento

Mostrare prima la ripetizione degli indici modulo \(N_0\), poi l’ortogonalità delle \(N_0\) armoniche residue.

Fermati e verifica se hai capito

Perché gli indici dei coefficienti DTFS si considerano modulo \(N_0\)?
Come si dimostra l'ortogonalità delle armoniche discrete?

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Capitolo 5

Trasformata di Fourier

Trasformate notevoli, proprietà, dualità, modulazione e formule di Poisson.

25 Dimostrazione · Capitolo 5Collegare la trasformata del generatore alla serie della sua replicazione periodica.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 47-48Appunti_04 - Relazione serie-trasformata, pp. 1-4Appunti_04 - Formule di Poisson, pp. 21-22Formulario_tds, pp. 5-6

La replicazione nel tempo produce un segnale periodico i cui coefficienti sono campioni della trasformata del generatore, scalati di \(1/T_0\).

Sia \(x_g(t)\) un generatore aperiodico con trasformata \[ X_g(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x_g(t)e^{-j2\pi ft}dt \] e sia \[ x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_g(t-nT_0). \] Il segnale \(x_p\) è periodico di periodo \(T_0\) e ammette la sintesi \[ x_p(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_ke^{j2\pi k t/T_0}. \] La prima formula di Poisson, ottenuta applicando la formula di analisi alla somma delle repliche, è \[ X_k=\frac1{T_0}X_g\!\left(\frac{k}{T_0}\right). \] Di conseguenza \[ x_p(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac1{T_0}X_g\!\left(\frac{k}{T_0}\right) e^{j2\pi kt/T_0}. \] La procedura operativa è quindi: trasformare il generatore, campionare lo spettro in \(f=k/T_0\), poi moltiplicare ogni campione per \(1/T_0\). La periodicità nel tempo corrisponde così a uno spettro a righe in frequenza.

Catena logica della dimostrazione

La replicazione rende il segnale periodico di periodo \(T_0\).
I coefficienti della sua serie si calcolano su un solo periodo.
La somma delle repliche ricopre l'intero asse nel corrispondente integrale.
L'integrale risultante è \(X_g(k/T_0)\), con il fattore esterno \(1/T_0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

La replicazione nel tempo produce un segnale periodico i cui coefficienti sono campioni della trasformata del generatore, scalati di \(1/T_0\).

Come costruire la risposta senza perderti

Definire il generatore e la sua replicazione di periodo \(T_0\).
Scrivere la serie complessa del segnale periodico.
Applicare la relazione di Poisson ai coefficienti.
Interpretare \(X_k\) come campione di \(X_g(f)\) scalato.

Leggi i simboli, non recitarli

\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo
\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)

Errore che sembra innocuo

Campionare \(X_g(f)\) nei punti \(kT_0\) oppure dimenticare il fattore \(1/T_0\).

Come raddrizzare il ragionamento

Le righe sono in \(f=k/T_0=kf_0\) e valgono \(X_g(kf_0)/T_0\).

Fermati e verifica se hai capito

Quali sono i tre passi operativi per ottenere \(X_k\) da \(x_g(t)\)?
Qual è la duale interpretazione del campionamento nel tempo?

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26 Dimostrazione · Capitolo 5Calcolare la trasformata dell'esponenziale monolatero \(e^{-at}u(t)\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 49Appunti_04 - Trasformate notevoli, pp. 10-12, 29Formulario_tds, pp. 7-8

Il gradino restringe l'integrale al semiasse positivo e la parte reale positiva di \(a+j2\pi f\) assicura la convergenza.

Con la convenzione del corso, \[ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt. \] Per \[ x(t)=e^{-at}u(t),\qquad a>0, \] il gradino elimina il semiasse negativo: \[ X(f)=\int_0^{+\infty}e^{-at}e^{-j2\pi ft}dt =\int_0^{+\infty}e^{-(a+j2\pi f)t}dt. \] Poiché \(\operatorname{Re}\{a+j2\pi f\}=a>0\), il termine esponenziale tende a zero per \(t\to+\infty\). Quindi \[ X(f)= \left[\frac{-e^{-(a+j2\pi f)t}}{a+j2\pi f}\right]_0^{+\infty} =\frac1{a+j2\pi f}. \] Per un’ampiezza \(A\), la linearità dà \[ \mathcal F\{Ae^{-at}u(t)\}=\frac{A}{a+j2\pi f}. \] Ponendo \(a=1/T\) si recupera la forma \(AT/(1+j2\pi fT)\).

Catena logica della dimostrazione

Il gradino riduce l'integrale a \([0,+\infty)\).
I due esponenziali si combinano con parametro \(a+j2\pi f\).
La parte reale positiva garantisce l'annullamento all'infinito.
La valutazione della primitiva dà \(1/(a+j2\pi f)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Il gradino restringe l’integrale al semiasse positivo e la parte reale positiva di \(a+j2\pi f\) assicura la convergenza.

Come costruire la risposta senza perderti

Usare \(u(t)\) per fissare l'estremo inferiore a \(0\).
Riunire gli esponenziali in \(e^{-(a+j2\pi f)t}\).
Verificare \(\operatorname{Re}\{a+j2\pi f\}>0\).
Valutare la primitiva agli estremi.

Errore che sembra innocuo

Omettere il fattore \(2\pi\) pur usando la frequenza \(f\) in hertz.

Come raddrizzare il ragionamento

Con il nucleo \(e^{-j2\pi ft}\) il denominatore è \(a+j2\pi f\); \(a+j\omega\) appartiene alla convenzione in pulsazione.

Fermati e verifica se hai capito

Come si riscrive il risultato usando la costante di tempo \(T=1/a\)?
Perché la trasformata ordinaria non converge se \(a\leq0\)?

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27 Dimostrazione · Capitolo 5Dimostrare Parseval per i segnali di energia.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 49-50Appunti_04 - Proprietà della trasformata, pp. 7, 32Formulario_tds, pp. 5-6

Sostituendo la sintesi di \(x\) nel prodotto \(x x^*\), l'integrale interno è \(X^*(f)\); resta l'integrale di \(|X(f)|^2\).

Sia \(x(t)\) un segnale di energia con coppia di trasformazione \[ X(f)=\int x(t)e^{-j2\pi ft}dt, \qquad x(t)=\int X(f)e^{j2\pi ft}df. \] L’energia è \[ E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x^*(t)dt. \] Sostituendo la sintesi di \(x(t)\) e scambiando gli integrali sotto le usuali ipotesi, oppure usando il teorema di Plancherel, \[ E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f) \left[\int_{-\infty}^{+\infty} x^*(t)e^{j2\pi ft}dt\right]df. \] Il termine tra parentesi è \[ \left[\int x(t)e^{-j2\pi ft}dt\right]^*=X^*(f). \] Pertanto \[ E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)X^*(f)df =\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2df. \] Con la convenzione in hertz usata nel corso non compare alcun fattore \(2\pi\) nella relazione finale.

Catena logica della dimostrazione

L'energia è il prodotto scalare di \(x\) con sé stesso.
La sintesi trasferisce un fattore nel dominio della frequenza.
L'integrale temporale interno coincide con \(X^*(f)\).
Il prodotto \(X(f)X^*(f)\) è \(|X(f)|^2\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Sostituendo la sintesi di \(x\) nel prodotto \(x x^*\), l’integrale interno è \(X^*(f)\); resta l’integrale di \(|X(f)|^2\).

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere l'energia come \(\int x(t)x^*(t)dt\).
Sostituire l'anti-trasformata di \(x(t)\).
Scambiare gli integrali sotto le ipotesi di validità.
Riconoscere \(X^*(f)\) nell'integrale interno.
Concludere con \(\int|X(f)|^2df\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(X(f)\): trasformata di Fourier del segnale \(x(t)\)
\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Applicare la relazione a un segnale periodico di energia infinita.

Come raddrizzare il ragionamento

Questa forma riguarda segnali di energia e la trasformata continua; per i periodici si usa la potenza e la somma dei coefficienti di serie.

Fermati e verifica se hai capito

Perché con la convenzione del corso non compare un fattore \(2\pi\)?
Qual è la differenza concettuale rispetto a Parseval della serie di Fourier?

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28 Dimostrazione · Capitolo 5Dimostrare la proprietà di modulazione della trasformata di Fourier.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 50-51Appunti_04 - Proprietà di modulazione, pp. 15-16, 33Formulario_tds, pp. 5-6

Moltiplicare per un fasore nel tempo modifica il nucleo della trasformata da \(f\) a \(f-f_0\), traslando lo spettro verso destra di \(f_0\).

Sia \[ x(t)\longleftrightarrow X(f) \] e si definisca \[ y(t)=x(t)e^{j2\pi f_0t}. \] Per definizione, \[ Y(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}dt. \] Riunendo gli esponenziali, \[ e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft} =e^{-j2\pi(f-f_0)t}, \] quindi \[ Y(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j2\pi(f-f_0)t}dt=X(f-f_0). \] La forma \(X(f-f_0)\) è centrata in \(f=f_0\), perciò un fasore di frequenza positiva trasla lo spettro verso destra.

Per completezza interna allo stesso argomento, usando \(\cos(2\pi f_0t+\phi)\) come somma di due fasori si ricava \[ x(t)\cos(2\pi f_0t+\phi) \longleftrightarrow \frac{e^{j\phi}}2X(f-f_0) +\frac{e^{-j\phi}}2X(f+f_0). \]

Catena logica della dimostrazione

Il fasore viene inserito nell'integrale di analisi.
Gli esponenti si sommano dando la frequenza \(f-f_0\).
L'integrale è esattamente \(X\) valutata in \(f-f_0\).
Il centro dello spettro si sposta da \(0\) a \(f_0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Moltiplicare per un fasore nel tempo modifica il nucleo della trasformata da \(f\) a \(f-f_0\), traslando lo spettro verso destra di \(f_0\).

Come costruire la risposta senza perderti

Sostituire il segnale modulato nella definizione di trasformata.
Combinare i due esponenziali.
Riconoscere la trasformata valutata in \(f-f_0\).
Interpretare il segno della traslazione.

Leggi i simboli, non recitarli

\(x(t)\): segnale continuo osservato all'istante \(t\)
\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)

Errore che sembra innocuo

Interpretare \(X(f-f_0)\) come uno spostamento verso sinistra.

Come raddrizzare il ragionamento

Il nuovo centro soddisfa \(f-f_0=0\), quindi si trova in \(f=f_0\): lo spostamento è verso destra.

Fermati e verifica se hai capito

Qual è la trasformata della modulazione con \(e^{-j2\pi f_0t}\)?
Come si ottengono le due repliche generate da un coseno?

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29 Dimostrazione · Capitolo 5Dimostrare le trasformate del fasore e del coseno.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 51-53Appunti_04 - Trasformate e fasori, pp. 16, 40-41Formulario_tds, pp. 7-8

La sintesi della delta genera un singolo fasore; la formula di Eulero e la linearità trasformano il coseno in due delta simmetriche.

La coppia va intesa nel senso delle distribuzioni. Dalla formula di sintesi, \[ x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{j2\pi ft}df. \] Scegliendo \(X(f)=\delta(f-f_0)\) e usando la proprietà di campionamento, \[ x(t)=\int\delta(f-f_0)e^{j2\pi ft}df =e^{j2\pi f_0t}. \] Quindi \[ \mathcal F\{e^{j2\pi f_0t}\}=\delta(f-f_0). \]

La formula di Eulero dà \[ \cos(2\pi f_0t) =\frac12e^{j2\pi f_0t} +\frac12e^{-j2\pi f_0t}. \] Per linearità e applicando la coppia precedente alle frequenze \(f_0\) e \(-f_0\), \[ \mathcal F\{\cos(2\pi f_0t)\} =\frac12\left[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\right]. \] Le due righe simmetriche sono necessarie perché il coseno è reale.

Catena logica della dimostrazione

Una delta in frequenza seleziona un solo esponenziale nella sintesi.
Questo stabilisce la coppia del fasore.
Il coseno si scompone in due fasori opposti.
La linearità produce le due delta simmetriche.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

La sintesi della delta genera un singolo fasore; la formula di Eulero e la linearità trasformano il coseno in due delta simmetriche.

Come costruire la risposta senza perderti

Partire dall'equazione di sintesi.
Inserire \(X(f)=\delta(f-f_0)\).
Applicare il campionamento della delta.
Espandere il coseno con Eulero.
Usare linearità e la coppia del fasore.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)
\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto

Errore che sembra innocuo

Scrivere una sola delta per il coseno reale.

Come raddrizzare il ragionamento

Il coseno contiene due fasori di frequenza opposta e quindi due delta, ciascuna pesata da \(1/2\).

Fermati e verifica se hai capito

Qual è la trasformata di \(\sin(2\pi f_0t)\)?
Perché queste trasformate devono essere intese in senso distribuzionale?

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30 Dimostrazione · Capitolo 5Dimostrare la prima formula di Poisson.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 53-55Appunti_04 - Formule di Poisson, pp. 21-22Formulario_tds, pp. 5-6

Sostituendo la replicazione nella formula di analisi, i cambi di variabile trasformano la somma di integrali su periodi adiacenti in un unico integrale su \(\mathbb R\), cioè nella trasformata del generatore campionata.

Sia \[ x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_g(t-nT_0), \qquad f_0=\frac1{T_0}. \] Il coefficiente della serie è \[ X_k=\frac1{T_0}\int_0^{T_0} x_p(t)e^{-j2\pi kf_0t}dt. \] Sostituendo la replicazione e scambiando somma e integrale sotto le ipotesi di convergenza, \[ X_k=\frac1{T_0}\sum_n\int_0^{T_0} x_g(t-nT_0)e^{-j2\pi kf_0t}dt. \] In ciascun termine si pone \(\alpha=t-nT_0\). Allora \[ e^{-j2\pi kf_0t} =e^{-j2\pi kf_0\alpha}e^{-j2\pi kn} =e^{-j2\pi kf_0\alpha}, \] perché \(k,n\in\mathbb Z\). Gli intervalli \([-nT_0,(1-n)T_0]\), al variare di \(n\), ricoprono l’intero asse senza sovrapposizioni rilevanti. Quindi \[ X_k=\frac1{T_0}\int_{-\infty}^{+\infty} x_g(\alpha)e^{-j2\pi(kf_0)\alpha}d\alpha. \] L’integrale è \(X_g(kf_0)\), perciò \[ X_k=\frac1{T_0}X_g(kf_0). \] La periodicità nel tempo genera dunque campioni spettrali alle frequenze \(kf_0\).

Catena logica della dimostrazione

La formula di analisi viene applicata al segnale replicato.
La linearità separa il contributo di ogni replica.
Il cambio di variabile elimina la traslazione e produce \(e^{-j2\pi kn}=1\).
Gli intervalli trasformati tassellano l'intero asse.
L'integrale complessivo è la trasformata del generatore valutata in \(kf_0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere il coefficiente della replicazione su un periodo.
Sostituire la somma delle repliche.
Scambiare somma e integrale sotto le ipotesi di convergenza.
Applicare \(\alpha=t-nT_0\) a ciascun termine.
Usare \(e^{-j2\pi kn}=1\) e unire gli intervalli.
Riconoscere \(X_g(kf_0)\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(T_0\): periodo fondamentale nel tempo continuo
\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)

Errore che sembra innocuo

Affermare che su un singolo periodo \(x_p(t)\) coincide sempre con \(x_g(t)\), anche quando le repliche si sovrappongono.

Come raddrizzare il ragionamento

La dimostrazione generale non richiede tale coincidenza: usa la somma delle repliche e ricompone l’integrale su tutto l’asse.

Fermati e verifica se hai capito

Perché il fattore \(e^{-j2\pi kn}\) vale uno?
Come ricoprono \(\mathbb R\) gli intervalli prodotti dal cambio di variabile?

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31 Dimostrazione · Capitolo 5Ricavare le trasformate del gradino e del signum.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 55-57Appunti_04 - Trasformate generalizzate, pp. 17, 40Formulario_tds, pp. 7-8

Una regolarizzazione esponenziale del gradino converge a un valore principale più una delta; la relazione \(\operatorname{sgn}(t)=2u(t)-1\) elimina poi la componente impulsiva.

Le trasformate non esistono come integrali ordinari e vanno intese in senso distribuzionale. Si regolarizza il gradino con \[ u_\varepsilon(t)=e^{-\varepsilon t}u(t), \qquad \varepsilon>0. \] Dalla trasformata dell’esponenziale monolatero, \[ U_\varepsilon(f)=\frac1{\varepsilon+j2\pi f}. \] Nel limite distribuzionale \(\varepsilon\to0^+\), la formula di Sokhotski-Plemelj, nella convenzione in hertz, dà \[ \lim_{\varepsilon\to0^+}\frac1{\varepsilon+j2\pi f} =\operatorname{PV}\!\left(\frac1{j2\pi f}\right) +\frac12\delta(f). \] Pertanto \[ \mathcal F\{u(t)\} =\operatorname{PV}\!\left(\frac1{j2\pi f}\right) +\frac12\delta(f). \]

Ora \[ \operatorname{sgn}(t)=2u(t)-1, \qquad \mathcal F\{1\}=\delta(f). \] Per linearità, \[ \mathcal F\{\operatorname{sgn}(t)\} =2\operatorname{PV}\!\left(\frac1{j2\pi f}\right) +\delta(f)-\delta(f) =\operatorname{PV}\!\left(\frac1{j\pi f}\right). \] Il valore scelto per \(u(0)\) non determina il coefficiente della delta, perché modificare un singolo punto non cambia una distribuzione regolare; il termine \( \delta(f)/2 \) emerge correttamente dalla regolarizzazione.

Catena logica della dimostrazione

Il gradino viene approssimato da un esponenziale monolatero convergente.
La sua trasformata è \(1/(\varepsilon+j2\pi f)\).
Il limite produce un valore principale e metà delta.
La relazione fra signum, gradino e costante annulla i termini impulsivi.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Una regolarizzazione esponenziale del gradino converge a un valore principale più una delta; la relazione \(\operatorname{sgn}(t)=2u(t)-1\) elimina poi la componente impulsiva.

Come costruire la risposta senza perderti

Regolarizzare \(u(t)\) con \(e^{-\varepsilon t}u(t)\).
Trasformare ottenendo \(1/(\varepsilon+j2\pi f)\).
Passare al limite distribuzionale con valore principale e delta.
Usare \(\operatorname{sgn}(t)=2u(t)-1\).
Applicare \(\mathcal F\{1\}=\delta(f)\) e semplificare.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\delta\): impulso unitario continuo o discreto

Errore che sembra innocuo

Determinare il coefficiente della delta dicendo soltanto che \(u(0)=1/2\).

Come raddrizzare il ragionamento

Il valore in un singolo punto non cambia la trasformata distribuzionale; il coefficiente \(1/2\) si ricava con una regolarizzazione o una coppia distribuzionale equivalente.

Fermati e verifica se hai capito

Perché dalla sola equazione \(j2\pi fU(f)=1\) resta indeterminato un termine in \(\delta(f)\)?
Perché il valore assegnato a \(u(0)\) non fissa la trasformata?

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35 Dimostrazione · Capitolo 5Ricavare la formula di analisi della DTFT dal limite della serie discreta.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 63-64Appunti_04 - Trasformata dei segnali discreti, pp. 25-31Formulario_tds, pp. 5-6

Quando il periodo tende all'infinito, la griglia armonica diventa continua e il coefficiente DTFS riscalato \(N_0X_k\) tende alla somma bilatera che definisce \(X(\nu)\).

Per una sequenza \(N_0\)-periodica, i coefficienti DTFS sono \[ X_k^{(N_0)}=\frac1{N_0} \sum_{n\in\mathcal I_{N_0}} x_{N_0}[n]e^{-j2\pi(k/N_0)n}, \] dove \(\mathcal I_{N_0}\) è un qualunque periodo completo. Definendo \[ \nu_k=\frac{k}{N_0},\qquad \Delta\nu=\frac1{N_0}, \] si ha \[ N_0X_k^{(N_0)} =\sum_{n\in\mathcal I_{N_0}} x_{N_0}[n]e^{-j2\pi\nu_kn}. \]

Si considerino periodizzazioni di troncamenti di una sequenza aperiodica \(x[n]\), ampliando simmetricamente il tratto conservato mentre \(N_0\to\infty\). Se \(x\in\ell^1\), le somme convergono alla serie bilatera e la convergenza è uniforme in \(\nu\): \[ X(\nu)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-j2\pi\nu n}. \] Per \(x\in\ell^2\) la stessa relazione si interpreta nel senso quadratico, non necessariamente come funzione continua.

Contemporaneamente \(\Delta\nu\to0\), quindi le frequenze \(\nu_k\) riempiono un intervallo fondamentale. La sintesi DTFS \[ x[n]=\sum_kX_k^{(N_0)}e^{j2\pi\nu_kn} \] si legge come una somma di Riemann, \[ x[n]=\sum_k \left(N_0X_k^{(N_0)}\right)e^{j2\pi\nu_kn}\Delta\nu \longrightarrow \int_{-1/2}^{1/2}X(\nu)e^{j2\pi\nu n}d\nu. \] La formula di analisi richiesta è dunque la somma bilatera sopra.

Catena logica della dimostrazione

La DTFS campiona una griglia \(\nu_k=k/N_0\).
Il prodotto \(N_0X_k^{(N_0)}\) è una somma di trasformazione sulla finestra.
Allargando la finestra la somma tende alla DTFT bilatera.
La distanza fra le frequenze tende a zero.
La sintesi finita converge alla corrispondente formula integrale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Quando il periodo tende all’infinito, la griglia armonica diventa continua e il coefficiente DTFS riscalato \(N_0X_k\) tende alla somma bilatera che definisce \(X(\nu)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere i coefficienti DTFS su un periodo completo.
Porre \(\nu_k=k/N_0\) e moltiplicare per \(N_0\).
Ampliare il periodo e il tratto della sequenza a tutta \(\mathbb Z\).
Riconoscere \(X(\nu)=\sum_nx[n]e^{-j2\pi\nu n}\).
Leggere la sintesi come somma di Riemann con \(\Delta\nu=1/N_0\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(x[n]\): sequenza valutata all'indice intero \(n\)
\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto
\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Affermare che \(x\in\ell^2\) garantisce automaticamente una DTFT continua e il passaggio al limite punto per punto.

Come raddrizzare il ragionamento

L’assoluta sommabilità \(x\in\ell^1\) garantisce la forma classica continua; per \(x\in\ell^2\) la trasformata è definita in senso quadratico.

Fermati e verifica se hai capito

Qual è il legame fra \(N_0X_k^{(N_0)}\) e i campioni di \(X(\nu)\)?
Quale condizione garantisce una DTFT continua e la convergenza uniforme?

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36 Dimostrazione · Capitolo 5Dimostrare che la DTFT è periodica di periodo \(1\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 64-65Appunti_04 - Trasformata discreta, pp. 25-28Formulario_tds, pp. 5-6

Incrementare la frequenza normalizzata di un intero moltiplica ogni termine per \(e^{-j2\pi n}=1\), lasciando invariata la trasformata.

Per definizione, \[ X(\nu)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-j2\pi\nu n}. \] Valutando la trasformata in \(\nu+1\), \[ \begin{aligned} X(\nu+1) &=\sum_nx[n]e^{-j2\pi(\nu+1)n}\\ &=\sum_nx[n]e^{-j2\pi\nu n}e^{-j2\pi n}. \end{aligned} \] Poiché \(n\in\mathbb Z\), \[ e^{-j2\pi n}=1. \] Termine per termine la somma coincide quindi con quella originaria: \[ X(\nu+1)=X(\nu). \] Più in generale \(X(\nu+m)=X(\nu)\) per ogni \(m\in\mathbb Z\). Tutta l’informazione spettrale è contenuta in un intervallo qualsiasi di ampiezza \(1\), per esempio \([-1/2,1/2]\).

Catena logica della dimostrazione

Si valuta la DTFT alla frequenza incrementata di uno.
L'esponenziale si fattorizza in un termine originale e \(e^{-j2\pi n}\).
Quest'ultimo vale uno per ogni indice intero.
La somma resta invariata, quindi il periodo in frequenza è uno.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Incrementare la frequenza normalizzata di un intero moltiplica ogni termine per \(e^{-j2\pi n}=1\), lasciando invariata la trasformata.

Come costruire la risposta senza perderti

Sostituire \(\nu+1\) nella definizione della DTFT.
Separare \(e^{-j2\pi(\nu+1)n}\).
Usare \(e^{-j2\pi n}=1\) per \(n\in\mathbb Z\).
Riconoscere la somma originale.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Dire che il periodo \(1\) dipende da una periodicità della sequenza \(x[n]\).

Come raddrizzare il ragionamento

Il risultato vale per qualunque sequenza discreta: nasce dal fatto che l’indice temporale \(n\) è intero.

Fermati e verifica se hai capito

Quale intervallo fondamentale si usa di solito per \(\nu\)?
Perché la stessa periodicità non compare nella trasformata tempo continuo?

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37 Dimostrazione · Capitolo 5Trasformare la finestra rettangolare discreta e ottenere la funzione di Dirichlet.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 65-66Appunti_04 - Trasformata discreta, pp. 27-29Formulario_tds, pp. 7-8

La DTFT della finestra è una somma geometrica finita; separando la fase lineare si ottiene il rapporto di seni, con estensione continua pari a \(N\) alle frequenze intere.

Per \[ x[n]= \begin{cases} 1,&0\leq n\leq N-1,\\ 0,&\text{altrimenti}, \end{cases} \] la DTFT è \[ X(\nu)=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j2\pi\nu n}. \] Con \(r=e^{-j2\pi\nu}\), la somma geometrica fornisce, se \(\nu\notin\mathbb Z\), \[ X(\nu)=\frac{1-e^{-j2\pi\nu N}} {1-e^{-j2\pi\nu}}. \] Usando \[ 1-e^{-j\theta}=2je^{-j\theta/2}\sin(\theta/2), \] si ottiene \[ X(\nu)=e^{-j\pi\nu(N-1)} \frac{\sin(\pi N\nu)}{\sin(\pi\nu)}. \]

Per \(\nu=m\in\mathbb Z\), la forma originaria dà direttamente \[ X(m)=\sum_{n=0}^{N-1}1=N. \] Nel rapporto isolato vale invece \[ \lim_{\nu\to m}\frac{\sin(\pi N\nu)}{\sin(\pi\nu)} =N(-1)^{(N-1)m}; \] il fattore di fase \(e^{-j\pi m(N-1)}=(-1)^{(N-1)m}\) cancella il segno, e il prodotto completo tende correttamente a \(N\). Il modulo è \[ |X(\nu)|=\left|\frac{\sin(\pi N\nu)}{\sin(\pi\nu)}\right|. \]

Catena logica della dimostrazione

La finestra trasforma la somma bilatera in una somma geometrica di \(N\) termini.
La formula geometrica produce un rapporto di esponenziali.
L'identità \(1-e^{-j\theta}\) separa fase e rapporto di seni.
Alle frequenze intere si torna alla somma originale, che vale \(N\).
Il calcolo del limite conferma che la fase cancella l'eventuale segno del rapporto.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

La DTFT della finestra è una somma geometrica finita; separando la fase lineare si ottiene il rapporto di seni, con estensione continua pari a \(N\) alle frequenze intere.

Come costruire la risposta senza perderti

Ridurre la DTFT ai \(N\) campioni non nulli.
Applicare la somma geometrica finita.
Riscrivere numeratore e denominatore con i seni.
Separare il fattore di fase lineare.
Trattare le frequenze intere mediante continuità o somma diretta.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Affermare che il solo rapporto \(\sin(\pi N\nu)/\sin(\pi\nu)\) tende sempre a \(N\) per ogni intero.

Come raddrizzare il ragionamento

Il rapporto può tendere a \(N(-1)^{(N-1)m}\); è il prodotto con la fase lineare a tendere sempre a \(N\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale informazione contiene il fattore \(e^{-j\pi\nu(N-1)}\)?
Come si valuta correttamente \(X(\nu)\) per \(\nu\in\mathbb Z\)?

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38 Dimostrazione · Capitolo 5Dimostrare l'effetto spettrale della differenza prima \(y[n]=x[n]-x[n-1]\).

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 67-68Appunti_04 - Proprietà della DTFT, pp. 31-33Formulario_tds, pp. 5-6

Il ritardo di un campione moltiplica la DTFT per \(e^{-j2\pi\nu}\); la sottrazione genera il fattore passa-alto \(1-e^{-j2\pi\nu}\).

Per definizione, \[ Y(\nu)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \bigl(x[n]-x[n-1]\bigr)e^{-j2\pi\nu n}. \] Separando le somme, \[ Y(\nu)=X(\nu)- \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n-1]e^{-j2\pi\nu n}. \] Nel secondo termine si pone \(m=n-1\), dunque \(n=m+1\): \[ \sum_nx[n-1]e^{-j2\pi\nu n} =\sum_mx[m]e^{-j2\pi\nu(m+1)} =e^{-j2\pi\nu}X(\nu). \] Pertanto \[ Y(\nu)=\left(1-e^{-j2\pi\nu}\right)X(\nu). \] La risposta in frequenza dell’operatore è \[ H(\nu)=1-e^{-j2\pi\nu} =2je^{-j\pi\nu}\sin(\pi\nu), \] e quindi \[ |H(\nu)|=2|\sin(\pi\nu)|. \] Il guadagno è nullo in \(\nu=0\) modulo \(1\) e massimo intorno alla frequenza normalizzata \(1/2\): la differenza prima elimina la componente continua ed enfatizza le variazioni rapide, comportandosi come un passa-alto.

Catena logica della dimostrazione

La DTFT della differenza si separa in due somme.
Il cambio di indice sul termine ritardato estrae \(e^{-j2\pi\nu}\).
La sottrazione produce \(1-e^{-j2\pi\nu}\).
L'identità esponenziale dà il modulo \(2|\sin(\pi\nu)|\).
Lo zero in continua dimostra il comportamento passa-alto.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina tempo e frequenza come due viste dello stesso oggetto, ciascuna utile per operazioni diverse.

Prima domanda da farti

Quale trasformata nota o proprietà rende il calcolo più trasparente?

Perché questo passaggio conta

Scomporre il problema evita integrali inutili e rende visibili simmetrie e scale.

La domanda in parole semplici

Il ritardo di un campione moltiplica la DTFT per \(e^{-j2\pi\nu}\); la sottrazione genera il fattore passa-alto \(1-e^{-j2\pi\nu}\).

Come costruire la risposta senza perderti

Inserire \(y[n]=x[n]-x[n-1]\) nella DTFT.
Separare i due contributi.
Porre \(m=n-1\) nel termine ritardato.
Riconoscere il fattore \(e^{-j2\pi\nu}\).
Riscrivere il fattore con il seno e interpretarne il modulo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\nu\): frequenza normalizzata del tempo discreto

Errore che sembra innocuo

Associare il ritardo \(x[n-1]\) al fattore \(e^{+j2\pi\nu}\).

Come raddrizzare il ragionamento

Con la convenzione \(e^{-j2\pi\nu n}\), un ritardo di un campione produce \(e^{-j2\pi\nu}X(\nu)\).

Fermati e verifica se hai capito

Perché la differenza prima annulla una sequenza costante?
Qual è la fase del fattore \(1-e^{-j2\pi\nu}\)?

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Capitolo 6

Sistemi LTI nel dominio della frequenza

Risposta armonica, filtri ideali e reali, distorsione e densità spettrali.

32 Dimostrazione · Capitolo 6Dimostrare l'uscita di un segnale periodico attraverso un sistema LTI.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 58-59Appunti_05 - Risposta in frequenza, pp. 1-3, 16-20Formulario_tds, pp. 5-6

Gli esponenziali complessi sono autofunzioni dei sistemi LTI: ogni armonica conserva la frequenza e viene moltiplicata per \(H(kf_0)\).

Sia \[ x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_ke^{j2\pi kf_0t} \] e sia il sistema LTI descritto da \(h(t)\), con \[ H(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(\alpha)e^{-j2\pi f\alpha}d\alpha. \] Per l’armonica \(e^{j2\pi kf_0t}\), la convoluzione vale \[ \begin{aligned} (e^{j2\pi kf_0\,\cdot}*h)(t) &=\int e^{j2\pi kf_0\tau}h(t-\tau)d\tau\\ &=e^{j2\pi kf_0t} \int h(\alpha)e^{-j2\pi kf_0\alpha}d\alpha\\ &=H(kf_0)e^{j2\pi kf_0t}, \end{aligned} \] dove si è posto \(\alpha=t-\tau\). L’esponenziale è dunque un’autofunzione del sistema.

Per linearità e sovrapposizione, \[ y(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_kH(kf_0)e^{j2\pi kf_0t}, \qquad Y_k=H(kf_0)X_k. \] Le frequenze d’uscita sono ancora multipli di \(f_0\), quindi \(T_0=1/f_0\) è un periodo dell’uscita. Non è però garantito che sia il periodo fondamentale: se il filtro annulla alcune armoniche, il periodo fondamentale può ridursi; il segnale nullo è il caso limite.

Catena logica della dimostrazione

Una singola armonica viene convoluta con \(h\).
Il cambio di variabile estrae l'armonica e lascia \(H(kf_0)\).
La linearità permette di sommare le risposte a tutte le armoniche.
I coefficienti di uscita sono \(H(kf_0)X_k\).
Le frequenze restano sulla griglia armonica di \(f_0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Gli esponenziali complessi sono autofunzioni dei sistemi LTI: ogni armonica conserva la frequenza e viene moltiplicata per \(H(kf_0)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Espandere l'ingresso nella serie complessa.
Calcolare la convoluzione di una singola armonica con \(h(t)\).
Riconoscere \(H(kf_0)\) mediante il cambio \(\alpha=t-\tau\).
Applicare linearità e sovrapposizione.
Identificare \(Y_k=H(kf_0)X_k\) e discutere il periodo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_0\): frequenza fondamentale, reciproco di \(T_0\)

Errore che sembra innocuo

Affermare che il periodo fondamentale dell’uscita è sempre esattamente \(T_0\).

Come raddrizzare il ragionamento

\(T_0\) resta un periodo; il fondamentale può essere un suo divisore se il sistema annulla alcune armoniche.

Fermati e verifica se hai capito

Come cambiano modulo e fase della \(k\)-esima armonica?
Perché \(T_0\) può non essere il periodo fondamentale dell'uscita?

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33 Dimostrazione · Capitolo 6Derivare la risposta armonica e la frequenza di taglio del filtro RC passa-basso.

DimostrazioneTeoria dei segnali domande segnali, pp. 59-61Appunti_05 - Filtri reali RC, pp. 5-10Formulario_tds, pp. 5-6

Il partitore fra \(R\) e l'impedenza del condensatore dà \(H(f)=1/(1+j2\pi fRC)\); imponendo il modulo pari a \(1/\sqrt2\) si ottiene \(f_T=1/(2\pi RC)\).

Nel circuito RC in serie, con uscita ai capi del condensatore, \[ Z_R=R,\qquad Z_C=\frac1{j2\pi fC}. \] Il partitore di tensione fornisce \[ H(f)=\frac{V_C(f)}{V_{\mathrm{in}}(f)} =\frac{Z_C}{Z_R+Z_C} =\frac{1/(j2\pi fC)}{R+1/(j2\pi fC)}. \] Moltiplicando numeratore e denominatore per \(j2\pi fC\), \[ H(f)=\frac1{1+j2\pi fRC}. \] Il modulo è \[ |H(f)|=\frac1{\sqrt{1+(2\pi fRC)^2}}, \] e il guadagno statico vale \(|H(0)|=1\). La frequenza di taglio è definita da \[ |H(f_T)|=\frac{|H(0)|}{\sqrt2}. \] Elevando al quadrato, \[ 1+(2\pi f_TRC)^2=2, \] da cui \[ f_T=\frac1{2\pi RC}. \] Alla frequenza di taglio il modulo è sceso di \(20\log_{10}(1/\sqrt2)\simeq-3\,\mathrm{dB}\), mentre la potenza è dimezzata.

Catena logica della dimostrazione

Il partitore usa l'impedenza del condensatore al numeratore.
La semplificazione restituisce \(H(f)=1/(1+j2\pi fRC)\).
Il modulo dipende da \(1+(2\pi fRC)^2\).
La condizione \(1/\sqrt2\) rende \(2\pi f_TRC=1\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina il filtro come una regola che pesa separatamente ogni frequenza in ampiezza e fase.

Prima domanda da farti

Che cosa succede in continua, al taglio, agli zeri e alle alte frequenze?

Perché questo passaggio conta

I valori caratteristici determinano tipo di filtro e forma dell'uscita.

La domanda in parole semplici

Il partitore fra \(R\) e l’impedenza del condensatore dà \(H(f)=1/(1+j2\pi fRC)\); imponendo il modulo pari a \(1/\sqrt2\) si ottiene \(f_T=1/(2\pi RC)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Scrivere \(Z_R\) e \(Z_C\).
Applicare il partitore con uscita sul condensatore.
Semplificare fino a \(1/(1+j2\pi fRC)\).
Calcolare il modulo.
Imporre la condizione di taglio a \(1/\sqrt2\).

Leggi i simboli, non recitarli

\(H(f)\): risposta armonica del sistema alla frequenza \(f\)

Errore che sembra innocuo

Usare \(f_T=1/(RC)\) confondendo frequenza in hertz e pulsazione.

Come raddrizzare il ragionamento

La pulsazione di taglio è \(\omega_T=1/(RC)\); in hertz è \(f_T=\omega_T/(2\pi)=1/(2\pi RC)\).

Fermati e verifica se hai capito

Come cambierebbe la funzione di trasferimento prelevando l'uscita sul resistore?
Perché il punto di taglio corrisponde a \(-3\,\mathrm{dB}\)?

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Capitolo 8

Probabilità e variabili aleatorie

Eventi, Bayes, distribuzioni, trasformazioni, coppie, correlazione e covarianza.

01 Dimostrazione · Capitolo 8Dimostrare che \(P(\varnothing)=0\).

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 9Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

L’additività applicata a \(A=A\cup\varnothing\) forza la probabilità dell’evento impossibile a essere nulla.

Per ogni evento \(A\), gli eventi \(A\) e \(\varnothing\) sono disgiunti e \(A\cup\varnothing=A\). Per l’additività, \[ P(A)=P(A\cup\varnothing)=P(A)+P(\varnothing). \] Sottraendo \(P(A)\) dai due membri si ottiene \[ P(\varnothing)=0. \] La conclusione deriva dagli assiomi e non deve essere aggiunta come quarto assioma.

Catena logica della dimostrazione

Osservare che \(A\cap\varnothing=\varnothing\).
Scrivere l’identità \(A=A\cup\varnothing\).
Applicare l’additività: \(P(A)=P(A)+P(\varnothing)\).
Sottrarre \(P(A)\) e concludere \(P(\varnothing)=0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

L’additività applicata a \(A=A\cup\varnothing\) forza la probabilità dell’evento impossibile a essere nulla.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Si dimostra \(P(\varnothing)=0\) usando direttamente la normalizzazione \(P(\Omega)=1\).

Come raddrizzare il ragionamento

Il passaggio decisivo usa l’additività su \(A\) e \(\varnothing\), che sono disgiunti.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Dimostrare che \(P(\varnothing)=0\).»?
Come useresti «Dimostrare che \(P(\varnothing)=0\).» in un esercizio della professoressa?

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02 Dimostrazione · Capitolo 8Dimostrare che \(P(A^{\mathrm c})=1-P(A)\).

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 10Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Evento e complementare formano una partizione di \(\Omega\), quindi le loro probabilità sommano a \(1\).

Per definizione, \[ A\cap A^{\mathrm c}=\varnothing,\qquad A\cup A^{\mathrm c}=\Omega. \] L’additività sugli eventi disgiunti e la normalizzazione danno \[ 1=P(\Omega)=P(A)+P(A^{\mathrm c}). \] Isolando il secondo termine, \[ P(A^{\mathrm c})=1-P(A). \]

Catena logica della dimostrazione

Dichiarare \(A\cap A^{\mathrm c}=\varnothing\).
Dichiarare \(A\cup A^{\mathrm c}=\Omega\).
Applicare additività e normalizzazione: \(1=P(A)+P(A^{\mathrm c})\).
Isolare \(P(A^{\mathrm c})\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Evento e complementare formano una partizione di \(\Omega\), quindi le loro probabilità sommano a \(1\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Il complementare di \(A\) ha probabilità \(-P(A)\).

Come raddrizzare il ragionamento

Poiché le probabilità di \(A\) e \(A^{\mathrm c}\) sommano a \(1\), vale \(P(A^{\mathrm c})=1-P(A)\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Dimostrare che \(P(A^{\mathrm c})=1-P(A)\).»?
Come useresti «Dimostrare che \(P(A^{\mathrm c})=1-P(A)\).» in un esercizio della professoressa?

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03 Dimostrazione · Capitolo 8Dimostrare \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 10Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La sottrazione dell’intersezione corregge la doppia contabilizzazione prodotta sommando \(P(A)\) e \(P(B)\).

Si scompone l’unione in parti disgiunte: \[ A\cup B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\cup(A\cap B). \] Quindi \[ P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+P(A\cap B). \] D’altra parte, \[ P(A)=P(A\setminus B)+P(A\cap B),\quad P(B)=P(B\setminus A)+P(A\cap B). \] Sommando le ultime due identità e confrontando, l’intersezione compare due volte e va sottratta una volta: \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). \]

Catena logica della dimostrazione

Scomporre \(A\cup B\) in \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) e \(A\cap B\).
Applicare l’additività alle tre parti disgiunte.
Scrivere separatamente \(P(A)\) e \(P(B)\) mediante le stesse parti.
Confrontare le espressioni e sottrarre una copia di \(P(A\cap B)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La sottrazione dell’intersezione corregge la doppia contabilizzazione prodotta sommando \(P(A)\) e \(P(B)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Per eventi qualunque vale \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).

Come raddrizzare il ragionamento

Se gli eventi non sono disgiunti si deve sottrarre \(P(A\cap B)\), conteggiata due volte.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Dimostrare \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).»?
Come useresti «Dimostrare \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).» in un esercizio della professoressa?

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04 Dimostrazione · Capitolo 8Verificare che la probabilità condizionata rispetta gli assiomi di Kolmogorov.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 11Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Fissato \(B\) con \(P(B)>0\), la funzione \(P_B(A)=P(A\mid B)\) è una misura di probabilità.

Fissiamo \(B\) con \(P(B)>0\) e definiamo \[ P_B(A)=P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. \] La non negatività segue da \(P(A\cap B)\ge0\). Inoltre \[ P_B(\Omega)=\frac{P(\Omega\cap B)}{P(B)}=1. \] Se gli \(A_i\) sono a due a due disgiunti, lo sono anche \(A_i\cap B\); pertanto \[ P_B\!\left(\bigcup_iA_i\right) =\frac{\sum_iP(A_i\cap B)}{P(B)} =\sum_iP_B(A_i). \] Sono quindi verificati i tre assiomi.

Catena logica della dimostrazione

Fissare \(B\) con \(P(B)>0\) e definire \(P_B(A)\).
Verificare \(P_B(A)\ge0\).
Verificare \(P_B(\Omega)=1\).
Mostrare che \(A_i\cap B\) restano disgiunti.
Applicare l’additività numerabile e dividere per il denominatore comune.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Fissato \(B\) con \(P(B)>0\), la funzione \(P_B(A)=P(A\mid B)\) è una misura di probabilità.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Per verificare l’additività non serve controllare che gli eventi intersecati con \(B\) restino disgiunti.

Come raddrizzare il ragionamento

Va esplicitato che \(A_i\cap A_j=\varnothing\) implica \((A_i\cap B)\cap(A_j\cap B)=\varnothing\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Verificare che la probabilità condizionata rispetta gli assiomi di Kolmogorov.»?
Come useresti «Verificare che la probabilità condizionata rispetta gli assiomi di Kolmogorov.» in un esercizio della professoressa?

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05 Dimostrazione · Capitolo 8Dimostrare la formula di Bayes.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 12Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Si esprime la stessa intersezione tramite i due possibili condizionamenti e si isola la probabilità inversa.

Con \(P(A)>0\) e \(P(B)>0\), \[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}. \] Dalla seconda relazione, \[ P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A). \] Sostituendo nella prima, \[ P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}. \] Se \(B\) è ottenuto attraverso una partizione \(\{A_i\}\), il denominatore può essere sviluppato con la probabilità totale.

Catena logica della dimostrazione

Scrivere \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\).
Scrivere \(P(B\mid A)=P(A\cap B)/P(A)\).
Ricavare \(P(A\cap B)=P(B\mid A)P(A)\).
Sostituire nella prima definizione e semplificare.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Si esprime la stessa intersezione tramite i due possibili condizionamenti e si isola la probabilità inversa.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

La formula di Bayes permette di scambiare direttamente \(P(A\mid B)\) e \(P(B\mid A)\).

Come raddrizzare il ragionamento

Lo scambio richiede il fattore \(P(A)/P(B)\); le due condizionate non sono in generale uguali.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Dimostrare la formula di Bayes.»?
Come useresti «Dimostrare la formula di Bayes.» in un esercizio della professoressa?

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06 Dimostrazione · Capitolo 8Dimostrare il teorema della probabilità totale.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 13Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Una partizione scompone \(A\) nell’unione disgiunta delle porzioni \(A\cap B_i\).

Sia \(\{B_i\}_{i=1}^{N}\) una partizione di \(\Omega\), con \(P(B_i)>0\). Poiché \[ A=A\cap\Omega =A\cap\bigcup_{i=1}^{N}B_i =\bigcup_{i=1}^{N}(A\cap B_i), \] e le porzioni sono disgiunte, l’additività dà \[ P(A)=\sum_{i=1}^{N}P(A\cap B_i). \] Per definizione di condizionamento, \[ P(A\cap B_i)=P(A\mid B_i)P(B_i). \] Sostituendo si ottiene la formula totale.

Catena logica della dimostrazione

Usare \(\Omega=\bigcup_iB_i\).
Distribuire l’intersezione: \(A=\bigcup_i(A\cap B_i)\).
Verificare che le porzioni siano a due a due disgiunte.
Applicare l’additività a \(P(A)\).
Sostituire \(P(A\cap B_i)=P(A\mid B_i)P(B_i)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Una partizione scompone \(A\) nell’unione disgiunta delle porzioni \(A\cap B_i\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\sum\): somma dei contributi sugli indici indicati

Errore che sembra innocuo

Nella dimostrazione non è necessario che i \(B_i\) siano disgiunti.

Come raddrizzare il ragionamento

La disgiunzione rende disgiunte le porzioni \(A\cap B_i\) e consente di sommarne direttamente le probabilità.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Dimostrare il teorema della probabilità totale.»?
Come useresti «Dimostrare il teorema della probabilità totale.» in un esercizio della professoressa?

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07 Dimostrazione · Capitolo 8Motivare la binomiale con \(4\) lanci e \(2\) teste.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 14Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Ogni sequenza con due teste ha probabilità \(p^2(1-p)^2\) e le sequenze possibili sono \(\binom42\).

Consideriamo \(4\) lanci indipendenti, con \(P(\mathrm T)=p\) e \(P(\mathrm C)=1-p\). Una sequenza specifica con due teste, per esempio \(\mathrm{TTCC}\), ha probabilità \[ p^2(1-p)^2. \] Le posizioni delle due teste possono essere scelte in \[ \binom42 \] modi. Gli eventi corrispondenti alle diverse sequenze sono disgiunti e hanno la stessa probabilità; dunque \[ P(K=2)=\binom42p^2(1-p)^2. \] Lo stesso ragionamento produce la formula binomiale generale.

Catena logica della dimostrazione

Scegliere una sequenza con due teste e due croci.
Usare l’indipendenza per moltiplicare le probabilità dei quattro lanci.
Contare le posizioni delle teste con \(\binom42\).
Sommare le probabilità delle sequenze disgiunte.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Ogni sequenza con due teste ha probabilità \(p^2(1-p)^2\) e le sequenze possibili sono \(\binom42\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Errore che sembra innocuo

Il coefficiente \(\binom42\) è una probabilità aggiuntiva.

Come raddrizzare il ragionamento

Il coefficiente conta sequenze disgiunte equiprobabili; la probabilità di ciascuna è \(p^2(1-p)^2\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Motivare la binomiale con \(4\) lanci e \(2\) teste.»?
Come useresti «Motivare la binomiale con \(4\) lanci e \(2\) teste.» in un esercizio della professoressa?

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08 Dimostrazione · Capitolo 8Ricavare la probabilità di un intervallo mediante la CDF.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 14Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

In generale \(P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)\); includendo \(a\) serve il limite sinistro \(F_X(a^-)\).

Gli eventi \(\{X\le a\}\) e \(\{a<X\le b\}\) sono disgiunti e la loro unione è \(\{X\le b\}\). Quindi \[ F_X(b)=F_X(a)+P(a<X\le b), \] da cui \[ P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a). \] Se si vuole includere anche l’estremo sinistro, \[ P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a^-). \] Soltanto quando non c’è massa in \(a\), per esempio nel caso continuo, \(F_X(a^-)=F_X(a)\).

Catena logica della dimostrazione

Scomporre \(\{X\le b\}\) in \(\{X\le a\}\) e \(\{a<X\le b\}\).
Notare che i due eventi sono disgiunti.
Applicare l’additività e usare la definizione di CDF.
Per l’estremo incluso, sostituire \(F_X(a)\) con \(F_X(a^-)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

In generale \(P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)\); includendo \(a\) serve il limite sinistro \(F_X(a^-)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(F_X\): funzione di distribuzione cumulativa della variabile \(X\)

Errore che sembra innocuo

Senza ulteriori ipotesi, \(P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a)\).

Come raddrizzare il ragionamento

La sottrazione di \(F_X(a)\) esclude l’eventuale massa in \(a\); per includerla serve \(F_X(a^-)\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Ricavare la probabilità di un intervallo mediante la CDF.»?
Come useresti «Ricavare la probabilità di un intervallo mediante la CDF.» in un esercizio della professoressa?

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09 Dimostrazione · Capitolo 8Ricavare una probabilità di coda mediante la CDF.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 15Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Vale \(P(X>x)=1-F_X(x)\); per \(P(X\ge x)\) serve \(1-F_X(x^-)\), salvo assenza di massa nel punto.

L’evento complementare di \(\{X\le x\}\) è \(\{X>x\}\). Pertanto \[ P(X>x)=1-P(X\le x)=1-F_X(x). \] Per includere il punto \(x\), \[ P(X\ge x)=1-P(X<x)=1-F_X(x^-). \] Nel caso continuo \(P(X=x)=0\), dunque le due code coincidono e si può scrivere \(P(X\ge x)=1-F_X(x)\).

Catena logica della dimostrazione

Identificare il complementare di \(\{X\le x\}\).
Applicare la regola del complementare.
Sostituire \(P(X\le x)=F_X(x)\).
Distinguere \(>\) da \(\ge\) mediante \(F_X(x^-)\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Vale \(P(X>x)=1-F_X(x)\); per \(P(X\ge x)\) serve \(1-F_X(x^-)\), salvo assenza di massa nel punto.

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(F_X\): funzione di distribuzione cumulativa della variabile \(X\)

Errore che sembra innocuo

Per ogni variabile vale \(P(X\ge x)=1-F_X(x)\).

Come raddrizzare il ragionamento

La formula generale con estremo incluso è \(P(X\ge x)=1-F_X(x^-)\); \(1-F_X(x)\) descrive \(P(X>x)\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Ricavare una probabilità di coda mediante la CDF.»?
Come useresti «Ricavare una probabilità di coda mediante la CDF.» in un esercizio della professoressa?

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10 Dimostrazione · Capitolo 8Mostrare il legame fra varianza e deviazione standard.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 16Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La deviazione standard è la radice non negativa della varianza e riporta la dispersione nell’unità di misura di \(X\).

Ponendo \(\mu_X=\mathbb E[X]\), per definizione \[ \operatorname{Var}(X)=\mathbb E[(X-\mu_X)^2]. \] Poiché il quadrato è non negativo, anche la sua media è non negativa: \[ \operatorname{Var}(X)\ge0. \] Si definisce deviazione standard \[ \sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}. \] Lo scarto \(X-\mu_X\) misura la distanza dalla media; il quadrato impedisce compensazioni di segno. La radice finale riporta l’indice alla stessa unità fisica della variabile.

Catena logica della dimostrazione

Partire da \(\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[(X-\mu_X)^2]\).
Usare \((X-\mu_X)^2\ge0\).
Concludere che la varianza è non negativa.
Definire \(\sigma_X\) come radice non negativa della varianza.
Confrontare le unità di misura dei due indici.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La deviazione standard è la radice non negativa della varianza e riporta la dispersione nell’unità di misura di \(X\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\operatorname{Var}\): varianza: dispersione quadratica attorno alla media

Errore che sembra innocuo

La deviazione standard può essere negativa perché gli scarti dalla media possono esserlo.

Come raddrizzare il ragionamento

La deviazione standard è la radice quadrata non negativa di una media di quadrati, quindi \(\sigma_X\ge0\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Mostrare il legame fra varianza e deviazione standard.»?
Come useresti «Mostrare il legame fra varianza e deviazione standard.» in un esercizio della professoressa?

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11 Dimostrazione · Capitolo 8Calcolare media e varianza della Bernoulli.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 17Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Per \(X\sim\operatorname{Bernoulli}(p)\), \(\mathbb E[X]=p\) e \(\operatorname{Var}(X)=p(1-p)\).

Per \(P(X=1)=p\) e \(P(X=0)=1-p\), \[ \mathbb E[X]=0(1-p)+1p=p. \] Poiché \(X^2=X\) sui valori \(0\) e \(1\), \[ \mathbb E[X^2]=p. \] Usando la forma operativa della varianza, \[ \operatorname{Var}(X)=\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2 =p-p^2=p(1-p). \] Infine \(\sigma_X=\sqrt{p(1-p)}\).

Catena logica della dimostrazione

Elencare i due valori del supporto e le rispettive probabilità.
Calcolare \(\mathbb E[X]=0(1-p)+1p\).
Osservare che \(X^2=X\) e calcolare \(\mathbb E[X^2]\).
Applicare \(\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2\).
Estrarre la radice per la deviazione standard.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Per \(X\sim\operatorname{Bernoulli}(p)\), \(\mathbb E[X]=p\) e \(\operatorname{Var}(X)=p(1-p)\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\mathbb E\): operatore di valore atteso, cioè media probabilistica
\(\operatorname{Var}\): varianza: dispersione quadratica attorno alla media

Errore che sembra innocuo

La varianza della Bernoulli è \(p^2\).

Come raddrizzare il ragionamento

Poiché \(\mathbb E[X^2]=p\), la varianza è \(p-p^2=p(1-p)\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Calcolare media e varianza della Bernoulli.»?
Come useresti «Calcolare media e varianza della Bernoulli.» in un esercizio della professoressa?

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12 Dimostrazione · Capitolo 8Calcolare media e varianza della geometrica.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 17Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Con supporto \(k\ge1\), \(\mathbb E[X]=1/p\) e \(\operatorname{Var}(X)=(1-p)/p^2\).

Sia \(X\sim\operatorname{Geo}(p)\) con \[ P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\qquad k\ge1. \] Ponendo \(q=1-p\) e usando le serie valide per \(|q|<1\), \[ \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2}, \quad \sum_{k=1}^{\infty}k^2q^{k-1}=\frac{1+q}{(1-q)^3}, \] si ottiene \[ \mathbb E[X]=\frac1p,\qquad \mathbb E[X^2]=\frac{1+q}{p^2}. \] Quindi \[ \operatorname{Var}(X) =\frac{1+q}{p^2}-\frac1{p^2} =\frac{1-p}{p^2}, \qquad \sigma_X=\frac{\sqrt{1-p}}{p}. \]

Catena logica della dimostrazione

Porre \(q=1-p\) e scrivere la PMF con supporto \(k\ge1\).
Usare \(\sum_{k\ge1}kq^{k-1}=1/(1-q)^2\) per la media.
Usare \(\sum_{k\ge1}k^2q^{k-1}=(1+q)/(1-q)^3\) per il secondo momento.
Sostituire \(1-q=p\).
Sottrarre il quadrato della media e semplificare.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Con supporto \(k\ge1\), \(\mathbb E[X]=1/p\) e \(\operatorname{Var}(X)=(1-p)/p^2\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\operatorname{Var}\): varianza: dispersione quadratica attorno alla media

Errore che sembra innocuo

Con supporto \(k\ge1\), la geometrica usa \(p(1-p)^k\).

Come raddrizzare il ragionamento

Prima del successo alla prova \(k\) vi sono \(k-1\) fallimenti, quindi la massa è \(p(1-p)^{k-1}\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Calcolare media e varianza della geometrica.»?
Come useresti «Calcolare media e varianza della geometrica.» in un esercizio della professoressa?

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13 Dimostrazione · Capitolo 8Calcolare la media della distribuzione uniforme.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 18Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Per \(X\sim\mathcal U[a,b]\), la media è il punto medio \((a+b)/2\).

Per \(a<b\), la densità uniforme è \(f_X(x)=1/(b-a)\) su \([a,b]\) e nulla altrove. Pertanto \[ \mathbb E[X] =\int_a^b\frac{x}{b-a}\,dx =\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2}\right]_a^b. \] Poiché \(b^2-a^2=(b-a)(a+b)\), \[ \mathbb E[X] =\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =\frac{a+b}{2}. \] Il risultato coincide con il centro dell’intervallo, come suggerisce la simmetria della densità.

Catena logica della dimostrazione

Dichiarare \(a<b\) e la densità \(1/(b-a)\) su \([a,b]\).
Restringere l’integrale del valore atteso al supporto.
Calcolare \([x^2/2]_a^b\).
Fattorizzare \(b^2-a^2=(b-a)(a+b)\).
Semplificare e interpretare il punto medio.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Per \(X\sim\mathcal U[a,b]\), la media è il punto medio \((a+b)/2\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\mathbb E\): operatore di valore atteso, cioè media probabilistica

Errore che sembra innocuo

La media uniforme è \((b-a)/2\).

Come raddrizzare il ragionamento

La lunghezza \((b-a)\) determina la scala della densità; la posizione media è \((a+b)/2\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Calcolare la media della distribuzione uniforme.»?
Come useresti «Calcolare la media della distribuzione uniforme.» in un esercizio della professoressa?

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14 Dimostrazione · Capitolo 8Calcolare la media della distribuzione esponenziale.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 19Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Per \(X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\) con \(\lambda>0\), \(\mathbb E[X]=1/\lambda\).

La densità è \[ f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}u(x),\qquad \lambda>0. \] Quindi \[ \mathbb E[X]=\int_0^{+\infty}x\lambda e^{-\lambda x}\,dx. \] Integrando per parti con \(u=x\) e \(dv=\lambda e^{-\lambda x}dx\), \[ \mathbb E[X] =\left[-xe^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}\,dx. \] Il termine al bordo è nullo e l’integrale restante vale \(1/\lambda\).

Catena logica della dimostrazione

Dichiarare il supporto \(x\ge0\) e la condizione \(\lambda>0\).
Scrivere l’integrale del valore atteso.
Integrare per parti con \(u=x\) e \(dv=\lambda e^{-\lambda x}dx\).
Verificare che il termine al bordo sia nullo.
Calcolare l’integrale residuo e ottenere \(1/\lambda\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Per \(X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\) con \(\lambda>0\), \(\mathbb E[X]=1/\lambda\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(\mathbb E\): operatore di valore atteso, cioè media probabilistica

Errore che sembra innocuo

La media dell’esponenziale con densità \(\lambda e^{-\lambda x}u(x)\) è \(\lambda\).

Come raddrizzare il ragionamento

Il parametro è un tasso: la media è inversamente proporzionale, \(\mathbb E[X]=1/\lambda\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Calcolare la media della distribuzione esponenziale.»?
Come useresti «Calcolare la media della distribuzione esponenziale.» in un esercizio della professoressa?

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15 Dimostrazione · Capitolo 8Ricavare CDF, PDF, media e varianza di \(Y=aX+b\).

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 21Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

La CDF dipende dal segno di \(a\), la densità contiene \(1/|a|\), la media è affine e la varianza scala con \(a^2\).

Sia \(Y=aX+b\), con \(a\ne0\). Se \(a>0\), \[ F_Y(y)=P\!\left(X\le\frac{y-b}{a}\right) =F_X\!\left(\frac{y-b}{a}\right). \] Se \(a<0\), il verso si inverte: \[ F_Y(y)=P\!\left(X\ge\frac{y-b}{a}\right). \] Nel caso continuo, derivando la forma appropriata, \[ f_Y(y)=\frac1{|a|}f_X\!\left(\frac{y-b}{a}\right). \] Per linearità del valore atteso e proprietà della varianza, \[ \mathbb E[Y]=a\mathbb E[X]+b,\qquad \operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X). \] Nel caso generale, la coda per \(a<0\) va espressa con il corretto limite laterale della CDF.

Catena logica della dimostrazione

Partire da \(F_Y(y)=P(aX+b\le y)\).
Separare i casi \(a>0\) e \(a<0\).
Derivare la CDF nel caso continuo e ottenere il valore assoluto.
Applicare la linearità del valore atteso.
Usare l’invarianza della varianza rispetto alla traslazione e il fattore quadratico di scala.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

La CDF dipende dal segno di \(a\), la densità contiene \(1/|a|\), la media è affine e la varianza scala con \(a^2\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_X\): densità di probabilità della variabile continua \(X\)

Errore che sembra innocuo

Nella densità trasformata compare \(1/a\) senza valore assoluto.

Come raddrizzare il ragionamento

La densità deve restare non negativa e normalizzata: il fattore corretto è \(1/|a|\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Ricavare CDF, PDF, media e varianza di \(Y=aX+b\).»?
Come useresti «Ricavare CDF, PDF, media e varianza di \(Y=aX+b\).» in un esercizio della professoressa?

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16 Dimostrazione · Capitolo 8Dimostrare la formula della densità marginale.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 22Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

Lasciando libera \(Y\) e derivando la CDF marginale si integra \(f_{XY}\) lungo tutta la coordinata \(y\).

La CDF marginale di \(X\) è \[ F_X(x)=P(X\le x)=\lim_{y\to+\infty}F_{XY}(x,y). \] Usando la densità congiunta, \[ F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} \left[\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(\alpha,\beta)\,d\beta\right]d\alpha. \] Derivando rispetto a \(x\) tramite il teorema fondamentale del calcolo, \[ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy. \] In modo simmetrico si ottiene la marginale di \(Y\).

Catena logica della dimostrazione

Scrivere \(F_X(x)=\lim_{y\to+\infty}F_{XY}(x,y)\).
Sostituire la rappresentazione integrale della CDF congiunta.
Portare il limite superiore della coordinata eliminata a infinito.
Derivare rispetto a \(x\).
Rinominare la variabile muta e scrivere la formula marginale.

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

Lasciando libera \(Y\) e derivando la CDF marginale si integra \(f_{XY}\) lungo tutta la coordinata \(y\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(f_X\): densità di probabilità della variabile continua \(X\)
\(\int\): accumulo continuo sull'intervallo specificato

Errore che sembra innocuo

Per ricavare \(f_X(x)\) bisogna integrare \(f_{XY}(x,y)\) rispetto a \(x\).

Come raddrizzare il ragionamento

Si conserva la coordinata \(x\) e si elimina \(y\) integrando rispetto a \(y\).

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Dimostrare la formula della densità marginale.»?
Come useresti «Dimostrare la formula della densità marginale.» in un esercizio della professoressa?

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17 Dimostrazione · Capitolo 8Dimostrare che variabili indipendenti sono incorrelate.

DimostrazioneDomande di Probabilità, p. 23Definizioni di Probabilità, pp. sezione corrispondente

L’indipendenza fattorizza la legge congiunta, quindi \(\mathbb E[XY]=\mathbb E[X]\mathbb E[Y]\) e \(C_{XY}=0\).

Supponiamo che \(X\) e \(Y\) siano indipendenti e che i momenti richiesti esistano. Nel continuo, \[ f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y). \] Allora \[ \mathbb E[XY] =\iint xy f_X(x)f_Y(y)\,dx\,dy =\left(\int xf_X(x)\,dx\right) \left(\int yf_Y(y)\,dy\right) =\mathbb E[X]\mathbb E[Y]. \] Nel discreto lo stesso passaggio usa una somma doppia e la fattorizzazione della PMF. Pertanto \[ C_{XY} =\mathbb E[XY]-\mathbb E[X]\mathbb E[Y] =0. \] La dimostrazione stabilisce una sola implicazione; l’incorrelazione non implica indipendenza.

Catena logica della dimostrazione

Dichiarare indipendenza ed esistenza dei momenti.
Fattorizzare la densità o la funzione di massa congiunta.
Separare l’integrale doppio o la somma doppia in due fattori.
Ottenere \(\mathbb E[XY]=\mathbb E[X]\mathbb E[Y]\).
Sostituire nella covarianza e concludere \(C_{XY}=0\).

Accompagnamento ragionatocapisci il perché prima di memorizzare

Immagine mentale

Immagina prima l'esperimento e gli eventi, poi assegna numeri agli esiti e soltanto infine calcola.

Prima domanda da farti

Che cosa è casuale, qual è il supporto e quale informazione è già nota?

Perché questo passaggio conta

Il modello probabilistico viene prima dell'algebra.

La domanda in parole semplici

L’indipendenza fattorizza la legge congiunta, quindi \(\mathbb E[XY]=\mathbb E[X]\mathbb E[Y]\) e \(C_{XY}=0\).

Come costruire la risposta senza perderti

Enunciare la definizione o il risultato con notazione precisa.
Dichiarare ipotesi, supporto ed eventuali condizioni di validità.
Scrivere la relazione centrale e interpretarne ogni termine.
Chiudere con una conseguenza operativa o un controllo.

Leggi i simboli, non recitarli

\(C\): covarianza o correlazione fra due variabili, secondo il contesto

Errore che sembra innocuo

Dalla dimostrazione segue anche che \(C_{XY}=0\) implica indipendenza.

Come raddrizzare il ragionamento

La fattorizzazione della legge congiunta è un’ipotesi più forte della sola covarianza nulla; il viceversa non è dimostrato né vero in generale.

Fermati e verifica se hai capito

Quale ipotesi non può mancare nella risposta su «Dimostrare che variabili indipendenti sono incorrelate.»?
Come useresti «Dimostrare che variabili indipendenti sono incorrelate.» in un esercizio della professoressa?

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Non solo formule

Il formulario ufficiale, reso operativo

Allo scritto puoi usare i due PDF della professoressa. Qui ogni relazione è accompagnata dalla condizione che ne permette l’uso e, negli esercizi, dal numero di pagina esatto.

Il gesto da allenare

Non cercare una formula a caso

Riconosci: decidi che famiglia di problema hai davanti.
Localizza: vai alla pagina indicata del PDF ufficiale.
Adatta: traduci i simboli del foglio nella notazione della traccia e controlla le ipotesi.
Verifica: dopo i conti controlla unità, supporto, segni, simmetrie e casi limite.

PDF ufficialeFormulario di segnali · 9 pagineScarica e usa lo stesso foglio della prova PDF ufficialeFormulario di probabilità · 5 pagineScarica e usa lo stesso foglio della prova

Media temporale, tempo continuo

\[\langle x\rangle=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,dt\]

Per un segnale periodico si integra su un solo periodo e si divide per il periodo.

Media, energia e potenza

Media temporale, tempo discreto

\[\langle x\rangle=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}x[n]\]

Per una sequenza periodica: \(\langle x\rangle=N_0^{-1}\sum_{n=0}^{N_0-1}x[n]\).

Media, energia e potenza

Energia, tempo continuo

\[E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,dt\]

Un segnale di energia non nullo ha \(0Media, energia e potenza

Potenza media, tempo continuo

\[P_x=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,dt\]

Per un periodico: \(P_x=T_0^{-1}\int_{T_0}|x(t)|^2dt\).

Media, energia e potenza

Energia, tempo discreto

\[E_x=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2\]

Un segnale di energia non nullo ha \(0Media, energia e potenza

Potenza media, tempo discreto

\[P_x=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2\]

Per una sequenza periodica: \(P_x=N_0^{-1}\sum_{n=0}^{N_0-1}|x[n]|^2\).

Media, energia e potenza

Autocorrelazione di un segnale di energia

\[R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x^*(t-\tau)\,dt\]

Vale \(R_x(0)=E_x\), \(R_x(\tau)=R_x^*(-\tau)\) e \(|R_x(\tau)|\le R_x(0)\).

Correlazione

Autocorrelazione di un segnale di potenza

\[R_x(\tau)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)x^*(t-\tau)\,dt\]

Per un periodico si media su un periodo; \(R_x(0)=P_x\).

Correlazione

Mutua correlazione

\[R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y^*(t-\tau)\,dt\]

Per segnali di energia; vale \(R_{xy}(\tau)=R_{yx}^*(-\tau)\).

Correlazione

Riproducibilità nel discreto

\[x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\,\delta[n-k]\]

È la scomposizione di una sequenza come somma di impulsi di Kronecker pesati.

Segnali discreti

Convoluzione, tempo continuo

\[y(t)=(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha)h(t-\alpha)\,d\alpha\]

Descrive l'uscita di un sistema LTI con risposta impulsiva \(h\).

Convoluzione

Convoluzione, tempo discreto

\[y[n]=(x*h)[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\]

Descrive l'uscita di un sistema LTI discreto.

Convoluzione

Campionamento della delta

\[x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)\]

Integrando: \(\int x(t)\delta(t-t_0)dt=x(t_0)\).

Delta

Cambiamento di scala della delta

\[\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t),\qquad a\ne 0\]

Il valore assoluto è indispensabile.

Delta

Gradino e delta

\[\frac{d}{dt}u(t)=\delta(t),\qquad u(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\,d\tau\]

Le uguaglianze valgono nel senso delle distribuzioni.

Delta

Causalità di un sistema LTI

\[h(t)=0\quad\forall t<0\]

Nel discreto: \(h[n]=0\) per ogni \(n<0\).

Proprietà dei sistemi

Stabilità BIBO di un sistema LTI

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|\,dt<\infty\]

Nel discreto: \(\sum_n|h[n]|<\infty\).

Proprietà dei sistemi

Sistema LTI non dispersivo

\[h(t)=K\delta(t)\]

Negli appunti «non dispersivo» significa senza memoria: \(y(t)=Kx(t)\). Una risposta \(K\delta(t-t_0)\), con \(t_0\ne0\), conserva la forma ma introduce un ritardo e quindi memoria.

Proprietà dei sistemi

Coefficienti della serie di Fourier continua

\[X_k=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}\,dt,\qquad f_0=\frac{1}{T_0}\]

L'integrale può essere svolto su qualsiasi intervallo di ampiezza \(T_0\).

Serie di Fourier

Sintesi della serie di Fourier continua

\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_ke^{j2\pi kf_0t}\]

Sotto le condizioni di Dirichlet converge a \(x(t)\) nei punti di continuità e alla semisomma dei limiti laterali nelle discontinuità di prima specie; per \(x\in L^2(T_0)\) converge in media quadratica.

Serie di Fourier

Parseval per segnali periodici

\[\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|X_k|^2\]

La potenza nel tempo è la somma delle potenze delle righe spettrali.

Serie di Fourier

Simmetria coniugata

\[x(t)\in\mathbb R\quad\Longrightarrow\quad X_{-k}=X_k^*\]

Ne seguono modulo pari e fase dispari, dove la fase è definita.

Serie di Fourier

Analisi e sintesi DTFS

\[X_k=\frac{1}{N_0}\sum_{n=0}^{N_0-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N_0},\qquad x[n]=\sum_{k=0}^{N_0-1}X_ke^{j2\pi kn/N_0}\]

Servono \(N_0\) coefficienti distinti perché le armoniche si ripetono modulo \(N_0\).

Serie di Fourier discreta

Trasformata di Fourier continua

\[X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt\]

Per \(x\in L^1\) vale l'integrale ordinario; per \(x\in L^2\) la trasformata è definita in media quadratica. La trasformata generalizzata riguarda gli specifici segnali di potenza trattati nel corso.

Trasformata di Fourier

Anti-trasformata di Fourier

\[x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\,df\]

Con la convenzione in hertz del corso, sotto le condizioni di Dirichlet l'inversione è puntuale nei punti continui e dà la semisomma ai salti; per \(L^2\) vale in media quadratica.

Trasformata di Fourier

DTFT: analisi e sintesi

\[X(\nu)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j2\pi\nu n},\qquad x[n]=\int_{-1/2}^{1/2}X(\nu)e^{j2\pi\nu n}\,d\nu\]

La DTFT è periodica di periodo \(1\) in \(\nu\). Per \(x\in\ell^1\) converge ordinariamente e l'inversione restituisce \(x[n]\); per \(x\in\ell^2\) vale in media quadratica.

Trasformata di Fourier discreta

Cambiamento di scala

\[x(at)\ \longleftrightarrow\ \frac{1}{|a|}X\!\left(\frac{f}{a}\right)\]

Comprimere nel tempo allarga lo spettro; per \(a<0\) compare anche la riflessione.

Proprietà della trasformata

Traslazione temporale

\[x(t-t_0)\ \longleftrightarrow\ X(f)e^{-j2\pi ft_0}\]

Una traslazione temporale modifica la fase, non il modulo dello spettro.

Proprietà della trasformata

Modulazione con un coseno

\[x(t)\cos(2\pi f_0t+\theta)\ \longleftrightarrow\ \frac{e^{j\theta}}{2}X(f-f_0)+\frac{e^{-j\theta}}{2}X(f+f_0)\]

Produce due repliche traslate e pesate dello spettro.

Proprietà della trasformata

Convoluzione e prodotto

\[x(t)*h(t)\ \longleftrightarrow\ X(f)H(f)\]

Dualità operativa: \(x(t)h(t)\longleftrightarrow X(f)*H(f)\).

Proprietà della trasformata

Derivazione nel tempo

\[\frac{d^k x(t)}{dt^k}\ \longleftrightarrow\ (j2\pi f)^kX(f)\]

La derivazione annulla la componente continua e amplifica le alte frequenze.

Proprietà della trasformata

Integrazione corrente

\[\int_{-\infty}^{t}x(\alpha)\,d\alpha\ \longleftrightarrow\ \frac{X(f)}{j2\pi f}+\frac{X(0)}{2}\delta(f)\]

È la forma generalizzata usata nel corso.

Proprietà della trasformata

Parseval per segnali di energia

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2df\]

L'energia può essere calcolata indifferentemente nei due domini.

Trasformata di Fourier

Rettangolo e sinc

\[A\Pi\!\left(\frac{t}{T}\right)\ \longleftrightarrow\ AT\,\operatorname{sinc}(fT)\]

Nel corso \(\operatorname{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)\).

Trasformate notevoli

Triangolo e sinc al quadrato

\[A\Lambda\!\left(\frac{t}{T}\right)\ \longleftrightarrow\ AT\,\operatorname{sinc}^2(fT)\]

Il decadimento più rapido riflette la maggiore regolarità del triangolo.

Trasformate notevoli

Esponenziale monolatero

\[Ae^{-t/T}u(t)\ \longleftrightarrow\ \frac{AT}{1+j2\pi fT}\]

Richiede \(T>0\).

Trasformate notevoli

Esponenziale bilatero

\[Ae^{-|t|/T}\ \longleftrightarrow\ \frac{2AT}{1+(2\pi fT)^2}\]

Richiede \(T>0\). Se \(A\in\mathbb R\), segnale e trasformata sono reali e pari.

Trasformate notevoli

Trasformata del gradino

\[u(t)\ \longleftrightarrow\ \frac{1}{j2\pi f}+\frac{1}{2}\delta(f)\]

La trasformata è intesa nel senso delle distribuzioni.

Trasformate generalizzate

Trasformata del signum

\[\operatorname{sign}(t)\ \longleftrightarrow\ \frac{1}{j\pi f}\]

La trasformata è intesa nel senso delle distribuzioni.

Trasformate generalizzate

Spettro del segnale campionato

\[x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_s)\ \longleftrightarrow\ X_s(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(f-kf_s)\]

Con \(f_s=1/T_s\): campionare nel tempo replica lo spettro.

Campionamento

Vincolo di Nyquist

\[f_s\geq 2B\]

Per un segnale strettamente limitato in banda \(B\). L'uguaglianza è critica; per evitare campionamenti degeneri delle sinusoidi si usa in pratica un lieve sovracampionamento.

Campionamento

Relazione ingresso-uscita in frequenza

\[Y(f)=H(f)X(f),\qquad H(f)=\mathcal F\{h(t)\}\]

Vale per sistemi LTI.

Risposta armonica

Filtro RC passa-basso

\[H_{RC}(f)=\frac{1}{1+j2\pi fRC},\qquad f_T=\frac{1}{2\pi RC}\]

Alla frequenza di taglio \(|H|=1/\sqrt2\), cioè \(-3\,\mathrm{dB}\).

Filtri reali

Filtro CR passa-alto

\[H_{CR}(f)=\frac{j2\pi fRC}{1+j2\pi fRC}\]

Ha la stessa frequenza di taglio \(f_T=1/(2\pi RC)\).

Filtri reali

Modulo in decibel

\[|H(f)|_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}\!\left|\frac{H(f)}{H_{\mathrm{rif}}}\right|\]

La forma equivalente sulla potenza usa \(10\) volte il logaritmo del rapporto dei moduli al quadrato.

Filtri reali

Densità spettrale di energia

\[S_x(f)=|X(f)|^2\]

Per Wiener-Khintchine: \(R_x(\tau)\longleftrightarrow S_x(f)\).

Densità spettrale

Densità spettrale di potenza di un periodico

\[S_x(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|X_k|^2\delta(f-kf_0)\]

Lo spettro di potenza è a righe.

Densità spettrale

Assiomi di Kolmogorov

\[P(A)\ge0,\qquad P(\Omega)=1,\qquad P\!\left(\bigcup_i A_i\right)=\sum_iP(A_i)\]

L'ultima relazione richiede eventi a due a due disgiunti.

Probabilità

Probabilità condizionata

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Richiede \(P(B)>0\).

Probabilità condizionata

Formula di Bayes

\[P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{\sum_jP(A\mid B_j)P(B_j)}\]

Gli eventi \(B_j\) formano una partizione dello spazio campione, con \(P(B_j)>0\) per i termini impiegati e \(P(A)>0\).

Probabilità condizionata

Teorema della probabilità totale

\[P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)\]

Gli eventi \(B_i\) sono disgiunti, hanno \(P(B_i)>0\) e la loro unione è lo spazio campione.

Probabilità condizionata

Distribuzione binomiale

\[P(K=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

Per \(n\in\mathbb N\) prove indipendenti con probabilità di successo costante \(0\leq p\leq1\), sul supporto \(k\in\{0,\ldots,n\}\).

Distribuzioni discrete

Funzione di distribuzione cumulativa

\[F_X(x)=P(X\le x)\]

In generale \(P(aVariabili aleatorie

Densità di probabilità

\[f_X(x)=\frac{dF_X(x)}{dx},\qquad P(a

Per variabili continue; una densità può superare 1, ma la sua area totale è 1.

Variabili aleatorie

Valore atteso

\[\mathbb E[X]=\sum_i x_iP(X=x_i)\quad\text{oppure}\quad\mathbb E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)\,dx\]

Si usa la somma nel discreto e l'integrale nel continuo.

Momenti

Varianza

\[\operatorname{Var}(X)=\mathbb E[(X-\mu_X)^2]=\mathbb E[X^2]-\mu_X^2\]

La deviazione standard è \(\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}\).

Momenti

Trasformazione lineare di una variabile aleatoria

\[Y=aX+b:\quad \mathbb E[Y]=a\mathbb E[X]+b,\qquad \operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)\]

Per la densità: \(f_Y(y)=|a|^{-1}f_X((y-b)/a)\), con \(a\ne0\).

Trasformazioni

Marginale dalla densità congiunta

\[f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy\]

Analogamente \(f_Y(y)=\int f_{XY}(x,y)\,dx\).

Coppie di variabili aleatorie

Correlazione e covarianza

\[R_{XY}=\mathbb E[XY],\qquad C_{XY}=R_{XY}-\mu_X\mu_Y\]

Incorrelazione significa \(C_{XY}=0\); ortogonalità significa \(R_{XY}=0\).

Coppie di variabili aleatorie

Coefficiente di correlazione

\[\rho_{XY}=\frac{C_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y},\qquad |\rho_{XY}|\le1\]

Richiede \(\sigma_X>0\) e \(\sigma_Y>0\).

Coppie di variabili aleatorie

Metodo prima dei conti

Esercizi svolti e semi-guidati

Ogni esercizio separa lettura della traccia, scelta dello strumento, richiamo esatto al formulario della professoressa, calcolo, grafico e verifica finale.

sg-01 Esercizio guidato · Esercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 1.1 - formulazione adattataCompressione e traslazione di un rettangolo

EsercizioEsercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 1.1 - formulazione adattata

Traccia

Sia \(x(t)=u(t+1)-u(t-1)\). Determinare e disegnare \(y(t)=x(2t+3)\), indicando supporto, ampiezza e centro.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Partire dal supporto di \(x\), sostituire il nuovo argomento e risolvere la doppia disuguaglianza. Solo dopo si leggono centro e durata.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Trasformazione del supporto

Non tabulata nel formulario ufficiale

Qui non c’è una formula da copiare: il passaggio va costruito dalla definizione.

Perché è quella giusta qui

Qui il formulario non sostituisce il ragionamento: si impone che l’argomento \(2t+3\) appartenga al supporto originario e si risolve la disuguaglianza.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la condizione corretta perché \(y(t)\) sia diverso da zero?

Che cosa devi capire

Si impone \(2t+3\in[-1,1]\).

Scelta corretta

\(-1\le2t+3\le1\)

Perché regge:

Corretto: l’argomento \(2t+3\) deve appartenere al supporto \([-1,1]\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Prima individua dove \(x(\tau)\) vale uno.
Poi poni \(\tau=2t+3\).

Passo 2

Qual è il supporto finale?

Che cosa devi capire

Risolvendo i due estremi si ottengono \(t\ge-2\) e \(t\le-1\).

Scelta corretta

\([-2,-1]\)

Perché regge:

Corretto: \(-1\le2t+3\le1\) conduce a \(-2\le t\le-1\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Sottrai \(3\) in tutti i membri.
Dividi infine per il coefficiente positivo \(2\).

Passo 3

Quale descrizione geometrica è corretta?

Che cosa devi capire

La trasformazione temporale modifica supporto e centro, non l’ampiezza.

Scelta corretta

Durata \(1\), centro \(-3/2\), ampiezza \(1\)

Perché regge:

Corretto: il supporto \([-2,-1]\) ha durata \(1\) e centro \(-3/2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Calcola lunghezza e punto medio di \([-2,-1]\).
Ricorda che \(x(at)\) comprime di \(|a|\).

Controllo finale

Qual è l'espressione compatta di \(y(t)\)?

Che cosa devi capire

Con la convenzione del corso, \(\Pi(t-t_0)\) ha durata unitaria e centro \(t_0\).

Scelta corretta

\(\Pi(t+3/2)\)

Perché regge:

Corretto: è un rettangolo unitario di durata \(1\) centrato in \(-3/2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa centro \(-3/2\) e durata \(1\).
Il segno dentro la parentesi è opposto al centro.

Svolgimento passo passo

Il segnale \(x(t)\) vale uno per \(-1\le t\le 1\). Quindi \(y(t)\ne0\) quando \[ -1\le 2t+3\le1. \] Sottraendo \(3\) e dividendo per \(2\) si ottiene \(-2\le t\le-1\). L’ampiezza non cambia: il fattore \(2\) comprime la durata da \(2\) a \(1\), mentre la traslazione porta il centro in \(-3/2\). Pertanto \[ y(t)=\Pi\!\left(t+\frac32\right). \]

Risultato e verifica

\(y(t)=\Pi(t+3/2)\), con supporto \([-2,-1]\).

Torna agli esercizi

sg-02 Esercizio guidato · Esercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 2.2 - traccia del corsoEnergia dell'esponenziale bilatero

EsercizioEsercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 2.2 - traccia del corso

Traccia

Per \(A\in\mathbb R\) e \(T>0\), considerare \(x(t)=Ae^{-|t|/T}\). Calcolare valor medio, energia e potenza.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Riconoscere che il segnale è transitorio e pari. Per l'energia basta integrare su \([0,+\infty)\) e raddoppiare; la potenza media di un segnale di energia finita è nulla.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Energia di un segnale continuo

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,\mathrm dt\]

Perché è quella giusta qui

Il segnale decade in entrambe le direzioni e non è periodico: la quantità naturale da provare per prima è l’energia.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Quale simmetria semplifica il calcolo?

Che cosa devi capire

La parità permette di raddoppiare l’integrale sulla semiretta positiva.

Scelta corretta

\(x(t)\) è pari

Perché regge:

Corretto: \(|-t|=|t|\), quindi \(x(-t)=x(t)\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Sostituisci \(t\) con \(-t\).
Confronta \(|-t|\) con \(|t|\).

Passo 2

Qual è l'integrando dell'energia per \(t\ge0\)?

Che cosa devi capire

Per \(t\ge0\), \(|x(t)|^2=A^2e^{-2t/T}\).

Scelta corretta

\(A^2e^{-2t/T}\)

Perché regge:

Corretto: il modulo quadro raddoppia l’esponente e porta \(A\) al quadrato.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Scrivi prima \(x(t)\) senza valore assoluto sulla semiretta positiva.
Poi calcola il modulo al quadrato.

Passo 3

Qual è il valore dell'energia?

Che cosa devi capire

L’integrale su \([0,+\infty)\) vale \(T/2\).

Scelta corretta

\(A^2T\)

Perché regge:

Corretto: \(2A^2(T/2)=A^2T\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa \(\int_0^\infty e^{-at}dt=1/a\).
Ricorda il fattore \(2\) dovuto alla parità.

Controllo finale

Quale terna \((\langle x\rangle,E_x,P_x)\) è corretta?

Che cosa devi capire

Un segnale di energia finita non nullo ha potenza media nulla.

Scelta corretta

\((0,A^2T,0)\)

Perché regge:

Corretto: è un transitorio di energia finita.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Controlla il comportamento per \(|t|\to\infty\).
Combina media nulla, energia calcolata e potenza nulla.

Svolgimento passo passo

Il segnale tende a zero in entrambe le direzioni ed è assolutamente integrabile, quindi il valor medio temporale è nullo. Inoltre \[ E_x=2A^2\int_0^{+\infty}e^{-2t/T}\,dt =2A^2\frac{T}{2}=A^2T. \] Poiché \(0<E_x<\infty\), il segnale è di energia e \(P_x=0\).

Risultato e verifica

\(\langle x\rangle=0\), \(E_x=A^2T\), \(P_x=0\).

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sg-03 Esercizio guidato · Esercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 3.4 - traccia del corsoCoseno raddrizzato: media e potenza

EsercizioEsercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 3.4 - traccia del corso

Traccia

Sia \(x(t)=A|\cos(2\pi t/T_0)|\), con \(A>0\). Trovare periodo fondamentale, valor medio e potenza.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Il valore assoluto dimezza il periodo della sinusoide. Media e potenza si calcolano su un periodo del segnale raddrizzato; per il quadrato il valore assoluto scompare.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Media e potenza di un periodico

Formulario_tds.pdf, pp. 1-2

\[\langle x\rangle=\frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)\,\mathrm dt,\qquad P_x=\frac1{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2\,\mathrm dt\]

Perché è quella giusta qui

La periodicità permette di sostituire i limiti infiniti con un solo periodo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Identità del coseno al quadrato

Formulario_tds.pdf, p. 1

\[\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\]

Perché è quella giusta qui

Serve a calcolare la potenza senza integrare direttamente un quadrato trigonometrico complicato.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è il periodo fondamentale dopo il raddrizzamento?

Che cosa devi capire

La metà negativa viene ribaltata verso l’alto.

Scelta corretta

\(T_0/2\)

Perché regge:

Corretto: un cambio di segno dopo \(T_0/2\) viene eliminato dal valore assoluto.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Confronta \(x(t+T_0/2)\) con \(x(t)\).
Usa \(\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta\).

Passo 2

Quale integrale fornisce direttamente la media?

Che cosa devi capire

La media è l’area su un periodo divisa per la durata del periodo.

Scelta corretta

\(\frac{2}{T_0}\int_0^{T_0/2}A|\cos(2\pi t/T_0)|\,dt\)

Perché regge:

Corretto: si divide per il vero periodo \(T_0/2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il periodo da usare è \(T_0/2\).
Il prefattore è quindi \(1/(T_0/2)=2/T_0\).

Passo 3

Perché il calcolo della potenza è immediato?

Che cosa devi capire

Il modulo non cambia il quadrato del coseno.

Scelta corretta

Perché \(|\cos|^2=\cos^2\)

Perché regge:

Corretto: la media temporale di \(\cos^2\) è \(1/2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Scrivi \(|x(t)|^2\).
Usa \(\langle\cos^2\rangle=1/2\).

Controllo finale

Qual è la coppia corretta \((\langle x\rangle,P_x)\)?

Che cosa devi capire

Il risultato coincide con quello riportato nelle soluzioni dell’esercitazione.

Scelta corretta

\((2A/\pi,A^2/2)\)

Perché regge:

Corretto: area del semicoseno e media di \(\cos^2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Media: integra una semionda positiva.
Potenza: il valore assoluto sparisce al quadrato.

Svolgimento passo passo

Poiché \(|\cos(\theta+\pi)|=|\cos\theta|\), il periodo fondamentale è \(T_0/2\). Su tale intervallo \[ \langle x\rangle=\frac{2A}{\pi}. \] Inoltre \(|\cos|^2=\cos^2\), la cui media su un periodo è \(1/2\): \[ P_x=\frac{A^2}{2}. \] Essendo periodico e non nullo, il segnale ha energia infinita.

Risultato e verifica

\(T_x=T_0/2\), \(\langle x\rangle=2A/\pi\), \(P_x=A^2/2\).

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sg-04 Esercizio guidato · Prova del 12.01.2021, EX 1.1 - traccia del corsoAutocorrelazione di due impulsi opposti

EsercizioProva del 12.01.2021, EX 1.1 - traccia del corso

Traccia

Calcolare l’autocorrelazione del segnale \(x(t)=\Pi(t-1)-\Pi(t+1)\) e verificare il valore nell’origine.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Usare la linearità della correlazione e la coppia \(\Pi(t)*\Pi(t)=\Lambda(t)\). I due termini di autocorrelazione sono centrati in zero; i termini incrociati sono traslati di \(\pm2\) e hanno segno negativo.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Autocorrelazione di un segnale di energia

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x^*(t-\tau)\,\mathrm dt\]

Perché è quella giusta qui

È la definizione da usare perché il segnale ha durata finita; supporti e segni stabiliscono i diversi tratti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è l'autocorrelazione di un singolo rettangolo unitario?

Che cosa devi capire

La correlazione coincide con la convoluzione con il segnale ribaltato.

Scelta corretta

\(\Lambda(\tau)\)

Perché regge:

Corretto: la lunghezza della sovrapposizione genera un triangolo.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il rettangolo è pari.
Valuta la lunghezza dell'intersezione al variare di \(\tau\).

Passo 2

Quale segno hanno i due termini incrociati?

Che cosa devi capire

Espandi \((p_1-p_2)\) nella definizione bilineare.

Scelta corretta

Entrambi negativi

Perché regge:

Corretto: ciascun prodotto incrociato contiene il fattore \(+1\cdot(-1)\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Scrivi i quattro prodotti.
I termini \(p_1p_2\) e \(p_2p_1\) ereditano un segno meno.

Passo 3

Dove sono centrati i triangoli incrociati?

Che cosa devi capire

La correlazione misura la sovrapposizione in funzione dello scarto.

Scelta corretta

In \(\tau=\pm2\)

Perché regge:

Corretto: la distanza tra i centri dei due impulsi è \(2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

I centri temporali sono \(+1\) e \(-1\).
Calcola entrambe le differenze tra i centri.

Controllo finale

Qual è l'espressione finale?

Che cosa devi capire

La funzione deve anche essere pari e valere \(2\) nell’origine.

Scelta corretta

\(2\Lambda(\tau)-\Lambda(\tau-2)-\Lambda(\tau+2)\)

Perché regge:

Corretto: due termini diretti e due incrociati traslati.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Controlla forma, segni e traslazioni.
Verifica infine \(R_x(0)=E_x\).

Svolgimento passo passo

Ponendo \(p_1(t)=\Pi(t-1)\) e \(p_2(t)=\Pi(t+1)\), si ha \(x=p_1-p_2\). Ogni impulso ha energia \(1\), quindi i due contributi diretti danno \(2\Lambda(\tau)\). Le correlazioni incrociate hanno centri distanti \(2\) e segno negativo: \[ R_x(\tau)=2\Lambda(\tau)-\Lambda(\tau-2)-\Lambda(\tau+2). \] Nell’origine i termini traslati sono nulli e \(R_x(0)=2=E_x\), come richiesto.

Risultato e verifica

\(R_x(\tau)=2\Lambda(\tau)-\Lambda(\tau-2)-\Lambda(\tau+2)\), \(R_x(0)=2\).

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sg-05 Esercizio guidato · Esercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 9.2 - traccia del corsoEnergia di un esponenziale discreto

EsercizioEsercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 9.2 - traccia del corso

Traccia

Per \(x[n]=(1/2)^n u[n]\), calcolare media, energia e potenza.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Il gradino limita la sequenza a \(n\ge0\). L'energia è una serie geometrica con ragione \(1/4\); una sequenza con energia finita ha media e potenza temporali nulle.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Energia dell'esponenziale monolatero discreto

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[E_x=\frac{A^2}{1-a^2},\qquad |a|<1\]

Perché è quella giusta qui

Il segnale coincide esattamente con la forma nota \(Aa^n u[n]\), quindi la relazione può essere usata dopo aver verificato \(|a|<1\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Da quale indice parte la somma?

Che cosa devi capire

Per la convenzione del corso \(u[0]=1\).

Scelta corretta

\(n=0\)

Perché regge:

Corretto: \(u[n]\) abilita la sequenza da \(n=0\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Osserva il fattore \(u[n]\).
Elenca i primi campioni: \(1,1/2,1/4,\ldots\).

Passo 2

Qual è la ragione della serie dell'energia?

Che cosa devi capire

L’energia usa il modulo al quadrato.

Scelta corretta

\(1/4\)

Perché regge:

Corretto: \(|(1/2)^n|^2=(1/4)^n\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Eleva al quadrato \(1/2\).
Poi riconosci una serie geometrica.

Passo 3

Qual è la somma della serie?

Che cosa devi capire

Usa \(\sum_{n=0}^{\infty}r^n=1/(1-r)\).

Scelta corretta

\(4/3\)

Perché regge:

Corretto: \(1/(1-1/4)=4/3\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Qui \(r=1/4\).
Calcola \(1/(3/4)\).

Controllo finale

Quale classificazione è corretta?

Che cosa devi capire

Conta il decadimento, non la sola durata.

Scelta corretta

Segnale di energia con \(E_x=4/3\)

Perché regge:

Corretto: la serie dei moduli quadrati converge.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Confronta la definizione con la serie appena sommata.
Per energia finita non nulla, la potenza media è zero.

Svolgimento passo passo

Si ha \[ E_x=\sum_{n=0}^{+\infty}\left|\frac12\right|^{2n} =\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac14\right)^n =\frac{1}{1-1/4}=\frac43. \] La sequenza è quindi di energia. Poiché il contributo totale resta finito mentre la finestra di media cresce, risultano \(\langle x\rangle=0\) e \(P_x=0\).

Risultato e verifica

\(\langle x\rangle=0\), \(E_x=4/3\), \(P_x=0\).

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sg-06 Esercizio guidato · Esercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 10.2 - traccia del corsoPeriodicità di una sinusoide discreta

EsercizioEsercitazione n. 1 (2021/2022), Ex. 10.2 - traccia del corso

Traccia

Stabilire se \(x[n]=\cos(\pi n/4)\) è periodica e, in caso affermativo, calcolare periodo fondamentale e potenza.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Per una sinusoide discreta serve un intero positivo \(N_0\) tale che la variazione di fase sia un multiplo intero di \(2\pi\). La potenza di una sinusoide non degenerata è \(1/2\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Condizione di periodicità discreta

Non tabulata nel formulario ufficiale

\[\nu_0N_0\in\mathbb Z\]

Perché è quella giusta qui

Il formulario non offre un valore da sostituire: si impone che l’incremento di fase dopo \(N_0\) campioni sia un multiplo di \(2\pi\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la frequenza normalizzata \(\nu_0\)?

Che cosa devi capire

Confronta con \(\cos(2\pi\nu_0n)\).

Scelta corretta

\(1/8\)

Perché regge:

Corretto: \(2\pi\nu_0=\pi/4\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Imponi \(2\pi\nu_0=\pi/4\).
Dividi entrambi i membri per \(2\pi\).

Passo 2

Quale condizione determina un periodo discreto?

Che cosa devi capire

Richiedi \(x[n+N_0]=x[n]\).

Scelta corretta

\(\nu_0N_0\in\mathbb Z\)

Perché regge:

Corretto: la fase deve aumentare di \(2\pi\) volte un intero.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

La variazione di fase è \(2\pi\nu_0N_0\).
Essa deve essere un multiplo di \(2\pi\).

Passo 3

Qual è il minimo \(N_0>0\)?

Che cosa devi capire

Cerca il denominatore della frazione ridotta \(1/8\).

Scelta corretta

\(8\)

Perché regge:

Corretto: \((1/8)N_0=1\) per \(N_0=8\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il minimo prodotto intero deve valere \(1\).
Risolvi \(N_0/8=1\).

Controllo finale

Qual è la coppia corretta \((N_0,P_x)\)?

Che cosa devi capire

Usa la media di \(\cos^2\) sugli otto campioni.

Scelta corretta

\((8,1/2)\)

Perché regge:

Corretto: periodo fondamentale \(8\) e potenza media \(1/2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il periodo è già stato determinato.
Somma i quadrati oppure usa l'identità trigonometrica.

Svolgimento passo passo

La frequenza normalizzata è \(\nu_0=1/8\), perché \(\pi n/4=2\pi(1/8)n\). La condizione di periodicità richiede \(\nu_0N_0\in\mathbb Z\); il minimo intero positivo è \(N_0=8\). Su un periodo, \[ P_x=\frac18\sum_{n=0}^{7}\cos^2\!\left(\frac{\pi n}{4}\right) =\frac12. \]

Risultato e verifica

\(N_0=8\) e \(P_x=1/2\).

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sg-07 Esercizio guidato · Prova del 20.01.2026, EX 1.1 - traccia del corsoAutocorrelazione di quattro campioni alternati

EsercizioProva del 20.01.2026, EX 1.1 - traccia del corso

Traccia

Per \(x[n]=(-1)^nR_4[-n-1]\), determinare supporto, energia e autocorrelazione.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Prima trasformare il supporto di \(R_4\). La correlazione di due sequenze finite uguali conta i campioni sovrapposti; il segno alternato introduce il fattore \((-1)^m\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Autocorrelazione discreta di energia

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x[m]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]x^*[n-m]\]

Perché è quella giusta qui

La sequenza ha supporto finito; per ogni ritardo si sommano soltanto i campioni che si sovrappongono.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è il supporto della sequenza?

Che cosa devi capire

Imponi che l’argomento di \(R_4\) appartenga a \([0,3]\).

Scelta corretta

\(\{-4,-3,-2,-1\}\)

Perché regge:

Corretto: \(0\le-n-1\le3\) equivale a \(-4\le n\le-1\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Risolvi \(0\le-n-1\le3\).
Quando moltiplichi per \(-1\), inverti i versi.

Passo 2

Quanto vale l'energia?

Che cosa devi capire

L’alternanza del segno non cambia il modulo quadro.

Scelta corretta

\(4\)

Perché regge:

Corretto: quattro campioni di modulo unitario.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Conta i campioni non nulli.
Somma quattro volte \(1\).

Passo 3

Qual è il numero di prodotti non nulli a ritardo \(m\)?

Che cosa devi capire

Immagina due blocchi di quattro campioni sovrapposti.

Scelta corretta

\(4-|m|\) per \(|m|\le3\)

Perché regge:

Corretto: ogni spostamento perde un campione per lato.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

A ritardo zero coincidono tutti e quattro.
A ritardo tre ne coincide uno solo.

Controllo finale

Qual è l'autocorrelazione corretta?

Che cosa devi capire

Il segno del prodotto tra campioni distanti \(m\) è \((-1)^m\).

Scelta corretta

\(R_x[m]=(-1)^m(4-|m|)R_7[m+3]\)

Perché regge:

Corretto: triangolo discreto alternato, limitato a \(-3\le m\le3\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Combina conteggio della sovrapposizione e alternanza.
Usa \(R_7[m+3]\) per limitare il supporto a sette ritardi.

Svolgimento passo passo

Con la convenzione \(R_4[n]\ne0\) per \(0\le n\le3\), la condizione \(0\le-n-1\le3\) dà \(-4\le n\le-1\). I quattro campioni hanno modulo unitario, quindi \(E_x=4\). A uno spostamento \(m\) restano \(4-|m|\) campioni sovrapposti per \(|m|\le3\), e ciascun prodotto porta il segno \((-1)^m\): \[ R_x[m]= \begin{cases} (-1)^m(4-|m|),& |m|\le3,\\ 0,& |m|>3. \end{cases} \] In particolare \(R_x[0]=4=E_x\).

Risultato e verifica

\(E_x=4\) e \(R_x[m]=(-1)^m(4-|m|)R_7[m+3]\).

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sg-08 Esercizio guidato · Appunti_01, operazioni di espansione e decimazione - esempio adattatoEspansione e decimazione di una sequenza

EsercizioAppunti_01, operazioni di espansione e decimazione - esempio adattato

Traccia

La sequenza \(x[n]\) vale \(1,-2,3\) rispettivamente per \(n=0,1,2\) ed è nulla altrove. Costruire \(v[n]=(\uparrow2)x[n]\) e poi \(y[n]=(\downarrow2)v[n]\).

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Nell'espansione di fattore \(2\) i campioni originari vanno agli indici pari e si inserisce uno zero tra campioni consecutivi. La decimazione conserva poi un campione ogni \(2\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Espansione e decimazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[v[n]=\begin{cases}x[n/M],&n\in M\mathbb Z,\\0,&n\notin M\mathbb Z,\end{cases}\qquad y[n]=v[Mn]\]

Perché è quella giusta qui

La pagina elenca proprio espansione \(x[n/M]\) e decimazione \(x[Mn]\). Nel dominio del tempo l’espansione inserisce gli zeri agli indici non multipli di \(M\), mentre la decimazione seleziona un campione ogni \(M\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Dove finisce il campione \(x[1]=-2\) dopo l'espansione?

Che cosa devi capire

Per \((\uparrow L)\), l’indice \(k\) diventa \(Lk\).

Scelta corretta

In \(v[2]\)

Perché regge:

Corretto: l’indice \(1\) diventa \(2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Qui \(L=2\).
Calcola \(2\cdot1\).

Passo 2

Quali campioni di \(v[n]\) sono non nulli?

Che cosa devi capire

Inserisci uno zero fra ogni coppia di campioni.

Scelta corretta

\(v[0]=1,\ v[2]=-2,\ v[4]=3\)

Perché regge:

Corretto: i campioni originari occupano gli indici pari.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Gli indici diventano \(0,2,4\).
Le ampiezze restano \(1,-2,3\).

Passo 3

Come si esprime la decimazione finale?

Che cosa devi capire

Decimare di \(2\) significa prendere un campione ogni due.

Scelta corretta

\(y[n]=v[2n]\)

Perché regge:

Corretto: si conserva il campione di \(v\) all’indice \(2n\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il nuovo indice \(n\) legge il vecchio indice \(2n\).
Scrivi direttamente \(v[2n]\).

Controllo finale

Qual è il risultato della cascata?

Che cosa devi capire

La cascata \((\downarrow2)(\uparrow2)\) è identità sui campioni.

Scelta corretta

\(y[n]=x[n]\)

Perché regge:

Corretto: la decimazione recupera esattamente i campioni appena espansi.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Valuta \(v[0]\), \(v[2]\) e \(v[4]\).
Riassegna questi valori agli indici \(0,1,2\).

Svolgimento passo passo

Per definizione, \[ v[n]= \begin{cases} x[n/2],&n\ \text{pari},\\ 0,&n\ \text{dispari}. \end{cases} \] Quindi i campioni non nulli di \(v\) sono \(v[0]=1\), \(v[2]=-2\), \(v[4]=3\). Decimando, \(y[n]=v[2n]\), perciò \(y[0]=1\), \(y[1]=-2\), \(y[2]=3\): la cascata ideale restituisce \(x[n]\).

Risultato e verifica

\(v[0]=1\), \(v[2]=-2\), \(v[4]=3\) e \(y[n]=x[n]\).

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sg-09 Esercizio guidato · Prova del 26.10.2020, EX 1.1 - traccia del corsoConvoluzione di due rettangoli di durata diversa

EsercizioProva del 26.10.2020, EX 1.1 - traccia del corso

Traccia

Sia \(x(t)=\Pi(t/2)\). Calcolare \(y(t)=x(t)*x(-2t)\) e descriverne il grafico.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Prima riscrivere il secondo segnale: la parità del rettangolo e la compressione mostrano che \(x(-2t)=\Pi(t)\). La convoluzione è la lunghezza dell'intersezione di due intervalli, uno di durata \(2\) e uno di durata \(1\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione continua

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y(t)=(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,\mathrm d\tau\]

Perché è quella giusta qui

La formula dà la struttura; gli estremi vanno però ricavati dall’intersezione dei due rettangoli.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Come si semplifica \(x(-2t)\)?

Che cosa devi capire

Sostituisci \(-2t\) nell’argomento \(t/2\).

Scelta corretta

\(\Pi(t)\)

Perché regge:

Corretto: \(\Pi((-2t)/2)=\Pi(-t)=\Pi(t)\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Si ottiene \(\Pi(-t)\).
Usa la parità di \(\Pi\).

Passo 2

Qual è il supporto di \(y(t)\)?

Che cosa devi capire

Il supporto di una convoluzione è la somma dei supporti.

Scelta corretta

\([-3/2,3/2]\)

Perché regge:

Corretto: le semidurate \(1\) e \(1/2\) si sommano.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Le durate sono \(2\) e \(1\).
Somma le semidurate \(1+1/2\).

Passo 3

Quanto vale il massimo della convoluzione?

Che cosa devi capire

Con ampiezze unitarie, la convoluzione misura una lunghezza.

Scelta corretta

\(1\)

Perché regge:

Corretto: il rettangolo stretto è contenuto interamente in quello largo.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

La massima intersezione coincide con tutto l'intervallo stretto.
La sua durata è \(1\).

Controllo finale

Quale forma descrive correttamente \(y(t)\)?

Che cosa devi capire

Il rettangolo più stretto resta completamente incluso per un intervallo di ritardi.

Scelta corretta

Un trapezio pari, piatto a quota \(1\) per \(|t|\le1/2\)

Perché regge:

Corretto: è la geometria della sovrapposizione dei due rettangoli.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Individua la zona di inclusione completa.
Fuori da essa la sovrapposizione cala linearmente.

Svolgimento passo passo

Si ha \(x(-2t)=\Pi(t)\). Il supporto della convoluzione è la somma dei supporti, quindi \([-3/2,3/2]\). Quando il rettangolo stretto è interamente contenuto in quello largo, cioè per \(|t|\le1/2\), la sovrapposizione vale \(1\). Nelle due code la sovrapposizione decresce linearmente: \[ y(t)= \begin{cases} 1,& |t|\le1/2,\\ 3/2-|t|,&1/2<|t|\le3/2,\\ 0,&|t|>3/2. \end{cases} \] Il risultato è un trapezio pari.

Risultato e verifica

\(y(t)=1\) per \(|t|\le1/2\), \(y(t)=3/2-|t|\) per \(1/2<|t|\le3/2\), zero altrove.

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sg-10 Esercizio guidato · Prova del 22.02.2022, EX 1.1 e 1.3 - traccia del corsoRisposta al gradino di un sistema IIR

EsercizioProva del 22.02.2022, EX 1.1 e 1.3 - traccia del corso

Traccia

Il sistema è descritto da \(y[n]=\sum_{k=3}^{+\infty}(1/2)^k x[n-k]\). Determinare \(h[n]\) e l’uscita per \(x[n]=u[n-1]\).

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Ottenere la risposta impulsiva leggendo il nucleo della convoluzione. Con il gradino, individuare gli indici per cui \(u[n-k-1]\) vale uno e sommare una serie geometrica finita.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y[n]=(x*h)[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

La risposta al gradino è la somma cumulativa della risposta impulsiva; la serie geometrica chiude il calcolo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la risposta impulsiva?

Che cosa devi capire

Confronta con \(y[n]=\sum_k h[k]x[n-k]\).

Scelta corretta

\((1/2)^n u[n-3]\)

Perché regge:

Corretto: il coefficiente di \(x[n-k]\) è il campione \(h[k]\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il peso vale \((1/2)^k\) solo per \(k\ge3\).
Sostituisci \(k\) con l'indice generico di \(h\).

Passo 2

Per un dato \(n\), quali indici contribuiscono?

Che cosa devi capire

Imponi \(u[n-k-1]=1\).

Scelta corretta

\(3\le k\le n-1\)

Perché regge:

Corretto: servono sia \(k\ge3\) sia \(n-k-1\ge0\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Serve \(n-k-1\ge0\).
Combina \(k\le n-1\) con il limite \(k\ge3\).

Passo 3

Da quale campione può iniziare l'uscita?

Che cosa devi capire

La somma è non vuota quando \(n-1\ge3\).

Scelta corretta

\(n=4\)

Perché regge:

Corretto: per \(n=4\) compare il primo termine \(k=3\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Risolvi la disuguaglianza.
Il primo contributo è \(x[n-3]\) con \(x[1]=1\).

Controllo finale

Qual è l'uscita completa?

Che cosa devi capire

Somma da \(k=3\) a \(n-1\) con ragione \(1/2\).

Scelta corretta

\(\frac14[1-(1/2)^{n-3}]u[n-4]\)

Perché regge:

Corretto: è la somma geometrica finita con attivazione da \(n=4\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il primo termine è \(1/8\).
Usa la formula della serie geometrica finita e raccogli \(1/4\).

Svolgimento passo passo

La relazione è già in forma di convoluzione, dunque \[ h[n]=\left(\frac12\right)^n u[n-3]. \] Per l’ingresso assegnato, il termine è attivo quando \(n-k-1\ge0\), cioè \(k\le n-1\). Per \(n\ge4\), \[ y[n]=\sum_{k=3}^{n-1}\left(\frac12\right)^k =\frac14\left[1-\left(\frac12\right)^{n-3}\right]. \] Quindi \[ y[n]=\frac14\left[1-\left(\frac12\right)^{n-3}\right]u[n-4]. \]

Risultato e verifica

\(h[n]=(1/2)^n u[n-3]\) e \(y[n]=\frac14[1-(1/2)^{n-3}]u[n-4]\).

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sg-11 Esercizio guidato · Prova del 21.06.2022, EX 1.1 - traccia del corsoClassificazione di un cambio di scala e ritardo

EsercizioProva del 21.06.2022, EX 1.1 - traccia del corso

Traccia

Classificare il sistema \(y(t)=x(2(t-1))\) rispetto a linearità, invarianza temporale, causalità, istantaneità e stabilità BIBO.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Verificare ogni proprietà separatamente. Il cambio di scala rende il sistema tempo-variante; per la causalità confrontare l'istante richiesto \(2t-2\) con l'istante di uscita \(t\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Criteri LTI da risposta impulsiva

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[h[n]=0\ (n<0),\qquad \sum_n|h[n]|<\infty,\qquad h[n]=K\delta[n]\]

Perché è quella giusta qui

Dopo aver riconosciuto se il sistema è LTI, causalità, stabilità e memoria si leggono direttamente da \(h[n]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Il sistema è lineare?

Che cosa devi capire

Applica il sistema a \(ax_1(t)+bx_2(t)\).

Scelta corretta

Sì, perché preserva le combinazioni lineari

Perché regge:

Corretto: \(S\{ax_1+bx_2\}=aS\{x_1\}+bS\{x_2\}\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il nuovo argomento è lo stesso per entrambi i segnali.
I coefficienti \(a\) e \(b\) restano all'esterno.

Passo 2

Perché non è tempo-invariante?

Che cosa devi capire

Confronta \(S\{x(t-t_0)\}\) con \(y(t-t_0)\).

Scelta corretta

Perché il ritardo d’ingresso viene moltiplicato dal cambio di scala

Perché regge:

Corretto: traslare prima o dopo il sistema produce argomenti diversi.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Nel primo caso compare \(x(2t-2-t_0)\).
Nel secondo compare \(x(2t-2-2t_0)\).

Passo 3

Quale osservazione dimostra la non causalità?

Che cosa devi capire

Un sistema è causale se non usa valori dell’ingresso successivi a \(t\).

Scelta corretta

Per \(t>2\), \(2t-2>t\)

Perché regge:

Corretto: in tali istanti l’uscita richiede un valore futuro dell’ingresso.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Confronta \(2t-2\) con \(t\).
Risolvi \(2t-2>t\).

Controllo finale

Quale riga di classificazione è corretta?

Che cosa devi capire

Riunisci i risultati senza dedurre una proprietà dall’altra.

Scelta corretta

Lineare, tempo-variante, non causale, non istantaneo, stabile

Perché regge:

Corretto: è la classificazione ottenuta con i cinque test.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Controlla separatamente sovrapposizione, shift, futuro e limitatezza.
La stabilità segue direttamente da \(|y(t)|\le\sup_\tau|x(\tau)|\).

Svolgimento passo passo

La mappa non applica funzioni non lineari all’ampiezza, quindi è lineare. Non è tempo-invariante: uno spostamento all’ingresso viene scalato diversamente da uno spostamento all’uscita. Non è causale, perché per \(t>2\) richiede \(x(2t-2)\) con \(2t-2>t\). Non è istantaneo, poiché in generale usa un istante diverso da \(t\). Infine è stabile BIBO: se \(|x(t)|\le M\), allora \(|y(t)|=|x(2t-2)|\le M\).

Risultato e verifica

Lineare, tempo-variante, non causale, non istantaneo e stabile BIBO.

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sg-12 Esercizio guidato · Prova del 24.02.2026, EX 1.1 - traccia del corsoCascata di un esponenziale bilatero e un rettangolo

EsercizioProva del 24.02.2026, EX 1.1 - traccia del corso

Traccia

Una cascata LTI ha \(h_1(t)=e^{-|t|}\) e \(h_2(t)=\Pi((t-3)/2)\). Calcolare la risposta impulsiva complessiva e stabilire causalità e stabilità.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Scrivere la convoluzione come integrale sull'intervallo in cui il rettangolo è attivo, cioè \([2,4]\). Spezzare poi l'integrale a seconda della posizione di \(t\) rispetto a \(2\) e \(4\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione continua

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\,\mathrm d\tau\]

Perché è quella giusta qui

La cascata LTI si riduce a una convoluzione; il supporto del rettangolo rende finito l’intervallo di integrazione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Esponenziale bilatero

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[Ae^{-|t|/T}\longleftrightarrow\frac{2AT}{1+(2\pi fT)^2}\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce un controllo alternativo in frequenza quando il segnale ha esattamente questa forma.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Su quale intervallo è attivo \(h_2(t)\)?

Che cosa devi capire

Risolvi \(|(t-3)/2|\le1/2\).

Scelta corretta

\([2,4]\)

Perché regge:

Corretto: è centrato in \(3\) e ha durata \(2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Equivale a \(|t-3|\le1\).
Gli estremi sono \(3\pm1\).

Passo 2

Quale integrale rappresenta la convoluzione?

Che cosa devi capire

Usa \(h(t)=\int h_1(t-\alpha)h_2(\alpha)d\alpha\).

Scelta corretta

\(\int_2^4e^{-|t-\alpha|}\,d\alpha\)

Perché regge:

Corretto: il rettangolo seleziona \(\alpha\in[2,4]\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il secondo fattore vale uno solo per \(\alpha\in[2,4]\).
Nel primo fattore resta \(e^{-|t-\alpha|}\).

Passo 3

Quanto vale \(h(t)\) per \(2\le t\le4\)?

Che cosa devi capire

All’interno dell’intervallo il valore assoluto cambia segno in \(\alpha=t\).

Scelta corretta

\(2-e^{-(t-2)}-e^{-(4-t)}\)

Perché regge:

Corretto: si spezza l’integrale in \([2,t]\) e \([t,4]\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Somma \(\int_2^te^{-(t-\alpha)}d\alpha\) e \(\int_t^4e^{-(\alpha-t)}d\alpha\).
I due contributi valgono \(1-e^{-(t-2)}\) e \(1-e^{-(4-t)}\).

Controllo finale

Quale giudizio sul sistema è corretto?

Che cosa devi capire

Causalità e stabilità richiedono due verifiche diverse.

Scelta corretta

Non causale e stabile

Perché regge:

Corretto: ha una coda anche per tempi negativi, ma area assoluta finita.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Guarda il valore di \(h(t)\) per \(t<0\).
Per la stabilità usa l'integrabilità assoluta dei due sistemi in cascata.

Svolgimento passo passo

La risposta equivalente è \[ h(t)=\int_2^4 e^{-|t-\alpha|}\,d\alpha. \] Si ottiene \[ h(t)= \begin{cases} e^{t-2}(1-e^{-2}),&t<2,\\ 2-e^{-(t-2)}-e^{-(4-t)},&2\le t\le4,\\ e^{-(t-4)}(1-e^{-2}),&t>4. \end{cases} \] Il sistema non è causale perché \(h(t)\ne0\) anche per \(t<0\). È stabile: entrambi i fattori sono assolutamente integrabili e \(\int|h(t)|dt=(\int h_1)(\int h_2)=2\cdot2=4\).

Risultato e verifica

La risposta è quella a tre tratti indicata; il sistema è stabile ma non causale.

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sg-13 Esercizio guidato · Prova del 22.07.2019, EX 1.2 - traccia del corsoSerie di Fourier della semionda sinusoidale

EsercizioProva del 22.07.2019, EX 1.2 - traccia del corso

Traccia

Sia \(x(t)=\sin(2\pi t)\,u[\sin(2\pi t)]\). Calcolare i coefficienti principali della serie di Fourier e verificare la componente continua.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Il periodo è \(1\) e su \([0,1]\) il segnale coincide con il seno solo per \(0<t<1/2\). Integrare quindi su tale semiperiodo e usare la forma esponenziale del seno.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Analisi della serie di Fourier continua

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}\,\mathrm dt\]

Perché è quella giusta qui

La semionda è periodica: i coefficienti si ottengono proiettando un solo periodo sulle armoniche.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Formule di Eulero

Formulario_tds.pdf, p. 1

\[\cos\alpha=\frac{e^{j\alpha}+e^{-j\alpha}}2\]

Perché è quella giusta qui

Permette di integrare prodotti trigonometrici o esponenziali senza perdere i fattori \(1/2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Su quale parte del periodo il segnale è non nullo?

Che cosa devi capire

Il gradino vale uno dove il suo argomento è non negativo.

Scelta corretta

\((0,1/2)\)

Perché regge:

Corretto: in questo intervallo il seno è positivo.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Studia il segno di \(\sin(2\pi t)\) su \([0,1]\).
È positivo nei primi \(1/2\) secondi.

Passo 2

Quanto vale \(X_0\)?

Che cosa devi capire

Il coefficiente \(X_0\) è la media su un periodo.

Scelta corretta

\(1/\pi\)

Perché regge:

Corretto: \(\int_0^{1/2}\sin(2\pi t)dt=1/\pi\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Qui il periodo vale \(1\).
Integra la semionda positiva.

Passo 3

Qual è il coefficiente \(X_1\)?

Che cosa devi capire

Usa \(\sin(2\pi t)=(e^{j2\pi t}-e^{-j2\pi t})/(2j)\).

Scelta corretta

\(-j/4\)

Perché regge:

Corretto: la componente \((1/2)\sin(2\pi t)\) corrisponde a \(X_1=-j/4\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Moltiplica per \(e^{-j2\pi t}\) e integra su \([0,1/2]\).
Il termine costante produce \(1/(4j)=-j/4\).

Controllo finale

Quale proprietà verifica correttamente il risultato?

Che cosa devi capire

Il segnale è reale ma non sinusoidale puro.

Scelta corretta

\(X_{-1}=X_1^*=j/4\) perché il segnale è reale

Perché regge:

Corretto: la simmetria coniugata è obbligatoria per segnali reali.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Applica la simmetria \(X_{-k}=X_k^*\).
Coniuga \(-j/4\).

Svolgimento passo passo

Con \(T_0=1\), \[ X_k=\int_0^{1/2}\sin(2\pi t)e^{-j2\pi kt}\,dt. \] Per \(k=0\), \(X_0=1/\pi\), che coincide con la media. Per la fondamentale \(X_1=-j/4\) e \(X_{-1}=j/4\). Per gli indici pari \(k=\pm2m\), con \(m\ge1\), \[ X_{\pm2m}=-\frac{1}{\pi(4m^2-1)}, \] mentre gli indici dispari diversi da \(\pm1\) sono nulli. In forma trigonometrica: \[ x(t)=\frac1\pi+\frac12\sin(2\pi t) -\frac2\pi\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{\cos(4\pi mt)}{4m^2-1}. \]

Risultato e verifica

\(X_0=1/\pi\), \(X_1=-j/4\), \(X_{-1}=j/4\), con armoniche pari \(X_{\pm2m}=-1/[\pi(4m^2-1)]\).

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sg-14 Esercizio guidato · Prova del 19.07.2022, EX 2 - traccia del corsoRicostruzione da vincoli sui coefficienti discreti

EsercizioProva del 19.07.2022, EX 2 - traccia del corso

Traccia

Un segnale reale e pari è periodico di periodo \(N_0=4\). Sono noti \(P_x=3/2\), \(\sum_{n=0}^{3}x[n]e^{-j\pi n/2}=-2\) e \(X_2=0\). Determinare una possibile espressione di \(x[n]\).

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Convertire la somma assegnata nel coefficiente \(X_1\), usare realtà e parità per ricavare \(X_3\), quindi applicare Parseval per trovare \(X_0\). Il segno di \(X_0\) non è univoco.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Analisi e sintesi della serie discreta

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1{N_0}\sum_{n=0}^{N_0-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N_0},\qquad x[n]=\sum_{k=0}^{N_0-1}X_ke^{j2\pi kn/N_0}\]

Perché è quella giusta qui

I vincoli sui coefficienti diventano direttamente vincoli sui campioni tramite la sintesi.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Quanto vale \(X_1\)?

Che cosa devi capire

La formula di analisi DTFS contiene \(1/N_0\).

Scelta corretta

\(-1/2\)

Perché regge:

Corretto: la somma assegnata va divisa per \(4\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Qui \(N_0=4\).
Calcola \((-2)/4\).

Passo 2

Quale coefficiente si ricava da realtà e parità?

Che cosa devi capire

Nel periodo \(4\), l’indice \(-1\) equivale a \(3\).

Scelta corretta

\(X_3=-1/2\)

Perché regge:

Corretto: \(X_3=X_{-1}=X_1^*=X_1\), essendo reale.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Per un segnale reale \(X_{-1}=X_1^*\).
Qui \(X_1=-1/2\) è già reale.

Passo 3

Che cosa fornisce Parseval per \(X_0\)?

Che cosa devi capire

Somma i moduli quadrati dei quattro coefficienti.

Scelta corretta

\(|X_0|=1\)

Perché regge:

Corretto: \(|X_0|^2=3/2-1/2=1\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

I contributi di \(X_1\) e \(X_3\) sommano a \(1/2\).
Sottrai tale valore da \(3/2\).

Controllo finale

Quale segnale è una soluzione scegliendo \(X_0=1\)?

Che cosa devi capire

La coppia \(X_1=X_3=-1/2\) sintetizza \(-\cos(\pi n/2)\).

Scelta corretta

\(x[n]=1-\cos(\pi n/2)\)

Perché regge:

Corretto: i coefficienti della coppia coseno sono entrambi \(-1/2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Somma \(X_1e^{j\pi n/2}+X_3e^{-j\pi n/2}\).
Usa \(e^{j\theta}+e^{-j\theta}=2\cos\theta\).

Svolgimento passo passo

Per la DTFS, \[ X_1=\frac14\sum_{n=0}^{3}x[n]e^{-j\pi n/2}=-\frac12. \] Poiché il segnale è reale e pari, \(X_3=X_{-1}=X_1=-1/2\). Parseval dà \[ \frac32=|X_0|^2+\frac14+0+\frac14, \] quindi \(|X_0|=1\). Scegliendo \(X_0=1\), una soluzione è \[ x[n]=1-\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right). \] Anche la scelta \(X_0=-1\) soddisfa i dati.

Risultato e verifica

Una soluzione è \(x[n]=1-\cos(\pi n/2)\); è possibile anche scegliere \(X_0=-1\).

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sg-15 Esercizio guidato · Appunti_03, treno di impulsi rettangolari - esempio adattatoCoefficienti di un treno rettangolare

EsercizioAppunti_03, treno di impulsi rettangolari - esempio adattato

Traccia

Sia \(x(t)=\operatorname{rep}_{T_0}[\Pi(2t/T_0)]\). Calcolare i coefficienti \(X_k\), la media e indicare quali armoniche si annullano.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Integrare il generatore, di ampiezza \(1\) e durata \(T_0/2\), su un intervallo centrato in zero. La parità rende i coefficienti reali.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Coefficienti della serie di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}\,\mathrm dt\]

Perché è quella giusta qui

Il treno è periodico e basta integrare il solo intervallo in cui il generatore è non nullo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la durata del generatore in un periodo?

Che cosa devi capire

Usa il supporto unitario di \(\Pi\).

Scelta corretta

\(T_0/2\)

Perché regge:

Corretto: \(|2t/T_0|\le1/2\) dà \(|t|\le T_0/4\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Imponi \(|2t/T_0|\le1/2\).
Gli estremi sono \(\pm T_0/4\).

Passo 2

Quanto vale la componente continua?

Che cosa devi capire

\(X_0\) è il valor medio.

Scelta corretta

\(1/2\)

Perché regge:

Corretto: area \(T_0/2\) divisa per \(T_0\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Media uguale ad ampiezza per duty cycle.
Il duty cycle è \((T_0/2)/T_0\).

Passo 3

Qual è la formula dei coefficienti?

Che cosa devi capire

Usa la coppia rettangolo-sinc.

Scelta corretta

\(\frac12\operatorname{sinc}(k/2)\)

Perché regge:

Corretto: è la trasformata del generatore campionata alle armoniche e divisa per \(T_0\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il rettangolo ha durata \(T_0/2\).
Valuta la trasformata a \(f=k/T_0\) e dividi per \(T_0\).

Controllo finale

Quali armoniche si annullano?

Che cosa devi capire

Cerca gli zeri di \(\operatorname{sinc}(k/2)\).

Scelta corretta

Le pari non nulle

Perché regge:

Corretto: per \(k=2m\ne0\), \(\operatorname{sinc}(m)=0\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

La sinc normalizzata si annulla agli interi non nulli.
Serve quindi \(k/2\in\mathbb Z\setminus\{0\}\).

Svolgimento passo passo

Il generatore è non nullo per \(|t|\le T_0/4\). Pertanto \[ X_k=\frac1{T_0}\int_{-T_0/4}^{T_0/4} e^{-j2\pi kt/T_0}\,dt =\frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{2}\right). \] In particolare \(X_0=1/2\), uguale al duty cycle e alla media. Per ogni indice pari non nullo, \(k=2m\), si ha \(\operatorname{sinc}(m)=0\). Le armoniche dispari restano con segno alternato.

Risultato e verifica

\(X_k=\frac12\operatorname{sinc}(k/2)\), \(X_0=1/2\); si annullano le armoniche pari non nulle.

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sg-16 Esercizio guidato · Prova del 24.02.2026, EX 1.2-1.3 - adattamento centrato su sintesi e ParsevalSintesi e Parseval da quattro righe spettrali

EsercizioProva del 24.02.2026, EX 1.2-1.3 - adattamento centrato su sintesi e Parseval

Traccia

Un segnale reale di periodo \(8\) ha come soli coefficienti non nulli \(X_1=X_{-1}=2\), \(X_3=4j\) e \(X_{-3}=-4j\). Ricostruire \(x(t)\) e calcolarne media e potenza.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Accoppiare gli indici opposti usando la sintesi reale. La media è \(X_0\); la potenza si ottiene più rapidamente con Parseval.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Sintesi della serie e Parseval

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[x(t)=\sum_kX_ke^{j2\pi kf_0t},\qquad P_x=\sum_k|X_k|^2\]

Perché è quella giusta qui

La sintesi ricostruisce il segnale dalle quattro righe; Parseval controlla la potenza senza reintegrare nel tempo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la frequenza fondamentale?

Che cosa devi capire

Il periodo assegnato vale \(8\).

Scelta corretta

\(1/8\)

Perché regge:

Corretto: \(f_0=1/T_0=1/8\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa \(f_0=1/T_0\).
Non confondere frequenza e pulsazione.

Passo 2

Quale termine produce la coppia \(X_{\pm1}=2\)?

Che cosa devi capire

Somma i due fasori di indice \(\pm1\).

Scelta corretta

\(4\cos(\pi t/4)\)

Perché regge:

Corretto: \(2e^{j\theta}+2e^{-j\theta}=4\cos\theta\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa \(e^{j\theta}+e^{-j\theta}=2\cos\theta\).
Moltiplica il risultato per il coefficiente \(2\).

Passo 3

Quale termine produce la coppia di indice \(\pm3\)?

Che cosa devi capire

Somma \(4je^{j\theta}-4je^{-j\theta}\).

Scelta corretta

\(-8\sin(3\pi t/4)\)

Perché regge:

Corretto: \(4je^{j\theta}-4je^{-j\theta}=-8\sin\theta\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa \(e^{j\theta}-e^{-j\theta}=2j\sin\theta\).
Il prodotto \(4j\cdot2j\) vale \(-8\).

Controllo finale

Qual è la potenza del segnale?

Che cosa devi capire

Applica Parseval direttamente ai coefficienti complessi.

Scelta corretta

\(40\)

Perché regge:

Corretto: \(2\cdot4+2\cdot16=40\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Somma i moduli quadrati di tutte e quattro le righe.
Ci sono due righe di modulo \(2\) e due di modulo \(4\).

Svolgimento passo passo

La frequenza fondamentale è \(f_0=1/8\). La coppia \(X_{\pm1}=2\) produce \(4\cos(2\pi f_0t)=4\cos(\pi t/4)\). La coppia \(X_3=4j\), \(X_{-3}=-4j\) produce \(-8\sin(6\pi f_0t)=-8\sin(3\pi t/4)\). Dunque \[ x(t)=4\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}\right) -8\sin\!\left(\frac{3\pi t}{4}\right). \] Non essendoci \(X_0\), la media è zero. Parseval fornisce \[ P_x=2|2|^2+2|4j|^2=8+32=40. \]

Risultato e verifica

\(x(t)=4\cos(\pi t/4)-8\sin(3\pi t/4)\), media \(0\), potenza \(40\).

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sg-17 Esercizio guidato · Prova del 18.05.2020, EX 1.1 - traccia del corsoTrasformata di una sinc al quadrato pesata nel tempo

EsercizioProva del 18.05.2020, EX 1.1 - traccia del corso

Traccia

Determinare la trasformata di Fourier di \(x(t)=t\,\operatorname{sinc}^2(t)\), usando le proprietà.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Partire dalla coppia \(\operatorname{sinc}^2(t)\longleftrightarrow\Lambda(f)\) e usare la proprietà di moltiplicazione per \(t\), che diventa derivazione rispetto a \(f\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Prodotto nel tempo e convoluzione in frequenza

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)y(t)\longleftrightarrow X(f)*Y(f)\]

Perché è quella giusta qui

La pesatura nel tempo trasforma il problema in una convoluzione fra spettri noti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppia triangolo-sinc al quadrato

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\Lambda(t/T)\longleftrightarrow T\,\operatorname{sinc}^2(fT)\]

Perché è quella giusta qui

Riconoscere la coppia evita di integrare direttamente la sinc al quadrato.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la coppia di partenza?

Che cosa devi capire

Ricorda le due coppie notevoli rettangolo-sinc e triangolo-sinc al quadrato.

Scelta corretta

\(\operatorname{sinc}^2(t)\longleftrightarrow\Lambda(f)\)

Perché regge:

Corretto: il quadrato della sinc corrisponde al triangolo.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

La dualità tra prodotto e convoluzione trasforma il quadrato della sinc.
Due rettangoli convoluti producono un triangolo.

Passo 2

Quale proprietà va applicata?

Che cosa devi capire

Deriva la definizione di trasformata rispetto a \(f\).

Scelta corretta

\(t\,g(t)\longleftrightarrow\frac{j}{2\pi}G'(f)\)

Perché regge:

Corretto: moltiplicare per \(t\) deriva lo spettro con il fattore \(j/(2\pi)\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

\(G'(f)\) porta il fattore \(-j2\pi t\) nell'integrale.
Isola la trasformata di \(t\,g(t)\).

Passo 3

Come si comporta \(\Lambda'(f)\) negli intervalli regolari?

Che cosa devi capire

Scrivi \(\Lambda(f)=1-|f|\) per \(|f|<1\).

Scelta corretta

Vale \(+1\) su \((-1,0)\) e \(-1\) su \((0,1)\)

Perché regge:

Corretto: sono le pendenze dei due lati del triangolo.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Deriva separatamente per \(f<0\) e \(f>0\).
Per \(f<0\), \(|f|=-f\); per \(f>0\), \(|f|=f\).

Controllo finale

Quale proprietà di simmetria deve avere \(X(f)\)?

Che cosa devi capire

\(\operatorname{sinc}^2(t)\) è pari e il fattore \(t\) è dispari.

Scelta corretta

Immaginaria e dispari

Perché regge:

Corretto: la trasformata di un segnale reale dispari è immaginaria dispari.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Quindi \(x(t)\) è reale e dispari.
Usa la corrispondenza di simmetria della trasformata.

Svolgimento passo passo

Con la convenzione del corso, \[ t\,g(t)\longleftrightarrow\frac{j}{2\pi}\frac{dG(f)}{df}. \] Ponendo \(g(t)=\operatorname{sinc}^2(t)\), si ha \(G(f)=\Lambda(f)\). La derivata vale \(+1\) per \(-1<f<0\), \(-1\) per \(0<f<1\), ed è nulla fuori da \([-1,1]\). Quindi \[ X(f)= \begin{cases} j/(2\pi),&-1<f<0,\\ -j/(2\pi),&0<f<1,\\ 0,&|f|>1. \end{cases} \] I valori nei punti angolosi non influenzano l’antitrasformata ordinaria.

Risultato e verifica

\(X(f)=j/(2\pi)\) per \(-1<f<0\), \(-j/(2\pi)\) per \(0<f<1\), zero altrove.

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sg-18 Esercizio guidato · Prova del 18.05.2020, EX 1.2 - traccia del corsoSemplificazione prima della trasformata

EsercizioProva del 18.05.2020, EX 1.2 - traccia del corso

Traccia

Determinare lo spettro di \(x(t)=\Lambda(t/2)[u(t-1)+u(-t+1)]\).

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Prima di trasformare, studiare il moltiplicatore formato dai due gradini. Esso vale uno su entrambi i lati di \(t=1\), perciò non modifica il triangolo salvo il valore convenzionale nel singolo punto di frontiera.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Linearità della trasformata

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[a_1x_1(t)+a_2x_2(t)\longleftrightarrow a_1X_1(f)+a_2X_2(f)\]

Perché è quella giusta qui

Dopo aver semplificato il segnale, ogni termine può essere trasformato separatamente.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Quanto vale il fattore \(u(t-1)+u(-t+1)\) per \(t<1\)?

Che cosa devi capire

Valuta separatamente i due argomenti.

Scelta corretta

\(1\)

Perché regge:

Corretto: il primo è zero e il secondo è uno.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Per \(t<1\), \(t-1<0\).
Nello stesso caso \(-t+1>0\).

Passo 2

E per \(t>1\)?

Che cosa devi capire

Ripeti il controllo cambiando lato rispetto a \(1\).

Scelta corretta

\(1\)

Perché regge:

Corretto: i ruoli si scambiano e la somma resta uno.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Ora \(t-1>0\).
Mentre \(-t+1<0\).

Passo 3

Quale segnale resta da trasformare?

Che cosa devi capire

Un singolo punto non cambia la trasformata integrale.

Scelta corretta

\(\Lambda(t/2)\)

Perché regge:

Corretto: il moltiplicatore vale uno quasi ovunque.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Semplifica il fattore tra parentesi a uno.
Mantieni invariata \(\Lambda(t/2)\).

Controllo finale

Qual è lo spettro?

Che cosa devi capire

Usa \(A\Lambda(t/T)\longleftrightarrow AT\operatorname{sinc}^2(fT)\).

Scelta corretta

\(2\operatorname{sinc}^2(2f)\)

Perché regge:

Corretto: la durata caratteristica \(2\) moltiplica ampiezza e argomento della sinc.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Qui \(A=1\) e \(T=2\).
Sostituisci direttamente i due parametri.

Svolgimento passo passo

Per \(t<1\), \(u(t-1)=0\) e \(u(-t+1)=1\); per \(t>1\) accade il contrario. Quindi il fattore tra parentesi vale uno quasi ovunque e \[ x(t)=\Lambda(t/2). \] Dalla coppia notevole \(A\Lambda(t/T)\longleftrightarrow AT\operatorname{sinc}^2(fT)\), con \(A=1\) e \(T=2\), segue \[ X(f)=2\operatorname{sinc}^2(2f). \]

Risultato e verifica

\(x(t)=\Lambda(t/2)\) e \(X(f)=2\operatorname{sinc}^2(2f)\).

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sg-19 Esercizio guidato · Prova del 02.12.2020, EX 1.1 - segnale riusato come esercizio di trasformataTrasformata di una sinc scalata e traslata

EsercizioProva del 02.12.2020, EX 1.1 - segnale riusato come esercizio di trasformata

Traccia

Calcolare la trasformata di Fourier di \(x(t)=\operatorname{sinc}((t-2)/4)\) e descriverne modulo e fase.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Partire dalla coppia \(\operatorname{sinc}(t/T)\longleftrightarrow T\Pi(Tf)\), poi applicare la traslazione temporale di \(2\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Scala e traslazione temporale

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(at-t_0)\longleftrightarrow\frac1{|a|}e^{-j2\pi f t_0/a}X(f/a)\]

Perché è quella giusta qui

Il fattore esterno controlla l’ampiezza spettrale e l’esponenziale complesso registra la traslazione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppia rettangolo-sinc

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\Pi(t/T)\longleftrightarrow T\,\operatorname{sinc}(fT)\]

Perché è quella giusta qui

La sinc assegnata va prima ricondotta alla coppia tabulata con la corretta scala.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la trasformata della sinc non traslata?

Che cosa devi capire

Usa \(\operatorname{sinc}(t/T)\longleftrightarrow T\Pi(Tf)\).

Scelta corretta

\(4\Pi(4f)\)

Perché regge:

Corretto: allargare nel tempo restringe in frequenza e introduce il fattore \(4\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Ponendo \(T=4\), il fattore esterno è \(4\).
Anche l'argomento del rettangolo diventa \(4f\).

Passo 2

Quale fattore introduce la traslazione di \(2\)?

Che cosa devi capire

Ricorda \(x(t-t_0)\longleftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_0}\).

Scelta corretta

\(e^{-j4\pi f}\)

Perché regge:

Corretto: \(e^{-j2\pi f t_0}\) con \(t_0=2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Qui \(t_0=2\).
Calcola \(-j2\pi f\cdot2\).

Passo 3

Qual è la banda in cui il modulo è non nullo?

Che cosa devi capire

La convenzione del corso usa \(\Pi(z)\ne0\) per \(|z|\le1/2\).

Scelta corretta

\(|f|\le1/8\)

Perché regge:

Corretto: \(|4f|\le1/2\) implica \(|f|\le1/8\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Imponi \(|4f|\le1/2\).
Dividi per \(4\).

Controllo finale

Qual è l'espressione finale?

Che cosa devi capire

Combina la coppia notevole con il fattore di traslazione.

Scelta corretta

\(4\Pi(4f)e^{-j4\pi f}\)

Perché regge:

Corretto: rettangolo scalato e fase lineare da ritardo.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il modulo non cambia con un ritardo.
La fase deve avere pendenza \(-4\pi\).

Svolgimento passo passo

La sinc non traslata ha trasformata \[ \operatorname{sinc}(t/4)\longleftrightarrow4\Pi(4f). \] La traslazione di \(2\) moltiplica lo spettro per \(e^{-j2\pi f\cdot2}\). Pertanto \[ X(f)=4\Pi(4f)e^{-j4\pi f}. \] Il modulo vale \(4\) per \(|f|\le1/8\) ed è nullo altrove; nella banda la fase è lineare, \(-4\pi f\).

Risultato e verifica

\(X(f)=4\Pi(4f)e^{-j4\pi f}\), con modulo \(4\) su \(|f|\le1/8\).

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sg-20 Esercizio guidato · Prova del 20.01.2026, EX 2 - risposta impulsiva adattataSpettro di una sinc modulata

EsercizioProva del 20.01.2026, EX 2 - risposta impulsiva adattata

Traccia

Per \(B>0\), calcolare la trasformata di \(h(t)=\operatorname{sinc}(Bt)\cos(2\pi f_0t)\).

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Trasformare prima la sinc scalata, poi applicare la proprietà di modulazione con il coseno: lo spettro di base viene duplicato e traslato in \(\pm f_0\), con fattore \(1/2\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Modulazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)\cos(2\pi f_0t)\longleftrightarrow\frac12X(f-f_0)+\frac12X(f+f_0)\]

Perché è quella giusta qui

La moltiplicazione per il coseno crea due copie dello spettro, traslate e dimezzate.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è lo spettro della sinc scalata?

Che cosa devi capire

Parti da \(\operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow\Pi(f)\).

Scelta corretta

\(\frac1B\Pi(f/B)\)

Perché regge:

Corretto: segue direttamente dalla proprietà di scala.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Qui l'argomento temporale è moltiplicato per \(B\).
Usa il fattore \(1/B\) e sostituisci \(f/B\).

Passo 2

Che effetto ha il coseno?

Che cosa devi capire

Scrivi il coseno con la formula di Eulero.

Scelta corretta

Crea due repliche centrate in \(\pm f_0\)

Perché regge:

Corretto: il coseno è somma di due esponenziali complessi.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Ogni esponenziale trasla lo spettro.
Le traslazioni sono \(+f_0\) e \(-f_0\).

Passo 3

Qual è l'altezza di ciascuna replica?

Che cosa devi capire

Ogni esponenziale del coseno ha coefficiente \(1/2\).

Scelta corretta

\(1/(2B)\)

Perché regge:

Corretto: \(1/B\) dalla sinc e \(1/2\) dal coseno.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Lo spettro di base ha altezza \(1/B\).
Moltiplica i due fattori.

Controllo finale

Qual è la formula corretta?

Che cosa devi capire

Lo spettro deve essere reale e pari.

Scelta corretta

\(\frac{1}{2B}[\Pi((f-f_0)/B)+\Pi((f+f_0)/B)]\)

Perché regge:

Corretto: due rettangoli traslati e pesati.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Somma le due traslazioni del rettangolo base.
Applica a entrambe il fattore \(1/(2B)\).

Svolgimento passo passo

La coppia di base è \[ \operatorname{sinc}(Bt)\longleftrightarrow \frac1B\Pi\!\left(\frac fB\right). \] Moltiplicando per il coseno, \[ H(f)=\frac{1}{2B}\left[ \Pi\!\left(\frac{f-f_0}{B}\right)+ \Pi\!\left(\frac{f+f_0}{B}\right)\right]. \] Sono dunque presenti due bande rettangolari di larghezza \(B\), centrate in \(+f_0\) e \(-f_0\).

Risultato e verifica

\(H(f)=\frac{1}{2B}[\Pi((f-f_0)/B)+\Pi((f+f_0)/B)]\).

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sg-21 Esercizio guidato · Prova del 28.03.2022, EX 1.3 - traccia del corsoProgetto della frequenza di taglio di un filtro RC

EsercizioProva del 28.03.2022, EX 1.3 - traccia del corso

Traccia

Un segnale reale di periodo \(8\) ha \(|X_1|=1\) e \(|X_5|=\sqrt2\). Entra in un filtro RC passa-basso. Determinare \(f_c\) affinché l’ampiezza della quinta armonica in uscita sia un terzo di quella fondamentale.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Valutare il modulo del filtro alle frequenze \(f_0\) e \(5f_0\), includendo le diverse ampiezze dei coefficienti in ingresso. Usare \(f_0=1/8\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Filtro RC

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[H(f)=\frac1{1+j2\pi fRC},\qquad f_T=\frac1{2\pi RC}\]

Perché è quella giusta qui

È la relazione diretta fra componenti, frequenza di taglio e attenuazione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Rappresentazione in decibel

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[|H(f)|_{\mathrm{dB}}=10\log_{10}\!\left(\frac{|H(f)|^2}{|H(f_0)|^2}\right)\]

Perché è quella giusta qui

È la forma stampata sul foglio. Se il riferimento ha modulo unitario, coincide con \(20\log_{10}|H(f)|\) e converte il requisito di attenuazione nel modulo lineare.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la frequenza fondamentale?

Che cosa devi capire

Il periodo vale \(8\).

Scelta corretta

\(f_0=1/8\)

Perché regge:

Corretto: \(f_0=1/T_0\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa \(f_0=1/T_0\).
Lascia il risultato nella stessa unità inversa del periodo.

Passo 2

Quale equazione esprime la specifica?

Che cosa devi capire

L’ampiezza in uscita è il prodotto tra coefficiente e modulo del filtro.

Scelta corretta

\(\sqrt2|H(5f_0)|=\frac13|H(f_0)|\)

Perché regge:

Corretto: l’uscita di ogni riga è \(|X_k||H(kf_0)|\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

La fondamentale ha modulo \(1\), la quinta \(\sqrt2\).
Imponi quinta in uscita uguale a un terzo della fondamentale.

Passo 3

Quale equazione si ottiene ponendo \(r=f_0/f_c\)?

Che cosa devi capire

Sostituisci \(f=f_0\) e \(f=5f_0\) nel modulo RC.

Scelta corretta

\(\frac{\sqrt2}{\sqrt{1+25r^2}}=\frac{1}{3\sqrt{1+r^2}}\)

Perché regge:

Corretto: il rapporto di frequenza della quinta è \(5r\), che al quadrato dà \(25r^2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Per la quinta, \(f/f_c=5r\).
Inserisci poi i moduli \(1\) e \(\sqrt2\) dei coefficienti.

Controllo finale

Qual è la frequenza di taglio?

Che cosa devi capire

Dall’equazione quadratica risulta \(r^2=17/7\).

Scelta corretta

\(\frac18\sqrt{7/17}\)

Perché regge:

Corretto: \(r=\sqrt{17/7}\) e \(f_c=f_0/r\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Ricorda \(r=f_0/f_c\).
Quindi \(f_c=(1/8)\sqrt{7/17}\).

Svolgimento passo passo

Per un RC, \[ |H(f)|=\frac{1}{\sqrt{1+(f/f_c)^2}}. \] La specifica è \[ \frac{\sqrt2}{\sqrt{1+25r^2}} =\frac13\frac{1}{\sqrt{1+r^2}}, \qquad r=\frac{f_0}{f_c}. \] Elevando al quadrato: \(18(1+r^2)=1+25r^2\), da cui \(r^2=17/7\). Poiché \(f_0=1/8\), \[ f_c=\frac18\sqrt{\frac7{17}}. \]

Risultato e verifica

\(f_c=\frac18\sqrt{7/17}\).

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sg-22 Esercizio guidato · Prova del 24.03.2026, EX 2.1 - traccia del corsoRiconoscimento di un passa-basso discreto

EsercizioProva del 24.03.2026, EX 2.1 - traccia del corso

Traccia

Per il filtro \(h[n]=\delta[n+1]+2\delta[n]+\delta[n-1]\), calcolare \(H(\nu)\), disegnarne il modulo e classificarlo.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Trasformare separatamente i tre impulsi. Raccogliere i due esponenziali coniugati usando il coseno e riscrivere il risultato come quadrato.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Analisi della trasformata discreta della risposta impulsiva

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[H(\nu)=\sum_n h[n]e^{-j2\pi\nu n}\]

Perché è quella giusta qui

La pagina scrive la formula per \(x[n]\): qui si sostituisce semplicemente \(x\) con la risposta impulsiva \(h\). Valutare poi \(H(0)\) e \(H(1/2)\) dice se passano basse o alte frequenze.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la trasformata di \(\delta[n+1]\)?

Che cosa devi capire

Usa \(\delta[n-n_0]\longleftrightarrow e^{-j2\pi\nu n_0}\).

Scelta corretta

\(e^{j2\pi\nu}\)

Perché regge:

Corretto: un anticipo di un campione introduce fase positiva.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Qui \(n_0=-1\).
Il doppio segno meno produce un esponente positivo.

Passo 2

Come si semplifica la somma dei tre contributi?

Che cosa devi capire

Somma \(e^{j\theta}+e^{-j\theta}\).

Scelta corretta

\(2+2\cos(2\pi\nu)\)

Perché regge:

Corretto: i due esponenziali coniugati sommano \(2\cos(2\pi\nu)\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa la formula di Eulero.
Aggiungi poi il termine centrale \(2\).

Passo 3

Dove si trova lo zero principale?

Che cosa devi capire

Usa la forma \(4\cos^2(\pi\nu)\).

Scelta corretta

\(\nu=1/2\)

Perché regge:

Corretto: \(\cos(\pi/2)=0\) nella forma \(4\cos^2(\pi\nu)\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Cerca dove il coseno è zero.
Nell'intervallo fondamentale accade a \(\nu=\pm1/2\).

Controllo finale

Come si classifica il filtro?

Che cosa devi capire

Confronta il guadagno a \(\nu=0\) e \(\nu=1/2\).

Scelta corretta

Passa-basso

Perché regge:

Corretto: massimo in continua e zero alla frequenza normalizzata più alta.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il primo vale \(4\), il secondo zero.
Il filtro privilegia le variazioni lente.

Svolgimento passo passo

La risposta armonica è \[ H(\nu)=e^{j2\pi\nu}+2+e^{-j2\pi\nu} =2+2\cos(2\pi\nu) =4\cos^2(\pi\nu). \] È reale, pari e non negativa. Il massimo vale \(4\) a \(\nu=0\) modulo \(1\), mentre si annulla a \(\nu=1/2\) modulo \(1\). Il filtro privilegia dunque le basse frequenze ed è passa-basso.

Risultato e verifica

\(H(\nu)=4\cos^2(\pi\nu)\); è un filtro passa-basso.

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sg-23 Esercizio guidato · Prova del 21.06.2022, EX 2.1 - traccia del corsoUn filtro che annulla una sequenza a due righe

EsercizioProva del 21.06.2022, EX 2.1 - traccia del corso

Traccia

Il filtro ha \(h[n]=\delta[n]-2\delta[n-2]+\delta[n-4]\). Determinare l’uscita per \(x[n]=\cos^2(\pi n/2)\).

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Scomporre prima l'ingresso in componente continua e alternata. Poi valutare la risposta armonica del filtro soltanto sulle due frequenze effettivamente presenti.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Uscita in frequenza di un LTI

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[Y(\nu)=H(\nu)X(\nu)\]

Perché è quella giusta qui

Per annullare un disturbo a righe basta imporre zeri di \(H\) nelle frequenze occupate da \(X\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Come si scompone l'ingresso?

Che cosa devi capire

Applica la formula di duplicazione del coseno.

Scelta corretta

\(\frac12+\frac12\cos(\pi n)\)

Perché regge:

Corretto: usa \(\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Ponendo \(\theta=\pi n/2\), compare \(2\theta=\pi n\).
Conserva il fattore \(1/2\) su entrambi i termini.

Passo 2

Qual è la risposta armonica?

Che cosa devi capire

Trasforma i ritardi \(0,2,4\).

Scelta corretta

\((1-e^{-j4\pi\nu})^2\)

Perché regge:

Corretto: espandendo si ottengono \(1-2e^{-j4\pi\nu}+e^{-j8\pi\nu}\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Riconosci un quadrato perfetto.
Usa \(a^2-2ab+b^2\) con \(b=e^{-j4\pi\nu}\).

Passo 3

Quanto vale \(H(\nu)\) sulle frequenze dell'ingresso?

Che cosa devi capire

Valuta \(e^{-j4\pi\nu}\) nei due punti.

Scelta corretta

\(H(0)=H(1/2)=0\)

Perché regge:

Corretto: entrambe le frequenze cadono negli zeri periodici.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Per \(\nu=0\) vale \(1\).
Per \(\nu=1/2\) vale \(e^{-j2\pi}=1\).

Controllo finale

Qual è l'uscita?

Che cosa devi capire

Un sistema LTI non crea nuove frequenze da un ingresso periodico.

Scelta corretta

\(y[n]=0\)

Perché regge:

Corretto: tutte le righe dell’ingresso cadono negli zeri del filtro.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Moltiplica ciascuna riga per il valore di \(H\).
Entrambi i moltiplicatori sono nulli.

Svolgimento passo passo

Per l’identità trigonometrica, \[ x[n]=\frac12+\frac12\cos(\pi n), \] quindi le sole frequenze sono \(\nu=0\) e \(\nu=1/2\). La risposta armonica è \[ H(\nu)=1-2e^{-j4\pi\nu}+e^{-j8\pi\nu} =(1-e^{-j4\pi\nu})^2. \] Sia a \(\nu=0\) sia a \(\nu=1/2\) risulta \(e^{-j4\pi\nu}=1\), dunque \(H=0\). Entrambe le righe vengono annullate e \[ y[n]=0. \]

Risultato e verifica

\(y[n]=0\).

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sg-24 Esercizio guidato · Prova del 24.02.2026, EX 1.2-1.3 - coefficienti della tracciaDensità spettrale di potenza a righe

EsercizioProva del 24.02.2026, EX 1.2-1.3 - coefficienti della traccia

Traccia

Un segnale periodico di periodo \(8\) ha come soli coefficienti non nulli \(X_1=X_{-1}=2\), \(X_3=4j\) e \(X_{-3}=-4j\). Calcolare la densità spettrale di potenza e la potenza totale.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Per un periodico, ogni coefficiente genera una delta alla frequenza armonica corrispondente, pesata da \(|X_k|^2\). La somma dei pesi è la potenza per Parseval.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Densità spettrale di un segnale periodico

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[S_x(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|X_k|^2\delta(f-kf_0)\]

Perché è quella giusta qui

Ogni coefficiente della serie genera una riga in \(kf_0\), pesata dal proprio modulo quadro; la fase scompare.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Parseval per la serie di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[P_x=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|X_k|^2\]

Perché è quella giusta qui

Sommando i pesi delle righe si ottiene direttamente la potenza totale, senza tornare nel dominio del tempo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Dove si trovano le righe della fondamentale?

Che cosa devi capire

Calcola \(f_0=1/T_0\).

Scelta corretta

\(f=\pm1/8\)

Perché regge:

Corretto: sono le frequenze \(k f_0\) con \(k=\pm1\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Qui \(T_0=8\).
Le righe di indice \(\pm1\) sono a \(\pm f_0\).

Passo 2

Qual è il peso di ciascuna riga di indice \(\pm3\)?

Che cosa devi capire

La densità usa \(|X_k|^2\).

Scelta corretta

\(16\)

Perché regge:

Corretto: \(|4j|^2=16\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il modulo di \(4j\) è \(4\).
Eleva al quadrato il modulo.

Passo 3

Quale informazione dei coefficienti scompare nella densità?

Che cosa devi capire

Osserva il peso \(|X_k|^2\).

Scelta corretta

La fase

Perché regge:

Corretto: il modulo quadro elimina la fase.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Scrivi \(X_k=|X_k|e^{j\theta_k}\).
Nel modulo quadro \(e^{j\theta_k}\) ha valore unitario.

Controllo finale

Qual è la potenza totale?

Che cosa devi capire

Integrare una delta unitaria restituisce il suo peso.

Scelta corretta

\(40\)

Perché regge:

Corretto: la somma dei quattro pesi è \(40\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Somma \(4+4+16+16\).
Il risultato coincide con Parseval.

Svolgimento passo passo

Con \(f_0=1/8\), \[ S_x(f)=4\delta(f-1/8)+4\delta(f+1/8) +16\delta(f-3/8)+16\delta(f+3/8). \] Integrando la densità, oppure applicando Parseval, \[ P_x=4+4+16+16=40. \] Le fasi dei coefficienti non compaiono nella densità spettrale di potenza.

Risultato e verifica

\(S_x(f)=4[\delta(f-1/8)+\delta(f+1/8)]+16[\delta(f-3/8)+\delta(f+3/8)]\), \(P_x=40\).

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sg-25 Esercizio guidato · Appunti_06, esempio del segnale vocale a banda 3.4 kHz - dati del corsoCampionamento di un segnale vocale

EsercizioAppunti_06, esempio del segnale vocale a banda 3.4 kHz - dati del corso

Traccia

Un segnale vocale è limitato alla banda \(B=3.4\,\mathrm{kHz}\) e viene campionato a \(f_s=8\,\mathrm{kHz}\). Verificare il vincolo di Nyquist, classificare il campionamento e descrivere le repliche spettrali.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Confrontare \(f_s\) con \(2B\). Nel dominio della frequenza il campionamento ideale replica \(X(f)\) ogni \(f_s\), con fattore \(1/T_s=f_s\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Vincolo di Nyquist

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[f_s\geq2B\]

Perché è quella giusta qui

La pagina mostra le repliche prodotte dal campionamento. Il vincolo non è stampato come riga autonoma: \(f_s\geq2B\) si ottiene imponendo che due repliche adiacenti non si sovrappongano.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la frequenza di Nyquist del segnale?

Che cosa devi capire

Per un segnale limitato a \(B\), il vincolo è \(f_s\ge2B\).

Scelta corretta

\(6.8\,\mathrm{kHz}\)

Perché regge:

Corretto: \(2B=6.8\,\mathrm{kHz}\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Moltiplica \(3.4\) per \(2\).
Conserva l'unità \(\mathrm{kHz}\).

Passo 2

Come si classifica \(f_s=8\,\mathrm{kHz}\)?

Che cosa devi capire

Confronta \(8\) con \(6.8\).

Scelta corretta

Sovracampionamento

Perché regge:

Corretto: la frequenza è maggiore del limite di Nyquist.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Maggiore del limite significa sovracampionamento.
Il termine non implica necessariamente un fattore intero.

Passo 3

Dove sono centrate le repliche spettrali?

Che cosa devi capire

Il periodo del treno nel tempo è \(T_s\).

Scelta corretta

In \(f=kf_s\)

Perché regge:

Corretto: il treno di impulsi produce repliche ogni \(f_s\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

La sua trasformata è un treno con passo \(1/T_s=f_s\).
Ogni copia è traslata di \(k f_s\).

Controllo finale

Qual è la distanza libera tra la replica centrale e quella a frequenza positiva?

Che cosa devi capire

La centrale arriva a \(B\); l’adiacente comincia a \(f_s-B\).

Scelta corretta

\(1.2\,\mathrm{kHz}\)

Perché regge:

Corretto: \((f_s-B)-B=f_s-2B=1.2\,\mathrm{kHz}\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Sottrai \(B\) da \(f_s-B\).
Calcola \(8-2\cdot3.4\).

Svolgimento passo passo

La frequenza minima teorica è \[ 2B=6.8\,\mathrm{kHz}. \] Poiché \(8>6.8\), il vincolo è soddisfatto e si ha un lieve sovracampionamento. Lo spettro campionato è \[ X_s(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(f-kf_s). \] Le repliche sono centrate in \(k\,8\,\mathrm{kHz}\). La replica centrale termina a \(3.4\,\mathrm{kHz}\), mentre quella successiva inizia a \(8-3.4=4.6\,\mathrm{kHz}\): resta un intervallo libero di \(1.2\,\mathrm{kHz}\), quindi non c’è aliasing.

Risultato e verifica

Il limite è \(6.8\,\mathrm{kHz}\); \(8\,\mathrm{kHz}\) è sovracampionamento senza aliasing.

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sg-26 Esercizio guidato · Appunti_06, campionamento di un segnale sinusoidale - esempio numerico adattatoAliasing di una sinusoide

EsercizioAppunti_06, campionamento di un segnale sinusoidale - esempio numerico adattato

Traccia

Il segnale \(x(t)=\cos(2\pi\cdot5\,\mathrm{kHz}\,t)\) viene campionato a \(f_s=8\,\mathrm{kHz}\). Trovare la frequenza normalizzata e la sinusoide alias nella banda principale.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Normalizzare la frequenza dividendo per \(f_s\), poi riportarla nell'intervallo \([-1/2,1/2]\) sottraendo un intero. Per un coseno, le frequenze opposte rappresentano la stessa sequenza reale.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Spettro del segnale campionato

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[X_s(f)=\frac1{T_s}\sum_kX(f-kf_s)\]

Perché è quella giusta qui

L’alias si trova riportando la frequenza nelle repliche equivalenti separate di \(f_s\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Vincolo di Nyquist

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[f_s\geq2B\]

Perché è quella giusta qui

Il foglio mostra le repliche; la disuguaglianza si ricava imponendo che restino separate. Prima di calcolare l’alias si verifica così se il campionamento era sufficiente.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la frequenza normalizzata originaria?

Che cosa devi capire

Usa \(\nu=f/f_s\).

Scelta corretta

\(5/8\)

Perché regge:

Corretto: \(\nu_0=f_0/f_s=5/8\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Entrambe le frequenze sono espresse in \(\mathrm{kHz}\).
Calcola \(5/8\).

Passo 2

Quale rappresentante equivalente cade in \([-1/2,1/2]\)?

Che cosa devi capire

La DTFT è periodica di periodo \(1\).

Scelta corretta

\(-3/8\)

Perché regge:

Corretto: \(5/8-1=-3/8\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Sottrai \(1\) a \(5/8\).
Il risultato deve avere modulo minore di \(1/2\).

Passo 3

Qual è la frequenza analogica alias ricostruita?

Che cosa devi capire

Riporta la frequenza nella banda \([0,f_s/2]\).

Scelta corretta

\(3\,\mathrm{kHz}\)

Perché regge:

Corretto: \(|5-8|=3\,\mathrm{kHz}\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa il modulo di \(f_0-f_s\).
Calcola \(|5-8|\).

Controllo finale

Quale identità sui campioni spiega l'aliasing?

Che cosa devi capire

Usa prima \(5/8\equiv-3/8\pmod1\).

Scelta corretta

\(\cos(2\pi(5/8)n)=\cos(2\pi(3/8)n)\)

Perché regge:

Corretto: \(5/8\equiv-3/8\) modulo uno e il coseno è pari.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Poi applica \(\cos(-\theta)=\cos\theta\).
Il modulo della frequenza equivalente è \(3/8\).

Svolgimento passo passo

La frequenza normalizzata è \[ \nu_0=\frac{5}{8}=0.625. \] Sottraendo \(1\) si ottiene la frequenza equivalente \(\nu_a=-0.375=-3/8\), appartenente alla banda principale. Infatti \[ \cos(2\pi(5/8)n)=\cos(2\pi(-3/8)n). \] Un ricostruttore passa-basso interpreta quindi i campioni come una sinusoide di frequenza \[ f_a=|f_0-f_s|=3\,\mathrm{kHz}. \]

Risultato e verifica

\(\nu_0=5/8\equiv-3/8\); la ricostruzione alias è a \(3\,\mathrm{kHz}\).

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sg-27 Esercizio guidato · Appunti_06, quantizzazione uniforme e codifica - esempio adattatoQuantizzazione uniforme e velocità binaria

EsercizioAppunti_06, quantizzazione uniforme e codifica - esempio adattato

Traccia

Un quantizzatore uniforme mid-rise copre \([-4,4)\) con \(M=8\) celle e livelli di restituzione nei punti medi. Quantizzare \(x=2.6\). Se \(f_s=8\,\mathrm{kHz}\), calcolare bit per campione e velocità binaria nominale.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Calcolare il passo come ampiezza dinamica divisa per il numero di celle. Individuare poi la cella del campione, usare il suo punto medio e infine applicare \(\log_2M\) per la codifica.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Quantizzazione uniforme

Non tabulata nel formulario ufficiale

\[\Delta=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{2^b}\]

Perché è quella giusta qui

Il numero di bit determina i livelli; il formulario non evita di definire dinamica e passo di quantizzazione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è il passo di quantizzazione?

Che cosa devi capire

Calcola \(x_{\max}-x_{\min}\).

Scelta corretta

\(\Delta=1\)

Perché regge:

Corretto: l’intervallo totale di ampiezza \(8\) è diviso in \(8\) celle.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

L'ampiezza totale è \(8\).
Dividi per \(M=8\).

Passo 2

Qual è il valore quantizzato di \(2.6\)?

Che cosa devi capire

Individua prima la cella \([2,3)\).

Scelta corretta

\(2.5\)

Perché regge:

Corretto: il punto medio di \([2,3)\) è \(2.5\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il quantizzatore è dichiarato mid-rise.
Calcola la media degli estremi \(2\) e \(3\).

Passo 3

Quanti bit servono per campione?

Che cosa devi capire

Serve una parola distinta per ciascuno degli \(8\) livelli.

Scelta corretta

\(3\)

Perché regge:

Corretto: \(2^3=8\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa \(b=\log_2M\).
Calcola \(\log_2 8\).

Controllo finale

Qual è la velocità binaria nominale?

Che cosa devi capire

Moltiplica campioni al secondo per bit per campione.

Scelta corretta

\(24\,\mathrm{kbit/s}\)

Perché regge:

Corretto: \(8\,000\) campioni al secondo per \(3\) bit.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Usa \(f_s=8\,\mathrm{kHz}\) e \(b=3\).
Il prodotto è \(24\,\mathrm{kbit/s}\).

Svolgimento passo passo

Il passo uniforme è \[ \Delta=\frac{4-(-4)}{8}=1. \] Il valore \(2.6\) cade nella cella \([2,3)\), il cui livello di restituzione è \(2.5\). Quindi \(Q(2.6)=2.5\) e l’errore definito come \(e_q=Q(x)-x\) vale \(-0.1\), con modulo minore di \(\Delta/2=0.5\). Servono \(b=\log_2 8=3\) bit per campione; la velocità è \[ R_b=f_sb=8\,000\cdot3=24\,000\,\mathrm{bit/s}. \]

Risultato e verifica

\(\Delta=1\), \(Q(2.6)=2.5\), \(e_q=-0.1\), \(b=3\), \(R_b=24\,\mathrm{kbit/s}\).

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sg-28 Esercizio guidato · Appunti_06, ricostruzione mediante interpolazione a banda limitata - esempio adattatoRicostruzione ideale da tre campioni non nulli

EsercizioAppunti_06, ricostruzione mediante interpolazione a banda limitata - esempio adattato

Traccia

Una sequenza campionata con passo \(T\) ha \(x[-1]=1\), \(x[0]=2\), \(x[1]=1\) ed è nulla altrove. Scrivere il segnale ricostruito mediante interpolazione sinc e verificare i valori negli istanti di campionamento.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Applicare direttamente la formula di interpolazione ideale: ogni campione pesa una sinc centrata nel proprio istante \(nT\). Usare poi gli zeri interi della sinc normalizzata.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Campionamento e coppia rettangolo-sinc

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[x(t)=\sum_nx(nT_s)\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t-nT_s}{T_s}\right)\]

Perché è quella giusta qui

La formula di interpolazione non è stampata come riga autonoma: si ricava dalla relazione di campionamento e dalla coppia rettangolo-sinc riportate nella stessa pagina. Ogni campione pesa una sinc centrata nel proprio istante.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è il nucleo di interpolazione ideale?

Che cosa devi capire

Il filtro ideale di ricostruzione è rettangolare in frequenza.

Scelta corretta

\(\operatorname{sinc}((t-nT)/T)\)

Perché regge:

Corretto: è la risposta impulsiva del passa-basso ideale di ricostruzione.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

La sua risposta impulsiva è una sinc.
Ogni copia deve essere centrata in \(nT\).

Passo 2

Quale termine è associato a \(x[-1]=1\)?

Che cosa devi capire

Usa \((t-nT)/T\) con \(n=-1\).

Scelta corretta

\(\operatorname{sinc}(t/T+1)\)

Perché regge:

Corretto: \(t-(-1)T=t+T\), quindi l’argomento è \(t/T+1\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Nel numeratore compare \(t+T\).
Dividendo per \(T\) si ottiene \(t/T+1\).

Passo 3

Perché \(\widehat x(0)=2\)?

Che cosa devi capire

Valuta i tre argomenti a \(t=0\).

Scelta corretta

Perché \(\operatorname{sinc}(0)=1\) e \(\operatorname{sinc}(\pm1)=0\)

Perché regge:

Corretto: resta soltanto il termine centrale pesato da \(2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Essi sono \(1\), \(0\) e \(-1\).
Usa gli zeri interi della sinc normalizzata.

Controllo finale

Qual è l'espressione ricostruita?

Che cosa devi capire

Scrivi una sinc per ciascun campione non nullo.

Scelta corretta

\(\operatorname{sinc}(t/T+1)+2\operatorname{sinc}(t/T)+\operatorname{sinc}(t/T-1)\)

Perché regge:

Corretto: è la somma delle tre sinc centrate e pesate.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

I centri sono \(-T\), \(0\) e \(+T\).
I pesi sono rispettivamente \(1\), \(2\) e \(1\).

Svolgimento passo passo

La ricostruzione ideale è \[ \widehat x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t-nT}{T}\right). \] Con i soli campioni non nulli assegnati, \[ \widehat x(t)= \operatorname{sinc}\!\left(\frac tT+1\right) +2\operatorname{sinc}\!\left(\frac tT\right) +\operatorname{sinc}\!\left(\frac tT-1\right). \] Per \(t=mT\), tutte le sinc con centro diverso si annullano e resta il campione \(x[m]\). Per esempio \(\widehat x(0)=2\). Inoltre \(\widehat x(T/2)=16/(3\pi)\).

Risultato e verifica

\(\widehat x(t)=\operatorname{sinc}(t/T+1)+2\operatorname{sinc}(t/T)+\operatorname{sinc}(t/T-1)\).

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sg-29 Esercizio guidato · Prova del 24.06.2019, EX 3 - traccia del corsoDue calzini e la formula di Bayes

EsercizioProva del 24.06.2019, EX 3 - traccia del corso

Traccia

Si sceglie equiprobabilmente uno di due cassetti. Il primo contiene \(6\) calzini grigi e \(4\) blu; il secondo \(2\) grigi e \(8\) blu. Si estraggono due calzini senza reinserimento. Calcolare la probabilità di due grigi, la probabilità a posteriori di avere scelto il primo cassetto e il cassetto migliore per due colori uguali.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Costruire l'albero condizionato sul cassetto. Usare probabilità totale per l'evento due grigi e Bayes per risalire al cassetto. Confrontare poi direttamente le probabilità di due colori uguali nei due cassetti.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Formula di Bayes

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{\sum_jP(A\mid B_j)P(B_j)}\]

Perché è quella giusta qui

L’evento osservato è «due calzini grigi» e si vuole risalire al cassetto scelto.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Quanto vale \(P(GG\mid C_1)\)?

Che cosa devi capire

Le estrazioni sono senza reinserimento.

Scelta corretta

\(1/3\)

Perché regge:

Corretto: \((6/10)(5/9)=1/3\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Dopo un grigio restano \(5\) grigi su \(9\) calzini.
Moltiplica \(6/10\) per \(5/9\).

Passo 2

Quanto vale \(P(GG)\)?

Che cosa devi capire

Usa la probabilità totale sui due cassetti.

Scelta corretta

\(8/45\)

Perché regge:

Corretto: media equiprobabile di \(1/3\) e \(1/45\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Entrambi hanno probabilità a priori \(1/2\).
Calcola \((1/2)(1/3)+(1/2)(1/45)\).

Passo 3

Qual è \(P(C_1\mid GG)\)?

Che cosa devi capire

Applica Bayes con numeratore \(P(GG\mid C_1)P(C_1)\).

Scelta corretta

\(15/16\)

Perché regge:

Corretto: il primo cassetto è quindici volte più compatibile con \(GG\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il numeratore vale \(1/6\).
Dividi \(1/6\) per \(8/45\).

Controllo finale

Quale cassetto massimizza la probabilità di due colori uguali?

Che cosa devi capire

Somma le combinazioni di due grigi e due blu in ciascun cassetto.

Scelta corretta

Il secondo, perché \(29/45>7/15\)

Perché regge:

Corretto: il secondo è più sbilanciato verso un colore.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il denominatore comune è \(\binom{10}{2}=45\).
Confronta \(21/45\) con \(29/45\).

Svolgimento passo passo

Indicando con \(C_1,C_2\) i cassetti e con \(GG\) l’evento due grigi, \[ P(GG\mid C_1)=\frac6{10}\frac5{9}=\frac13,\qquad P(GG\mid C_2)=\frac2{10}\frac1{9}=\frac1{45}. \] Quindi \[ P(GG)=\frac12\left(\frac13+\frac1{45}\right)=\frac8{45}, \] e \[ P(C_1\mid GG)=\frac{(1/2)(1/3)}{8/45}=\frac{15}{16}. \] Per due calzini dello stesso colore: \[ P(\text{stesso}\mid C_1)=\frac{\binom62+\binom42}{\binom{10}2} =\frac7{15}, \] \[ P(\text{stesso}\mid C_2)=\frac{\binom22+\binom82}{\binom{10}2} =\frac{29}{45}. \] Conviene scegliere il secondo cassetto.

Risultato e verifica

\(P(GG)=8/45\), \(P(C_1\mid GG)=15/16\); conviene il secondo cassetto.

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sg-30 Esercizio guidato · Prova del 22.07.2019, EX 3 - traccia del corsoSchede difettose, collaudo e garanzia

EsercizioProva del 22.07.2019, EX 3 - traccia del corso

Traccia

Una scheda è difettosa con probabilità \(0.02\). Le schede buone hanno vita uniforme in \([0,4000]\) giorni, le difettose in \([0,40]\). Si vendono solo le schede che superano \(20\) giorni di test. Calcolare la probabilità che una scheda venduta sia difettosa e quella che richieda rimborso entro \(180\) giorni dalla vendita.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Condizionare prima sull'esito del test e sul tipo di scheda. Per la garanzia, osservare che ogni difettosa sopravvissuta al test si guasta comunque entro i successivi \(20\) giorni, mentre una buona viene rimborsata se la vita totale cade tra \(20\) e \(200\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Probabilità totale e Bayes

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i),\qquad P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{P(A)}\]

Perché è quella giusta qui

La popolazione è una miscela di schede buone e difettose; il test modifica la probabilità dopo l’osservazione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è \(P(V\mid D)\)?

Che cosa devi capire

La vita difettosa è uniforme su \(40\) giorni.

Scelta corretta

\(0.5\)

Perché regge:

Corretto: una uniforme in \([0,40]\) supera \(20\) con probabilità \(1/2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

La parte dell'intervallo sopra \(20\) ha lunghezza \(20\).
Dividi \(20\) per \(40\).

Passo 2

Qual è la probabilità totale di vendita?

Che cosa devi capire

Usa la probabilità totale sui tipi \(D\) e \(B\).

Scelta corretta

\(0.9851\)

Perché regge:

Corretto: \(0.02\cdot0.5+0.98\cdot0.995\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il contributo difettoso è \(0.01\).
Il contributo buono è \(0.9751\).

Passo 3

Qual è circa \(P(D\mid V)\)?

Che cosa devi capire

Applica Bayes.

Scelta corretta

\(0.01015\)

Perché regge:

Corretto: \(0.01/0.9851\approx0.01015\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il numeratore \(P(D\cap V)\) vale \(0.01\).
Dividi per \(P(V)=0.9851\).

Controllo finale

Qual è circa la probabilità di rimborso per una scheda venduta?

Che cosa devi capire

Somma i contributi congiunti al rimborso dei due tipi.

Scelta corretta

\(0.05492\)

Perché regge:

Corretto: \((0.01+0.0441)/0.9851\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Per le buone serve vita totale tra \(20\) e \(200\), intervallo lungo \(180\).
Condiziona infine sull'evento vendita.

Svolgimento passo passo

Indicando con \(D\) il tipo difettoso e con \(V\) la vendita, \[ P(V\mid D)=\frac{20}{40}=\frac12,\qquad P(V\mid B)=\frac{3980}{4000}=0.995. \] Quindi \[ P(V)=0.02\cdot0.5+0.98\cdot0.995=0.9851 \] e \[ P(D\mid V)=\frac{0.02\cdot0.5}{0.9851}\approx0.01015. \] Per il rimborso \(R\), il contributo congiunto delle difettose è \(0.02\cdot0.5=0.01\); quello delle buone è \(0.98\cdot(180/4000)=0.0441\). Pertanto \[ P(R\mid V)=\frac{0.01+0.0441}{0.9851}\approx0.05492. \]

Risultato e verifica

\(P(D\mid V)\approx0.01015\) e \(P(R\mid V)\approx0.05492\).

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sg-31 Esercizio guidato · Prova del 24.03.2026, EX 3 - traccia del corsoClassificatore gaussiano per il controllo qualità

EsercizioProva del 24.03.2026, EX 3 - traccia del corso

Traccia

Il \(75\%\) dei pezzi è conforme con valore ideale \(X_0=1\); il \(25\%\) è difettoso con \(X_0=7\). Si osserva \(X=X_0+Z\), con \(Z\sim\mathcal N(0,9)\), e si dichiara conforme se \(X<4\). Calcolare i due errori congiunti, la probabilità di decisione corretta e la soglia che limita al \(2\%\) il falso scarto dei conformi.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Standardizzare sempre con deviazione standard \(3\). Distinguere tra probabilità condizionata dell'errore dato il tipo e probabilità congiunta, che include il prior. Per la nuova soglia usare il quantile gaussiano \(0.98\).

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Densità gaussiana

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[f_X(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\]

Perché è quella giusta qui

Le due classi generano densità gaussiane; la soglia si trova confrontando probabilità pesate o code gaussiane.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Formula di Bayes

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(C_i\mid x)\propto f_{X\mid C_i}(x)P(C_i)\]

Perché è quella giusta qui

Il termine proporzionale mostra come prior e verosimiglianza contribuiscono alla decisione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Qual è la deviazione standard del rumore?

Che cosa devi capire

La notazione \(\mathcal N(0,9)\) della traccia usa la varianza.

Scelta corretta

\(3\)

Perché regge:

Corretto: \(\sigma=\sqrt9=3\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Calcola la radice quadrata di \(9\).
Usa \(3\) nella standardizzazione.

Passo 2

Qual è la probabilità congiunta di vendere un pezzo difettoso?

Che cosa devi capire

Per un difettoso \(X=7+Z\).

Scelta corretta

\(0.25\Phi(-1)\)

Perché regge:

Corretto: prior difettoso per probabilità condizionata \(Z<-3\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

La dichiarazione conforme richiede \(Z<-3\), cioè standardizzata minore di \(-1\).
Moltiplica per il prior \(0.25\).

Passo 3

Quanto vale la probabilità complessiva di decisione corretta?

Che cosa devi capire

Calcola separatamente corretto dato conforme e corretto dato difettoso.

Scelta corretta

\(\Phi(1)\)

Perché regge:

Corretto: entrambi i contributi condizionati valgono \(\Phi(1)\) e i prior sommano a uno.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Per simmetria gaussiana entrambi valgono \(\Phi(1)\).
Applica la probabilità totale con prior \(0.75\) e \(0.25\).

Controllo finale

Qual è circa la nuova soglia per avere il \(2\%\) di falsi scarti tra i conformi?

Che cosa devi capire

Imponi \(P(Z\ge\gamma-1)=0.02\).

Scelta corretta

\(\gamma\approx7.16\)

Perché regge:

Corretto: \(1+3\Phi^{-1}(0.98)\approx7.16\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Quindi \(P(Z<\gamma-1)=0.98\).
Standardizza e usa \(\Phi^{-1}(0.98)\approx2.0537\).

Svolgimento passo passo

Per un difettoso, l’errore di messa in commercio è \(7+Z<4\), cioè \(Z<-3\). Quindi \[ P(D\cap\widehat C)=0.25\,\Phi(-1)\approx0.03966. \] Per un conforme, lo scarto errato è \(1+Z\ge4\), cioè \(Z\ge3\): \[ P(C\cap\widehat D)=0.75[1-\Phi(1)]\approx0.11899. \] Entrambi i tipi sono classificati correttamente con probabilità condizionata \(\Phi(1)\), perciò \[ P(\text{corretto})=\Phi(1)\approx0.84134. \] Per una nuova soglia \(\gamma\), \(P(1+Z\ge\gamma\mid C)=0.02\). Dunque \[ \frac{\gamma-1}{3}=\Phi^{-1}(0.98)\approx2.0537, \qquad \gamma\approx7.16. \]

Risultato e verifica

Errori congiunti \(\approx0.03966\) e \(\approx0.11899\); accuratezza \(\approx0.84134\); soglia \(\gamma\approx7.16\).

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sg-32 Esercizio guidato · Prova del 18.05.2020, EX 3 - traccia del corsoSomma di due variabili uniformi su supporti spezzati

EsercizioProva del 18.05.2020, EX 3 - traccia del corso

Traccia

Siano \(X\) e \(Y\) indipendenti, con \(X\sim U[0,2]\) e \(f_Y(y)=\frac12[\Pi(y/3-1/2)-\Pi(y-3/2)]\). Per \(Z=X+Y\), determinare \(f_Z(z)\) e la media.

Prima dei calcoli: che cosa stiamo facendo e perché

Prima tradurre la densità di \(Y\) in intervalli: il rettangolo largo meno quello centrale lascia due intervalli separati. La convoluzione con l'uniforme di \(X\) è proporzionale alla lunghezza di sovrapposizione.

Durante lo scritto

Dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Densità di una trasformazione/somma

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\]

Perché è quella giusta qui

Per variabili indipendenti la pagina riporta \(f_Z=f_X*f_Y\). L’integrale esplicita quella convoluzione; gli estremi vengono dall’intersezione dei supporti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Risoluzione accompagnatauna domanda alla volta, con il motivo di ogni scelta

Passo 1

Dove è non nulla \(f_Y(y)\)?

Che cosa devi capire

Determina separatamente il supporto dei due rettangoli.

Scelta corretta

Su \([0,1]\cup[2,3]\) con altezza \(1/2\)

Perché regge:

Corretto: resta il rettangolo largo senza la sua parte centrale.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Il primo copre \([0,3]\), il secondo \([1,2]\).
Sottraendo restano \([0,1]\) e \([2,3]\).

Passo 2

Qual è il fattore di altezza nella convoluzione?

Che cosa devi capire

La convoluzione integra il prodotto \(f_X(x)f_Y(z-x)\).

Scelta corretta

\(1/4\)

Perché regge:

Corretto: \((1/2)(1/2)=1/4\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Entrambe le altezze valgono \(1/2\).
Moltiplica i due valori.

Passo 3

Perché \(f_Z(z)=1/4\) su tutto l'intervallo \(1<z<4\)?

Che cosa devi capire

Considera separatamente i contributi di \([0,1]\) e \([2,3]\).

Scelta corretta

Perché la somma delle due lunghezze di sovrapposizione resta \(1\)

Perché regge:

Corretto: quando una sovrapposizione cala, l’altra cresce o resta piena.

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Tra \(2\) e \(3\) un contributo scende mentre l'altro sale.
La lunghezza totale resta uno e va moltiplicata per \(1/4\).

Controllo finale

Quanto vale \(\mathbb E[Z]\)?

Che cosa devi capire

Per la media della somma non serve l’indipendenza.

Scelta corretta

\(5/2\)

Perché regge:

Corretto: per linearità \(\mathbb E[Z]=1+3/2=5/2\).

Se sei bloccato, apri gli indizi in ordine

Calcola \(\mathbb E[X]=1\).
La distribuzione simmetrica di \(Y\) rispetto a \(3/2\) ha media \(3/2\).

Svolgimento passo passo

La densità di \(Y\) vale \(1/2\) su \([0,1]\cup[2,3]\) e zero altrove. Inoltre \(f_X(x)=1/2\) su \([0,2]\). Per indipendenza, \(f_Z=f_X*f_Y\); il prodotto delle altezze vale \(1/4\). Sommando le lunghezze di sovrapposizione dei due intervalli si ottiene \[ f_Z(z)= \begin{cases} z/4,&0\le z\le1,\\ 1/4,&1<z<4,\\ (5-z)/4,&4\le z\le5,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \] La densità ha area \(1\). Inoltre \(\mathbb E[X]=1\) e \(\mathbb E[Y]=3/2\), quindi \[ \mathbb E[Z]=\frac52. \]

Risultato e verifica

\(f_Z(z)=z/4\) su \([0,1]\), \(1/4\) su \((1,4)\), \((5-z)/4\) su \([4,5]\); \(\mathbb E[Z]=5/2\).

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2019-2026 · 23 appelli · 69 esercizi

Ogni prova, con ogni esercizio svolto

Per ciascuna delle 23 tracce trovi tre svolgimenti completi: riconoscimento del problema, formula e pagina del formulario ufficiale, adattamento della notazione, calcoli motivati, risultato, controlli ed errori tipici. Gli svolgimenti manoscritti originali restano disponibili come ulteriore confronto.

24/03 Prova scritta · 150 minutiAppello del 24/03/2026

Segnali e sistemi a tempo continuo · Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Onda unipolare e cascata di due filtri continui

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Filtro FIR, modulazione e decimazione

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Controllo gaussiano di conformità

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 24/03/2026

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoOnda unipolare e cascata di due filtri continui

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Studiare \(x(t)=u[\sin(2\pi t/T)]\), ricavare il secondo filtro e calcolare \(z(t)\) e \(y(t)\).

Prima immagine mentale

L’ingresso è un’onda rettangolare unipolare: prima di fare conti conviene fissarne periodo, semiperiodi attivi e coefficienti di Fourier. Il primo filtro annulla tutte le armoniche dispari tranne la fondamentale e lascia anche una componente continua. Il secondo blocco è una media mobile non normalizzata su una finestra lunga \(T/2\): integrare direttamente il segnale sinusoidale già semplificato è il percorso più trasparente.

La strada, prima di fare i conti

Descrivere \(x(t)\) in un periodo e calcolarne media, energia e potenza.
Riscrivere l'integratore a finestra come sistema LTI e trovare \(h_2(t)\) e \(H_2(f)\).
Calcolare i coefficienti \(X_k\) e valutare \(H_1(k/T)\) soltanto sulle righe presenti.
Ricostruire \(z(t)\), poi integrare su \([t-T/2,t]\) per ottenere \(y(t)\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Analisi e sintesi della serie di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}dt,\qquad x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_ke^{j2\pi kf_0t}\]

Perché è quella giusta qui

Si usa sul periodo \(T\) dell’onda unipolare; il filtro LTI moltiplica poi ciascuna riga per \(H_1(k/T)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)\cos(2\pi f_0t)\longleftrightarrow\frac12X(f-f_0)+\frac12X(f+f_0)\]

Perché è quella giusta qui

Applicata alla finestra \(\Pi(2t/T)\), produce le due sinc traslate che formano \(H_1(f)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Integrazione su finestra

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[\int_{-\infty}^{t}x(\alpha)d\alpha\longleftrightarrow\frac{X(f)}{j2\pi f}+\frac12X(0)\delta(f)\]

Perché è quella giusta qui

Il blocco assegnato è la differenza di due integratori traslati; equivalentemente deriva dalla convoluzione con \(u(t)-u(t-T/2)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Ingresso e classificazione energetica

In ogni periodo il seno è positivo nel primo semiperiodo. A meno dei soli punti di attraversamento dello zero, che non modificano alcun integrale,

\[ x(t)= \begin{cases} 1,&kT<t<kT+\dfrac{T}{2},\\ 0,&kT+\dfrac{T}{2}<t<(k+1)T. \end{cases} \]

Ne seguono

\[ \overline{x}=\frac1T\int_0^T x(t)\,dt=\frac12, \qquad P_x=\frac1T\int_0^T|x(t)|^2dt=\frac12. \]

Il segnale è periodico e non nullo, quindi ha energia infinita:

\[ E_x=+\infty. \]

2. Secondo sistema

La relazione della traccia è

\[ y(t)=\int_{t-T/2}^{t}z(\alpha)\,d\alpha =\int_{-\infty}^{+\infty}z(\alpha) \bigl[u(t-\alpha)-u(t-\alpha-T/2)\bigr]d\alpha. \]

È dunque una convoluzione con

\[ h_2(t)=u(t)-u(t-T/2). \]

La trasformata della finestra rettangolare causale vale

\[ H_2(f)=\int_0^{T/2}e^{-j2\pi ft}dt =\frac{T}{2}\operatorname{sinc}\!\left(\frac{fT}{2}\right) e^{-j\pi fT/2}, \qquad H_2(0)=\frac{T}{2}. \]

3. Uscita del primo filtro

L’analisi di Fourier dell’onda unipolare dà

\[ X_0=\frac12, \qquad X_k=\frac{1-(-1)^k}{j2\pi k} = \begin{cases} -\dfrac{j}{\pi k},&k\ \text{dispari},\\ 0,&k\ne0\ \text{pari}. \end{cases} \]

Per

\[ h_1(t)=\frac2T\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right) \Pi\!\left(\frac{2t}{T}\right) \]

la proprietà di modulazione fornisce

\[ H_1(f)=\frac12\left[ \operatorname{sinc}\!\left(\frac{Tf-1}{2}\right)+ \operatorname{sinc}\!\left(\frac{Tf+1}{2}\right)\right]. \]

Sulle sole frequenze che servono,

\[ H_1(0)=\frac2\pi,\qquad H_1\!\left(\pm\frac1T\right)=\frac12, \qquad H_1\!\left(\frac{k}{T}\right)=0 \quad\text{per gli altri }k\text{ dispari}. \]

Restano quindi la continua e la fondamentale:

\[ z(t)=X_0H_1(0)+ X_1H_1(1/T)e^{j2\pi t/T}+ X_{-1}H_1(-1/T)e^{-j2\pi t/T}, \]

ossia

\[ \boxed{z(t)=\frac{1+\sin(2\pi t/T)}{\pi}}. \]

4. Uscita finale

Integrando termine per termine,

\[ \begin{aligned} y(t) &=\int_{t-T/2}^{t} \frac{1+\sin(2\pi\alpha/T)}{\pi}\,d\alpha\\ &=\frac{T}{2\pi} -\frac{T}{\pi^2}\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right). \end{aligned} \]

La stessa fase si controlla in frequenza osservando che \(H_2(1/T)=-jT/\pi\).

Risultato

\[ \overline{x}=\frac12,\qquad E_x=+\infty,\qquad P_x=\frac12, \] \[ h_2(t)=u(t)-u(t-T/2),\qquad H_2(f)=\frac{T}{2}\operatorname{sinc}\!\left(\frac{fT}{2}\right)e^{-j\pi fT/2}, \] \[ \boxed{z(t)=\frac{1+\sin(2\pi t/T)}{\pi}},\qquad \boxed{y(t)=\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{\pi^2}\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(R_x(0)\) non serve qui, ma \(P_x=1/2\) coincide con il valor medio di \(x^2(t)=x(t)\).
La componente continua di \(z(t)\) è \(X_0H_1(0)=1/\pi\).
L'integrale della continua su una finestra lunga \(T/2\) vale \(T/(2\pi)\).
Derivando il risultato finale si ottiene \(z(t)-z(t-T/2)\), come richiesto da una media mobile.

Errori che fanno perdere il filo

Trattare \(u[\sin(2\pi t/T)]\) come una sinusoide invece che come un'onda a due livelli.
Normalizzare per errore la finestra dividendo l'integrale per \(T/2\).
Calcolare infinite armoniche dopo che \(H_1(k/T)\) ha già mostrato che quasi tutte sono nulle.

FonteT_260324.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoFiltro FIR, modulazione e decimazione

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Classificare il primo filtro, ricavare il legame complessivo e seguire lo spettro attraverso modulazione e decimazione.

Prima immagine mentale

Il primo blocco è un filtro FIR simmetrico con risposta a campana in frequenza. La moltiplicazione per un coseno crea due copie traslate dello spettro; la decimazione comprime poi l’asse e somma due repliche. Per evitare errori conviene tenere separati tre oggetti: il legame temporale, la classificazione del sistema complessivo e la geometria delle bande.

La strada, prima di fare i conti

Calcolare \(H(\nu)\) del FIR e leggerne tipo, fase e stabilità.
Sostituire \(n\mapsto2n\) dopo la modulazione per ottenere direttamente \(y[n]\).
Applicare prima la traslazione spettrale del coseno e poi la formula di decimazione.
Indicare centri, semilarghezze e altezze delle bande in un periodo principale.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

DTFT di impulsi traslati

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[\delta[n-n_0]\longleftrightarrow e^{-j2\pi\nu n_0}\]

Perché è quella giusta qui

Permette di sommare immediatamente i tre contributi di \(h[n]\) e ottenere \(H(\nu)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x[n]\cos(2\pi\nu_0n)\longleftrightarrow\frac12X(\nu-\nu_0)+\frac12X(\nu+\nu_0)\]

Perché è quella giusta qui

Si applica con \(\nu_0=1/8\) allo spettro \(W(\nu)\), generando le due copie traslate e dimezzate che formano \(Z(\nu)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Decimazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x[Mn]\longleftrightarrow\frac1M\sum_{k=0}^{M-1}X\!\left(\frac{\nu-k}{M}\right)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(M=2\) produce le due repliche compresse che formano \(Y(\nu)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Primo filtro

Con

\[ h[n]=\delta[n+1]+2\delta[n]+\delta[n-1] \]

la DTFT è

\[ \begin{aligned} H(\nu) &=e^{j2\pi\nu}+2+e^{-j2\pi\nu}\\ &=2+2\cos(2\pi\nu) =4\cos^2(\pi\nu). \end{aligned} \]

Il modulo è massimo in continua, dove vale \(4\), e si annulla per \(\nu=1/2+k\). È quindi un passa-basso FIR, reale, pari, a fase zero; essendo FIR è BIBO stabile. È non causale nella forma assegnata perché contiene il campione anticipato \(\delta[n+1]\).

2. Legame complessivo e proprietà

Il primo blocco produce

\[ w[n]=x[n+1]+2x[n]+x[n-1]. \]

Dopo la moltiplicazione,

\[ z[n]=w[n]\cos\!\left(\frac{\pi n}{4}\right), \]

e il decimatore restituisce \(y[n]=z[2n]\). Pertanto

\[ \boxed{ y[n]=\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right) \bigl[x[2n+1]+2x[2n]+x[2n-1]\bigr]. } \]

La cascata è lineare, ma non tempo-invariante: modulazione e decimazione dipendono dall’indice assoluto. È dispersiva e non causale, perché già \(y[0]\) dipende da \(x[1]\). È stabile, dato che

\[ |y[n]|\leq |x[2n+1]|+2|x[2n]|+|x[2n-1]| \leq4\|x\|_\infty. \]

3. Evoluzione delle bande

L’ingresso

\[ X(\nu)=\operatorname{rep}_1[\Pi(8\nu)] \]

ha, attorno a ogni intero \(k\), una banda

\[ I_k=\left[k-\frac1{16},k+\frac1{16}\right]. \]

All’uscita del FIR,

\[ W(\nu)=4\cos^2(\pi\nu)X(\nu). \]

In ciascuna banda il picco è \(4\); ai bordi vale \(4\cos^2(\pi/16)\).

La modulazione con frequenza \(\nu_0=1/8\) dà

\[ Z(\nu)=\frac12\left[ W\!\left(\nu-\frac18\right)+ W\!\left(\nu+\frac18\right)\right]. \]

Le bande hanno ancora semilarghezza \(1/16\), ma sono centrate in \(k\pm1/8\); non si sovrappongono. Su una banda centrata in \(c\),

\[ |Z(\nu)|=2\cos^2[\pi(\nu-c)]. \]

Infine, per la decimazione di fattore \(2\),

\[ Y(\nu)=\frac12\left[ Z\!\left(\frac{\nu}{2}\right)+ Z\!\left(\frac{\nu-1}{2}\right)\right]. \]

Le bande finali hanno centri \(k\pm1/4\), semilarghezza \(1/8\) e picco unitario. In \([-1,1]\) i centri distinti sono \(-3/4,-1/4,1/4,3/4\), senza sovrapposizione alias.

Risultato

\[ H(\nu)=4\cos^2(\pi\nu), \] \[ \boxed{y[n]=\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right) \left[x[2n+1]+2x[2n]+x[2n-1]\right]}. \] \[ Z(\nu)=\frac12\!\left[W(\nu-1/8)+W(\nu+1/8)\right],\qquad Y(\nu)=\frac12\!\left[Z(\nu/2)+Z((\nu-1)/2)\right]. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(H(0)=4\) e \(H(1/2)=0\), quindi la classificazione passa-basso è coerente.
Il legame complessivo contiene al massimo quattro volte il limite dell'ingresso, quindi la stabilità è immediata.
La modulazione dimezza l'altezza di ogni copia; la decimazione introduce un altro fattore \(1/2\).
La semilarghezza passa da \(1/16\) a \(1/8\) dopo la decimazione, come deve accadere comprimendo il tempo.

Errori che fanno perdere il filo

Scrivere \(y[n]=z[n/2]\): il decimatore usa \(y[n]=z[2n]\).
Dimenticare il fattore \(1/2\) della modulazione o quello della decimazione.
Chiamare LTI la cascata soltanto perché il primo blocco lo è.

FonteT_260324.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoControllo gaussiano di conformità

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare i due errori di classificazione, la probabilità di decisione corretta e una soglia con falso scarto condizionato al \(2\%\).

Prima immagine mentale

Il rumore gaussiano somma la stessa varianza alle due classi e lascia inalterate le medie. La soglia \(4\) è esattamente a una deviazione standard da entrambe le medie, quindi le due probabilità condizionate di errore sono uguali; cambiano però i valori congiunti perché le classi hanno priori diversi. Nell’ultimo punto bisogna stabilire se il \(2\%\) è condizionato alla classe conforme: è questa l’interpretazione naturale del testo.

La strada, prima di fare i conti

Scrivere le due distribuzioni condizionate della misura osservata.
Standardizzare la soglia \(4\) rispetto a entrambe le classi.
Moltiplicare gli errori condizionati per i rispettivi priori e sommare i casi corretti.
Imporre la coda destra gaussiana pari a \(0.02\) per trovare la nuova soglia.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

CDF gaussiana standardizzata

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[F_X(x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),\qquad X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)\]

Perché è quella giusta qui

Si adatta alle due classi usando \(\sigma=3\), prima con \(\mu=1\) e poi con \(\mu=7\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità totale

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)\]

Perché è quella giusta qui

Somma i casi corretti pesati con i priori \(P(C)\) e \(P(D)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità di coda

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[P(X>x)=1-F_X(x)\]

Perché è quella giusta qui

Serve sia per il falso scarto sia per impostare \(1-\Phi((\gamma-1)/3)=0.02\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Indichiamo con \(C\) un pezzo conforme e con \(D\) un pezzo difettoso. La misura osservata ha distribuzioni

\[ X\mid C\sim\mathcal N(1,9), \qquad X\mid D\sim\mathcal N(7,9), \]

con

\[ P(C)=0.75,\qquad P(D)=0.25. \]

1. Falsa accettazione

Un difettoso viene accettato quando \(X<4\). Standardizzando,

\[ P(X<4\mid D) =\Phi\!\left(\frac{4-7}{3}\right) =\Phi(-1). \]

La probabilità sull’intera produzione è quindi

\[ \boxed{ P(D,X<4)=0.25\,\Phi(-1)=0.0396638. } \]

È utile distinguere questo valore dal tasso condizionato nella classe difettosa, che vale \(\Phi(-1)=0.1586553\).

2. Falso scarto

Un conforme viene scartato quando \(X\geq4\):

\[ P(X\geq4\mid C) =1-\Phi\!\left(\frac{4-1}{3}\right) =1-\Phi(1)=\Phi(-1). \]

Pertanto

\[ \boxed{ P(C,X\geq4)=0.75[1-\Phi(1)]=0.1189914. } \]

3. Decisione corretta

I due casi corretti sono disgiunti:

\[ \begin{aligned} P(\text{corretto}) &=P(C)P(X<4\mid C)+P(D)P(X\geq4\mid D)\\ &=0.75\Phi(1)+0.25\Phi(1)\\ &=\boxed{0.8413447}. \end{aligned} \]

4. Nuova soglia

Richiedere che venga scartato il \(2\%\) dei pezzi conformi significa

\[ P(X\geq\gamma\mid C)=0.02. \]

Quindi

\[ 1-\Phi\!\left(\frac{\gamma-1}{3}\right)=0.02, \qquad \frac{\gamma-1}{3}=\Phi^{-1}(0.98). \]

Usando \(\Phi^{-1}(0.98)=2.0537489\),

\[ \boxed{\gamma=1+3\Phi^{-1}(0.98)=7.1612467}. \]

Se si imponesse invece un falso scarto pari al \(2\%\) dell’intera produzione, l’equazione avrebbe il fattore \(0.75\); non è l’interpretazione adottata qui.

Risultato

\[ P(D,X<4)=0.0396638,\qquad P(C,X\geq4)=0.1189914, \] \[ \boxed{P(\text{corretto})=0.8413447},\qquad \boxed{\gamma=7.1612467}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La soglia \(4\) dista \(3\) da entrambe le medie, cioè una deviazione standard.
Gli errori congiunti sommano a \(0.1586553\), perciò la probabilità corretta è il complemento \(0.8413447\).
La nuova soglia è maggiore di \(4\), coerentemente con la richiesta di ridurre lo scarto dei conformi.
\(\Phi^{-1}(0.98)>2\), quindi \(\gamma>7\) è numericamente plausibile.

Errori che fanno perdere il filo

Confondere la varianza \(9\) con la deviazione standard: nella standardizzazione si divide per \(3\).
Riportare soltanto il tasso condizionato \(15.8655\%\) quando la domanda chiede la probabilità sull'intera produzione.
Usare \(\Phi^{-1}(0.02)\) senza gestire correttamente la coda destra.

FonteT_260324.pdf

24/02 Prova scritta · 150 minutiAppello del 24/02/2026

Segnali e sistemi a tempo continuo · Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Cascata continua, risposta al periodico e densità spettrale

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Periodizzazione, filtro ideale e autocorrelazione

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Due dadi, confronto e inferenza bayesiana

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 24/02/2026

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoCascata continua, risposta al periodico e densità spettrale

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Trovare la risposta impulsiva equivalente, discuterne stabilità e causalità, filtrare il segnale periodico e calcolarne la PSD.

Prima immagine mentale

La convoluzione tra l’esponenziale bilatero e la finestra su \([2,4]\) va divisa nei tre casi determinati dalla posizione di \(t\). Per l’ingresso periodico non serve convolvere nel tempo: ogni armonica viene moltiplicata per la risposta \(H(f)\). La densità spettrale di potenza deve invece contenere entrambe le righe di ciascuna coppia coniugata.

La strada, prima di fare i conti

Scrivere la convoluzione come integrale su \([2,4]\) e separare i casi \(t\leq2\), \(2\leq t\leq4\), \(t\geq4\).
Calcolare \(H(f)=H_1(f)H_2(f)\) usando le coppie notevoli.
Ricostruire \(x(t)\) dai coefficienti e filtrare le armoniche \(1/8\) e \(3/8\).
Usare i moduli quadrati dei coefficienti di Fourier per costruire la PSD e verificarne l'area.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione e cascata LTI

Formulario_tds.pdf, pp. 4–6

\[y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha)h(t-\alpha)d\alpha,\qquad x*h\longleftrightarrow XH\]

Perché è quella giusta qui

La prima formula produce \(h=h_1*h_2\); la seconda consente di calcolare più rapidamente \(H=H_1H_2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Trasformate dell'esponenziale bilatero e del rettangolo

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[Ae^{-|t|/T}\longleftrightarrow\frac{2AT}{1+(2\pi fT)^2},\qquad A\Pi(t/T)\longleftrightarrow AT\operatorname{sinc}(fT)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(A=T=1\) per \(h_1\) e con ampiezza \(1\), durata \(2\), ritardo \(3\) per \(h_2\), si ottiene \(H(f)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di un segnale periodico

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[x(t)=A_0+2\sum_{k=1}^{+\infty}A_k\cos(2\pi kf_0t+\theta_k)\Rightarrow y(t)=A_0H(0)+2\sum_{k=1}^{+\infty}A_k|H(kf_0)|\cos(2\pi kf_0t+\theta_k+\angle H(kf_0))\]

Perché è quella giusta qui

Si applica separatamente alle armoniche \(k=1\) e \(k=3\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

PSD di un periodico

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[S_x(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|X_k|^2\delta(f-k/T_0)\]

Perché è quella giusta qui

Impone di includere sia le righe positive sia quelle negative e rende immediato il controllo della potenza.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Risposta impulsiva equivalente

La seconda risposta impulsiva vale uno per \(2\leq t\leq4\). Pertanto

\[ h(t)=(h_1*h_2)(t)=\int_2^4 e^{-|t-\alpha|}\,d\alpha. \]

Se \(t\leq2\), nell’intero intervallo è \(|t-\alpha|=\alpha-t\); se \(t\geq4\), è \(|t-\alpha|=t-\alpha\). Nel tratto centrale l’integrale si spezza in \(\alpha=t\). Si ottiene

\[ h(t)= \begin{cases} e^{t-2}-e^{t-4},&t\leq2,\\[2mm] 2-e^{-(t-2)}-e^{-(4-t)},&2\leq t\leq4,\\[2mm] e^{-(t-4)}-e^{-(t-2)},&t\geq4. \end{cases} \]

La cascata è stabile: entrambi i fattori appartengono a \(L^1\) e

\[ \|h\|_1=\|h_1\|_1\|h_2\|_1=2\cdot2=4. \]

Non è causale perché \(h(t)\neq0\) anche per \(t<0\).

2. Risposta armonica

Le due trasformate sono

\[ H_1(f)=\frac{2}{1+(2\pi f)^2}, \qquad H_2(f)=2\operatorname{sinc}(2f)e^{-j6\pi f}. \]

Quindi

\[ \boxed{ H(f)=\frac{4\operatorname{sinc}(2f)} {1+(2\pi f)^2}e^{-j6\pi f}. } \]

3. Filtraggio del segnale periodico

Il periodo è \(8\), dunque \(f_0=1/8\). Dalle coppie di coefficienti coniugati,

\[ x(t)=4\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}\right) -8\sin\!\left(\frac{3\pi t}{4}\right). \]

Alle due frequenze positive:

\[ |H(1/8)|=2.227333798,\qquad \angle H(1/8)=-\frac{3\pi}{4}, \]

\[ |H(3/8)|=0.183224272,\qquad \angle H(3/8)=-\frac{\pi}{4}. \]

La seconda componente d’ingresso può essere scritta come \(8\cos(3\pi t/4+\pi/2)\). Sommando la fase del filtro:

\[ \boxed{ \begin{aligned} y(t)={}&8.909335194 \cos\!\left(\frac{\pi t}{4}-\frac{3\pi}{4}\right)\\ &+1.465794176 \cos\!\left(\frac{3\pi t}{4}+\frac{\pi}{4}\right). \end{aligned}} \]

4. Densità spettrale di potenza

Per un periodico, ogni riga pesa \(|X_k|^2\). Poiché \(|X_{\pm1}|^2=4\) e \(|X_{\pm3}|^2=16\),

\[ \boxed{ \begin{aligned} S_x(f)={}&4[\delta(f-1/8)+\delta(f+1/8)]\\ &+16[\delta(f-3/8)+\delta(f+3/8)]. \end{aligned}} \]

L’area totale è

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}S_x(f)\,df=2\cdot4+2\cdot16=40, \]

che coincide con

\[ P_x=\frac{4^2}{2}+\frac{8^2}{2}=40. \]

Risultato

\[ h(t)= \begin{cases} e^{t-2}-e^{t-4},&t\leq2,\\ 2-e^{-(t-2)}-e^{-(4-t)},&2\leq t\leq4,\\ e^{-(t-4)}-e^{-(t-2)},&t\geq4, \end{cases} \] \[ \boxed{y(t)=8.909335194\cos(\pi t/4-3\pi/4) +1.465794176\cos(3\pi t/4+\pi/4)}, \] \[ \boxed{S_x(f)=4[\delta(f\!-\!1/8)+\delta(f\!+\!1/8)] +16[\delta(f\!-\!3/8)+\delta(f\!+\!3/8)]}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Le espressioni laterali di \(h(t)\) assumono lo stesso valore di quella centrale in \(t=2\) e \(t=4\).
\(\int|h(t)|dt=4<+\infty\), quindi la stabilità BIBO è verificata.
L'ampiezza della prima armonica d'uscita è \(4|H(1/8)|=8.909335194\).
L'area della PSD è \(40\), uguale alla potenza ricavata nel tempo.

Errori che fanno perdere il filo

Omettere le righe a frequenza negativa nella PSD due-lati.
Usare \(\Pi((t-3)/2)\) come finestra centrata in zero invece che su \([2,4]\).
Moltiplicare la fase per l'ampiezza o dimenticare la fase iniziale della componente \(-8\sin(3\pi t/4)\).

FonteT_260224.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoPeriodizzazione, filtro ideale e autocorrelazione

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Seguire il segnale nella cascata, discutere il sistema equivalente e calcolare \(R_x[m]\).

Prima immagine mentale

La convoluzione iniziale è finita e si può svolgere campione per campione. Il periodizzatore trasforma quei sei campioni in una cosinusoide periodica di frequenza \(1/6\), che il passa-basso successivo elimina. La discussione del sistema complessivo richiede però attenzione: il periodizzatore ha una risposta in frequenza distribuzionale e non è un operatore BIBO stabile sullo spazio di tutti i segnali limitati.

La strada, prima di fare i conti

Elencare i campioni di \(x[n]\) e convolvere con \(R_3[n+1]\).
Periodizzare il blocco di sei campioni e riconoscerne la forma sinusoidale.
Confrontare le righe a \(\pm1/6\) con la banda \(|\nu|\leq1/8\).
Moltiplicare le risposte dei tre blocchi in senso distribuzionale.
Calcolare l'autocorrelazione per traslazioni da \(0\) a \(3\) e usare la simmetria.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

Serve per ottenere i sei campioni di \(w[n]\) e per interpretare il periodizzatore come convoluzione con un treno di impulsi.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Treno di impulsi discreto

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta[n-kN]\longleftrightarrow\frac1N\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\nu-k/N)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(N=6\) produce la risposta distribuzionale \(H_2(\nu)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Autocorrelazione di energia discreta

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x[m]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]x^*[n-m]\]

Perché è quella giusta qui

Applicata ai quattro campioni di \(x[n]\) determina i sette valori non nulli.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Segnali nella cascata

Con la convenzione \(R_N[n]=1\) per \(0\leq n\leq N-1\),

\[ x[n]=R_2[n]-R_2[n-2] \]

ha i campioni

\[ x[0],x[1],x[2],x[3]=1,1,-1,-1. \]

La risposta \(h_1[n]=R_3[n+1]\) vale uno per \(n=-1,0,1\). La convoluzione fornisce

\[ w[-1],w[0],w[1],w[2],w[3],w[4] =1,2,1,-1,-2,-1. \]

Il secondo blocco periodizza con periodo \(6\):

\[ z[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}w[n-6k] =2\cos\!\left(\frac{\pi n}{3}\right). \]

Le sole righe sono in \(\nu=\pm1/6\). Poiché il terzo filtro passa soltanto \(|\nu|\leq1/8\),

\[ \boxed{y[n]=0}. \]

2. Sistema equivalente

I primi due blocchi sono convoluzioni con

\[ h_1[n]=R_3[n+1], \qquad h_2[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta[n-6k]. \]

Le loro risposte sono

\[ H_1(\nu)=1+2\cos(2\pi\nu), \qquad H_2(\nu)=\frac16\sum_{m=-\infty}^{+\infty} \delta\!\left(\nu-\frac{m}{6}\right). \]

Il filtro finale è

\[ H_3(\nu)=\operatorname{rep}_1[\Pi(4\nu)]. \]

Il prodotto \(H_2H_3\) conserva soltanto gli impulsi di \(H_2\) posti sugli interi; in tali punti \(H_1=3\). Quindi, in senso distribuzionale,

\[ \boxed{ H_{\mathrm{tot}}(\nu)= \frac12\sum_{r=-\infty}^{+\infty}\delta(\nu-r) }, \qquad \boxed{h_{\mathrm{tot}}[n]=\frac12}. \]

Sul dominio in cui la somma converge,

\[ y[n]=\frac12\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]. \]

La cascata è lineare e tempo-invariante su tale dominio, ma non è causale, non è istantanea e non è BIBO stabile. Va esplicitato che \(H_{\mathrm{tot}}\) è una distribuzione, non una funzione armonica ordinaria; per ingressi periodici o costanti la somma può non convergere.

3. Autocorrelazione dell’ingresso

Per un segnale reale di energia,

\[ R_x[m]=\sum_nx[n]x[n-m]. \]

Calcolando le sovrapposizioni:

\[ R_x[0]=4,\quad R_x[1]=1,\quad R_x[2]=-2,\quad R_x[3]=-1. \]

La parità dà i valori negativi. In forma compatta,

\[ \boxed{ \begin{aligned} R_x[m]={}&4\delta[m]+\delta[m-1]+\delta[m+1]\\ &-2\delta[m-2]-2\delta[m+2]\\ &-\delta[m-3]-\delta[m+3]. \end{aligned}} \]

Risultato

\[ w[-1{:}4]=[1,2,1,-1,-2,-1],\qquad z[n]=2\cos(\pi n/3),\qquad \boxed{y[n]=0}, \] \[ H_{\mathrm{tot}}(\nu)=\frac12\sum_{r\in\mathbb Z}\delta(\nu-r), \qquad h_{\mathrm{tot}}[n]=\frac12, \] \[ \boxed{R_x[0]=4,\ R_x[\pm1]=1,\ R_x[\pm2]=-2,\ R_x[\pm3]=-1}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La sequenza periodizzata \(2\cos(\pi n/3)\) riproduce esattamente \(1,2,1,-1,-2,-1\) a partire da \(n=-1\).
\(1/6>1/8\), quindi entrambe le righe di \(z[n]\) cadono fuori banda.
\(R_x[0]=4=\sum_n|x[n]|^2\).
L'autocorrelazione è reale e pari, come richiesto.

Errori che fanno perdere il filo

Concludere che il sistema equivalente è BIBO stabile soltanto perché il primo e il terzo filtro lo sembrano.
Trattare il treno di impulsi \(H_2(\nu)\) come una funzione ordinaria.
Confondere la periodizzazione nel tempo con una replica continua dello spettro.

FonteT_260224.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoDue dadi, confronto e inferenza bayesiana

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare una media, una probabilità di confronto e le probabilità a posteriori dopo uno o due sei.

Prima immagine mentale

La media della differenza si ottiene senza costruire la distribuzione completa. Per il confronto \(Y>X\) conviene condizionare sul valore del dado caricato. Negli ultimi due punti i priori sono uguali: Bayes si riduce quindi a confrontare le verosimiglianze di osservare uno o due sei con ciascun dado.

La strada, prima di fare i conti

Calcolare separatamente \(E[X]\) ed \(E[Y]\) e usare la linearità.
Sommare \(P(Y=y)P(X<y)\) sui sei valori possibili.
Applicare Bayes dopo un singolo sei con priori \(1/2\).
Per due lanci dello stesso dado, elevare al quadrato le due verosimiglianze.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Media di una variabile discreta

Formulario_prob.pdf, p. 3

\[E[X]=\sum_i x_i p_i\]

Perché è quella giusta qui

Si applica alle sei facce di ciascun dado; la linearità dà poi \(E[Y-X]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Indipendenza

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]

Perché è quella giusta qui

Permette di moltiplicare \(P(Y=y)\) per \(P(X<y)\) e di elevare al quadrato la probabilità del sei nei due lanci.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata e totale

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)=\sum_iP(B\mid A_i)P(A_i)\]

Perché è quella giusta qui

Combinando le due formule si ottiene Bayes per la scelta del dado dopo le osservazioni.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Il dado \(X\) è corretto:

\[ P(X=x)=\frac16,\qquad x=1,\ldots,6. \]

Il dado \(Y\) è caricato:

\[ P(Y=y)=\frac2{15},\quad y=1,\ldots,5, \qquad P(Y=6)=\frac13. \]

1. Media della differenza

\[ E[X]=\frac{1+2+\cdots+6}{6}=\frac72, \]

\[ E[Y]=\frac2{15}(1+2+3+4+5)+\frac13\,6=4. \]

Per linearità,

\[ \boxed{E[Y-X]=E[Y]-E[X]=\frac12}. \]

2. Probabilità che il dado caricato superi quello corretto

I dadi sono indipendenti. Condizionando su \(Y=y\),

\[ P(Y>X)=\sum_{y=1}^{6}P(Y=y)P(X<y). \]

Poiché \(P(X<y)=(y-1)/6\),

\[ \begin{aligned} P(Y>X) &=\sum_{y=1}^{5}\frac2{15}\frac{y-1}{6} +\frac13\frac56\\ &=\frac12. \end{aligned} \]

3. Un solo lancio uguale a sei

Sia \(C\) l’evento “è stato scelto il dado corretto” e sia \(Z=6\) l’osservazione. Con priori uguali,

\[ \begin{aligned} P(C\mid Z=6) &=\frac{P(Z=6\mid C)P(C)} {P(Z=6\mid C)P(C)+P(Z=6\mid C^c)P(C^c)}\\ &=\frac{(1/6)(1/2)} {(1/6)(1/2)+(1/3)(1/2)} =\boxed{\frac13}. \end{aligned} \]

4. Due sei consecutivi

Si sceglie una volta il dado e lo si lancia due volte. Condizionatamente alla scelta, i lanci sono indipendenti:

\[ \begin{aligned} P(C\mid 6,6) &=\frac{(1/6)^2(1/2)} {(1/6)^2(1/2)+(1/3)^2(1/2)}\\ &=\boxed{\frac15}. \end{aligned} \]

Il secondo sei rafforza l’ipotesi del dado caricato, perciò la probabilità del dado corretto scende da \(1/3\) a \(1/5\).

Risultato

\[ \boxed{E[Y-X]=\frac12},\qquad \boxed{P(Y>X)=\frac12}, \] \[ \boxed{P(C\mid Z=6)=\frac13},\qquad \boxed{P(C\mid 6,6)=\frac15}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Le probabilità del dado caricato sommano a \(5(2/15)+1/3=1\).
\(E[Y]=4>E[X]=7/2\), quindi \(E[Y-X]=1/2\) ha il segno atteso.
Dopo un sei la probabilità del dado corretto è inferiore al prior \(1/2\).
Dopo due sei è ancora più piccola, \(1/5<1/3\).

Errori che fanno perdere il filo

Usare \(P(Y\geq X)\) al posto di \(P(Y>X)\).
Riscegliere implicitamente il dado prima del secondo lancio: la traccia richiede due lanci dello stesso dado.
Dimenticare i priori nella formula di Bayes, anche se in questo caso poi si semplificano.

FonteT_260224.pdf

Confronta anche lo svolgimento manoscritto originale

Svolgimento manoscritto della prova del 24/02/2026

20/01 Prova scritta · 150 minutiAppello del 20/01/2026

Segnali e sistemi a tempo discreto · Segnali e sistemi a tempo continuo · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Quattro autocorrelazioni tra tempo discreto e continuo

Segnali e sistemi a tempo discreto

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Esercizio 2

Onda quadra, filtro selettivo e sistema esponenziale

Segnali e sistemi a tempo continuo

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Esercizio 3

Estrazione condizionata da due urne

Probabilità e variabili aleatorie

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Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 20/01/2026

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoQuattro autocorrelazioni tra tempo discreto e continuo

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare \(R_x\) per quattro segnali e verificare in ogni caso il valore nell’origine.

Prima immagine mentale

I primi due segnali sono di energia e si risolvono sovrapponendo due copie traslate; il secondo genera una serie geometrica. Il terzo è periodico, quindi l’autocorrelazione si ottiene dalle sue componenti ortogonali. Nel quarto caso il dominio della frequenza è più rapido: \(R_x\) è l’antitrasformata di \(|X|^2\).

La strada, prima di fare i conti

Per le sequenze finite o causali, calcolare \(R_x[m]\) per \(m\geq0\) e usare la parità.
Per il periodico, espandere \(2\cos^2(2\pi t)\) in continua più coseno.
Per il segnale sinc modulato, trovare \(X(f)\) e poi \(|X(f)|^2\).
Controllare sempre \(R_x(0)=E_x\) per segnali di energia e \(R_x(0)=P_x\) per segnali di potenza.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Autocorrelazione di energia

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x^*(t-\tau)dt,\qquad R_x[m]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]x^*[n-m]\]

Perché è quella giusta qui

È la definizione usata direttamente per le prime due tracce.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Autocorrelazione di un periodico

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x(\tau)=\frac1{T_0}\int_{T_0}x(t)x^*(t-\tau)dt\]

Perché è quella giusta qui

Giustifica la media su un periodo per \(1+\cos(4\pi t)\) e l’annullamento dei termini incrociati.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione e coppia sinc-rettangolo

Formulario_tds.pdf, pp. 6–7

\[x(t)\cos(2\pi f_0t)\longleftrightarrow\frac12[X(f-f_0)+X(f+f_0)],\qquad A\operatorname{sinc}(2Bt)\longleftrightarrow\frac{A}{2B}\Pi\!\left(\frac f{2B}\right)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(B=1\), \(A=4\) e \(f_0=1\) produce le due finestre dello spettro del quarto segnale.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Wiener-Khinchin

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[R_x(\tau)\longleftrightarrow S_x(f),\qquad S_x(f)=|X(f)|^2\ \text{per segnali di energia}\]

Perché è quella giusta qui

Consente di antitrasformare il rettangolo \(|X(f)|^2\) invece di calcolare un lungo integrale di correlazione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Sequenza finita alternata

\[ x[n]=(-1)^nR_4[-n-1] \]

è diversa da zero per \(n=-4,-3,-2,-1\). Per uno spostamento \(|m|\leq3\) restano \(4-|m|\) prodotti; ciascun prodotto porta il segno \((-1)^m\). Quindi

\[ \boxed{ R_x[m]= \begin{cases} (-1)^m(4-|m|),&|m|\leq3,\\ 0,&|m|\geq4. \end{cases}} \]

In particolare \(R_x[0]=4=E_x\).

2. Coda geometrica traslata

Per

\[ x[n]=\left(\frac12\right)^nu[n-4] \]

e \(m\geq0\), entrambi i fattori sono attivi quando \(n\geq m+4\):

\[ \begin{aligned} R_x[m] &=\sum_{n=m+4}^{+\infty} 2^{-n}2^{-(n-m)}\\ &=2^m\sum_{n=m+4}^{+\infty}4^{-n}\\ &=\frac1{192}\left(\frac12\right)^m. \end{aligned} \]

L’autocorrelazione è pari:

\[ \boxed{ R_x[m]=\frac1{192}\left(\frac12\right)^{|m|}. } \]

Il valore \(R_x[0]=1/192\) coincide con \(\sum_{n=4}^{+\infty}4^{-n}\).

3. Segnale periodico continuo

L’identità trigonometrica dà

\[ x(t)=2\cos^2(2\pi t)=1+\cos(4\pi t). \]

La continua ha autocorrelazione \(1\), mentre un coseno di ampiezza unitaria ha autocorrelazione \(\frac12\cos(4\pi\tau)\). I termini incrociati hanno media nulla:

\[ \boxed{ R_x(\tau)=1+\frac12\cos(4\pi\tau). } \]

Quindi \(R_x(0)=3/2=P_x\).

4. Sinc modulata

Per

\[ x(t)=4\operatorname{sinc}(2t)\cos(2\pi t), \]

la modulazione genera due rettangoli:

\[ X(f)= \Pi\!\left(\frac{f-1}{2}\right)+ \Pi\!\left(\frac{f+1}{2}\right). \]

Quasi ovunque le due finestre adiacenti formano

\[ X(f)=\Pi\!\left(\frac f4\right). \]

Il solo eventuale valore doppio nel punto \(f=0\) non modifica integrali o antitrasformate. Per Wiener-Khinchin,

\[ S_x(f)=|X(f)|^2=\Pi\!\left(\frac f4\right), \]

e quindi

\[ \boxed{R_x(\tau)=4\operatorname{sinc}(4\tau)}. \]

Ancora una volta \(R_x(0)=4=E_x\).

Risultato

\[ R_{x_1}[m]=(-1)^m(4-|m|)\ \text{per }|m|\leq3, \qquad R_{x_2}[m]=\frac1{192}\left(\frac12\right)^{|m|}, \] \[ R_{x_3}(\tau)=1+\frac12\cos(4\pi\tau), \qquad R_{x_4}(\tau)=4\operatorname{sinc}(4\tau). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Tutte e quattro le autocorrelazioni sono reali e pari.
Per la prima, \(|R_x[m]|\leq R_x[0]=4\).
Per la seconda, \(R_x[0]=\sum_{n=4}^{+\infty}4^{-n}=1/192\).
Per la terza e la quarta, il valore nell'origine coincide rispettivamente con potenza \(3/2\) ed energia \(4\).

Errori che fanno perdere il filo

Dimenticare il complesso coniugato nella definizione generale, anche se qui i segnali sono reali.
Nel secondo caso far partire la somma da \(4\) anche quando \(m>0\).
Trattare il periodico come segnale di energia.
Attribuire importanza energetica al valore di \(X(f)\) in un singolo punto.

FonteT_260120.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoOnda quadra, filtro selettivo e sistema esponenziale

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Determinare lo spettro dell’onda alternata e le uscite dei due sistemi in cascata.

Prima immagine mentale

Il segnale d’ingresso alterna rettangoli di segno opposto ed è quindi un’onda quadra di periodo \(2T\) e media nulla. Il primo filtro è costruito per isolare le sole righe \(k=\pm3\). Il secondo è un passa-basso esponenziale: sulla sinusoide rimasta basta valutarne modulo e fase alla frequenza \(3/(2T)\).

La strada, prima di fare i conti

Calcolare i coefficienti della serie di Fourier del periodico di periodo \(2T\).
Trasformare \(h_1(t)\) e individuare quali righe cadono nelle due bande.
Ricostruire \(z(t)\) dai coefficienti \(Z_{\pm3}\).
Riconoscere il secondo blocco come convoluzione con un esponenziale causale e valutarne \(H_2\) sulla sola armonica.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Coefficienti della replica periodica

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[x_p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(t-nT_0)\Rightarrow X_k=\frac1{T_0}X(k/T_0)\]

Perché è quella giusta qui

Si applica al rettangolo di durata \(T\) replicato ogni \(2T\), tenendo separata la continua sottratta.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)\cos(2\pi f_0t)\longleftrightarrow\frac12X(f-f_0)+\frac12X(f+f_0)\]

Perché è quella giusta qui

Trasla la finestra spettrale della sinc nei due intervalli centrati in \(\pm3/(2T)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Esponenziale monolatero

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[Ae^{-t/T}u(t)\longleftrightarrow\frac{AT}{1+j2\pi fT}\]

Perché è quella giusta qui

Con \(A=1/\tau\) e \(T=\tau\) dà \(H_2(f)=1/(1+j2\pi f\tau)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio sinusoidale

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[x(t)=A\cos(2\pi f_0t+\theta)\Rightarrow y(t)=A|H(f_0)|\cos(2\pi f_0t+\theta+\angle H(f_0))\]

Perché è quella giusta qui

È usata sulla sola armonica sopravvissuta al primo filtro.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Spettro dell’ingresso

\[ x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n \Pi\!\left(\frac{t-nT}{T}\right) \]

ha periodo \(2T\), frequenza fondamentale \(f_0=1/(2T)\) e media nulla. Può essere scritto come

\[ x(t)=2\operatorname{rep}_{2T} \left[\Pi\!\left(\frac tT\right)\right]-1. \]

I coefficienti sono

\[ X_0=0,\qquad X_k=\operatorname{sinc}\!\left(\frac k2\right) \quad(k\neq0). \]

Sono nulli per \(k\) pari; per \(k\) dispari,

\[ X_k=\frac{2}{\pi k}\sin\!\left(\frac{\pi k}{2}\right). \]

La trasformata del periodico è dunque

\[ \boxed{ X(f)=\sum_{\substack{k\in\mathbb Z\\k\ \mathrm{dispari}}} \operatorname{sinc}\!\left(\frac k2\right) \delta\!\left(f-\frac{k}{2T}\right). } \]

2. Primo filtro

Con \(B=1/T\) e \(f_c=3/(2T)\),

\[ h_1(t)=\operatorname{sinc}(Bt)\cos(2\pi f_ct) \]

ha risposta

\[ H_1(f)=\frac{T}{2}\left[ \Pi\!\left(T(f-f_c)\right)+ \Pi\!\left(T(f+f_c)\right)\right]. \]

Le due bande conservano soltanto le righe dispari \(f=\pm3/(2T)\), cioè \(k=\pm3\). Poiché

\[ X_3=\operatorname{sinc}(3/2)=-\frac{2}{3\pi}, \qquad H_1(3/(2T))=\frac T2, \]

si ha

\[ Z_3=Z_{-3}=-\frac{T}{3\pi}, \]

e quindi

\[ \boxed{ z(t)=-\frac{2T}{3\pi} \cos\!\left(\frac{3\pi t}{T}\right). } \]

3. Secondo sistema

La relazione integrale equivale alla convoluzione con

\[ h_2(t)=\frac1\tau e^{-t/\tau}u(t), \qquad H_2(f)=\frac1{1+j2\pi f\tau}. \]

Con \(\tau=T/(3\pi)\) e \(f=3/(2T)\),

\[ 2\pi f\tau=1, \qquad H_2\!\left(\frac{3}{2T}\right) =\frac1{1+j} =\frac1{\sqrt2}e^{-j\pi/4}. \]

Il segnale \(z(t)\) ha ampiezza positiva equivalente \(2T/(3\pi)\) e fase iniziale \(\pi\). Dopo il filtro la fase diventa \(3\pi/4\) e l’ampiezza viene divisa per \(\sqrt2\):

\[ \boxed{ y(t)=\frac{\sqrt2\,T}{3\pi} \cos\!\left(\frac{3\pi t}{T}+\frac{3\pi}{4}\right). } \]

Risultato

\[ X_k=\operatorname{sinc}(k/2),\quad X_0=0, \] \[ \boxed{z(t)=-\frac{2T}{3\pi}\cos(3\pi t/T)}, \qquad \boxed{y(t)=\frac{\sqrt2T}{3\pi}\cos(3\pi t/T+3\pi/4)}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La media dell'onda alternata è nulla, dunque \(X_0=0\).
Il coefficiente \(X_3=-2/(3\pi)\) è reale e negativo, coerente con la parità del segnale.
La banda del primo filtro non lascia passare altre righe dispari oltre a \(k=\pm3\).
\(|H_2|=1/\sqrt2\) e \(\angle H_2=-\pi/4\) quando \(2\pi f\tau=1\).

Errori che fanno perdere il filo

Usare \(T\) invece di \(2T\) come periodo fondamentale dell'ingresso.
Dimenticare il fattore \(T/2\) nella risposta del primo filtro.
Perdere la fase \(\pi\) associata al segno negativo di \(z(t)\).

FonteT_260120.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoEstrazione condizionata da due urne

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Costruire distribuzione marginale e congiunta, una probabilità condizionata e le medie.

Prima immagine mentale

La prima estrazione avviene sempre dall’urna pari. La seconda estrazione cambia meccanismo: se esce \(6\), si resta nella prima urna senza reinserimento; se esce \(2\) o \(4\), si passa all’urna dispari. La tabella congiunta è quindi il modo più sicuro per conservare tutte le dipendenze.

La strada, prima di fare i conti

Elencare i tre valori equiprobabili di \(X\) e costruire la CDF a gradini.
Scrivere le distribuzioni di \(Y\mid X=2\), \(Y\mid X=4\) e \(Y\mid X=6\).
Moltiplicare ciascuna probabilità condizionata per \(P(X=x)\) per riempire la tabella congiunta.
Leggere dalla riga \(X=6\) la probabilità richiesta e calcolare le medie.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Probabilità condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Giustifica il passaggio dalle regole di estrazione alle celle della distribuzione congiunta.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Distribuzione congiunta discreta

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[P(X=x_i,Y=y_j)=P(Y=y_j\mid X=x_i)P(X=x_i)\]

Perché è quella giusta qui

È applicata a ciascuna riga della tabella, con leggi condizionate diverse nel caso \(X=6\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Media totale

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[E[X]=\sum_iE[X\mid A_i]P(A_i)\]

Perché è quella giusta qui

Con la partizione data dai tre valori di \(X\), mostra subito che \(E[Y]=3\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

La prima urna contiene \(\{2,4,6\}\), quindi

\[ P_X(2)=P_X(4)=P_X(6)=\frac13. \]

La CDF è

\[ F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<2,\\ \dfrac13,&2\leq x<4,\\ \dfrac23,&4\leq x<6,\\ 1,&x\geq6. \end{cases} \]

Se la traccia usa il termine “pdf” per \(X\), in senso distribuzionale si può scrivere

\[ f_X(x)=\frac13[\delta(x-2)+\delta(x-4)+\delta(x-6)]. \]

Distribuzione congiunta

Per \(X=2\) o \(X=4\), la seconda estrazione avviene dall’urna \(\{1,3,5\}\), con probabilità \(1/3\) per valore. Quindi

\[ P(X=x,Y=y)=\frac19, \quad x\in\{2,4\},\ y\in\{1,3,5\}. \]

Per \(X=6\), si estrae senza reinserimento dalla prima urna, ormai \(\{2,4\}\):

\[ P(X=6,Y=2)=P(X=6,Y=4)=\frac16. \]

Tutte le altre coppie hanno probabilità nulla.

Le somme sulle righe restituiscono la pmf di \(X\). Le somme sulle colonne forniscono, come ulteriore lettura della tabella,

\[ P_Y(1)=P_Y(3)=P_Y(5)=\frac29, \qquad P_Y(2)=P_Y(4)=\frac16. \]

La loro somma è \(3(2/9)+2(1/6)=1\): questo controllo intercetta subito un eventuale reinserimento errato oppure l’uso dell’urna sbagliata.

Probabilità condizionata

Dato \(X=6\), i soli valori di \(Y\) sono \(2\) e \(4\), equiprobabili:

\[ \boxed{P(Y\geq3\mid X=6)=P(Y=4\mid X=6)=\frac12}. \]

Medie

\[ \boxed{E[X]=\frac{2+4+6}{3}=4}. \]

Inoltre, per ogni possibile valore di \(X\), la media condizionata di \(Y\) è \(3\):

\[ E[Y\mid X=2]=E[Y\mid X=4]=\frac{1+3+5}{3}=3, \]

\[ E[Y\mid X=6]=\frac{2+4}{2}=3. \]

Per la media totale,

\[ \boxed{E[Y]=3}. \]

Risultato

\[ P_X(2)=P_X(4)=P_X(6)=\frac13, \] \[ P(x,y)=\frac19\ \text{per }x\in\{2,4\},y\in\{1,3,5\}, \qquad P(6,2)=P(6,4)=\frac16, \] \[ \boxed{P(Y\geq3\mid X=6)=\frac12},\qquad \boxed{E[X]=4,\ E[Y]=3}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Le probabilità congiunte sommano a \(6(1/9)+2(1/6)=1\).
Le somme per riga restituiscono \(P_X(2)=P_X(4)=P_X(6)=1/3\).
La CDF è non decrescente e tende a \(1\) dopo \(x=6\).
La media condizionata di \(Y\) vale \(3\) in tutti e tre i casi, quindi \(E[Y]=3\) senza ulteriori somme.

Errori che fanno perdere il filo

Reinserire il \(6\) prima della seconda estrazione quando la traccia specifica il contrario.
Usare la seconda urna anche nel caso \(X=6\).
Confondere la pmf discreta con una densità continua ordinaria.

FonteT_260120.pdf

Confronta anche lo svolgimento manoscritto originale

Svolgimento manoscritto della prova del 20/01/2026

18/12 Prova scritta · 150 minutiAppello del 18/12/2025

Segnali e sistemi a tempo continuo · Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Quattro convoluzioni e classificazione energetica

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Filtro discreto sinc quadrata e ingresso misto

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Densità uniforme su un parallelogramma

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 18/12/2025

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoQuattro convoluzioni e classificazione energetica

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare quattro convoluzioni continue e stabilire energia e potenza di ciascun risultato.

Prima immagine mentale

I quattro punti richiedono strategie diverse: integrazione diretta per il signum, proprietà di autofunzione per il fasore, filtraggio di righe per il treno alternato e prodotto/convoluzione in frequenza nell’ultimo caso. Il terzo punto cade esattamente sul bordo della finestra ideale: bisogna dichiarare la convenzione del corso e segnalare l’ambiguità di convergenza. Nell’ultimo, Parseval evita un integrale temporale molto più lungo.

La strada, prima di fare i conti

Per ogni convoluzione scegliere se lavorare nel tempo o in frequenza.
Nei primi tre casi riconoscere il comportamento asintotico o periodico per ricavare la potenza.
Nel terzo caso applicare esplicitamente la convenzione \(\Pi(\pm1/2)=1\).
Nel quarto caso trovare \(Y(f)\), antitrasformarlo e integrare \(|Y(f)|^2\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione continua

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha)h(t-\alpha)d\alpha\]

Perché è quella giusta qui

È applicata direttamente al primo punto e interpreta tutti i quattro quesiti come sistemi LTI.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Trasformate notevoli

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[Ae^{-t/T}u(t)\longleftrightarrow\frac{AT}{1+j2\pi fT},\qquad \operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow\Pi(f),\qquad \operatorname{sinc}^2(t/2)\longleftrightarrow2\Lambda(2f)\]

Perché è quella giusta qui

Le tre coppie si adattano rispettivamente al secondo, terzo e quarto punto.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Prodotto e convoluzione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)y(t)\longleftrightarrow X(f)*Y(f),\qquad x(t)*y(t)\longleftrightarrow X(f)Y(f)\]

Perché è quella giusta qui

Nel quarto punto il prodotto con il treno replica i triangoli, poi la convoluzione con la sinc seleziona \(|f|\leq1/2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Parseval per segnali di energia

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2df\]

Perché è quella giusta qui

Riduce l’energia del quarto segnale all’integrale elementare di \(16f^2\) sulla banda.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Signum con esponenziale causale

\[ y_1(t)=\operatorname{sign}(t-1)*e^{-t}u(t) =\int_{-\infty}^{t}\operatorname{sign}(\alpha-1) e^{-(t-\alpha)}d\alpha. \]

Per \(t\leq1\) il signum è sempre negativo nell’intervallo utile, quindi \(y_1(t)=-1\). Per \(t>1\) si spezza l’integrale in \(\alpha=1\):

\[ \boxed{ y_1(t)= \begin{cases} -1,&t\leq1,\\ 1-2e^{-(t-1)},&t>1. \end{cases}} \]

Il segnale tende a \(-1\) a sinistra e a \(1\) a destra. Di conseguenza

\[ E_{y_1}=+\infty,\qquad \boxed{P_{y_1}=1}. \]

2. Fasore con esponenziale traslato

Il secondo filtro ha trasformata

\[ \mathcal F\{e^{-(t-1)}u(t)\} =\frac{e}{1+j2\pi f}. \]

Un fasore è autofunzione di un sistema LTI. Alla frequenza \(f_0=1/2\):

\[ \boxed{ y_2(t)=\frac{e}{1+j\pi}e^{j\pi t} =\frac{e}{\sqrt{1+\pi^2}} e^{j[\pi t-\arctan(\pi)]}. } \]

Pertanto

\[ E_{y_2}=+\infty,\qquad \boxed{P_{y_2}=\frac{e^2}{1+\pi^2}}. \]

3. Sinc con treno alternato

Il treno

\[ p(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k\delta(t-k) \]

è periodico di periodo \(2\) e ha righe alle frequenze semintere. Il filtro \(\operatorname{sinc}(t)\) ha risposta \(\Pi(f)\). Con la convenzione ufficiale del corso \(\Pi(\pm1/2)=1\), sopravvivono le due righe di bordo:

\[ \boxed{y_3(t)=2\cos(\pi t)}. \]

Quindi

\[ E_{y_3}=+\infty,\qquad \boxed{P_{y_3}=2}. \]

Questo punto è matematicamente delicato: la serie

\[ \sum_k(-1)^k\operatorname{sinc}(t-k) \]

non converge assolutamente e il suo valore principale simmetrico conduce a \(\cos(\pi t)\). Il risultato \(2\cos(\pi t)\) è quello coerente con la convenzione sui bordi adottata nel formulario e atteso nello svolgimento del corso; la caveat va dichiarata, non nascosta.

4. Sinc e treno alternato pesato

Poniamo

\[ q(t)=\operatorname{sinc}^2(t/2) \sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k\delta(t-k). \]

Poiché

\[ \operatorname{sinc}^2(t/2)\longleftrightarrow2\Lambda(2f), \]

la moltiplicazione per il treno alternato replica il triangolo attorno alle frequenze semintere. La successiva convoluzione con \(\operatorname{sinc}(t)\) moltiplica lo spettro per \(\Pi(f)\). Nel tratto \(|f|\leq1/2\) contribuiscono i triangoli centrati in \(\pm1/2\), perciò

\[ \boxed{ Y_4(f)=4|f|\Pi(f) =2\Pi(f)-2\Lambda(2f). } \]

Antitrasformando,

\[ \boxed{ y_4(t)=2\operatorname{sinc}(t) -\operatorname{sinc}^2(t/2). } \]

Parseval dà

\[ \boxed{ E_{y_4}=\int_{-1/2}^{1/2}16f^2df=\frac43, \qquad P_{y_4}=0. } \]

Risultato

\[ y_1(t)= \begin{cases}-1,&t\leq1,\\1-2e^{-(t-1)},&t>1,\end{cases} \quad P_{y_1}=1, \] \[ y_2(t)=\frac{e}{1+j\pi}e^{j\pi t}, \quad P_{y_2}=\frac{e^2}{1+\pi^2}, \] \[ \boxed{y_3(t)=2\cos(\pi t),\ P_{y_3}=2}, \qquad \boxed{y_4(t)=2\operatorname{sinc}(t)-\operatorname{sinc}^2(t/2),\ E_{y_4}=4/3}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Il primo risultato è continuo in \(t=1\): entrambi i rami valgono \(-1\).
Il modulo del secondo segnale è costante e vale \(e/\sqrt{1+\pi^2}\), quindi la potenza è il suo quadrato.
Per il risultato atteso dal corso, \(P_{y_3}=(2)^2/2=2\).
L'energia del quarto segnale è \(2\int_0^{1/2}16f^2df=4/3\).

Errori che fanno perdere il filo

Applicare indiscriminatamente la stessa tecnica a tutte e quattro le convoluzioni.
Ignorare l'ambiguità al bordo nel terzo punto o, al contrario, sostituire senza avviso il risultato atteso dal corso.
Antitrasformare \(2\Lambda(2f)\) come \(2\operatorname{sinc}^2(t/2)\): il fattore di scala corretto produce \(\operatorname{sinc}^2(t/2)\).

FonteT_251218.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoFiltro discreto sinc quadrata e ingresso misto

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare \(H(\nu)\), rappresentarne modulo e fase e trovare l’uscita per una sinusoide più un segnale periodico.

Prima immagine mentale

La sinc quadrata campionata genera un triangolo spettrale senza alias nel periodo principale; il ritardo di un campione aggiunge soltanto la fase lineare. La sinusoide si filtra valutando \(H\) nella sua frequenza. Per il periodico di periodo \(6\) bastano i coefficienti di Fourier che cadono dentro \(|\nu|\leq1/4\).

La strada, prima di fare i conti

Partire dalla coppia discreta della sinc quadrata e introdurre il ritardo \(n_0=1\).
Valutare modulo e fase a \(\nu=1/16\) per la componente sinusoidale.
Calcolare i coefficienti della replica di periodo \(6\).
Conservare soltanto \(k=0,\pm1\), moltiplicarli per \(H(k/6)\) e ricostruire il coseno.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Sinc quadrata discreta

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[2\nu_c\operatorname{sinc}^2(2\nu_cn)\longleftrightarrow\operatorname{rep}_1\!\left[\Lambda\!\left(\frac{\nu}{2\nu_c}\right)\right]\]

Perché è quella giusta qui

Ponendo \(2\nu_c=1/4\) e compensando l’ampiezza si ottiene il triangolo \(4\Lambda(4\nu)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Traslazione temporale

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x[n-n_0]\longleftrightarrow X(\nu)e^{-j2\pi\nu n_0}\]

Perché è quella giusta qui

Il centro della sinc quadrata è in \(n_0=1\), da cui la fase lineare di \(H(\nu)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Serie di Fourier discreta

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1{N_0}\sum_{n=0}^{N_0-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N_0}\]

Perché è quella giusta qui

Applicata ai due impulsi per periodo fornisce \(Q_k=(1/3)\cos(\pi k/3)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio sinusoidale

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[x[n]=A\cos(2\pi\nu_0n+\theta)\Rightarrow y[n]=A|H(\nu_0)|\cos(2\pi\nu_0n+\theta+\angle H(\nu_0))\]

Perché è quella giusta qui

Si usa direttamente per la componente a \(\nu_0=1/16\) e per ricostruire le righe periodiche superstiti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

La risposta impulsiva è

\[ h[n]=\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{n-1}{4}\right). \]

La coppia notevole e la traslazione danno

\[ \boxed{ H(\nu)=4e^{-j2\pi\nu} \operatorname{rep}_1[\Lambda(4\nu)]. } \]

Nel periodo principale,

\[ |H(\nu)|= \begin{cases} 4(1-4|\nu|),&|\nu|\leq1/4,\\ 0,&1/4<|\nu|\leq1/2, \end{cases} \]

e, dove il modulo è non nullo,

\[ \angle H(\nu)=-2\pi\nu. \]

Componente sinusoidale

Per

\[ x_1[n]=\sin\!\left(\frac{\pi n}{8}\right) \]

la frequenza normalizzata è \(\nu_0=1/16\). Si ha

\[ |H(1/16)|=4\left(1-\frac14\right)=3, \qquad \angle H(1/16)=-\frac{\pi}{8}. \]

Quindi

\[ \boxed{ y_1[n]=3\sin\!\left(\frac{\pi n}{8}-\frac{\pi}{8}\right). } \]

Componente periodica

Per

\[ q[n]=\operatorname{rep}_6[\delta[n+1]+\delta[n-1]], \]

i coefficienti di Fourier sono

\[ Q_k=\frac16 \left(e^{j2\pi k/6}+e^{-j2\pi k/6}\right) =\frac13\cos\!\left(\frac{\pi k}{3}\right). \]

Il filtro conserva la continua e le righe \(k=\pm1\). Per la continua,

\[ Q_0H(0)=\frac13\cdot4=\frac43. \]

Per \(k=1\),

\[ Q_1=\frac16,\qquad H(1/6)=\frac43e^{-j\pi/3}, \qquad Y_1=\frac29e^{-j\pi/3}. \]

La coppia coniugata produce un coseno di ampiezza \(2|Y_1|=4/9\):

\[ \boxed{ y_2[n]=\frac43+\frac49 \cos\!\left(\frac{\pi n}{3}-\frac{\pi}{3}\right). } \]

Per linearità, l’uscita totale è

\[ \boxed{ y[n]=3\sin\!\left(\frac{\pi n}{8}-\frac{\pi}{8}\right) +\frac43+\frac49 \cos\!\left(\frac{\pi n}{3}-\frac{\pi}{3}\right). } \]

Risultato

\[ H(\nu)=4e^{-j2\pi\nu}\operatorname{rep}_1[\Lambda(4\nu)], \] \[ \boxed{ y[n]=3\sin(\pi n/8-\pi/8)+\frac43+ \frac49\cos(\pi n/3-\pi/3). } \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(|H(0)|=4\) e \(|H(1/4)|=0\), coerentemente con il triangolo.
La fase \(-2\pi\nu\) corrisponde al ritardo di un campione presente in \(h[n]\).
Il coefficiente complesso della riga \(k=1\) vale \(2/9\), quindi l'ampiezza reale della coppia è \(4/9\).
Le righe \(k=\pm2\) sono a \(|\nu|=1/3\) e vengono annullate.

Errori che fanno perdere il filo

Scrivere \(\Lambda(\nu/4)\) al posto di \(\Lambda(4\nu)\), invertendo la larghezza della banda.
Dimenticare il fattore di fase \(e^{-j2\pi\nu}\) dovuto al ritardo.
Usare \(2/9\) come ampiezza del coseno invece che come coefficiente della sola riga positiva.

FonteT_251218.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoDensità uniforme su un parallelogramma

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Normalizzare la densità congiunta, trovare \(f_Y(y)\), momenti, probabilità condizionata, indipendenza e covarianza.

Prima immagine mentale

Con densità uniforme, probabilità e marginali sono rapporti di aree. Il dominio è un parallelogramma: la sezione orizzontale cresce linearmente fino a \(y=0\) e poi decresce, generando una densità triangolare. Le simmetrie annullano le medie, mentre la relazione \(E[Y\mid X=x]=x/2\) rende la covarianza molto più rapida di un doppio integrale.

La strada, prima di fare i conti

Scrivere il dominio tramite limiti in \(x\) e \(y\) e calcolarne l'area.
Per ogni \(y\), trovare la lunghezza della sezione orizzontale e moltiplicarla per \(c\).
Usare la simmetria per media e varianza e le aree per la probabilità condizionata.
Calcolare le marginali per verificare l'indipendenza e usare \(E[Y\mid X]\) per la covarianza.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Normalizzazione della densità congiunta

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dxdy=1\]

Perché è quella giusta qui

Con densità costante sul dominio, diventa \(c\,\operatorname{area}(D)=1\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Densità marginale

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dx\]

Perché è quella giusta qui

L’integrale è la densità costante moltiplicata per la lunghezza della sezione orizzontale del parallelogramma.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Momenti di una variabile continua

Formulario_prob.pdf, p. 3

\[E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx,\qquad \sigma_X^2=E[X^2]-\mu_X^2\]

Perché è quella giusta qui

Si applica alla marginale triangolare di \(Y\) e alla marginale uniforme di \(X\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Indipendenza e covarianza

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y),\qquad C_{XY}=E[XY]-\mu_X\mu_Y\]

Perché è quella giusta qui

Il primo confronto nega l’indipendenza; il secondo trasforma \(E[XY]=2/3\) nella covarianza.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Il dominio è

\[ D=\left\{(x,y):-2\leq x\leq2,\quad \frac{x-2}{2}\leq y\leq\frac{x+2}{2}\right\}. \]

La base in \(x\) misura \(4\) e la sezione verticale misura \(2\), quindi l’area è \(8\). La normalizzazione impone

\[ \boxed{c=\frac18}. \]

Marginale di \(Y\)

Per \(-2\leq y\leq0\), la sezione orizzontale ha lunghezza \(2(y+2)\); per \(0\leq y\leq2\), ha lunghezza \(2(2-y)\). Moltiplicando per \(c\):

\[ \boxed{ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{y+2}{4},&-2\leq y\leq0,\\[2mm] \dfrac{2-y}{4},&0\leq y\leq2,\\[2mm] 0,&\text{altrove}. \end{cases}} \]

La densità è pari, dunque

\[ \boxed{E[Y]=0}. \]

Il secondo momento è

\[ E[Y^2]=2\int_0^2y^2\frac{2-y}{4}dy=\frac23. \]

Poiché la media è nulla,

\[ \boxed{\operatorname{Var}(Y)=\frac23}. \]

Probabilità condizionata

Per simmetria \(P(Y>0)=1/2\). La porzione del parallelogramma con \(x>0\) e \(y>0\) ha area \(3\), dunque probabilità \(3/8\). Quindi

\[ \boxed{ P(X>0\mid Y>0)=\frac{3/8}{1/2}=\frac34. } \]

Indipendenza e covarianza

La marginale di \(X\) è uniforme:

\[ f_X(x)=\frac14,\qquad -2\leq x\leq2. \]

Il prodotto \(f_X(x)f_Y(y)\) non è costante e ha supporto rettangolare, mentre \(f_{XY}\) è costante soltanto sul parallelogramma. Quindi \(X\) e \(Y\) non sono indipendenti.

Per ogni \(x\), \(Y\mid X=x\) è uniforme su un intervallo centrato in \(x/2\), perciò

\[ E[Y\mid X=x]=\frac x2. \]

Allora

\[ E[XY]=E\!\left[XE[Y\mid X]\right] =\frac12E[X^2]. \]

Poiché \(X\) è uniforme su \([-2,2]\), \(E[X^2]=4/3\), e quindi

\[ E[XY]=\frac23. \]

Le due medie sono nulle:

\[ \boxed{\operatorname{Cov}(X,Y)=\frac23\neq0}. \]

Le variabili non sono dunque nemmeno incorrelate.

Risultato

\[ \boxed{c=\frac18},\qquad f_Y(y)= \begin{cases} (y+2)/4,&-2\leq y\leq0,\\ (2-y)/4,&0\leq y\leq2,\\ 0,&\text{altrove}, \end{cases} \] \[ \boxed{E[Y]=0,\ \operatorname{Var}(Y)=2/3,\ P(X>0\mid Y>0)=3/4,\ \operatorname{Cov}(X,Y)=2/3}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(\int_{-2}^{2}f_Y(y)dy=1\).
La densità \(f_Y\) è pari e ha massimo \(1/2\) in \(y=0\).
\(\operatorname{Var}(Y)=2/3>0\) e la covarianza soddisfa il segno positivo suggerito dall'inclinazione del parallelogramma.
La probabilità condizionata \(3/4\) è compresa tra zero e uno e supera \(1/2\), coerentemente con la dipendenza positiva.

Errori che fanno perdere il filo

Usare direttamente l'area geometrica come probabilità senza moltiplicare per \(c\); nei rapporti condizionati il fattore si semplifica, ma non sempre.
Concludere indipendenza dalla sola simmetria o dalle medie nulle.
Scambiare \(E[XY]=0\) con la conseguenza delle medie nulle: è la covarianza a coincidere con \(E[XY]\), non a diventare automaticamente nulla.

FonteT_251218.pdf

Confronta anche lo svolgimento manoscritto originale

Svolgimento manoscritto della prova del 18/12/2025

25/11 Prova scritta · 150 minutiAppello del 25/11/2022

2× Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Compressione, treno alternato e derivatore

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Espansione discreta, differenza e somma corrente

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Miscela geografica degli stipendi

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 25/11/2022

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoCompressione, treno alternato e derivatore

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Determinare tutti i segnali della cascata, l’autocorrelazione dell’ingresso e lo spettro dell’uscita.

Prima immagine mentale

La compressione trasforma i due rettangoli adiacenti in un impulso bipolare lungo \(2\). La convoluzione con il treno di impulsi alternato crea una funzione a tratti periodica di periodo \(4\). Il terzo blocco è un derivatore ideale, quindi l’uscita consiste soltanto negli impulsi posti nei punti in cui la funzione periodica salta.

La strada, prima di fare i conti

Tradurre i due rettangoli di \(x(t)\) in intervalli e applicare \(z(t)=x(3t)\).
Replicare \(z(t)\) ogni \(2\) con segno alterno per costruire \(w(t)\).
Derivare \(w(t)\) in senso distribuzionale e trasformare il treno d'impulsi risultante.
Per \(R_x(\tau)\), contare separatamente sovrapposizioni con stesso segno e segno opposto.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Cambiamento di scala

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(at)\longleftrightarrow\frac1{|a|}X(f/a)\]

Perché è quella giusta qui

La relazione temporale corrispondente chiarisce che la compressione di fattore \(3\) è \(z(t)=x(3t)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Convoluzione con impulsi traslati

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)\]

Perché è quella giusta qui

Ogni impulso di \(h_2(t)\) genera una copia \(z(t-2n)\) con peso \((-1)^n\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Derivazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[\frac{d}{dt}x(t)\longleftrightarrow j2\pi fX(f)\]

Perché è quella giusta qui

Poiché \(H_3(f)=j2\pi f\), il terzo blocco trasforma i salti di \(w(t)\) negli impulsi di \(y(t)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Autocorrelazione di energia

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x^*(t-\tau)dt\]

Perché è quella giusta qui

Si adatta contando le lunghezze delle sovrapposizioni positive e negative dei due rettangoli.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Segnali nel tempo

L’ingresso vale

\[ x(t)= \begin{cases} 1,&0<t<3,\\ -1,&3<t<6,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

La compressione di fattore \(3\) dà

\[ z(t)=x(3t)= \begin{cases} 1,&0<t<1,\\ -1,&1<t<2,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Con

\[ h_2(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^n\delta(t-2n) \]

si ottiene

\[ w(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(-1)^nz(t-2n). \]

In un periodo \(0<t<4\),

\[ w(t)= \begin{cases} 1,&0<t<1,\\ -1,&1<t<3,\\ 1,&3<t<4, \end{cases} \qquad w(t+4)=w(t). \]

Il terzo sistema ha \(H_3(f)=j2\pi f\), quindi deriva:

\[ \boxed{ y(t)=2\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left[\delta(t-4k-3)-\delta(t-4k-1)\right]. } \]

Il salto in \(4k+1\) è \(-2\), mentre quello in \(4k+3\) è \(+2\).

2. Autocorrelazione dell’ingresso

Per \(\tau\geq0\), se \(0\leq\tau\leq3\), le sovrapposizioni con uguale segno hanno lunghezza totale \(6-2\tau\), mentre quella con segno opposto ha lunghezza \(\tau\). Quindi

\[ R_x(\tau)=6-3\tau,\qquad 0\leq\tau\leq3. \]

Se \(3\leq\tau\leq6\), rimane soltanto una sovrapposizione con segno opposto lunga \(6-\tau\):

\[ R_x(\tau)=\tau-6,\qquad 3\leq\tau\leq6. \]

Usando la parità,

\[ \boxed{ R_x(\tau)= \begin{cases} 6-3|\tau|,&|\tau|\leq3,\\ |\tau|-6,&3\leq|\tau|\leq6,\\ 0,&|\tau|\geq6. \end{cases}} \]

3. Spettro dell’uscita

La trasformata del treno di periodo \(4\) è

\[ \boxed{ Y(f)=\frac12\sum_{m=-\infty}^{+\infty} \left(e^{-j3\pi m/2}-e^{-j\pi m/2}\right) \delta\!\left(f-\frac m4\right). } \]

I coefficienti sono nulli per \(m\) pari. Per \(m\) dispari si possono scrivere come

\[ Y_m=j(-1)^{(m-1)/2}. \]

Lo spettro presenta dunque sole righe ai multipli dispari di \(1/4\), con modulo unitario e fase alternata.

Risultato

\[ z(t)= \begin{cases}1,&0<t<1,\\-1,&1<t<2,\\0,&\text{altrove},\end{cases} \qquad \boxed{y(t)=2\sum_k[\delta(t-4k-3)-\delta(t-4k-1)]}, \] \[ \boxed{ R_x(\tau)= \begin{cases} 6-3|\tau|,&|\tau|\leq3,\\ |\tau|-6,&3\leq|\tau|\leq6,\\ 0,&|\tau|\geq6, \end{cases}} \] \[ Y(f)=\frac12\sum_m(e^{-j3\pi m/2}-e^{-j\pi m/2})\delta(f-m/4). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(w(t)\) ha periodo \(4\): traslando di \(2\) cambia segno, traslando di \(4\) torna uguale.
In \(t=4k\) non c'è salto e infatti \(y(t)\) non contiene un impulso.
\(R_x(0)=6=\int|x(t)|^2dt\).
L'autocorrelazione è pari, continua e soddisfa \(|R_x(\tau)|\leq6\).

Errori che fanno perdere il filo

Interpretare la compressione come \(x(t/3)\) invece di \(x(3t)\).
Derivare i tratti costanti di \(w(t)\) come funzioni ordinarie e perdere gli impulsi nei salti.
Contare come positive le sovrapposizioni tra i due rettangoli di segno opposto nell'autocorrelazione.

FonteT_221125.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoEspansione discreta, differenza e somma corrente

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Ricavare il legame complessivo e le proprietà del sistema, poi l’uscita e la DTFT per un ingresso periodico.

Prima immagine mentale

L’espansore inserisce due zeri tra campioni consecutivi. Il filtro \(\delta[n]-\delta[n-3]\) crea una differenza che la somma corrente telescopa: resta una finestra di tre campioni dell’espanso, cioè ciascun campione originario ripetuto tre volte. Questa forma diretta rende semplici sia le proprietà sia l’uscita periodica.

La strada, prima di fare i conti

Definire l'espanso \(z[n]\) e scrivere \(w[n]=z[n]-z[n-3]\).
Telescopare la somma corrente fino a ottenere \(y[n]=z[n]+z[n-1]+z[n-2]\).
Tradurre il risultato in \(x[\lfloor n/3\rfloor]\) e classificare il sistema.
Espandere \(\operatorname{rep}_5[R_2[n]]\) in blocchi di sei uni su periodo \(15\) e calcolarne i coefficienti.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Espansione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x[n/M]\longleftrightarrow X(M\nu)\]

Perché è quella giusta qui

Nel formulario \(x[n/M]\) indica la sequenza espansa, definita soltanto sugli indici multipli di \(M\); qui \(M=3\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Differenza prima e somma corrente

Formulario_tds.pdf, pp. 5–6

\[x[n]-x[n-1]\longleftrightarrow(1-e^{-j2\pi\nu})X(\nu),\qquad \sum_{k=-\infty}^{n}x[k]\longleftrightarrow\frac{X(\nu)}{1-e^{-j2\pi\nu}}+\frac12X(0)\widetilde\delta(\nu)\]

Perché è quella giusta qui

Il filtro usa una differenza a distanza \(3\); il telescopaggio nel tempo è l’adattamento più sicuro della coppia del formulario.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Serie di Fourier discreta

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1{N_0}\sum_{n=0}^{N_0-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N_0}\]

Perché è quella giusta qui

Con \(N_0=15\) e sei campioni unitari consecutivi produce i coefficienti \(Y_k\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Espansione e telescopaggio

L’espansore di fattore \(3\) produce

\[ z[n]= \begin{cases} x[n/3],&n=3m,\\ 0,&\text{altrimenti}. \end{cases} \]

Il filtro successivo dà

\[ w[n]=z[n]-z[n-3]. \]

La somma corrente, sul dominio in cui i termini al limite inferiore si annullano, telescopa:

\[ \begin{aligned} y[n] &=\sum_{k=-\infty}^{n}[z[k]-z[k-3]]\\ &=z[n]+z[n-1]+z[n-2]. \end{aligned} \]

In ogni terna di indici c’è un solo campione non nullo di \(z\). Ne segue

\[ \boxed{y[n]=x\!\left[\left\lfloor\frac n3\right\rfloor\right]}. \]

La precisazione sul dominio è sostanziale. Per un ingresso periodico la serie bilaterale \(\sum_{k=-\infty}^{n}w[k]\), letta alla lettera, non converge in generale. Nel seguito si adotta la realizzazione equivalente usata nel corso, raggruppando prima i due sistemi LTI:

\[ [\delta[n]-\delta[n-3]]*u[n] =u[n]-u[n-3]=R_3[n]. \]

In questo modo \(y[n]=z[n]*R_3[n]\) è una convoluzione finita e la formula precedente è ben definita. Senza questo raggruppamento, o senza una condizione iniziale equivalente, il sommatorio bilaterale della traccia non assegna un valore classico all’ingresso periodico del punto successivo.

2. Proprietà del sistema equivalente

Il sistema complessivo è lineare, non tempo-invariante, dispersivo (cioè non istantaneo) e stabile. Nella definizione discreta globale non è causale: per esempio \(y[-2]=x[-1]\), che dipende da un indice futuro rispetto a \(-2\).

3. Ingresso periodico e trasformata

Per

\[ x[n]=\operatorname{rep}_5[R_2[n]], \]

ogni campione viene ripetuto tre volte. I due uni consecutivi diventano sei uni consecutivi e il periodo viene moltiplicato per \(3\):

\[ \boxed{y[n]=\operatorname{rep}_{15}[R_6[n]]}. \]

I coefficienti della serie di Fourier discreta sono

\[ \begin{aligned} Y_k &=\frac1{15}\sum_{n=0}^{5}e^{-j2\pi kn/15}\\ &= \frac1{15}e^{-j\pi k/3} \frac{\sin(2\pi k/5)}{\sin(\pi k/15)}, \end{aligned} \]

con il valore limite \(Y_k=2/5\) per \(k\) multiplo di \(15\). La DTFT del periodico è

\[ \boxed{ Y(\nu)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} Y_k\,\delta\!\left(\nu-\frac{k}{15}\right). } \]

Risultato

\[ \boxed{y[n]=z[n]+z[n-1]+z[n-2] =x[\lfloor n/3\rfloor]}, \] \[ \boxed{y[n]=\operatorname{rep}_{15}[R_6[n]]}, \] \[ Y_k=\frac1{15}\sum_{n=0}^{5}e^{-j2\pi kn/15},\qquad Y(\nu)=\sum_kY_k\delta(\nu-k/15). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Per \(n=3m,3m+1,3m+2\), il risultato vale sempre \(x[m]\).
Un ingresso limitato da \(M\) produce un'uscita limitata dallo stesso \(M\).
Il periodo \(5\) dell'ingresso diventa \(15\), coerentemente con la ripetizione di ciascun campione tre volte.
\(Y_0=6/15=2/5\), uguale alla media dei sei uni in quindici campioni.

Errori che fanno perdere il filo

Confondere l'espansione con la ripetizione già nel primo blocco: l'espansore inserisce zeri.
Perdere i tre termini di bordo nel telescopaggio della somma corrente.
Usare periodo \(5\) o \(10\) per l'uscita invece di \(15\).
Applicare alla lettera la somma da \(-\infty\) all'ingresso periodico senza dichiarare il raggruppamento \( [\delta[n]-\delta[n-3]]*u[n]=R_3[n]\).

FonteT_221125.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoMiscela geografica degli stipendi

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Normalizzare due densità condizionate e trovare momenti, probabilità, inferenza geografica e CDF della miscela.

Prima immagine mentale

Prima si normalizzano separatamente le due leggi: uniforme al nord e triangolare crescente al sud. Tutti i momenti nazionali sono medie pesate dei momenti condizionati. Per la probabilità geografica dato lo stipendio serve Bayes, mentre la CDF finale si costruisce sommando le due CDF condizionate con pesi \(0.6\) e \(0.4\).

La strada, prima di fare i conti

Individuare i supporti delle due finestre e imporre integrale unitario.
Calcolare \(E[X\mid N]\), \(E[X^2\mid N]\), \(E[X\mid S]\), \(E[X^2\mid S]\).
Applicare la probabilità totale ai momenti e agli eventi di soglia.
Usare Bayes per \(P(S\mid X<1500)\) e combinare le CDF nei diversi intervalli.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Normalizzazione e CDF

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)dx=1,\qquad F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(\alpha)d\alpha\]

Perché è quella giusta qui

La prima formula determina \(A\) e \(B\); la seconda costruisce le CDF condizionate e quella nazionale.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Momenti continui

Formulario_prob.pdf, p. 3

\[E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx,\qquad E[X^2]=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_X(x)dx,\qquad \sigma_X^2=E[X^2]-\mu_X^2\]

Perché è quella giusta qui

Si applica separatamente alle due aree e poi alla miscela.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Media e distribuzione totali

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[E[X]=\sum_iE[X\mid A_i]P(A_i),\qquad F_X(x)=\sum_iF_X(x\mid A_i)P(A_i)\]

Perché è quella giusta qui

Con la partizione geografica \(\{N,S\}\) produce momenti e CDF del paese.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata e totale

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)=\sum_iP(B\mid A_i)P(A_i)\]

Perché è quella giusta qui

Le due formule combinate danno \(P(S\mid X<1500)=3/7\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Al nord la finestra è attiva per \(1000\leq x\leq2000\):

\[ f_{X\mid N}(x)=A,\qquad 1=A(2000-1000), \]

quindi

\[ \boxed{A=\frac1{1000}}. \]

Al sud il supporto è \(0\leq x\leq2000\):

\[ f_{X\mid S}(x)=Bx,\qquad 1=B\int_0^{2000}x\,dx, \]

da cui

\[ \boxed{B=\frac1{2\,000\,000}}. \]

Momenti nazionali

Per l’uniforme al nord,

\[ E[X\mid N]=1500,\qquad E[X^2\mid N]=\frac{7\,000\,000}{3}. \]

Per la densità crescente al sud,

\[ E[X\mid S]=\frac{4000}{3},\qquad E[X^2\mid S]=2\,000\,000. \]

Con \(P(N)=0.6\) e \(P(S)=0.4\):

\[ \boxed{ E[X]=0.6(1500)+0.4\frac{4000}{3} =\frac{4300}{3}. } \]

Il valor quadratico medio richiesto, inteso come secondo momento, è

\[ \boxed{ E[X^2]=0.6\frac{7\,000\,000}{3} +0.4(2\,000\,000)=2\,200\,000. } \]

Se si desidera la radice quadratica media, essa vale \(\sqrt{2\,200\,000}\approx1483.24\). La varianza è

\[ \boxed{ \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2 =\frac{1\,310\,000}{9}. } \]

Probabilità di superare \(1500\)

\[ P(X>1500\mid N)=\frac12, \]

\[ P(X>1500\mid S) =\int_{1500}^{2000}\frac{x}{2\,000\,000}dx =\frac7{16}. \]

Quindi

\[ \boxed{ P(X>1500)=0.6\frac12+0.4\frac7{16} =\frac{19}{40}. } \]

Probabilità di lavorare al sud

\[ P(X<1500\mid S)=\frac{1500^2}{2000^2}=\frac9{16}, \]

\[ P(X<1500) =0.6\frac12+0.4\frac9{16} =\frac{21}{40}. \]

Per Bayes,

\[ \boxed{ P(S\mid X<1500) =\frac{0.4(9/16)}{21/40} =\frac37. } \]

CDF nazionale

\[ \boxed{ F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\[1mm] \dfrac{x^2}{10\,000\,000},&0\leq x<1000,\\[2mm] 0.0006(x-1000)+\dfrac{x^2}{10\,000\,000}, &1000\leq x<2000,\\[2mm] 1,&x\geq2000. \end{cases}} \]

Risultato

\[ \boxed{A=1/1000,\qquad B=1/2\,000\,000}, \] \[ \boxed{E[X]=4300/3,\quad E[X^2]=2\,200\,000,\quad \operatorname{Var}(X)=1\,310\,000/9}, \] \[ \boxed{P(X>1500)=19/40,\qquad P(S\mid X<1500)=3/7}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Le due densità condizionate integrano a uno sui rispettivi supporti.
La CDF è continua in \(x=1000\): entrambi i rami valgono \(0.1\).
In \(x=2000\) il terzo ramo vale \(1\).
\(\operatorname{Var}(X)=1\,310\,000/9>0\) e \(19/40<1/2\), valori plausibili rispetto ai supporti.

Errori che fanno perdere il filo

Usare lo stesso supporto per nord e sud.
Fare la media delle varianze condizionate senza aggiungere la variabilità tra le medie: qui è più sicuro usare \(E[X^2]-E[X]^2\).
In Bayes dividere per \(P(X<1500\mid S)\) invece che per la probabilità totale \(P(X<1500)\).

FonteT_221125.pdf

19/07 Prova scritta · 150 minutiAppello del 19/07/2022

2× Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Replica periodica, espansione e selezione di un'armonica

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Ricostruzione di un periodico da vincoli sui coefficienti

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Negativizzazione di tre portieri

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 19/07/2022

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoReplica periodica, espansione e selezione di un'armonica

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare e rappresentare \(u(t)\), \(v(t)\) e \(y(t)\) nella cascata data.

Prima immagine mentale

Il primo treno di impulsi periodizza l’ingresso con periodo \(7\); poiché il supporto originario è lungo \(8\), copie adiacenti si sovrappongono in due brevi intervalli. L’espansione raddoppia il periodo e lascia invariati i coefficienti di Fourier. Il filtro finale è una coppia di finestre strette centrata in \(\pm1/7\), quindi conserva una sola coppia di armoniche.

La strada, prima di fare i conti

Esplicitare \(x(t)\) e sommarne le sole copie che si sovrappongono in un periodo di lunghezza \(7\).
Applicare \(v(t)=u(t/2)\) e raddoppiare tutti gli intervalli.
Calcolare \(H_2(f)\) e individuare l'unica armonica di \(v(t)\) passante.
Valutare il coefficiente \(U_2=X(2/7)/7\) e ricostruire \(y(t)\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione con un treno di impulsi

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[x(t)*\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(t-nT)\]

Perché è quella giusta qui

È una conseguenza diretta della proprietà \(x*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)\) e produce \(u(t)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Cambiamento di scala

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(at)\longleftrightarrow\frac1{|a|}X(f/a)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(a=1/2\) spiega l’espansione temporale e il raddoppio del periodo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coefficienti della replica periodica

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[x_p(t)=\sum_nx(t-nT_0)\Rightarrow X_k=\frac1{T_0}X(k/T_0)\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce \(U_2=X(2/7)/7\) senza reintegrare la funzione periodizzata a tratti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione della sinc

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)\cos(2\pi f_0t)\longleftrightarrow\frac12[X(f-f_0)+X(f+f_0)]\]

Perché è quella giusta qui

Applicata a \(\operatorname{sinc}(t/14)\) genera le due finestre di \(H_2(f)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Periodizzazione dell’ingresso

L’ingresso è pari e vale

\[ x(t)= \begin{cases} 1-\dfrac{|t|}{4},&2<|t|\leq4,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Il primo filtro periodizza con periodo \(7\):

\[ u(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(t-7n). \]

In un periodo \(-7/2\leq t<7/2\),

\[ u(t)= \begin{cases} \dfrac14,&-\dfrac72\leq t\leq-3,\\[1mm] 1+\dfrac t4,&-3<t<-2,\\[1mm] 0,&-2\leq t\leq2,\\[1mm] 1-\dfrac t4,&2<t<3,\\[1mm] \dfrac14,&3\leq t<\dfrac72. \end{cases} \]

Le due zone costanti di altezza \(1/4\) sono precisamente quelle in cui si sommano le code di due copie adiacenti.

2. Espansione temporale

Il blocco centrale espande di fattore \(2\):

\[ v(t)=u(t/2). \]

Ha periodo \(14\) e, per \(-7\leq t<7\),

\[ v(t)= \begin{cases} \dfrac14,&-7\leq t\leq-6,\\ 1+\dfrac t8,&-6<t<-4,\\ 0,&-4\leq t\leq4,\\ 1-\dfrac t8,&4<t<6,\\ \dfrac14,&6\leq t<7. \end{cases} \]

3. Selezione spettrale

La risposta del secondo filtro è

\[ \boxed{ H_2(f)=7\left[ \Pi\!\left(14\left(f-\frac17\right)\right) +\Pi\!\left(14\left(f+\frac17\right)\right)\right]. } \]

Le bande positive e negative sono centrate in \(\pm1/7\), con semilarghezza \(1/28\). Poiché \(v(t)\) ha fondamentale \(1/14\), passa soltanto la coppia \(k=\pm2\).

I coefficienti del periodico \(u(t)\) sono

\[ U_k=\frac17X(k/7), \]

e l’espansione conserva i coefficienti: \(V_k=U_k\). Per il coefficiente necessario,

\[ \begin{aligned} X(2/7) &=2\int_2^4\left(1-\frac t4\right) \cos\!\left(\frac{4\pi t}{7}\right)dt\\ &=\frac{7}{4\pi}\sin\!\left(\frac\pi7\right) -\frac{49}{32\pi^2} \left[\cos\!\left(\frac\pi7\right)+ \cos\!\left(\frac{2\pi}{7}\right)\right]. \end{aligned} \]

Poiché il guadagno in banda è \(7\),

\[ Y_2=7V_2=X(2/7). \]

La coppia coniugata produce

\[ \boxed{ \begin{aligned} y(t) &=2X(2/7)\cos\!\left(\frac{2\pi t}{7}\right)\\ &\approx0.010349575\cos\!\left(\frac{2\pi t}{7}\right). \end{aligned}} \]

Risultato

\[ u(t)=\operatorname{rep}_7[x(t)],\qquad v(t)=u(t/2), \] \[ H_2(f)=7[\Pi(14(f-1/7))+\Pi(14(f+1/7))], \] \[ \boxed{y(t)=2X(2/7)\cos(2\pi t/7) \approx0.010349575\cos(2\pi t/7)}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(u(t)\) è pari e periodico di periodo \(7\); \(v(t)\) è pari e periodico di periodo \(14\).
Il filtro finale passa \(2/14=1/7\), ma non le armoniche adiacenti \(1/14\) e \(3/14\).
Il guadagno \(7\) cancella il fattore \(1/7\) del coefficiente \(U_2\).
Il valore numerico \(2X(2/7)\approx0.01035\) è piccolo perché nell'integrale avviene una quasi cancellazione.

Errori che fanno perdere il filo

Non sommare le copie adiacenti di \(x(t)\) negli intervalli estremi del periodo di \(u(t)\).
Usare \(v(t)=u(2t)\) invece di \(v(t)=u(t/2)\).
Valutare \(X(1/7)\): l'armonica passata è \(k=2\) rispetto al periodo \(14\), ma deriva da \(U_2=X(2/7)/7\).

FonteT_220719.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoRicostruzione di un periodico da vincoli sui coefficienti

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Trovare una possibile espressione di \(x[n]\) e filtrarla con \(H(\nu)=\Lambda(4|\nu|-1)\).

Prima immagine mentale

Realtà e parità rendono i coefficienti reali e coniugati a coppie. La somma assegnata è direttamente quattro volte il coefficiente \(X_1\). Parseval determina il modulo della continua, lasciando due soluzioni possibili; la richiesta di una possibile espressione consente di sceglierne una. Il filtro ha zeri in continua e a Nyquist, ma picchi in \(\nu=\pm1/4\).

La strada, prima di fare i conti

Convertire la somma esponenziale assegnata nel coefficiente \(X_1\).
Usare realtà e parità per determinare \(X_3\) e Parseval per \(X_0\).
Scegliere uno dei due segni ammessi per \(X_0\) e ricostruire \(x[n]\).
Valutare \(H\) sulle sole righe \(\nu=0,\pm1/4,1/2\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Analisi della serie discreta

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1{N_0}\sum_{n=0}^{N_0-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N_0}\]

Perché è quella giusta qui

Con \(N_0=4\) e \(k=1\), identifica la somma assegnata con \(4X_1\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Simmetria per segnali reali

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[x[n]\ \mathrm{reale}\Rightarrow X_{-k}=X_k^*\]

Perché è quella giusta qui

Unita alla parità, rende reali i coefficienti e determina \(X_3=X_1\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Parseval per serie discrete

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[\frac1{N_0}\sum_{n=\langle N_0\rangle}|x[n]|^2=\sum_{k=\langle N_0\rangle}|X_k|^2\]

Perché è quella giusta qui

Trasforma la potenza assegnata nell’equazione \(|X_0|^2+1/2=3/2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Determinazione dei coefficienti

Il periodo è \(N_0=4\). Dalla formula di analisi,

\[ \sum_{n=\langle4\rangle}x[n]e^{-j\pi n/2}=4X_1=-2, \]

quindi

\[ X_1=-\frac12. \]

Poiché il segnale è reale e pari, i coefficienti sono reali e

\[ X_3=X_{-1}=X_1=-\frac12. \]

È inoltre assegnato \(X_2=0\). Parseval dà

\[ \frac14\sum_{n=\langle4\rangle}|x[n]|^2 =|X_0|^2+|X_1|^2+|X_2|^2+|X_3|^2 =\frac32. \]

Pertanto

\[ |X_0|^2+\frac14+\frac14=\frac32, \qquad |X_0|=1. \]

Sono ammesse due scelte. Prendendo \(X_0=1\),

\[ \boxed{ x[n]=1-\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right). } \]

La scelta \(X_0=-1\) darebbe ugualmente \(-1-\cos(\pi n/2)\).

Nel primo caso i quattro campioni di un periodo sono

\[ x[0],x[1],x[2],x[3]=0,1,2,1; \]

nel secondo sono \(-2,-1,0,-1\). Entrambe le sequenze sono reali, pari in senso periodico e hanno potenza \(3/2\). La traccia chiede una sola possibilità, quindi d’ora in poi manteniamo \(X_0=1\).

2. Azione del filtro

Per

\[ H(\nu)=\Lambda(4|\nu|-1), \]

nel periodo principale il modulo può essere letto esplicitamente come

\[ H(\nu)= \begin{cases} 4|\nu|,&0\leq|\nu|\leq1/4,\\ 2-4|\nu|,&1/4\leq|\nu|\leq1/2. \end{cases} \]

Si tratta di due triangoli simmetrici: la continua e Nyquist sono zeri, i massimi unitari sono in \(\nu=\pm1/4\). In particolare,

si ha

\[ H(0)=0,\qquad H(\pm1/4)=1,\qquad H(1/2)=0. \]

La continua viene eliminata, mentre le due righe che formano il coseno passano con guadagno unitario. Quindi, per entrambe le possibili scelte della continua,

\[ \boxed{ y[n]=-\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right). } \]

Risultato

\[ X_1=X_3=-\frac12,\qquad X_2=0,\qquad X_0=\pm1. \] \[ \boxed{x[n]=1-\cos(\pi n/2)}\quad\text{è una soluzione possibile}, \qquad \boxed{y[n]=-\cos(\pi n/2)}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Con \(x[n]=1-\cos(\pi n/2)\), i quattro campioni sono \(0,1,2,1\) e la potenza media è \((0+1+4+1)/4=3/2\).
La somma \(\sum x[n]e^{-j\pi n/2}\) vale \(-2\), come richiesto.
Il filtro annulla \(X_0\), quindi il segno scelto per la continua non cambia l'uscita.
\(H(\nu)\) è non negativo e ha massimo unitario in \(|\nu|=1/4\).

Errori che fanno perdere il filo

Dimenticare il fattore \(1/N_0\) nella definizione di \(X_1\).
Imporre arbitrariamente \(X_0=1\) senza dichiarare che anche \(X_0=-1\) soddisfa i dati.
Leggere \(\Lambda(4|\nu|-1)\) come un passa-basso con massimo in continua.

FonteT_220719.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoNegativizzazione di tre portieri

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare quattro probabilità dopo dieci giorni con transizioni indipendenti e stato assorbente.

Prima immagine mentale

Per ciascun portiere basta calcolare una sola probabilità: essere diventato negativo entro dieci giorni. Il complemento è restare positivo per tutti i dieci passaggi, con probabilità \(0.9^{10}\). Da quel momento i tre stati finali sono prove di Bernoulli indipendenti; l’ultima probabilità condizionata si risolve anche per pura simmetria.

La strada, prima di fare i conti

Calcolare \(q=1-0.9^{10}\), probabilità finale di negatività di un portiere.
Tradurre ciascun evento in combinazioni indipendenti dei tre indicatori Bernoulli.
Per almeno uno usare il complemento di nessuno.
Condizionando a esattamente due negativi, contare quante delle tre coppie includono il titolare.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Prove di Bernoulli

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(k\ \text{successi su}\ n)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\]

Perché è quella giusta qui

Il singolo percorso giornaliero usa il caso di zero successi; gli stati finali dei tre portieri formano poi tre prove indipendenti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Evento complementare

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A^c)=1-P(A)\]

Perché è quella giusta qui

Serve per passare da “mai negativizzato” a “negativizzato entro dieci giorni” e da “nessuno” ad “almeno uno”.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Nel quarto punto numeratore e denominatore contengono lo stesso fattore \(q^2(1-q)\), che si semplifica.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Probabilità individuale dopo dieci giorni

La probabilità che un singolo portiere rimanga positivo per tutti i dieci giorni è

\[ (1-0.1)^{10}=0.9^{10}. \]

Poiché una volta negativo rimane tale, la probabilità di essere negativo all’inizio del campionato è

\[ q=1-0.9^{10}\approx0.6513215599. \]

1. Titolare negativo

\[ \boxed{P(T)=q\approx0.6513215599}. \]

2. Titolare e almeno una riserva negativi

La probabilità che almeno una delle due riserve sia negativa è

\[ 1-(1-q)^2. \]

Per indipendenza,

\[ \boxed{ P(T\cap\{\text{almeno una riserva}\}) =q[1-(1-q)^2] \approx0.5721360636. } \]

3. Almeno un portiere negativo

\[ \boxed{ P(\text{almeno uno}) =1-(1-q)^3 =1-0.9^{30} \approx0.9576088417. } \]

4. Titolare negativo dato che esattamente due lo sono

Le tre configurazioni con esattamente due negativi hanno la stessa probabilità \(q^2(1-q)\). Due di esse contengono il titolare, una no:

\[ \begin{aligned} P(T\cap\{\text{esattamente due}\})&=2q^2(1-q),\\ P(\text{esattamente due})&=3q^2(1-q). \end{aligned} \]

Applicando la definizione di probabilità condizionata, i fattori comuni si semplificano:

\[ \boxed{ P(T\mid\text{esattamente due negativi})=\frac23. } \]

Il risultato non dipende dal valore numerico di \(q\), purché i tre portieri abbiano la stessa probabilità e siano indipendenti.

Risultato

\[ q=1-0.9^{10}\approx0.6513215599, \] \[ \boxed{P_1=q,\quad P_2=q[1-(1-q)^2]\approx0.5721360636}, \] \[ \boxed{P_3=1-(1-q)^3\approx0.9576088417,\quad P_4=2/3}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(q\) è maggiore di \(1/2\), coerentemente con dieci opportunità di negativizzarsi.
La probabilità del secondo evento non supera \(P(T)=q\).
La probabilità che almeno uno sia negativo è molto vicina a uno e coincide con \(1-0.9^{30}\).
Nel condizionamento finale le tre coppie sono equiprobabili, quindi il rapporto \(2/3\) è immediato.

Errori che fanno perdere il filo

Usare \(0.1^{10}\) come probabilità di negativizzarsi entro dieci giorni.
Sommare le probabilità dei giorni senza considerare che gli eventi non sono disgiunti.
Moltiplicare per \(q\) anche nell'ultimo rapporto dopo che il fattore comune si è già semplificato.

FonteT_220719.pdf

21/06 Prova scritta · 150 minutiAppello del 21/06/2022

2× Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Classificazione di quattro sistemi

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Tre filtri numerici su un ingresso a due righe

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Guasti di server condizionati ai climatizzatori

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 21/06/2022

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoClassificazione di quattro sistemi

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Stabilire linearità, invarianza, causalità, istantaneità e stabilità, trovando \(h\) per i sistemi LTI.

Prima immagine mentale

Ogni proprietà va verificata dalla definizione, senza dedurla dalle altre. Un cambiamento di scala temporale rompe l’invarianza; una non linearità senza dipendenza esplicita dal tempo può invece essere tempo-invariante. Nei due sistemi LTI discreti la causalità e la stabilità si leggono direttamente dal supporto e dalla sommabilità della risposta impulsiva.

La strada, prima di fare i conti

Per la linearità applicare il sistema a una combinazione \(ax_1+bx_2\).
Per l'invarianza confrontare \(T\{x(\cdot-t_0)\}\) con \(y(\cdot-t_0)\).
Per causalità e istantaneità confrontare l'indice di ingresso con quello d'uscita.
Per i sistemi LTI identificare \(h\) e applicare il criterio di sommabilità assoluta.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Criteri per sistemi LTI

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[\text{non dispersivo}\Longleftrightarrow h(\cdot)=K\delta(\cdot),\quad \text{causale}\Longleftrightarrow h[n]=0\ \text{per}\ n<0,\quad \text{stabile}\Longleftrightarrow\sum_n|h[n]|<\infty\]

Perché è quella giusta qui

Si applica ai sistemi terzo e quarto dopo averne ricavato la risposta impulsiva.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Convoluzione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

Consente di riconoscere il treno di impulsi come \(h_3[n]\) e di reindicizzare la coda geometrica per ottenere \(h_4[n]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Esponenziale monolatero discreto

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[a^n u[n]\longleftrightarrow\frac1{1-ae^{-j2\pi\nu}}\]

Perché è quella giusta qui

La coda anticausale è una versione riflessa e traslata della formula; la convergenza geometrica spiega la stabilità.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Tabella conclusiva

Sistema	Lineare	T. invariante	Causale	Istantaneo	Stabile
\(y(t)=x[2(t-1)]\)	sì	no	no	no	sì
\(y(t)=\cos(x(t+1))\)	no	sì	no	no	sì
\(y[n]=x[n]*\sum_k\delta[n-kN]\)	sì	sì	no	no	no
\(y[n]=\sum_{k=0}^{\infty}(1/2)^kx[n+k+2]\)	sì	sì	no	no	sì

1. Cambiamento affine dell’argomento

\[ y(t)=x(2t-2). \]

Il sistema è lineare e preserva il limite di ampiezza dell’ingresso. Non è tempo-invariante, perché

\[ T\{x(t-t_0)\}=x(2t-2-t_0) \]

non coincide in generale con

\[ y(t-t_0)=x(2t-2-2t_0). \]

Non è causale: per \(t>2\), l’argomento \(2t-2\) è maggiore di \(t\). Non è istantaneo perché l’argomento coincide con \(t\) soltanto in un istante.

2. Coseno di un campione futuro

La funzione coseno rende il sistema non lineare, ma l’assenza di dipendenza esplicita da \(t\) lo rende tempo-invariante:

\[ T\{x(t-t_0)\}=\cos(x(t+1-t_0))=y(t-t_0). \]

È non causale e non istantaneo perché usa \(x(t+1)\). È stabile per ogni ingresso, dato che \(|y(t)|\leq1\).

3. Periodizzatore

È una convoluzione LTI con

\[ \boxed{ h_3[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta[n-kN]. } \]

Il supporto si estende anche a indici negativi, quindi è non causale e non istantaneo. Inoltre

\[ \sum_n|h_3[n]|=+\infty; \]

un ingresso costante e limitato produce una somma divergente. Il sistema non è BIBO stabile sul dominio generale dei segnali limitati.

4. Coda geometrica anticausale

Portando la somma nella forma convolutiva, il termine \(x[n+k+2]\) corrisponde al ritardo \(r=-(k+2)\). Quindi

\[ \boxed{ h_4[r]=2^{r+2}u[-r-2]. } \]

È LTI, non causale e non istantaneo perché \(h_4[r]\) è sostenuta per \(r\leq-2\). Tuttavia

\[ \sum_r|h_4[r]| =\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac12\right)^k=2<+\infty, \]

perciò è BIBO stabile.

Risultato

\[ \begin{array}{c|ccccc} &L&TI&C&I&S\\ \hline 1&\checkmark&\times&\times&\times&\checkmark\\ 2&\times&\checkmark&\times&\times&\checkmark\\ 3&\checkmark&\checkmark&\times&\times&\times\\ 4&\checkmark&\checkmark&\times&\times&\checkmark \end{array} \] \[ \boxed{h_3[n]=\sum_k\delta[n-kN]},\qquad \boxed{h_4[n]=2^{n+2}u[-n-2]}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Il primo sistema applicato a un ingresso limitato resta limitato, anche se è non causale.
Il secondo sistema manda l'ingresso nullo in \(1\), confermando immediatamente la non linearità.
Il terzo ha norma \(\ell^1\) infinita; il quarto ha norma \(\ell^1\) pari a \(2\).
Per il quarto, \(h_4[-2]=1\) e \(h_4[-3]=1/2\), esattamente i primi due pesi della somma.

Errori che fanno perdere il filo

Concludere che un sistema non causale sia necessariamente instabile.
Chiamare tempo-variante il secondo sistema soltanto perché usa \(t+1\).
Scambiare il supporto anticausale di \(h_4[n]\) con una coda causale.

FonteT_220621.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoTre filtri numerici su un ingresso a due righe

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare \(H_i(\nu)\), descriverne il modulo in \([-1,1]\) e trovare le tre uscite.

Prima immagine mentale

L’ingresso apparentemente non lineare si semplifica subito: \(\cos^2(\pi n/2)=[1+(-1)^n]/2\), quindi contiene soltanto continua e Nyquist. Basta valutare ciascun filtro in \(\nu=0\) e \(\nu=1/2\). L’intera forma di \(H_i\) resta necessaria per il grafico, ma non per calcolare lunghe convoluzioni.

La strada, prima di fare i conti

Scrivere l'ingresso come somma della riga continua e della riga a \(\nu=1/2\).
Calcolare le tre DTFT usando impulsi traslati, sinc campionata e serie geometriche.
Descrivere zeri, massimi e periodicità dei moduli in \([-1,1]\).
Valutare \(H_i(0)\) e \(H_i(1/2)\) per ricostruire ogni uscita.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Impulso discreto traslato

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[\delta[n-n_0]\longleftrightarrow e^{-j2\pi\nu n_0}\]

Perché è quella giusta qui

Applicata ai tre impulsi di \(h_1[n]\), produce il quadrato \( (1-e^{-j4\pi\nu})^2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Sinc discreta

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[2\nu_c\operatorname{sinc}(2\nu_cn)\longleftrightarrow\operatorname{rep}_1\!\left[\Pi\!\left(\frac{\nu}{2\nu_c}\right)\right]\]

Perché è quella giusta qui

Con \(2\nu_c=1/8\) dà \(8\operatorname{rep}_1[\Pi(8\nu)]\); i due spostamenti generano il seno.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Esponenziale discreto

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[a^n u[n]\longleftrightarrow\frac1{1-ae^{-j2\pi\nu}}\]

Perché è quella giusta qui

Si usa con \(a=1/2\) per la parte causale e, dopo riflessione, per quella anticausale.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di armoniche

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[x[n]=A\cos(2\pi\nu_0n+\theta)\Rightarrow y[n]=A|H(\nu_0)|\cos(2\pi\nu_0n+\theta+\angle H(\nu_0))\]

Perché è quella giusta qui

Le sole frequenze da valutare sono la continua e \(\nu_0=1/2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

L’ingresso è

\[ x[n]=\cos^2\!\left(\frac{\pi n}{2}\right) =\frac12+\frac12(-1)^n. \]

Filtro 1

\[ \begin{aligned} H_1(\nu) &=1-2e^{-j4\pi\nu}+e^{-j8\pi\nu}\\ &=(1-e^{-j4\pi\nu})^2. \end{aligned} \]

Quindi

\[ \boxed{|H_1(\nu)|=4\sin^2(2\pi\nu)}. \]

Il modulo è periodico di \(1/2\), ha zeri per \(\nu=k/2\) e massimi \(4\) per \(\nu=1/4+k/2\). In particolare

\[ H_1(0)=H_1(1/2)=0, \qquad \boxed{y_1[n]=0}. \]

Filtro 2

La coppia sinc-rettangolo e i due ritardi danno

\[ \boxed{ H_2(\nu)= -16j\sin(2\pi\nu)\operatorname{rep}_1[\Pi(8\nu)]. } \]

Il modulo è

\[ |H_2(\nu)|= 16|\sin(2\pi\nu)| \]

soltanto negli intervalli \(|\nu-k|\leq1/16\), ed è zero altrove. In \([-1,1]\) compaiono tre strette bande centrate in \(-1,0,1\). La continua cade nello zero del seno e la riga a \(1/2\) è fuori banda:

\[ \boxed{y_2[n]=0}. \]

Filtro 3

Con \(u[0]=1\),

\[ h_3[n]=\left(\frac12\right)^nu[n]+2^nu[-n]. \]

Le due serie geometriche forniscono

\[ \begin{aligned} H_3(\nu) &=\frac1{1-\frac12e^{-j2\pi\nu}} +\frac1{1-\frac12e^{j2\pi\nu}}\\ &=\boxed{ \frac{2-\cos(2\pi\nu)} {\frac54-\cos(2\pi\nu)} }. \end{aligned} \]

È reale, positivo e periodico di periodo \(1\). Il modulo ha massimo \(4\) agli interi e minimo \(4/3\) ai seminteri:

\[ H_3(0)=4,\qquad H_3(1/2)=\frac43. \]

Filtrando le due componenti dell’ingresso,

\[ \boxed{ y_3[n]=\frac12(4)+\frac12\left(\frac43\right)(-1)^n =2+\frac23(-1)^n. } \]

Risultato

\[ H_1(\nu)=(1-e^{-j4\pi\nu})^2,\qquad \boxed{y_1[n]=0}, \] \[ H_2(\nu)=-16j\sin(2\pi\nu)\operatorname{rep}_1[\Pi(8\nu)], \qquad \boxed{y_2[n]=0}, \] \[ H_3(\nu)=\frac{2-\cos(2\pi\nu)}{5/4-\cos(2\pi\nu)}, \qquad \boxed{y_3[n]=2+\frac23(-1)^n}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

L'ingresso ha campioni \(1,0,1,0,\ldots\), come la forma \(1/2+(1/2)(-1)^n\).
Il primo filtro ha zeri esattamente sulle due righe dell'ingresso.
Il secondo filtro è nullo in continua nonostante la banda centrata in zero.
Per il terzo, \(H_3(0)=4\) coincide con \(\sum_nh_3[n]=2+2\), contando due volte \(n=0\) come nella traccia.

Errori che fanno perdere il filo

Convolvere campione per campione senza prima semplificare \(\cos^2(\pi n/2)\).
Dimenticare il fattore \(8\) nella DTFT di \(\operatorname{sinc}(n/8)\).
Contare una sola volta il campione \(n=0\) di \(h_3[n]\), modificando la risposta assegnata.

FonteT_220621.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoGuasti di server condizionati ai climatizzatori

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Trovare la legge dei guasti con due condizionatori fuori uso, la probabilità di zero guasti e una probabilità a posteriori.

Prima immagine mentale

Il numero di condizionatori fuori uso è binomiale con due prove. Condizionatamente a quel numero, anche i cinque server formano una legge binomiale, ma con parametro diverso. Il secondo punto richiede una miscela dei tre casi; il terzo è un’applicazione diretta di Bayes con l’evento “almeno un guasto”.

La strada, prima di fare i conti

Calcolare \(P(N=0)\), \(P(N=1)\), \(P(N=2)\).
Per \(N=2\), scrivere la legge binomiale completa di \(K\), numero di server guasti.
Applicare la probabilità totale a \(P(K=0)\).
Usare il complemento per \(K\geq1\) e Bayes per \(P(N=2\mid K\geq1)\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Legge binomiale

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[P(K=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\]

Perché è quella giusta qui

Si usa con \(n=2,p=0.25\) per i condizionatori e con \(n=5,p=p_N\) per i server.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità totale

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)\]

Perché è quella giusta qui

Con la partizione \(N=0,1,2\), combina le tre probabilità condizionate di zero guasti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Con \(A=\{N=2\}\) e \(B=\{K\geq1\}\) produce la probabilità a posteriori.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Il numero \(N\) di condizionatori fuori uso segue

\[ N\sim\operatorname{Binom}(2,0.25), \]

quindi

\[ P(N=0)=\frac9{16},\qquad P(N=1)=\frac6{16},\qquad P(N=2)=\frac1{16}. \]

1. Distribuzione con \(N=2\)

Quando entrambi i condizionatori sono fuori uso, ogni server si guasta con probabilità \(0.10\). Se \(K\) è il numero di guasti,

\[ \boxed{ P(K=k\mid N=2)=\binom5k(0.1)^k(0.9)^{5-k}, \quad k=0,\ldots,5. } \]

La pmf vale, in ordine \(k=0,\ldots,5\),

\[ 0.59049,\ 0.32805,\ 0.07290,\ 0.00810,\ 0.00045,\ 0.00001. \]

La funzione di distribuzione cumulativa nei medesimi punti è

\[ 0.59049,\ 0.91854,\ 0.99144,\ 0.99954,\ 0.99999,\ 1. \]

2. Nessun server guasto

Condizionando su \(N\),

\[ \begin{aligned} P(K=0) ={}&\frac9{16}(0.99)^5 +\frac6{16}(0.98)^5 +\frac1{16}(0.90)^5\\ =&\boxed{0.9108078269}. \end{aligned} \]

3. Entrambi i condizionatori fuori uso dato almeno un guasto

Il numeratore è

\[ P(N=2,K\geq1) =\frac1{16}[1-(0.9)^5]. \]

Il denominatore è

\[ P(K\geq1)=1-P(K=0)=0.0891921731. \]

Perciò

\[ \boxed{ P(N=2\mid K\geq1) =\frac{\frac1{16}[1-(0.9)^5]} {1-0.9108078269} \approx0.2869576343. } \]

L’osservazione di un guasto porta il prior \(P(N=2)=0.0625\) a circa \(0.287\), perché i guasti sono molto più probabili quando la climatizzazione è completamente assente.

Risultato

\[ P(K=k\mid N=2)=\binom5k0.1^k0.9^{5-k}, \] \[ \boxed{P(K=0)=0.9108078269}, \qquad \boxed{P(N=2\mid K\geq1)=0.2869576343}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Le probabilità di \(N\) sommano a \(9/16+6/16+1/16=1\).
La pmf condizionata di \(K\) somma a uno per il binomio di Newton.
\(P(K=0)\) è compresa tra \(0.9^5\) e \(0.99^5\), come deve essere per una miscela dei tre scenari.
La probabilità a posteriori \(0.28696\) supera il prior \(0.0625\), coerentemente con l'evidenza di un guasto.

Errori che fanno perdere il filo

Usare sempre \(p=0.10\), ignorando che il secondo punto miscela tre temperature.
Calcolare \(P(K\geq1)\) con \(1-0.9^5\) invece che come probabilità totale.
In Bayes dimenticare il prior \(P(N=2)=1/16\).

FonteT_220621.pdf

28/03 Prova scritta · 150 minutiAppello del 28/03/2022

Segnali e sistemi a tempo continuo · Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Serie di Fourier e progetto della frequenza di taglio RC

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Passa-banda discreto con ritardo

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Densità uniforme su un esagono obliquo

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 28/03/2022

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoSerie di Fourier e progetto della frequenza di taglio RC

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Ricostruire il segnale, calcolarne media, energia e potenza e dimensionare il filtro RC sul rapporto tra armoniche.

Prima immagine mentale

Le coppie di coefficienti coniugati si traducono direttamente in coseni di ampiezza doppia, modulo e fase letti dal coefficiente positivo. Parseval evita qualunque integrazione temporale. Nel progetto RC bisogna confrontare le ampiezze delle due armoniche dopo il filtro, includendo sia il diverso modulo dei coefficienti sia la diversa attenuazione alle frequenze \(f_0\) e \(5f_0\).

La strada, prima di fare i conti

Porre \(f_0=1/8\) e convertire \(X_1\) e \(X_5\) in modulo e fase.
Ricostruire le due coppie coniugate nella forma richiesta.
Usare \(X_0\) per la media e Parseval per la potenza.
Imporre il rapporto tra le ampiezze filtrate e risolvere per \(f_c\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Sintesi della serie di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_ke^{j2\pi kf_0t},\qquad X_{-k}=X_k^*\ \text{per}\ x(t)\ \text{reale}\]

Perché è quella giusta qui

Raggruppando le coppie coniugate si ottiene la forma in coseni richiesta dalla traccia.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Parseval per un periodico

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[\frac1{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|X_k|^2\]

Perché è quella giusta qui

Somma i quattro moduli quadrati e dà immediatamente \(P_x=6\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtro RC

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[H(f)=\frac1{1+j2\pi fRC},\qquad f_c=\frac1{2\pi RC}\]

Perché è quella giusta qui

Dal modulo della formula si ricava il rapporto tra attenuazioni a \(f_0\) e \(5f_0\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Il periodo fondamentale è \(T_0=8\), quindi

\[ f_0=\frac18. \]

I coefficienti positivi sono

\[ X_1=j=1\cdot e^{j\pi/2}, \qquad X_5=1+j=\sqrt2\,e^{j\pi/4}. \]

Per un segnale reale, ogni coppia \(X_k,X_{-k}=X_k^*\) produce

\[ 2|X_k|\cos(2\pi kf_0t+\angle X_k). \]

Non essendoci continua,

\[ \boxed{ x(t)=2\cos\!\left(\frac{\pi t}{4}+\frac{\pi}{2}\right) +2\sqrt2\cos\!\left(\frac{5\pi t}{4}+\frac{\pi}{4}\right). } \]

Equivalentemente, il primo termine è \(-2\sin(\pi t/4)\).

Media, energia e potenza

\[ \boxed{\overline{x}=X_0=0}. \]

Il segnale è periodico e non identicamente nullo, dunque

\[ \boxed{E_x=+\infty}. \]

Per Parseval,

\[ \begin{aligned} P_x &=|X_1|^2+|X_{-1}|^2+|X_5|^2+|X_{-5}|^2\\ &=1+1+2+2\\ &=\boxed{6}. \end{aligned} \]

Frequenza di taglio del filtro RC

Per un passa-basso RC,

\[ |H(f)|=\frac1{\sqrt{1+(f/f_c)^2}}, \qquad f_c=\frac1{2\pi RC}. \]

L’ampiezza d’uscita della fondamentale è \(2|H(f_0)|\); quella della quinta è \(2\sqrt2|H(5f_0)|\). La richiesta è

\[ 2\sqrt2|H(5f_0)| =\frac13\,2|H(f_0)|. \]

Quindi

\[ \frac{|H(5f_0)|^2}{|H(f_0)|^2}=\frac1{18}. \]

Ponendo

\[ a=\left(\frac{f_0}{f_c}\right)^2, \]

si ha

\[ \frac{1+a}{1+25a}=\frac1{18}. \]

Da \(18+18a=1+25a\) segue

\[ a=\frac{17}{7}, \]

e infine

\[ \boxed{ f_c=f_0\sqrt{\frac7{17}} =\frac18\sqrt{\frac7{17}}. } \]

Risultato

\[ \boxed{x(t)=2\cos(\pi t/4+\pi/2)+2\sqrt2\cos(5\pi t/4+\pi/4)}, \] \[ \boxed{\overline{x}=0,\qquad E_x=+\infty,\qquad P_x=6}, \] \[ \boxed{f_c=\frac18\sqrt{\frac7{17}}}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Le due ampiezze temporali sono \(2\) e \(2\sqrt2\), coerenti con \(2|X_k|\).
La potenza nel tempo sarebbe \(2^2/2+(2\sqrt2)^2/2=2+4=6\).
Il valore \(f_c<f_0\) produce una forte attenuazione crescente e rende plausibile il rapporto richiesto sulla quinta armonica.
Sostituendo \(a=17/7\), il rapporto quadratico diventa esattamente \(1/18\).

Errori che fanno perdere il filo

Dimenticare che la quinta armonica parte con ampiezza \(\sqrt2\) volte maggiore della fondamentale.
Usare energia finita per un segnale periodico non nullo.
Confondere \(f_c\) con \(RC\) o usare il rapporto dei moduli al quadrato senza elevare anche \(1/(3\sqrt2)\).

FonteT_220328.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoPassa-banda discreto con ritardo

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Rappresentare \(H(\nu)\), calcolare l’uscita per l’ingresso dato e determinarne media, energia e potenza.

Prima immagine mentale

Il primo addendo dell’ingresso è semplicemente una cosinusoide discreta a frequenza \(1/16\), collocata nella banda eliminata. Il secondo sembra una sinc, ma sui soli interi \(\operatorname{sinc}(8n)\) è un impulso: l’ingresso utile è quindi \(\delta[n]\). L’uscita coincide con la risposta impulsiva del passa-banda, ottenuta antitrasformando due finestre e applicando il ritardo di un campione.

La strada, prima di fare i conti

Leggere modulo e fase di \(H(\nu)\) nel periodo principale.
Semplificare separatamente i due addendi di \(x[n]\) e verificare quali parti passano.
Antitrasformare la finestra passa-banda senza fase e poi applicare il ritardo \(e^{-j2\pi\nu}\).
Usare Parseval e le proprietà dei segnali di energia per media e potenza.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Sinc sui campioni e impulso

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[\delta[n]\longleftrightarrow1\]

Perché è quella giusta qui

Poiché \(\operatorname{sinc}(8n)=\delta[n]\) sugli interi, il secondo addendo dell’ingresso ha spettro unitario.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Rettangolo e modulazione discreti

Formulario_tds.pdf, pp. 6–8

\[2\nu_c\operatorname{sinc}(2\nu_cn)\longleftrightarrow\operatorname{rep}_1[\Pi(\nu/(2\nu_c))],\qquad x[n]\cos(2\pi\nu_0n)\longleftrightarrow\frac12[X(\nu-\nu_0)+X(\nu+\nu_0)]\]

Perché è quella giusta qui

Con \(2\nu_c=1/4\) e \(\nu_0=1/4\) si ricavano le due bande e la sequenza \(b[n]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Traslazione temporale discreta

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x[n-n_0]\longleftrightarrow X(\nu)e^{-j2\pi\nu n_0}\]

Perché è quella giusta qui

Il fattore di fase del filtro corrisponde a \(n_0=1\), da cui \(h[n]=b[n-1]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Parseval discreto

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2=\int_{-1/2}^{1/2}|X(\nu)|^2d\nu\]

Perché è quella giusta qui

L’integrale di \(|H|^2\) è semplicemente la larghezza complessiva delle due bande.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Nel periodo principale,

\[ |H(\nu)|= \begin{cases} 1,&1/8<|\nu|<3/8,\\ 0,&|\nu|<1/8\ \text{o}\ 3/8<|\nu|<1/2. \end{cases} \]

Nelle bande passanti,

\[ \angle H(\nu)=-2\pi\nu, \]

mentre la fase non è significativa dove il modulo è zero. La risposta è periodica di periodo \(1\).

Semplificazione dell’ingresso

Il primo termine è

\[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \cos\!\left(\frac{\pi k}{8}\right)\delta[n-k] =\cos\!\left(\frac{\pi n}{8}\right), \]

che ha righe in \(\nu=\pm1/16\). Poiché \(1/16<1/8\), viene annullato.

Per il secondo termine, con la sinc normalizzata,

\[ \operatorname{sinc}(8n)= \begin{cases} 1,&n=0,\\ 0,&n\neq0, \end{cases} \]

e dunque

\[ \operatorname{sinc}^2(8n)\cos(\pi n/2)=\delta[n]. \]

L’ingresso utile è un impulso: l’uscita coincide con \(h[n]\).

Antitrasformata del passa-banda

Togliamo momentaneamente la fase lineare e indichiamo con \(B(\nu)\) le due bande \([1/8,3/8]\) e \([-3/8,-1/8]\). Ciascuna ha larghezza \(1/4\) e centro \(\pm1/4\). La coppia di rettangoli ha antitrasformata

\[ b[n]=\frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac n4\right) \cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right). \]

Il fattore \(e^{-j2\pi\nu}\) ritarda di un campione:

\[ \boxed{ y[n]=h[n]=b[n-1] =\frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac{n-1}{4}\right) \cos\!\left(\frac{\pi(n-1)}{2}\right). } \]

Media, energia e potenza

Il segnale è di energia, quindi la sua media temporale e la sua potenza sono nulle. Con Parseval,

\[ \begin{aligned} E_y &=\int_{-1/2}^{1/2}|H(\nu)|^2d\nu\\ &=2\left(\frac38-\frac18\right) =\frac12. \end{aligned} \]

Pertanto

\[ \boxed{\overline{y}=0,\qquad E_y=\frac12,\qquad P_y=0}. \]

Risultato

\[ \boxed{ y[n]=\frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac{n-1}{4}\right) \cos\!\left(\frac{\pi(n-1)}{2}\right) }, \] \[ \boxed{\overline{y}=0,\qquad E_y=\frac12,\qquad P_y=0}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Le righe a \(\pm1/16\) sono entrambe nella banda soppressa.
\(\operatorname{sinc}(8n)=\delta[n]\) vale sui campioni interi con la sinc normalizzata del corso.
Il ritardo non modifica \(|H(\nu)|\) né l'energia.
L'area totale delle due bande è \(2(1/4)=1/2\), uguale a \(E_y\).

Errori che fanno perdere il filo

Trattare la somma di impulsi pesati come un treno invece di riconoscere la sequenza \(\cos(\pi n/8)\).
Considerare \(\operatorname{sinc}(8n)\) come una sequenza a coda non nulla.
Dimenticare il ritardo di un campione imposto dalla fase \(e^{-j2\pi\nu}\).

FonteT_220328.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoDensità uniforme su un esagono obliquo

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Normalizzare la densità congiunta, trovare e disegnare \(f_Y(y)\) e calcolare due probabilità geometriche.

Prima immagine mentale

Dal disegno si legge un quadrato \([-4,4]^2\) tagliato dalle rette \(x+y=\pm3\). La densità è uniforme, quindi la costante è l’inverso dell’area e la marginale è proporzionale alla lunghezza delle sezioni orizzontali. Le probabilità richieste diventano integrali di quelle lunghezze oppure rapporti diretti tra aree.

La strada, prima di fare i conti

Tradurre i sei vertici del disegno nel dominio \([-4,4]^2\cap\{|x+y|\leq3\}\).
Sottrarre dal quadrato i due triangoli esclusi per trovare \(c\).
Calcolare la lunghezza della sezione in \(x\) nei tre intervalli di \(y\).
Integrare \(f_Y\) su \([-2,2]\) e calcolare l'area con \(x\leq0,y\geq0\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Normalizzazione congiunta

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dxdy=1\]

Perché è quella giusta qui

Con densità uniforme diventa \(c\,\operatorname{area}(D)=1\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Densità marginale

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dx\]

Perché è quella giusta qui

Poiché \(f_{XY}=c\) su \(D\), l’integrale è \(c\) moltiplicato per la lunghezza \(L(y)\) della sezione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità su un dominio

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[P\bigl((X,Y)\in A\bigr)=\iint_A f_{XY}(\alpha,\beta)\,d\alpha\,d\beta\]

Perché è quella giusta qui

La stessa integrazione su sotto-domini calcola \(P(|Y|\leq2)\) e le aree del rapporto condizionato.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Con \(A=\{X\leq0\}\) e \(B=\{Y\geq0\}\), il fattore uniforme \(c\) si semplifica.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Dal grafico i vertici sono

\[ (-4,1),\ (-4,4),\ (-1,4),\ (4,-1),\ (4,-4),\ (1,-4). \]

Equivalentemente,

\[ D=\{(x,y):-4\leq x\leq4,\ -4\leq y\leq4,\ |x+y|\leq3\}. \]

Il quadrato ha area \(64\). Le due regioni escluse sono triangoli rettangoli con cateti lunghi \(5\), ciascuno di area \(25/2\). Quindi

\[ \operatorname{area}(D)=64-2\frac{25}{2}=39, \qquad \boxed{c=\frac1{39}}. \]

Marginale di \(Y\)

Fissato \(y\), il vincolo obliquo dà

\[ -3-y\leq x\leq3-y, \]

da intersecare con \([-4,4]\). La lunghezza della sezione è

\[ L(y)= \begin{cases} y+7,&-4\leq y\leq-1,\\ 6,&-1\leq y\leq1,\\ 7-y,&1\leq y\leq4,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Perciò

\[ \boxed{ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{y+7}{39},&-4\leq y\leq-1,\\[2mm] \dfrac{2}{13},&-1\leq y\leq1,\\[2mm] \dfrac{7-y}{39},&1\leq y\leq4,\\[2mm] 0,&\text{altrove}. \end{cases}} \]

Il grafico è pari: cresce linearmente da \(1/13\) a \(2/13\), resta piatto tra \(-1\) e \(1\), poi decresce simmetricamente.

Probabilità \(|Y|\leq2\)

Per simmetria,

\[ \begin{aligned} P(|Y|\leq2) &=2\left[ \int_0^1\frac{6}{39}dy+ \int_1^2\frac{7-y}{39}dy \right]\\ &=\boxed{\frac{23}{39}}. \end{aligned} \]

Probabilità condizionata

Per simmetria rispetto all’origine,

\[ P(Y\geq0)=\frac12, \]

e l’area della metà superiore è \(39/2\). Nella regione \(x\leq0,y\geq0\), le lunghezze orizzontali sono

\[ 3+y\quad(0\leq y\leq1),\qquad 4\quad(1\leq y\leq3),\qquad 7-y\quad(3\leq y\leq4). \]

La relativa area vale

\[ \int_0^1(3+y)dy+\int_1^3 4\,dy+\int_3^4(7-y)dy=15. \]

Il fattore \(c\) si semplifica nel rapporto:

\[ \boxed{ P(X\leq0\mid Y\geq0) =\frac{15}{39/2} =\frac{10}{13}. } \]

Risultato

\[ \boxed{D=[-4,4]^2\cap\{|x+y|\leq3\},\qquad c=\frac1{39}}, \] \[ f_Y(y)= \begin{cases} (y+7)/39,&-4\leq y\leq-1,\\ 2/13,&-1\leq y\leq1,\\ (7-y)/39,&1\leq y\leq4,\\ 0,&\text{altrove}, \end{cases} \] \[ \boxed{P(|Y|\leq2)=\frac{23}{39},\qquad P(X\leq0\mid Y\geq0)=\frac{10}{13}}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(\int_{-4}^{4}f_Y(y)dy=1\), perché integra la lunghezza delle sezioni fino all'area \(39\).
La densità è pari, come imposto dalla simmetria centrale del dominio.
\(23/39\) è maggiore di \(1/2\), coerente con l'ampia fascia centrale \(|Y|\leq2\).
\(10/13>1/2\): nella metà superiore il vincolo \(x+y\leq3\) favorisce i valori \(x\leq0\).

Errori che fanno perdere il filo

Leggere il dominio come un rettangolo o come un parallelogramma, ignorando i sei vertici del disegno.
Assumere che \(f_Y(\pm4)=0\): le sezioni orizzontali agli estremi hanno lunghezza \(3\), anche se il valore puntuale non influenza probabilità integrali.
Dividere l'area \(15\) per \(39\) anziché per l'area condizionante \(39/2\).

FonteT_220328.pdf

22/02 Prova scritta · 150 minutiAppello del 22/02/2022

Segnali e sistemi a tempo discreto · Segnali e sistemi a tempo continuo · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Sistema discreto con coda geometrica

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Filtro adattato, modulazione e selezione spettrale

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Miscela di stipendi triangolari

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 22/02/2022

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoSistema discreto con coda geometrica

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Ricavare \(h[n]\), \(H(\nu)\) e le uscite per un ingresso periodico e per un gradino traslato.

Prima immagine mentale

La somma assegnata è già una convoluzione: ogni termine usa una copia ritardata dell’ingresso e il peso del ritardo è geometrico. Per il segnale \(\sin^2(\pi n/8)\) conviene poi usare l’identità trigonometrica, perché un sistema LTI tratta separatamente la componente continua e la singola armonica. Per il gradino, invece, la somma geometrica troncata è più diretta della DTFT.

La strada, prima di fare i conti

Confrontare la relazione ingresso-uscita con la convoluzione discreta e leggere \(h[n]\).
Calcolare la DTFT della coda geometrica e separarne modulo e fase.
Scrivere \(\sin^2(\pi n/8)\) come somma di continua e coseno.
Applicare la risposta armonica alle due righe spettrali.
Per \(u[n-1]\), individuare gli indici attivi e sommare la progressione finita.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

Permette di riconoscere direttamente i coefficienti della somma come campioni di \(h[n]\); la diversa posizione dell’indice si adatta usando la commutatività.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Serie geometrica

Non tabulata nel formulario ufficiale

\[\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^n=\frac{1}{1-\alpha},\qquad |\alpha|<1\]

Perché è quella giusta qui

La somma geometrica non è riportata come formula autonoma: deriva dalla coda esponenziale discreta ammessa a pagina 8 e si applica con \(\alpha=\frac12e^{-j2\pi\nu}\) per \(H(\nu)\) e con \(\alpha=1/2\) per il gradino.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di una sinusoide

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[x(t)=\cos(2\pi f_0t)\Longrightarrow y(t)=|H(f_0)|\cos\!\left(2\pi f_0t+\angle H(f_0)\right)\]

Perché è quella giusta qui

È la formula ufficiale di filtraggio dei periodici; nel discreto si adatta sostituendo \(f_0\) con \(\nu_0\), dopo aver separato continua e armonica.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Risposta impulsiva e risposta armonica

La convoluzione discreta di un ingresso con la risposta impulsiva è

\[ y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]\,x[n-k]. \]

Il confronto con la traccia fornisce immediatamente

\[ h[k]= \begin{cases} 2^{-k},&k\geq 3,\\ 0,&k<3, \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad h[n]=2^{-n}u[n-3]. \]

Il grafico è quindi una sequenza causale che inizia in \(n=3\) con valore \(1/8\) e si dimezza a ogni campione. La DTFT è una serie geometrica:

\[ \begin{aligned} H(\nu) &=\sum_{k=3}^{+\infty}2^{-k}e^{-j2\pi\nu k}\\ &=\frac{2^{-3}e^{-j6\pi\nu}} {1-\frac12e^{-j2\pi\nu}}. \end{aligned} \]

Ponendo \(\theta=2\pi\nu\), il modulo diventa

\[ |H(\nu)| =\frac{1/8}{\sqrt{1+\frac14-\cos\theta}} =\frac{1}{4\sqrt{5-4\cos(2\pi\nu)}}. \]

È periodico di periodo \(1\), è massimo in continua, \(|H(0)|=1/4\), e minimo a \(\nu=1/2\), dove vale \(1/12\). La fase, utile nel punto successivo, è

\[ \angle H(\nu) =-6\pi\nu-\operatorname{atan2} \!\left(\frac12\sin(2\pi\nu), 1-\frac12\cos(2\pi\nu)\right). \]

2. Ingresso periodico

L’identità

\[ \sin^2\!\left(\frac{\pi n}{8}\right) =\frac12-\frac12\cos\!\left(\frac{\pi n}{4}\right) \]

mostra una componente continua e una cosinusoide di frequenza normalizzata \(\nu_0=1/8\). La continua viene moltiplicata per

\[ H(0)=\sum_{k=3}^{+\infty}2^{-k}=\frac14. \]

Inoltre

\[ |H(1/8)|=\frac{1}{4\sqrt{5-2\sqrt2}}, \]

e, indicando con

\[ \phi= -\frac{3\pi}{4} -\arctan\!\left(\frac{\sqrt2}{4-\sqrt2}\right), \]

la fase in \(\nu_0=1/8\), si ottiene

\[ y[n] =\frac18 -\frac{1}{8\sqrt{5-2\sqrt2}} \cos\!\left(\frac{\pi n}{4}+\phi\right). \]

Il segno meno è stato lasciato davanti al coseno per mantenere evidente l’origine del termine; sarebbe equivalente aggiungere \(\pi\) alla fase.

3. Ingresso a gradino

Con \(x[n]=u[n-1]\), il fattore \(u[n-k-1]\) è unitario soltanto quando \(k\leq n-1\). Poiché la risposta impulsiva parte da \(k=3\), l’uscita è nulla per \(n<4\). Per \(n\geq4\),

\[ \begin{aligned} y[n] &=\sum_{k=3}^{n-1}2^{-k}\\ &=\frac{1}{8}\, \frac{1-(1/2)^{n-3}}{1-1/2}\\ &=\frac14-2^{1-n}. \end{aligned} \]

La forma compatta è dunque

\[ y[n]=\left(\frac14-2^{1-n}\right)u[n-4]. \]

Il valore iniziale è \(y[4]=1/8\); al crescere di \(n\) l’uscita tende al guadagno statico \(H(0)=1/4\), come deve accadere per un gradino unitario.

Risultato

\[ h[n]=2^{-n}u[n-3],\qquad H(\nu)=\frac{2^{-3}e^{-j6\pi\nu}} {1-\frac12e^{-j2\pi\nu}}, \] \[ y_{\sin^2}[n]=\frac18- \frac{\cos(\pi n/4+\phi)}{8\sqrt{5-2\sqrt2}}, \qquad y_u[n]=\left(\frac14-2^{1-n}\right)u[n-4]. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(h[3]=1/8\) e \(h[n+1]=h[n]/2\), coerentemente con la somma assegnata.
\(|H(0)|=1/4\) coincide con \(\sum_n h[n]\).
Il segnale periodico in uscita ha soltanto continua e frequenza \(\nu_0=1/8\).
Per il gradino, \(y[4]=1/8\) e \(\lim_{n\to\infty}y[n]=1/4\).

Errori che fanno perdere il filo

Iniziare la risposta impulsiva in \(n=0\) invece che in \(n=3\).
Dimenticare il ritardo \(e^{-j6\pi\nu}\) nella DTFT.
Trattare \(\sin^2(\pi n/8)\) come una sola sinusoide.

FonteT_220222.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoFiltro adattato, modulazione e selezione spettrale

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Determinare spettri ed energie di \(x(t)\), \(w(t)\), \(z(t)\) e \(y(t)\) nei casi \(f_0=B/2\) e \(f_0=B\).

Prima immagine mentale

Il filtro adattato trasforma la radice della triangolare nella triangolare stessa: in frequenza moltiplica \(X(f)\) per la sua copia coniugata. La moltiplicazione per \(\cos^2(2\pi f_0t)\) crea poi tre copie, una centrale e due traslate di \(2f_0\). Le energie si leggono come aree dei moduli al quadrato; la sola difficoltà è contabilizzare correttamente le sovrapposizioni tra triangoli.

La strada, prima di fare i conti

Usare il filtro adattato per ottenere \(W(f)=|X(f)|^2\).
Espandere \(\cos^2(2\pi f_0t)\) e traslare \(W(f)\).
Normalizzare la frequenza con \(s=f/B\) per rendere elementari le aree.
Separare i casi \(2f_0=B\) e \(2f_0=2B\).
Applicare il passa-basso \(H_2(f)\) e usare Parseval per le energie.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione e prodotto

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)*h(t)\longleftrightarrow X(f)H(f),\qquad x(t)h(t)\longleftrightarrow X(f)*H(f)\]

Perché è quella giusta qui

Il primo legame descrive il filtro adattato; il secondo giustifica le repliche generate dal moltiplicatore.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)\cos(2\pi f_0t+\theta)\longleftrightarrow \frac12X(f-f_0)e^{j\theta}+\frac12X(f+f_0)e^{-j\theta}\]

Perché è quella giusta qui

Dopo aver scritto \(\cos^2\) come continua più coseno a frequenza \(2f_0\), produce le copie centrate in \(\pm2f_0\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Parseval

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2df\]

Perché è quella giusta qui

Converte tutte le energie richieste in integrali di triangoli lineari a tratti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Si assume la fase coerente con il filtro adattato reale indicato in traccia; in forma generale il filtro adattato produce comunque \(W(f)=X(f)X^*(f)=|X(f)|^2\).

Uscita del filtro adattato

Dalla traccia,

\[ |X(f)|=\sqrt{\Lambda(f/B)}. \]

Quindi

\[ |W(f)|=|X(f)|^2=\Lambda(f/B). \]

Per Parseval,

\[ E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2\,df =B\int_{-1}^{1}\Lambda(s)\,ds=B, \]

dove \(s=f/B\). Analogamente,

\[ E_w =B\int_{-1}^{1}\Lambda^2(s)\,ds =B\cdot\frac23 =\frac{2B}{3}. \]

Effetto del moltiplicatore

Poiché

\[ \cos^2(2\pi f_0t) =\frac12+\frac14e^{j4\pi f_0t} +\frac14e^{-j4\pi f_0t}, \]

lo spettro dopo il moltiplicatore è

\[ Z(f)=\frac12W(f) +\frac14W(f-2f_0) +\frac14W(f+2f_0). \]

Il secondo filtro è

\[ H_2(f)=\Pi\!\left(\frac{f}{2B}\right), \]

quindi conserva soltanto \(|f|\leq B\):

\[ Y(f)=Z(f)\Pi\!\left(\frac{f}{2B}\right). \]

Caso \(f_0=B/2\)

Le copie sono centrate in \(0\) e \(\pm B\). In frequenza normalizzata, la somma è pari e vale

\[ Z(Bs)= \begin{cases} \dfrac12-\dfrac{|s|}{4},&|s|\leq1,\\[2mm] \dfrac{2-|s|}{4},&1<|s|\leq2,\\ 0,&|s|>2. \end{cases} \]

Il passa-basso mantiene la prima riga della funzione a tratti. Le energie sono

\[ \begin{aligned} E_z &=2B\left[ \int_0^1\left(\frac12-\frac{s}{4}\right)^2ds +\int_1^2\left(\frac{2-s}{4}\right)^2ds \right]\\ &=2B\left(\frac{7}{48}+\frac{1}{48}\right) =\frac{B}{3}, \end{aligned} \]

\[ E_y =2B\int_0^1\left(\frac12-\frac{s}{4}\right)^2ds =\frac{7B}{24}. \]

Caso \(f_0=B\)

Le copie laterali sono centrate in \(\pm2B\); i loro supporti toccano quello centrale soltanto in punti dove la triangolare è nulla. Pertanto

\[ Z(f)=\frac12\Lambda(f/B) +\frac14\Lambda((f-2B)/B) +\frac14\Lambda((f+2B)/B). \]

Non essendoci sovrapposizione di area positiva,

\[ \begin{aligned} E_z &=\left[\left(\frac12\right)^2 +2\left(\frac14\right)^2\right] \int_{-\infty}^{+\infty}\Lambda^2(f/B)\,df\\ &=\frac38\cdot\frac{2B}{3} =\frac{B}{4}. \end{aligned} \]

Il filtro conserva soltanto la copia centrale:

\[ Y(f)=\frac12\Lambda(f/B), \qquad E_y=\frac14\cdot\frac{2B}{3}=\frac{B}{6}. \]

In entrambi i casi \(E_x\) ed \(E_w\) non dipendono da \(f_0\), perché sono calcolate prima del moltiplicatore.

Risultato

\[ (E_x,E_w)=\left(B,\frac{2B}{3}\right). \] \[ f_0=\frac{B}{2}:\quad (E_z,E_y)=\left(\frac{B}{3},\frac{7B}{24}\right). \] \[ f_0=B:\quad (E_z,E_y)=\left(\frac{B}{4},\frac{B}{6}\right). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(\int_{-1}^{1}\Lambda(s)\,ds=1\) restituisce \(E_x=B\).
\(\int_{-1}^{1}\Lambda^2(s)\,ds=2/3\) restituisce \(E_w=2B/3\).
Il filtro non può aumentare l'energia: in entrambi i casi \(E_y\leq E_z\).
Per \(f_0=B\) le copie laterali sono interamente eliminate da \(H_2(f)\).

Errori che fanno perdere il filo

Traslare le copie di \(f_0\) invece che di \(2f_0\): la modulante è \(\cos^2(2\pi f_0t)\).
Sommare le energie delle copie anche quando esse si sovrappongono.
Calcolare l'energia integrando lo spettro invece del suo modulo quadrato.

FonteT_220222.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoMiscela di stipendi triangolari

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Costruire \(f_X(x)\), verificare la normalizzazione e calcolare probabilità, medie e varianze condizionate e totali.

Prima immagine mentale

Il titolo di studio è una variabile discreta nascosta. La densità osservata è quindi una miscela pesata delle due densità condizionate. Le due triangolari hanno la stessa forma e sono centrate in \(3\) e \(5\): questo rende immediate le medie e le varianze condizionate, mentre Bayes si applica usando le aree delle porzioni di triangolo.

La strada, prima di fare i conti

Applicare la probabilità totale alle densità condizionate.
Scrivere la pdf per intervalli e controllarne area e non negatività.
Calcolare le probabilità richieste come aree triangolari.
Usare Bayes per \(P(D\mid X>3)\).
Applicare media e varianza totali alla miscela.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Densità totale condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[f_X(x)=\sum_i f_X(x\mid A_i)P(A_i)\]

Perché è quella giusta qui

Gli eventi \(D\) e \(L\) formano la partizione che genera la miscela degli stipendi.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata e Bayes

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Si usa con \(A=D\) e \(B=\{X>3\}\), dopo aver calcolato il denominatore per probabilità totale.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Media e varianza

Formulario_prob.pdf, p. 3

\[\mu_X=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)\,dx,\qquad \sigma_X^2=E[X^2]-\mu_X^2\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce i momenti della triangolare; la decomposizione della varianza totale è derivata espandendo queste definizioni sulla partizione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Le densità condizionate sono

\[ f_{X\mid D}(x)=\Lambda(x-3),\qquad f_{X\mid L}(x)=\Lambda(x-5), \]

con \(P(D)=3/4\) e \(P(L)=1/4\). Per probabilità totale,

\[ f_X(x)=\frac34\Lambda(x-3)+\frac14\Lambda(x-5). \]

Esplicitamente,

\[ f_X(x)= \begin{cases} \dfrac34(x-2),&2\leq x\leq3,\\ \dfrac34(4-x),&3<x\leq4,\\ \dfrac14(x-4),&4<x\leq5,\\ \dfrac14(6-x),&5<x\leq6,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Ogni \(\Lambda\) ha area unitaria, quindi

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,dx =\frac34+\frac14=1. \]

1. Titolo di studio sapendo che \(X>3\)

Per simmetria della triangolare dei diplomati,

\[ P(X>3\mid D)=\frac12. \]

La densità dei laureati è sostenuta in \([4,6]\), perciò \(P(X>3\mid L)=1\). Il denominatore di Bayes è

\[ P(X>3)=\frac34\cdot\frac12+\frac14\cdot1=\frac58. \]

Quindi

\[ P(D\mid X>3) =\frac{(1/2)(3/4)}{5/8} =\frac35. \]

2. Intervallo \(2.5<X<4.5\)

Nella triangolare centrata in \(3\), l’area da \(2.5\) a \(3\) è

\[ \int_{2.5}^{3}(x-2)\,dx=\frac38, \]

e l’intera metà destra ha area \(1/2\). Dunque

\[ P(2.5<X<4.5\mid D)=\frac78. \]

Per i laureati contribuisce soltanto il tratto da \(4\) a \(4.5\):

\[ P(2.5<X<4.5\mid L) =\int_4^{4.5}(x-4)\,dx =\frac18. \]

Pertanto

\[ P(2.5<X<4.5) =\frac34\frac78+\frac14\frac18 =\frac{11}{16}. \]

3. Valori attesi

Una triangolare simmetrica \(\Lambda(x-a)\) ha media \(a\). Quindi

\[ E[X\mid D]=3,\qquad E[X\mid L]=5, \]

\[ E[X]=\frac34\cdot3+\frac14\cdot5=\frac72. \]

4. Varianze

Per \(U\) con pdf \(\Lambda(u)\),

\[ \operatorname{Var}(U) =2\int_0^1u^2(1-u)\,du =\frac16. \]

La traslazione non cambia la varianza, quindi

\[ \operatorname{Var}(X\mid D) =\operatorname{Var}(X\mid L) =\frac16. \]

La varianza totale separa la dispersione interna ai gruppi da quella fra le loro medie:

\[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=E[\operatorname{Var}(X\mid T)] +\operatorname{Var}(E[X\mid T])\\ &=\frac16 +\frac34\left(3-\frac72\right)^2 +\frac14\left(5-\frac72\right)^2\\ &=\frac16+\frac34 =\frac{11}{12}. \end{aligned} \]

Risultato

\[ f_X(x)=\frac34\Lambda(x-3)+\frac14\Lambda(x-5), \quad P(D\mid X>3)=\frac35, \quad P(2.5<X<4.5)=\frac{11}{16}, \] \[ E[X\mid D]=3,\qquad E[X]=\frac72,\qquad \operatorname{Var}(X\mid D)=\frac16,\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{11}{12}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La pdf è non negativa e ha area \((3/4)+(1/4)=1\).
La media \(7/2\) è compresa fra le due medie condizionate \(3\) e \(5\).
La varianza totale \(11/12\) supera la varianza interna \(1/6\), perché include la distanza fra i gruppi.
Le probabilità \(3/5\) e \(11/16\) appartengono a \([0,1]\).

Errori che fanno perdere il filo

Sommare le densità senza i pesi \(3/4\) e \(1/4\).
Usare \(P(D\mid X>3)=P(X>3\mid D)\) senza Bayes.
Mediare soltanto le varianze condizionate, dimenticando la variabilità fra le medie.

FonteT_220222.pdf

25/01 Prova scritta · 150 minutiAppello del 25/01/2022

Segnali e sistemi a tempo discreto · Segnali e sistemi a tempo continuo · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Classificazione energetica di quattro segnali

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Gradino di una sinusoide e progetto armonico

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Continuità elettrica come evento composto

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 25/01/2022

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoClassificazione energetica di quattro segnali

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Rappresentare i quattro segnali e calcolarne media, energia e potenza con la corretta distinzione fra durata finita e periodicità.

Prima immagine mentale

Prima di integrare o sommare conviene classificare il supporto. I primi tre segnali hanno durata finita e quindi, se non nulli, sono segnali di energia con media e potenza nulle. Il quarto è una somma finita di armoniche discrete: è periodico, ha energia infinita e la sua potenza si ottiene senza sviluppare il modulo quadrato campione per campione, usando l’ortogonalità delle armoniche.

La strada, prima di fare i conti

Semplificare graficamente la somma delle tre triangolari.
Usare Parseval per l'energia di \(\operatorname{sinc}^2(2t)\).
Elencare i quattro campioni non nulli della combinazione di gradini.
Individuare il periodo comune delle armoniche discrete.
Calcolare media e potenza del periodico dai coefficienti della serie.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Energia e potenza

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt,\qquad P_x=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt\]

Perché è quella giusta qui

La prima relazione si applica ai segnali a durata finita; la seconda al segnale periodico.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Trasformata della sinc al quadrato

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[A\operatorname{sinc}^2(2Bt)\longleftrightarrow\frac{A}{2B}\Lambda\!\left(\frac{f}{2B}\right)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(A=1\) e \(2B=2\) produce lo spettro usato nel calcolo energetico.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Parseval per la serie

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[\frac{1}{N_0}\sum_{n=0}^{N_0-1}|x[n]|^2=\sum_{k=0}^{N_0-1}|X_k|^2\]

Perché è quella giusta qui

Evita di espandere il modulo quadrato della somma di nove armoniche.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Somma di tre triangolari

La funzione

\[ x(t)=\Lambda(t+1)+\Lambda(t)+\Lambda(t-1) \]

si semplifica osservando le sovrapposizioni:

\[ x(t)= \begin{cases} t+2,&-2\leq t<-1,\\ 1,&-1\leq t\leq1,\\ 2-t,&1<t\leq2,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

È un trapezio di altezza unitaria, con base \([-2,2]\). Essendo a durata finita, la media temporale e la potenza sono nulle. L’energia è

\[ E_x =2\int_0^1u^2\,du+\int_{-1}^{1}1\,dt =\frac23+2 =\frac83. \]

2. Quadrato della sinc

Il segnale

\[ x(t)=\operatorname{sinc}^2(2t) \]

è a durata infinita ma decade abbastanza rapidamente da avere energia finita. Dal formulario,

\[ \operatorname{sinc}^2(2t) \longleftrightarrow \frac12\Lambda(f/2). \]

Parseval dà

\[ \begin{aligned} E_x &=\int_{-\infty}^{+\infty} \left|\frac12\Lambda(f/2)\right|^2df\\ &=\frac14\cdot2\int_{-1}^{1}\Lambda^2(u)\,du =\frac14\cdot2\cdot\frac23 =\frac13. \end{aligned} \]

Anche qui \(\langle x\rangle=0\) e \(P_x=0\): l’integrale del segnale su finestre crescenti resta sublineare rispetto alla lunghezza della finestra.

3. Combinazione di gradini discreti

Per

\[ x[n]=u[n+2]-2u[n]+u[n-2] \]

si ottiene

\[ x[-2]=x[-1]=1,\qquad x[0]=x[1]=-1, \]

e tutti gli altri campioni sono nulli. Dunque

\[ E_x=1+1+1+1=4,\qquad \langle x\rangle=0,\qquad P_x=0. \]

4. Somma di armoniche discrete

Il segnale

\[ x[n]=\sum_{k=-4}^{4}2^{-k}e^{-jkn\pi/8} \]

si porta nella convenzione di sintesi del formulario ponendo \(m=-k\):

\[ x[n]=\sum_{m=-4}^{4}2^m e^{j2\pi mn/16}, \qquad X_m=2^m. \]

Ha periodo fondamentale \(N_0=16\), perché è presente anche l’armonica \(m=1\). La media è il coefficiente continuo:

\[ \langle x\rangle=X_0=1. \]

Per Parseval della serie discreta,

\[ \begin{aligned} P_x &=\sum_{m=-4}^{4}|X_m|^2 =\sum_{m=-4}^{4}4^m\\ &=\frac{87381}{256} \approx341.33203125. \end{aligned} \]

Il valore elevato è plausibile: il coefficiente più grande è \(X_4=16\), che da solo contribuisce \(256\) alla potenza. Poiché il segnale periodico non è nullo, \(E_x=+\infty\).

Risultato

\[ \begin{array}{c|c|c|c} \text{segnale}&\langle x\rangle&E_x&P_x\\ \hline \sum\Lambda&0&8/3&0\\ \operatorname{sinc}^2(2t)&0&1/3&0\\ u[n+2]-2u[n]+u[n-2]&0&4&0\\ \sum_{k=-4}^{4}2^{-k}e^{-jkn\pi/8} &1&+\infty&87381/256 \end{array} \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Il trapezio ha energia \(2+2/3=8/3\).
L'energia \(1/3\) della sinc al quadrato coincide con l'integrale noto \(\int\operatorname{sinc}^4(2t)\,dt\).
La sequenza a durata finita ha esattamente quattro campioni di modulo unitario.
Per il periodico, \(P_x\geq|X_4|^2=256\), coerente con il risultato.

Errori che fanno perdere il filo

Sommarne le energie delle triangolari senza includere i termini di sovrapposizione.
Confondere \(\operatorname{sinc}^2(2t)\) con una sinc semplice nella trasformata.
Dichiarare di energia la somma di armoniche perché contiene un numero finito di termini spettrali.

FonteT_220125.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoGradino di una sinusoide e progetto armonico

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Descrivere \(y(t)=u[\sin(2\pi t)+1/2]\), ricavarne la serie, progettare un filtro che generi \(z(t)\) e calcolare \(R_z(\tau)\).

Prima immagine mentale

Il gradino trasforma la sinusoide in un’onda binaria: basta trovare l’intervallo del periodo nel quale la sinusoide scende sotto la soglia. Lo spettro è quindi quello di una costante meno un impulso rettangolare periodicizzato. Per progettare il filtro non serve definirlo univocamente a tutte le frequenze: è sufficiente assegnarne i valori sulle righe armoniche effettivamente presenti.

La strada, prima di fare i conti

Risolvere \(\sin(2\pi t)<-1/2\) su un periodo.
Calcolare i coefficienti come quelli di una costante meno una finestra.
Determinare i coefficienti desiderati di \(z(t)\) alle frequenze \(0\) e \(\pm2\).
Imporre \(H(k)=Z_k/Y_k\) sulle sole righe utili e annullare le altre.
Usare i moduli quadrati dei coefficienti per l'autocorrelazione.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Coefficienti della serie

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}dt\]

Perché è quella giusta qui

Si applica alla finestra periodica di durata \(1/3\); traslazione e linearità forniscono la forma compatta di \(Y_k\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Traslazione temporale nella serie

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[x(t-t_0)\longleftrightarrow X_ke^{-j2\pi kf_0t_0}\]

Perché è quella giusta qui

Spiega il fattore di fase della finestra centrata in \(t_0=3/4\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Autocorrelazione periodica

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x(\tau)=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)x^*(t-\tau)dt\]

Perché è quella giusta qui

Combinata con Parseval della serie porta a \(R_z(\tau)=\sum_k|Z_k|^2e^{j2\pi kf_0\tau}\); quest’ultimo passaggio è una derivazione dalle formule ammesse.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Forma d’onda e coefficienti

Su \(0\leq t<1\),

\[ \sin(2\pi t)<-\frac12 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{7}{12}<t<\frac{11}{12}. \]

Quindi \(y(t)\) vale zero su quell’intervallo e uno nel resto del periodo. Il valore assunto nei due punti di soglia non modifica né i coefficienti né gli integrali. Una rappresentazione utile è

\[ y(t)=1-\operatorname{rep}_1 \left[ \Pi\!\left(3\left(t-\frac34\right)\right) \right]. \]

Il coefficiente continuo è il duty cycle:

\[ Y_0=\frac23. \]

Per tutti gli indici, usando il coefficiente della finestra di larghezza \(1/3\) e centro \(3/4\),

\[ Y_k=\delta[k] -\frac13\operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{3}\right) e^{-j3\pi k/2}. \]

La trasformata generalizzata è pertanto

\[ Y(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}Y_k\delta(f-k). \]

Un possibile filtro

Il segnale desiderato è

\[ z(t)=1+\sin(4\pi t+\pi/4). \]

I soli coefficienti non nulli sono

\[ Z_0=1,\qquad Z_2=\frac12e^{-j\pi/4},\qquad Z_{-2}=\frac12e^{j\pi/4}. \]

Dal coefficiente di \(y(t)\),

\[ Y_2 =-\frac13\operatorname{sinc}(2/3)e^{-j3\pi} =\frac{\sqrt3}{4\pi}, \qquad Y_{-2}=Y_2. \]

Occorre quindi imporre

\[ H(0)=\frac{Z_0}{Y_0}=\frac32, \]

\[ H(2)=\frac{2\pi}{\sqrt3}e^{-j\pi/4}, \qquad H(-2)=\frac{2\pi}{\sqrt3}e^{j\pi/4}. \]

Per eliminare le altre armoniche si può scegliere, per esempio, una larghezza \(0<\Delta<1\) e porre

\[ \begin{aligned} H(f) ={}&\frac32\Pi(f/\Delta)\\ &+\frac{2\pi}{\sqrt3}e^{-j\pi/4} \Pi((f-2)/\Delta)\\ &+\frac{2\pi}{\sqrt3}e^{j\pi/4} \Pi((f+2)/\Delta). \end{aligned} \]

Le tre finestre non includono altre frequenze intere. Inoltre \(H(-f)=H^*(f)\), quindi il sistema può avere risposta impulsiva reale. Esistono infinite altre risposte che assumono gli stessi valori sulle righe di \(Y(f)\).

Autocorrelazione dell’uscita

Per un periodico,

\[ R_z(\tau)=\sum_k|Z_k|^2e^{j2\pi k\tau}. \]

Pertanto

\[ \begin{aligned} R_z(\tau) &=1+\frac14e^{j4\pi\tau} +\frac14e^{-j4\pi\tau}\\ &=1+\frac12\cos(4\pi\tau). \end{aligned} \]

In particolare \(R_z(0)=3/2\), uguale alla potenza \(1+1/2\) del termine continuo più la sinusoide.

Risultato

\[ Y_k=\delta[k]-\frac13\operatorname{sinc}(k/3)e^{-j3\pi k/2}, \] \[ H(0)=\frac32,\qquad H(\pm2)=\frac{2\pi}{\sqrt3}e^{\mp j\pi/4}, \qquad R_z(\tau)=1+\frac12\cos(4\pi\tau). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Il duty cycle di \(y(t)\) è \(2/3\), quindi \(Y_0=2/3\).
I valori del filtro soddisfano \(H(-2)=H^*(2)\), necessario per una risposta reale.
\(Y_2H(2)=\frac12e^{-j\pi/4}=Z_2\).
\(R_z(0)=3/2=P_z\).

Errori che fanno perdere il filo

Confondere la durata del tratto nullo, che è \(1/3\), con quella del tratto unitario.
Progettare \(H(f)\) sul solo modulo e dimenticare la fase \(-\pi/4\).
Usare l'autocorrelazione di energia per un segnale periodico.

FonteT_220125.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoContinuità elettrica come evento composto

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Tradurre lo schema elettrico in un evento logico e calcolare probabilità condizionate e correlazione fra \(Y\) ed \(E\).

Prima immagine mentale

Il circuito va letto prima come logica booleana. La continuità richiede sempre che l’interruttore \(X\) sia chiuso. Con il commutatore in posizione \(3\) il percorso arriva direttamente a \(B\); in posizione \(1\) serve anche la chiusura di \(Y\); la posizione \(2\) non è collegata a \(B\). Una volta scritto questo evento, tutti i calcoli sono somme di casi disgiunti.

La strada, prima di fare i conti

Scrivere l'evento \(E=1\) come unione di due configurazioni disgiunte.
Usare l'indipendenza di \(X\), \(Y\) e \(W\) per fattorizzare le probabilità.
Calcolare la condizionata su \(E=1\) come rapporto.
Ricavare \(E[Y]\), \(E[E]\), \(E[YE]\) e le due varianze.
Normalizzare la covarianza per ottenere \(\rho_{YE}\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Probabilità condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Si applica con \(A=\{W=1\}\) e \(B=\{E=1\}\), dopo aver enumerato tutte le configurazioni che chiudono il circuito.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Indipendenza

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]

Perché è quella giusta qui

Consente di moltiplicare le probabilità delle posizioni indipendenti di \(X\), \(Y\) e \(W\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Covarianza e coefficiente di correlazione

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[C_{XY}=E[XY]-\mu_X\mu_Y,\qquad \rho_{XY}=\frac{C_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y}\]

Perché è quella giusta qui

Dopo aver interpretato \(YE\) come indicatore dell’intersezione, porta direttamente a \(\rho_{YE}\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Dalla figura,

\[ \{E=1\} =\{X=1,W=3\} \cup \{X=1,W=1,Y=1\}, \]

e i due eventi dell’unione sono disgiunti.

1. Probabilità di circuito chiuso

Per indipendenza,

\[ \begin{aligned} P(E=1) &=P(X=1)P(W=3)\\ &\quad+P(X=1)P(W=1)P(Y=1)\\ &=\frac12\frac13+\frac12\frac13\frac12 =\frac14. \end{aligned} \]

2. Posizione del commutatore dato il circuito chiuso

L’intersezione \(\{W=1,E=1\}\) richiede anche \(X=1\) e \(Y=1\):

\[ P(W=1,E=1)=\frac12\frac13\frac12=\frac1{12}. \]

Quindi

\[ P(W=1\mid E=1) =\frac{1/12}{1/4} =\frac13. \]

3. Intersezione con \(X=1\)

Ogni configurazione che rende il circuito chiuso contiene già \(X=1\). Pertanto

\[ P(X=1,E=1)=P(E=1)=\frac14. \]

4. Coefficiente di correlazione

Essendo \(Y\) ed \(E\) variabili di Bernoulli,

\[ E[Y]=\frac12,\qquad \operatorname{Var}(Y)=\frac14, \]

\[ E[E]=\frac14,\qquad \operatorname{Var}(E)=\frac14\left(1-\frac14\right)=\frac3{16}. \]

Per \(E[YE]\) si deve contare quando \(Y=1\) e il circuito è chiuso. Se \(W=3\), \(Y\) può essere uno indipendentemente dal percorso; se \(W=1\), \(Y=1\) è necessario:

\[ \begin{aligned} E[YE] &=P(Y=1,E=1)\\ &=P(Y=1,X=1,W=3) +P(Y=1,X=1,W=1)\\ &=\frac1{12}+\frac1{12} =\frac16. \end{aligned} \]

La covarianza è

\[ C_{YE} =\frac16-\frac12\frac14 =\frac1{24}. \]

Infine,

\[ \rho_{YE} =\frac{C_{YE}}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y)\operatorname{Var}(E)}} =\frac{1/24}{\sqrt{(1/4)(3/16)}} =\frac{1}{3\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{9}. \]

Il segno positivo è fisicamente sensato: chiudere \(Y\) può favorire la continuità quando il commutatore è in posizione \(1\), mentre non può impedirla negli altri casi.

Risultato

\[ P(E=1)=\frac14,\qquad P(W=1\mid E=1)=\frac13,\qquad P(X=1,E=1)=\frac14, \] \[ \rho_{YE}=\frac{\sqrt3}{9}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La somma delle due configurazioni chiuse vale \(1/6+1/12=1/4\).
Poiché \(E=1\Rightarrow X=1\), deve risultare \(P(X=1,E=1)=P(E=1)\).
\(E[YE]=1/6\) è maggiore di \(E[Y]E[E]=1/8\), quindi la correlazione è positiva.
\(|\rho_{YE}|=\sqrt3/9<1\).

Errori che fanno perdere il filo

Considerare la posizione \(W=2\) come collegata a \(B\), contro il disegno.
Dimenticare che il ramo \(W=1\) richiede contemporaneamente \(Y=1\).
Usare \(E[YE]=E[Y]E[E]\), che varrebbe soltanto in caso di indipendenza.

FonteT_220125.pdf

21/12 Prova scritta · 150 minutiAppello del 21/12/2021

Segnali e sistemi a tempo discreto · Segnali e sistemi a tempo continuo · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Convoluzioni discrete: una coda geometrica e un filtro ideale

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Due sistemi: integrale a finestra e filtraggio di un segnale periodico

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Test diagnostico con miscela gaussiana

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 21/12/2021

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoConvoluzioni discrete: una coda geometrica e un filtro ideale

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare \(z_1[n]=x_1[n]*y_1[n]\), \(z_2[n]=x_2[n]*y_2[n]\) e classificare energia e potenza degli ingressi.

Prima immagine mentale

Nel primo punto la sequenza geometrica ha supporto destro, mentre il secondo fattore cambia segno quando il suo argomento attraversa lo zero: conviene quindi separare la somma prima e dopo tale soglia. Nel secondo punto la convoluzione nel tempo diventa un prodotto in frequenza. Il filtro \(\operatorname{sinc}((n-1)/4)\) conserva soltanto la continua e le righe spettrali a \(\nu=\pm 1/8\); la componente \((-1)^n\), situata a \(\nu=1/2\), viene soppressa.

La strada, prima di fare i conti

Determinare il supporto di \(x_1[k]\) e il segno di \(y_1[n-k]\).
Sommarne le due parti geometriche nei casi \(n<2\) e \(n\geq2\).
Calcolare la DTFT del filtro sinc traslato e individuarne la banda passante.
Ricavare i coefficienti della serie discreta della ripetizione di \(R_4[n]\).
Usare una media su un periodo per la potenza di \(x_2[n]\) e Parseval per l'energia di \(y_2[n]\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

È la definizione usata per separare la prima somma secondo il segno di \(y_1[n-k]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Progressione geometrica

Non tabulata nel formulario ufficiale

\[\sum_{k=N}^{+\infty}a^k=\frac{a^N}{1-a},\qquad |a|<1\]

Perché è quella giusta qui

La progressione non è riportata autonomamente: deriva dalla coda esponenziale discreta di pagina 8 e chiude entrambe le code della prima convoluzione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppia sinc-rettangolo discreta

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[\operatorname{sinc}\!\left(\frac{n-n_0}{N}\right)\longleftrightarrow N e^{-j2\pi\nu n_0}\operatorname{rep}_1\!\left[\Pi(N\nu)\right]\]

Perché è quella giusta qui

Identifica immediatamente la banda passante del secondo filtro.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Parseval per la DTFT

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2=\int_{-1/2}^{1/2}|X(\nu)|^2\,d\nu\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce \(E_{y_2}\) dall’area dello spettro rettangolare.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Prima convoluzione

Si ha

\[ x_1[k]=2^{-k}u[k-2],\qquad y_1[n-k]= \begin{cases} 1,&k\leq n,\\ -1,&k>n. \end{cases} \]

Poiché \(x_1[k]\) è diverso da zero soltanto per \(k\geq2\), se \(n<2\) tutti i termini attivi appartengono al ramo negativo di \(y_1\):

\[ z_1[n]=-\sum_{k=2}^{+\infty}2^{-k} =-\frac{2^{-2}}{1-\frac12} =-\frac12,\qquad n<2. \]

Se \(n\geq2\), la somma si spezza in

\[ \begin{aligned} z_1[n] &=\sum_{k=2}^{n}2^{-k} -\sum_{k=n+1}^{+\infty}2^{-k}\\ &=\frac12\left(1-2^{-(n-1)}\right)-2^{-n}\\ &=\frac12-2^{1-n}. \end{aligned} \]

Pertanto

\[ z_1[n]= \begin{cases} -\dfrac12,&n<2,\\[2mm] \dfrac12-2^{1-n},&n\geq2. \end{cases} \]

In particolare \(z_1[2]=0\), come si verifica direttamente: il termine \(k=2\) vale \(1/4\), mentre la coda successiva vale \(-1/4\).

2. Seconda convoluzione

Per la coppia notevole discreta,

\[ y_2[n]=\operatorname{sinc}\!\left(\frac{n-1}{4}\right) \quad\Longleftrightarrow\quad Y_2(\nu)=4e^{-j2\pi\nu} \operatorname{rep}_{1}\!\left[\Pi\!\left(\frac{\nu}{1/4}\right)\right]. \]

Nel periodo fondamentale la banda passante è \(|\nu|\leq1/8\). Con la convenzione del formulario, \(\Pi(x)=1\) anche agli estremi, quindi passano le righe \(\nu=0,\pm1/8\).

La ripetizione con periodo \(8\) di \(R_4[n]\) ha coefficienti

\[ A_k=\frac18\sum_{n=0}^{3}e^{-j2\pi kn/8}. \]

Quelli utili sono

\[ A_0=\frac12,\qquad A_1=\frac{e^{-j3\pi/8}}{8\sin(\pi/8)},\qquad A_{-1}=A_1^*. \]

Il termine \((-1)^n=e^{j2\pi(1/2)n}\) è fuori banda. Moltiplicando invece le tre righe ammesse per \(Y_2(\nu)\),

\[ Z_0=4A_0=2, \]

\[ Z_1=4e^{-j\pi/4}A_1 =\frac{e^{-j5\pi/8}}{2\sin(\pi/8)}, \qquad Z_{-1}=Z_1^*. \]

La sintesi dà

\[ z_2[n] =2+2\Re\!\left\{Z_1e^{j\pi n/4}\right\} =2+\frac{1}{\sin(\pi/8)} \cos\!\left(\frac{\pi n}{4}-\frac{5\pi}{8}\right). \]

3. Energia e potenza

Su un periodo \(x_2[n]\) assume i valori

\[ \{2,0,2,0,1,-1,1,-1\}. \]

È periodico non nullo, quindi \(E_{x_2}=+\infty\), e

\[ P_{x_2}=\frac18(4+0+4+0+1+1+1+1)=\frac32. \]

Il segnale \(y_2[n]\) è invece a energia finita. Per Parseval,

\[ E_{y_2}=\int_{-1/2}^{1/2}|Y_2(\nu)|^2\,d\nu =16\cdot\frac14=4, \qquad P_{y_2}=0. \]

Risultato

\[ z_1[n]= \begin{cases} -\dfrac12,&n<2,\\[1mm] \dfrac12-2^{1-n},&n\geq2, \end{cases} \qquad z_2[n]=2+\frac{\cos\!\left(\frac{\pi n}{4}-\frac{5\pi}{8}\right)} {\sin(\pi/8)}. \] \[ E_{x_2}=+\infty,\quad P_{x_2}=\frac32,\qquad E_{y_2}=4,\quad P_{y_2}=0. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(z_1[n]\to-1/2\) per \(n\to-\infty\) e \(z_1[n]\to1/2\) per \(n\to+\infty\), coerentemente con i due valori asintotici di \(y_1\).
La linea a \(\nu=1/2\) di \((-1)^n\) non appartiene a \(|\nu|\leq1/8\), quindi non compare in \(z_2[n]\).
La continua d'uscita vale \(Y_2(0)A_0=4\cdot1/2=2\).
La somma dei quadrati degli otto campioni di \(x_2\) è \(12\), dunque \(P_{x_2}=12/8\).

Errori che fanno perdere il filo

Trattare \(y_1[n]\) come un gradino unitario: per \(n<0\) vale \(-1\), non \(0\).
Scartare le righe a \(\nu=\pm1/8\): nel formulario del corso gli estremi del rettangolo sono inclusi.
Attribuire energia finita a \(x_2[n]\), che è periodico e non nullo.

FonteT_211221.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoDue sistemi: integrale a finestra e filtraggio di un segnale periodico

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Verificare l’invarianza temporale, trovare le risposte impulsive e calcolare l’uscita complessiva dei due rami.

Prima immagine mentale

Il primo operatore è una convoluzione mascherata: con un cambio di variabile l’intervallo mobile diventa una finestra fissa sui ritardi. Il secondo ramo si risolve più rapidamente in frequenza. Il filtro presenta due lobi triangolari centrati a \(\pm2\); tuttavia le sole righe armoniche potenzialmente ammesse hanno coefficiente nullo nel segnale periodico, perciò quel ramo non contribuisce.

La strada, prima di fare i conti

Trasformare l'integrale del primo sistema nella forma canonica di convoluzione.
Usare \(x_1(t)=h_1(-t)\) e calcolare la sovrapposizione dei due supporti.
Ricostruire un generatore di periodo \(2\) per \(x_2(t)\).
Trasformare \(h_2(t)\) come prodotto tra sinc quadrata e seno.
Controllare i coefficienti delle sole armoniche intercettate dal filtro.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione continua

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha)h(t-\alpha)\,d\alpha\]

Perché è quella giusta qui

Il cambio di variabile porta il primo sistema esattamente in questa forma.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Serie di Fourier: analisi

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1T\int_T x(t)e^{-j2\pi kt/T}\,dt\]

Perché è quella giusta qui

Serve a verificare che il coefficiente \(X_{2,4}\) intercettato dal filtro sia nullo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Prodotto e traslazione in frequenza

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)y(t)\longleftrightarrow X(f)*Y(f),\qquad x(t)e^{j2\pi f_0t}\longleftrightarrow X(f-f_0)\]

Perché è quella giusta qui

Permettono di riconoscere i due lobi triangolari generati dal seno.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di un segnale periodico

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[y(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_kH\!\left(\frac{k}{T}\right)e^{j2\pi kt/T}\]

Perché è quella giusta qui

Mostra che soltanto i coefficienti sulle righe passanti possono contribuire all’uscita.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Primo sistema

Il sistema è

\[ y_1(t)=\int_{t-1}^{t}e^{t-\alpha}x_1(\alpha)\,d\alpha. \]

Ponendo \(\tau=t-\alpha\), gli estremi diventano \(0\) e \(1\):

\[ y_1(t)=\int_0^1e^\tau x_1(t-\tau)\,d\tau =\int_{-\infty}^{+\infty}h_1(\tau)x_1(t-\tau)\,d\tau, \]

con

\[ h_1(t)=e^t\,[u(t)-u(t-1)]. \]

La risposta dipende soltanto dal ritardo e non dal tempo assoluto: il sistema è quindi LTI. L’ingresso assegnato è

\[ x_1(t)=h_1(-t)=e^{-t}[u(-t)-u(-t-1)], \]

con supporto \([-1,0]\). La convoluzione è diversa da zero per \(-1\leq t\leq1\). Sul tratto di sovrapposizione il prodotto vale

\[ x_1(\alpha)h_1(t-\alpha) =e^{-\alpha}e^{t-\alpha}=e^t e^{-2\alpha}. \]

Per \(-1\leq t\leq0\), gli estremi comuni sono \(-1\) e \(t\):

\[ y_1(t)=e^t\int_{-1}^{t}e^{-2\alpha}\,d\alpha =\frac12(e^{t+2}-e^{-t}). \]

Per \(0\leq t\leq1\), gli estremi sono \(t-1\) e \(0\):

\[ y_1(t)=e^t\int_{t-1}^{0}e^{-2\alpha}\,d\alpha =\frac12(e^{2-t}-e^t). \]

In forma compatta,

\[ y_1(t)= \begin{cases} \dfrac12\left(e^{2-|t|}-e^{|t|}\right),&|t|\leq1,\\[1mm] 0,&|t|>1. \end{cases} \]

2. Secondo sistema

Un generatore di \(x_2(t)\), sul periodo \([-1,1]\), è

\[ g(t)= \begin{cases} -1,&|t|\leq\frac12,\\ 2|t|-1,&\frac12<|t|\leq1. \end{cases} \]

La risposta impulsiva è

\[ h_2(t)=2\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac t2\right)\sin(4\pi t). \]

Poiché

\[ \operatorname{sinc}^2\!\left(\frac t2\right) \longleftrightarrow 2\Lambda(2f), \]

la moltiplicazione per il seno trasla questo triangolo in \(f=\pm2\). Il filtro può dunque intercettare, tra le righe \(f=k/2\) di un segnale di periodo \(2\), soltanto quelle prossime ai centri dei lobi; in particolare sono rilevanti \(k=\pm4\).

Il coefficiente corrispondente è

\[ X_{2,4}=\frac12\int_{-1}^{1}g(t)e^{-j4\pi t}\,dt. \]

Il generatore è pari, quindi resta il coseno. Integrando sui due tratti,

\[ X_{2,4} =\int_0^{1/2}(-1)\cos(4\pi t)\,dt +\int_{1/2}^{1}(2t-1)\cos(4\pi t)\,dt =0. \]

Per simmetria \(X_{2,-4}=0\). Tutte le righe intercettate hanno quindi ampiezza nulla e

\[ y_2(t)=0. \]

Se i due rami sono sommati come in traccia, l’uscita totale coincide con \(y_1(t)\).

Risultato

\[ h_1(t)=e^t[u(t)-u(t-1)],\qquad y_1(t)= \begin{cases} \dfrac12(e^{2-|t|}-e^{|t|}),&|t|\leq1,\\ 0,&|t|>1, \end{cases} \] \[ y_2(t)=0,\qquad y(t)=y_1(t). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Il supporto della prima convoluzione è la somma \([-1,0]+[0,1]=[-1,1]\).
La formula trovata per \(y_1(t)\) è pari, come deve essere la convoluzione di \(h_1(t)\) con \(h_1(-t)\).
\(y_1(0)=(e^2-1)/2\) è l'integrale dell'energia pesata e rappresenta il massimo.
Il coefficiente \(X_{2,4}\) è esattamente nullo, quindi non basta osservare che il filtro ha un lobo centrato su quella riga.

Errori che fanno perdere il filo

Confondere l'integrale a estremi mobili con un sistema tempo-variante senza eseguire il cambio di variabile.
Usare sempre gli stessi estremi nella prima convoluzione, ignorando la diversa sovrapposizione per \(t<0\) e \(t>0\).
Concludere che il secondo ramo è non nullo solo perché una riga cade nella banda, senza calcolarne il coefficiente.

FonteT_211221.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoTest diagnostico con miscela gaussiana

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Ricavare la densità osservata e calcolare errori, probabilità a posteriori e soglia per un falso positivo dell’uno per cento.

Prima immagine mentale

La variabile prima del rumore è discreta: vale \(0\) per i sani e \(8\) per i malati. La somma con un rumore gaussiano produce quindi una miscela di due gaussiane con uguale varianza. Ogni domanda si riconduce alla standardizzazione \(Z=(X-\mu)/2\) e alla funzione di ripartizione normale \(\Phi\).

La strada, prima di fare i conti

Scrivere la distribuzione di \(X_0\) come due impulsi pesati.
Convolvere ciascun impulso con la densità del rumore gaussiano.
Standardizzare la soglia \(T=2\) sotto le due ipotesi.
Applicare Bayes per la probabilità di malattia dato un esito positivo.
Imporre il falso positivo desiderato e invertire \(\Phi\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Formula di Bayes

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

È la formula centrale per passare dall’affidabilità condizionata alla probabilità di malattia dopo il test.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Densità gaussiana

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\!\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\]

Perché è quella giusta qui

Descrive entrambe le componenti della miscela, con \(\sigma^2=4\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Trasformazione lineare

Formulario_prob.pdf, p. 3

\[Y=aX+b\ \Longrightarrow\ \mu_Y=a\mu_X+b,\quad \sigma_Y^2=a^2\sigma_X^2\]

Perché è quella giusta qui

Giustifica la standardizzazione delle due gaussiane nella variabile normale standard.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Modello probabilistico

Sia \(D\) l’evento “malato”. Dalla traccia,

\[ P(D)=0.2,\qquad P(D^c)=0.8, \]

e il valore ideale del test è

\[ f_{X_0}(x)=0.8\,\delta(x)+0.2\,\delta(x-8). \]

Il rumore \(N\) è gaussiano, indipendente, con media zero e varianza \(4\), quindi deviazione standard \(2\). Per \(X=X_0+N\),

\[ f_X(x) =0.8\,\frac{e^{-x^2/8}}{2\sqrt{2\pi}} +0.2\,\frac{e^{-(x-8)^2/8}}{2\sqrt{2\pi}}. \]

È importante non sostituire questa miscela con una singola gaussiana: le due popolazioni restano distinguibili.

2. Soglia \(T=2\)

Un falso negativo si ha se il paziente è malato ma il test cade sotto soglia:

\[ P(X\leq2\mid D) =\Phi\!\left(\frac{2-8}{2}\right) =\Phi(-3) \approx0.001349898. \]

La probabilità complessiva di esito negativo è

\[ \begin{aligned} P(X\leq2) &=0.8\,\Phi\!\left(\frac{2-0}{2}\right) +0.2\,\Phi\!\left(\frac{2-8}{2}\right)\\ &=0.8\Phi(1)+0.2\Phi(-3)\\ &\approx0.673345777. \end{aligned} \]

Per Bayes, la probabilità che un soggetto sia malato sapendo che il risultato è positivo vale

\[ \begin{aligned} P(D\mid X>2) &=\frac{P(X>2\mid D)P(D)}{P(X>2)}\\ &=\frac{0.2\,\Phi(3)} {0.8\,\Phi(-1)+0.2\,\Phi(3)}\\ &\approx0.611441720. \end{aligned} \]

Si nota perché un test molto sensibile non implica automaticamente una probabilità a posteriori vicina a uno: conta anche la prevalenza iniziale.

3. Soglia per falso positivo pari a \(1\%\)

Per un sano, \(X=N\sim\mathcal N(0,4)\). Si impone

\[ P(X>T\mid D^c)=0.01. \]

Quindi

\[ 1-\Phi\!\left(\frac{T}{2}\right)=0.01, \qquad \Phi\!\left(\frac{T}{2}\right)=0.99, \]

da cui

\[ T=2\Phi^{-1}(0.99)\approx4.652695748. \]

Risultato

\[ f_X(x)=0.8\,\mathcal N(0,4)+0.2\,\mathcal N(8,4), \] \[ P(X\leq2\mid D)\approx0.001349898,\qquad P(X\leq2)\approx0.673345777, \] \[ P(D\mid X>2)\approx0.611441720,\qquad T_{1\%}\approx4.652695748. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

I pesi \(0.8\) e \(0.2\) della densità di miscela sommano a uno.
Per i malati, \(T=2\) dista tre deviazioni standard sotto la media \(8\), quindi il falso negativo deve essere molto piccolo.
Il denominatore di Bayes coincide con \(P(X>2)=1-0.673345777\).
La soglia \(4.6527\) equivale al quantile normale standard \(2.32635\) moltiplicato per \(\sigma=2\).

Errori che fanno perdere il filo

Usare \(4\) come deviazione standard anziché come varianza.
Calcolare \(P(D\mid X>2)\) senza i pesi a priori \(0.2\) e \(0.8\).
Confondere falso negativo \(P(X\leq T\mid D)\) con falso positivo \(P(X>T\mid D^c)\).

FonteT_211221.pdf

20/09 Prova scritta · 150 minutiAppello del 20/09/2021

2× Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Quattro convoluzioni continue e discrete

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Segnale periodico dispari attraverso un filtro a due bande

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Modello binomiale di una partita di calcio

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 20/09/2021

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoQuattro convoluzioni continue e discrete

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare quattro prodotti di convoluzione scegliendo, caso per caso, il dominio e la rappresentazione più efficienti.

Prima immagine mentale

Le quattro coppie richiedono strategie diverse. Le esponenziali finestrate si trattano direttamente studiando la sovrapposizione dei supporti; le sinusoidi convolute con un segnale a energia finita sono autofunzioni dei sistemi LTI; nel terzo punto gli spettri non si sovrappongono; nell’ultimo punto la convoluzione tra rettangoli discreti è il conteggio dei campioni comuni.

La strada, prima di fare i conti

Sommarne i supporti e integrare sui due diversi tratti della prima convoluzione.
Calcolare la trasformata di \(e^{-|t|/2}\cos(2\pi t)\) e valutarla alle frequenze dell'ingresso.
Confrontare la banda della sinc discreta con le righe della sequenza periodica.
Scrivere \(R_{30}*(1-R_{40})\) come \(30-R_{30}*R_{40}\).
Controllare i risultati agli estremi dei rispettivi supporti.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha)h(t-\alpha)\,d\alpha,\qquad y[n]=\sum_kx[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

È applicabile al primo e al quarto punto perché entrambi chiedono l’uscita ottenuta facendo scorrere e sovrapporre i due segnali.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Trasformata della doppia esponenziale

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[e^{-a|t|}\longleftrightarrow \frac{2a}{a^2+(2\pi f)^2},\qquad a>0\]

Perché è quella giusta qui

È applicabile perché l’inviluppo del secondo segnale è \(e^{-|t|/2}\); ponendo \(a=1/2\) si ottiene direttamente \(G(f)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)\cos(2\pi f_0t)\longleftrightarrow \frac12[X(f-f_0)+X(f+f_0)]\]

Perché è quella giusta qui

Genera le due copie traslate della trasformata di \(e^{-|t|/2}\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppia sinc-rettangolo discreta

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[\operatorname{sinc}\!\left(\frac nN\right)\longleftrightarrow N\operatorname{rep}_1[\Pi(N\nu)]\]

Perché è quella giusta qui

Consente di vedere immediatamente l’assenza di sovrapposizione nel terzo punto.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Esponenziali finestrate

I supporti sono

\[ x(t)\neq0\ \text{per}\ 1\leq t\leq3,\qquad y(t)\neq0\ \text{per}\ -3\leq t\leq-1. \]

Quindi \(z(t)\) ha supporto \([-2,2]\). Nell’integrale

\[ z(t)=\int x(\alpha)y(t-\alpha)\,d\alpha =e^{2t}\int e^{-4\alpha}\,d\alpha, \]

la sovrapposizione è \([1,t+3]\) per \(-2\leq t\leq0\) e \([t+1,3]\) per \(0\leq t\leq2\). Ne segue

\[ z(t)= \begin{cases} \dfrac{e^{2t}}4\left(e^{-4}-e^{-4(t+3)}\right), &-2\leq t\leq0,\\[2mm] \dfrac{e^{2t}}4\left(e^{-4(t+1)}-e^{-12}\right), &0\leq t\leq2,\\[2mm] 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Le due espressioni coincidono in \(t=0\), quindi non si crea alcun salto.

2. Somma di armoniche

Posto

\[ g(t)=e^{-|t|/2}, \qquad G(f)=\frac{4}{1+(4\pi f)^2}, \]

la modulazione con \(\cos(2\pi t)\) fornisce

\[ Y(f) =\frac12[G(f-1)+G(f+1)] =\frac{2}{1+[4\pi(f-1)]^2} +\frac{2}{1+[4\pi(f+1)]^2}. \]

Una complessa esponenziale è autofunzione della convoluzione LTI. Poiché

\[ x(t)=-\frac j2e^{j2\pi t}+\cos\!\left(\frac t2\right), \]

e \(\cos(t/2)\) ha frequenza \(1/(4\pi)\), si ottiene

\[ z(t)=-\frac j2Y(1)e^{j2\pi t} +Y\!\left(\frac1{4\pi}\right)\cos\!\left(\frac t2\right), \]

dove

\[ Y(1)=2+\frac{2}{1+64\pi^2}, \]

\[ Y\!\left(\frac1{4\pi}\right) =\frac{2}{1+(1-4\pi)^2} +\frac{2}{1+(1+4\pi)^2}. \]

3. Spettri disgiunti

La sequenza

\[ x[n]=\operatorname{sinc}\!\left(\frac n{10}\right) \]

ha DTFT rettangolare, diversa da zero soltanto per \(|\nu|\leq1/20\), a meno delle repliche di periodo \(1\). La sequenza

\[ y[n]=\sum_k(-1)^kR_5[n-5k] \]

è periodica di periodo \(10\): nei primi cinque campioni vale \(1\), nei successivi cinque vale \(-1\). La sua continua è nulla e la prima riga spettrale non nulla è a \(|\nu|=1/10\). Nessuna sua riga cade nella banda \(|\nu|\leq1/20\); pertanto

\[ z[n]=0. \]

4. Rettangoli discreti

Con la convenzione \(R_N[n]=1\) per \(0\leq n\leq N-1\),

\[ z[n]=R_{30}[n]*\bigl(1-R_{40}[n]\bigr) =30-\bigl(R_{30}*R_{40}\bigr)[n]. \]

La convoluzione dei due rettangoli è il numero di coppie sovrapposte: cresce da \(1\) a \(30\), resta a \(30\) per dieci campioni e poi decresce a \(1\). Quindi

\[ z[n]= \begin{cases} 30,&n<0\ \text{oppure}\ n>68,\\ 29-n,&0\leq n\leq29,\\ 0,&30\leq n\leq39,\\ n-39,&40\leq n\leq68. \end{cases} \]

Risultato

\[ z_1(t)= \begin{cases} \dfrac{e^{2t}}4(e^{-4}-e^{-4(t+3)}),&-2\leq t\leq0,\\ \dfrac{e^{2t}}4(e^{-4(t+1)}-e^{-12}),&0\leq t\leq2,\\ 0,&\text{altrove}, \end{cases} \] \[ z_2(t)=-\frac j2Y(1)e^{j2\pi t} +Y\!\left(\frac1{4\pi}\right)\cos\!\left(\frac t2\right), \qquad z_3[n]=0, \] \[ z_4[n]= \begin{cases} 30,&n<0\ \text{oppure}\ n>68,\\ 29-n,&0\leq n\leq29,\\ 0,&30\leq n\leq39,\\ n-39,&40\leq n\leq68. \end{cases} \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Il supporto della prima convoluzione è \([1,3]+[-3,-1]=[-2,2]\).
Nella seconda convoluzione \(Y(f)\) è reale e pari, quindi le due righe del coseno ricevono lo stesso guadagno.
La sequenza periodica del terzo punto ha media nulla: non resta una riga continua capace di attraversare il filtro.
Nel quarto punto \(z[29]=0\), \(z[30]=0\), \(z[39]=0\) e \(z[40]=1\), coerentemente con il conteggio delle sovrapposizioni.

Errori che fanno perdere il filo

Integrare la prima convoluzione su tutto \([1,3]\) senza imporre anche il supporto di \(y(t-\alpha)\).
Interpretare \(\cos(t/2)\) come una sinusoide di frequenza \(1/2\) hertz: la frequenza corretta è \(1/(4\pi)\).
Confondere il prodotto puntuale con la convoluzione nel terzo punto.
Dimenticare che la convoluzione di \(R_{30}\) con la sequenza costante \(1\) vale \(30\) per ogni \(n\).

FonteT_210920.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoSegnale periodico dispari attraverso un filtro a due bande

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare media, energia, potenza, coefficienti di Fourier e uscita di un sistema LTI reale.

Prima immagine mentale

Il generatore \(g(t)=\operatorname{sign}(t)-t\) è dispari: questo azzera la media e rende puramente immaginari i coefficienti di Fourier. La risposta armonica è diversa da zero soltanto nelle due bande attorno a \(\pm8\), così la serie infinita si riduce alle sei righe \(k=\pm7,\pm8,\pm9\).

La strada, prima di fare i conti

Sfruttare la disparità del generatore per la media e i coefficienti.
Calcolare la potenza integrando il quadrato su un periodo.
Ricavare \(X_k\) mediante integrazione, separando il caso \(k=0\).
Valutare modulo e fase di \(H(k)\) soltanto per \(k=7,8,9\).
Accoppiare i coefficienti coniugati per ottenere un'uscita reale.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Media e potenza di un periodico

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[\mu_x=\frac1T\int_Tx(t)\,dt,\qquad P_x=\frac1T\int_T|x(t)|^2\,dt\]

Perché è quella giusta qui

Con \(T=1\) dà direttamente media e potenza sul generatore.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Analisi di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-j2\pi kt/T}\,dt\]

Perché è quella giusta qui

Produce i coefficienti complessi dell’ingresso periodico.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio dei periodici

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[Y_k=X_kH\!\left(\frac{k}{T}\right)\]

Perché è quella giusta qui

È applicabile perché l’ingresso è periodico e il sistema è LTI: basta valutare \(H(k/T)\), lasciando le sole armoniche \(k=\pm7,\pm8,\pm9\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Sintesi di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_ke^{j2\pi kt/T}\]

Perché è quella giusta qui

Consente di ricostruire l’uscita reale dalle sei righe residue.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Classificazione del segnale

Su un periodo centrato nell’origine,

\[ x(t)=\operatorname{sign}(t)-t,\qquad -\frac12\leq t\leq\frac12. \]

Il generatore è dispari, dunque

\[ \mu_x=\int_{-1/2}^{1/2}x(t)\,dt=0. \]

Essendo periodico e non nullo, ha energia infinita. La potenza è

\[ \begin{aligned} P_x &=\int_{-1/2}^{1/2}|\operatorname{sign}(t)-t|^2\,dt\\ &=2\int_0^{1/2}(1-t)^2\,dt =\frac7{12}. \end{aligned} \]

2. Coefficienti della serie

Poiché il periodo è \(1\),

\[ X_k=\int_{-1/2}^{1/2}x(t)e^{-j2\pi kt}\,dt. \]

Per \(k\neq0\), usando la disparità,

\[ X_k=-2j\int_0^{1/2}(1-t)\sin(2\pi kt)\,dt. \]

L’integrazione fornisce

\[ X_k=-j\,\frac{1-\frac12(-1)^k}{\pi k}, \qquad k\neq0, \]

mentre \(X_0=0\). Si verifica inoltre \(X_{-k}=X_k^*\), come richiesto per un segnale reale.

3. Righe passanti e uscita

Il modulo assegnato è

\[ |H(f)|=\Lambda\!\left(\frac{|f|}{2}-4\right). \]

È non nullo per \(6<|f|<10\), con massimo in \(|f|=8\). Poiché le righe dell’ingresso sono agli interi, sopravvivono soltanto \(k=\pm7,\pm8,\pm9\). Sulla stessa banda

\[ \angle H(f)=\frac{\pi f}{2}. \]

Per le frequenze positive,

\[ H(7)=-\frac j2,\qquad H(8)=1,\qquad H(9)=\frac j2. \]

Pertanto

\[ Y_7=X_7H(7)=-\frac{3}{28\pi}, \]

\[ Y_8=X_8H(8)=-\frac{j}{16\pi}, \]

\[ Y_9=X_9H(9)=\frac{1}{12\pi}. \]

Le righe negative sono le coniugate. Riunendo ciascuna coppia,

\[ y(t) =-\frac{3}{14\pi}\cos(14\pi t) +\frac{1}{8\pi}\sin(16\pi t) +\frac{1}{6\pi}\cos(18\pi t). \]

Risultato

\[ \mu_x=0,\qquad E_x=+\infty,\qquad P_x=\frac7{12}, \] \[ X_0=0,\qquad X_k=-j\,\frac{1-\frac12(-1)^k}{\pi k}\quad(k\neq0), \] \[ y(t)=-\frac{3}{14\pi}\cos(14\pi t) +\frac{1}{8\pi}\sin(16\pi t) +\frac{1}{6\pi}\cos(18\pi t). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La media è nulla sia per disparità sia perché \(X_0=0\).
Parseval sulla serie richiede \(\sum_k|X_k|^2=7/12\), coerente con l'integrale diretto.
Il filtro annulla tutte le armoniche oltre alle sei indicate; gli estremi \(6\) e \(10\) hanno modulo triangolare nullo.
L'uscita finale è reale perché \(Y_{-k}=Y_k^*\).

Errori che fanno perdere il filo

Trattare \(\operatorname{sign}(t)-t\) come una funzione pari.
Dimenticare il fattore \(1/T\) nella serie; qui \(T=1\), ma il principio resta essenziale.
Usare solo il modulo di \(H\), perdendo le conversioni tra seni e coseni prodotte dalla fase.

FonteT_210920.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoModello binomiale di una partita di calcio

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare probabilità di zero a zero, pareggio, vittoria del Napoli e prima rete del Napoli in quattro periodi indipendenti.

Prima immagine mentale

Il numero totale di periodi con rete di ciascuna squadra è binomiale. I primi tre quesiti si risolvono quindi confrontando due variabili \(\operatorname{Bin}(4,p)\) indipendenti. Per la prima rete è invece più semplice ragionare periodo per periodo: prima devono verificarsi solo periodi vuoti, poi un periodo decisivo attribuito al Napoli.

La strada, prima di fare i conti

Definire \(U\sim\operatorname{Bin}(4,0.3)\) e \(N\sim\operatorname{Bin}(4,0.5)\).
Per lo zero a zero, imporre nessuna rete nei primi due periodi per entrambe le squadre.
Per il pareggio, sommare \(P(U=k)P(N=k)\).
Per la vittoria del Napoli, sommare \(P(U=u)P(N>u)\).
Per la prima rete, sommare sui possibili numeri di periodi iniziali senza gol.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Distribuzione binomiale

Formulario_prob.pdf, pp. 1–2

\[P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\]

Perché è quella giusta qui

Descrive il numero di periodi con rete per ciascuna squadra.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità totale

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)\]

Perché è quella giusta qui

Giustifica sia la somma sul punteggio dell’Udinese sia quella sul periodo della prima rete.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Indipendenza

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\cap B)=P(A)P(B)\]

Perché è quella giusta qui

Permette di moltiplicare gli eventi delle due squadre e dei diversi periodi.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Siano

\[ U\sim\operatorname{Bin}(4,0.3),\qquad N\sim\operatorname{Bin}(4,0.5), \]

indipendenti.

1. Primo tempo a reti inviolate

Il primo tempo comprende due periodi. In un singolo periodo la probabilità che nessuna squadra segni è

\[ (1-0.3)(1-0.5)=0.35. \]

Pertanto

\[ P(\text{zero a zero al primo tempo}) =0.35^2=\frac{49}{400}=0.1225. \]

2. Pareggio

Un pareggio richiede lo stesso numero di reti:

\[ \begin{aligned} P(N=U) &=\sum_{k=0}^{4} \binom4k(0.5)^4 \binom4k(0.3)^k(0.7)^{4-k}\\ &=\frac{18923}{80000}\\ &=0.2365375. \end{aligned} \]

3. Vittoria del Napoli

Si condiziona sul numero di reti dell’Udinese:

\[ P(N>U)=\sum_{u=0}^{3}P(U=u)P(N>u). \]

I quattro contributi sono

\[ 0.2401(0.9375),\quad 0.4116(0.6875),\quad 0.2646(0.3125),\quad 0.0756(0.0625). \]

La somma è

\[ P(N>U)=\frac{95277}{160000}=0.59548125. \]

4. Prima rete del Napoli

In un periodo:

\[ q_0=P(\text{nessuna rete})=0.35. \]

Il periodo decisivo è attribuito al Napoli se segna solo il Napoli, oppure se segnano entrambe e il Napoli viene considerato primo con probabilità \(1/2\):

\[ q_N=(0.5)(0.7)+\frac12(0.5)(0.3) =0.425. \]

Il Napoli può segnare per primo nel primo, secondo, terzo o quarto periodo, dopo rispettivamente \(0,1,2,3\) periodi vuoti:

\[ \begin{aligned} P(\text{Napoli primo}) &=q_N(1+q_0+q_0^2+q_0^3)\\ &=\frac{206091}{320000}\\ &=0.644034375. \end{aligned} \]

Il caso senza reti in tutti e quattro i periodi non appartiene all’evento.

Risultato

\[ P(0\!-\!0\ \text{al primo tempo})=\frac{49}{400}=0.1225, \] \[ P(\text{pareggio})=\frac{18923}{80000}=0.2365375, \qquad P(\text{vittoria Napoli})=\frac{95277}{160000}=0.59548125, \] \[ P(\text{Napoli segna per primo}) =\frac{206091}{320000}=0.644034375. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Le probabilità binomiali di ciascuna squadra sommano a uno.
\(P(N>U)+P(N=U)+P(N<U)=1\); il valore della vittoria è compatibile con il maggiore \(p_N\).
Nel calcolo della prima rete, \(q_0+q_N+q_U=1\), con \(q_U=0.225\).
La serie della prima rete si ferma a \(q_0^3\): dopo quattro periodi vuoti la partita termina senza un primo marcatore.

Errori che fanno perdere il filo

Usare \(0.5\) come probabilità che il Napoli segni almeno una volta nell'intera partita.
Nel pareggio, confrontare le reti periodo per periodo anziché i totali finali.
Attribuire sempre al Napoli un periodo in cui segnano entrambe: la traccia assegna solo il \(50\%\).

FonteT_210920.pdf

23/02 Prova scritta · 150 minutiAppello del 23/02/2021

Segnali e sistemi a tempo discreto · Segnali e sistemi a tempo continuo · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Media, energia e potenza di quattro segnali

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Treno di impulsi rettangolari, filtro ideale e non linearità di segno

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Densità uniforme su una cornice rettangolare

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 23/02/2021

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoMedia, energia e potenza di quattro segnali

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Rappresentare i segnali e classificarli mediante media, energia e potenza.

Prima immagine mentale

Prima di integrare bisogna capire se il segnale è periodico o a energia finita. I segnali periodici non nulli hanno energia infinita e si studiano su un solo periodo; le code geometriche si sommano direttamente; un transitorio a energia finita aggiunto a una sinusoide non modifica la potenza asintotica della sinusoide.

La strada, prima di fare i conti

Ricostruire un generatore di periodo \(6\) per il primo segnale.
Separare la componente periodica dal transitorio nel secondo segnale.
Calcolare l'energia della sequenza geometrica dal primo campione attivo.
Convolvere \(R_6[n]\) con il treno alternato su un periodo di otto campioni.
Applicare le definizioni appropriate evitando limiti inutili.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Media e potenza

Formulario_tds.pdf, pp. 1–2

\[\mu_x=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}x(t)\,dt,\qquad P_x=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2\,dt\]

Perché è quella giusta qui

È la definizione generale usata per classificare tutti e quattro i segnali.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Segnali periodici

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[P_x=\frac1{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2\,dt\]

Perché è quella giusta qui

Riduce i calcoli del primo e del quarto segnale a un solo periodo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Progressione geometrica

Non tabulata nel formulario ufficiale

\[\sum_{n=N}^{+\infty}a^n=\frac{a^N}{1-a},\qquad |a|<1\]

Perché è quella giusta qui

La progressione non è tabulata autonomamente: deriva dall’energia dell’esponenziale discreto di pagina 2 e si applica alla coda dei quadrati di ragione \(1/4\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Definizioni di energia e potenza

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[E_x=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2,\qquad P_x=\lim_{N\to\infty}\frac1{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2\]

Perché è quella giusta qui

Dalle definizioni ufficiali segue che un segnale con energia finita ha potenza nulla, mentre un periodico non nullo ha energia infinita.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Segnale continuo periodico

Il fattore

\[ y(t)=\Lambda\!\left(\frac t3-1\right) \Pi\!\left(\frac{t-\frac92}{3}\right) \]

seleziona il solo tratto discendente del triangolo, cioè \(y(t)=(6-t)/3\) su \(3\leq t\leq6\). Sommando \(y(t+4)\) e \(y(-t+4)\), un generatore della ripetizione di periodo \(6\) è

\[ g(t)= \begin{cases} \dfrac{2+t}{3},&-2\leq t<-1,\\[1mm] \dfrac43,&-1\leq t\leq1,\\[1mm] \dfrac{2-t}{3},&1<t\leq2,\\[1mm] 0,&2<|t|\leq3. \end{cases} \]

La sua area in un periodo è \(3\), dunque

\[ \mu_x=\frac36=\frac12. \]

Il quadrato integra a

\[ 2\int_0^1\frac{s^2}{9}\,ds +2\left(\frac43\right)^2 =\frac{98}{27}, \]

perciò

\[ P_x=\frac16\frac{98}{27}=\frac{49}{81}, \qquad E_x=+\infty. \]

2. Esponenziale complesso più transitorio

\[ x(t)=e^{-j2\pi t}+e^{-2\pi t}u(t). \]

Il primo addendo è periodico con modulo unitario, media nulla e potenza \(1\). Il secondo ha energia finita:

\[ \int_0^{+\infty}e^{-4\pi t}\,dt=\frac1{4\pi}. \]

Dividendo per una finestra temporale sempre più lunga, sia il contributo del transitorio sia il termine incrociato tendono a zero. Pertanto

\[ \mu_x=0,\qquad P_x=1,\qquad E_x=+\infty. \]

3. Coda geometrica discreta

Il primo campione attivo è \(n=6\):

\[ x[n]=\left(\frac12\right)^{n-2}u[n-6]. \]

La sequenza tende a zero ed è sommabile al quadrato, quindi

\[ \begin{aligned} E_x &=\sum_{n=6}^{+\infty}\left(\frac12\right)^{2n-4}\\ &=\frac{(1/2)^8}{1-1/4} =\frac1{192}. \end{aligned} \]

Ne segue

\[ \mu_x=0,\qquad P_x=0. \]

4. Rettangolo discreto e treno alternato

Il treno

\[ s[n]=\sum_k(-1)^k\delta[n-4k] \]

ha periodo \(8\). La convoluzione \(x[n]=R_6[n]*s[n]\) mantiene tale periodo. Calcolando la somma dei sei campioni consecutivi di \(s\), su \(0\leq n\leq7\) si ottiene

\[ \{x[0],\ldots,x[7]\} =\{0,0,1,1,0,0,-1,-1\}. \]

La media è nulla e

\[ P_x=\frac18(1+1+1+1)=\frac12, \qquad E_x=+\infty. \]

Risultato

\[ (\mu_1,E_1,P_1)=\left(\frac12,+\infty,\frac{49}{81}\right), \qquad (\mu_2,E_2,P_2)=(0,+\infty,1), \] \[ (\mu_3,E_3,P_3)=\left(0,\frac1{192},0\right), \qquad (\mu_4,E_4,P_4)=\left(0,+\infty,\frac12\right). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

L'area del primo generatore è \(3\), quindi la media su periodo \(6\) è \(1/2\).
Il primo segnale è periodico e non nullo: qualunque valore finito dell'energia sarebbe impossibile.
Nel terzo punto il primo valore è \(x[6]=1/16\), il cui quadrato \(1/256\) genera una serie di ragione \(1/4\).
Gli otto campioni del quarto segnale sommano a zero e i loro quadrati sommano a quattro.

Errori che fanno perdere il filo

Integrare il triangolo completo nel primo punto, ignorando la finestra rettangolare che ne seleziona solo un tratto.
Sommare le energie dei due addendi del secondo segnale e concludere che l'energia totale è finita.
Far partire la serie geometrica del terzo punto da \(n=0\) anziché da \(n=6\).
Assumere che \(R_6*s\) abbia periodo \(4\): il segno alterno raddoppia il periodo a \(8\).

FonteT_210223.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoTreno di impulsi rettangolari, filtro ideale e non linearità di segno

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare la serie di Fourier di \(x_p(t)\), l’uscita filtrata \(y(t)\) e il segnale non lineare \(z(t)=y(t)-\operatorname{sign}(y(t))\).

Prima immagine mentale

Il treno alterna un impulso positivo e uno negativo distanziati di \(T/2\), quindi il periodo complessivo è \(T\) e tutte le armoniche pari si annullano. Il filtro ideale conserva soltanto la coppia fondamentale. Una volta ottenuta la sinusoide \(y(t)\), il blocco di segno richiede solo di localizzare i due attraversamenti dello zero in un periodo.

La strada, prima di fare i conti

Scrivere esplicitamente il generatore su \(0\leq t<T\).
Calcolare i coefficienti come differenza dei due impulsi traslati.
Individuare le armoniche comprese in \(|f|\leq3/(2T)\).
Sintetizzare \(y(t)\) dalla coppia \(k=\pm1\).
Studiare il segno della cosinusoide e applicare il blocco non lineare a tratti.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Coefficiente di un impulso periodico

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-j2\pi kt/T}\,dt\]

Perché è quella giusta qui

Applicato ai due intervalli rettangolari produce il fattore di cancellazione delle armoniche pari.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Traslazione temporale nella serie

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[x(t-t_0)\longleftrightarrow X_ke^{-j2\pi kt_0/T}\]

Perché è quella giusta qui

Spiega il fattore \((-1)^k\) generato dal ritardo \(T/2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di un periodico

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[y(t)=\sum_kX_kH(k/T)e^{j2\pi kt/T}\]

Perché è quella giusta qui

Mostra che il filtro conserva soltanto la coppia fondamentale.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Sintesi di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[x(t)=\sum_kX_ke^{j2\pi kt/T}\]

Perché è quella giusta qui

Ricostruisce la sinusoide reale dai coefficienti \(X_{\pm1}\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Generatore e coefficienti

Poiché

\[ x(t)=\Pi\!\left(\frac{4t}{T}-\frac12\right) \]

è un impulso unitario su \(0\leq t\leq T/4\), la somma alternata produce, in un periodo,

\[ x_p(t)= \begin{cases} 1,&0\leq t\leq T/4,\\ -1,&T/2\leq t\leq3T/4,\\ 0,&\text{altrove in }[0,T). \end{cases} \]

Il coefficiente \(k\)-esimo è

\[ \begin{aligned} X_k &=\frac1T\int_0^{T/4}e^{-j2\pi kt/T}\,dt -\frac1T\int_{T/2}^{3T/4}e^{-j2\pi kt/T}\,dt\\ &=\frac14\operatorname{sinc}\!\left(\frac k4\right) e^{-j\pi k/4}\,[1-(-1)^k]. \end{aligned} \]

Quindi \(X_k=0\) per \(k\) pari, inclusa la continua. Per \(k\) dispari,

\[ X_k=\frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac k4\right)e^{-j\pi k/4}. \]

2. Uscita del filtro

\[ H(f)=\Pi\!\left(\frac{fT}{3}\right) \]

lascia passare \(|f|\leq3/(2T)\). Tra le righe \(f=k/T\) passano soltanto \(k=0,\pm1\); poiché \(X_0=0\), resta la sola fondamentale.

\[ X_1 =\frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac14\right)e^{-j\pi/4} =\frac{1-j}{\pi}. \]

Pertanto

\[ \begin{aligned} y(t) &=X_1e^{j2\pi t/T}+X_1^*e^{-j2\pi t/T}\\ &=\frac{2\sqrt2}{\pi} \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{\pi}{4}\right)\\ &=\frac2\pi\left[ \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right) +\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right]. \end{aligned} \]

3. Uscita del blocco di segno

In \(0\leq t<T\), \(y(t)=0\) per

\[ t=\frac{3T}{8},\qquad t=\frac{7T}{8}. \]

È positiva su \([0,3T/8)\cup(7T/8,T)\) e negativa su \((3T/8,7T/8)\). Di conseguenza

\[ z(t)= \begin{cases} y(t)-1,&0\leq t<3T/8\ \text{oppure}\ 7T/8<t<T,\\ y(t)+1,&3T/8<t<7T/8, \end{cases} \]

con estensione periodica. Nei due punti isolati si applica la convenzione adottata per \(\operatorname{sign}(0)\), normalmente uguale a zero. Graficamente \(z(t)\) segue la cosinusoide e compie un salto di ampiezza \(2\) a ogni cambio di segno.

Risultato

\[ X_k=\frac14\operatorname{sinc}\!\left(\frac k4\right) e^{-j\pi k/4}[1-(-1)^k], \] \[ y(t)=\frac{2\sqrt2}{\pi} \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}-\frac{\pi}{4}\right), \] \[ z(t)= \begin{cases} y(t)-1,&0\leq t<3T/8\ \text{oppure}\ 7T/8<t<T,\\ y(t)+1,&3T/8<t<7T/8, \end{cases} \quad\text{periodico di periodo }T. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La durata positiva e quella negativa sono entrambe \(T/4\), quindi \(X_0=0\).
Il filtro non modifica \(X_{\pm1}\), perché \(H(\pm1/T)=1\).
L'ampiezza di \(y(t)\) è \(2\sqrt2/\pi\), ottenuta anche come \(2|X_1|\).
Gli intervalli di segno coprono l'intero periodo, esclusi soltanto i due zeri.

Errori che fanno perdere il filo

Assumere periodo \(T/2\): la traslazione di \(T/2\) cambia il segno.
Dimenticare il fattore \(1-(-1)^k\), che elimina tutte le armoniche pari.
Lasciare passare \(k=\pm2\): la banda termina a \(3/(2T)\).
Sottrarre sempre \(1\) nel blocco finale, anche quando \(y(t)<0\).

FonteT_210223.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoDensità uniforme su una cornice rettangolare

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Normalizzare la densità congiunta, ricavare e disegnare \(f_X(x)\), quindi verificare indipendenza e correlazione.

Prima immagine mentale

Il dominio è una cornice: il rettangolo esterno meno quello interno. La marginale si ottiene misurando, per ogni ascissa, la lunghezza verticale ammessa. Le simmetrie rispetto a entrambi gli assi azzerano le medie e il momento misto, ma ciò non implica indipendenza: il foro centrale vieta coppie che le marginali prese separatamente considerano possibili.

La strada, prima di fare i conti

Calcolare l'area del rettangolo esterno e sottrarre quella del foro.
Moltiplicare \(c\) per la lunghezza della sezione verticale del dominio.
Verificare non negatività e integrale unitario della marginale.
Confutare l'indipendenza con un punto interno al foro.
Usare le simmetrie per calcolare media, momento misto e covarianza.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Normalizzazione congiunta

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dx\,dy=1\]

Perché è quella giusta qui

Poiché la densità è costante su \(D\), l’integrale diventa \(c\) moltiplicato per l’area della cornice e determina \(c\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Densità marginale

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy\]

Perché è quella giusta qui

Traduce la lunghezza della sezione verticale nella funzione a gradini \(f_X\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Indipendenza continua

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[X\perp Y\Longleftrightarrow f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\]

Perché è quella giusta qui

Il punto nel foro centrale fornisce un controesempio immediato alla fattorizzazione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Covarianza

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[C_{XY}=E[XY]-\mu_X\mu_Y\]

Perché è quella giusta qui

Con i tre momenti nulli per simmetria dimostra l’incorrelazione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Il dominio mostrato è

\[ D=\bigl([-3,3]\times[-2,2]\bigr) \setminus\bigl((-2,2)\times(-1,1)\bigr). \]

La sua area è

\[ |D|=(6)(4)-(4)(2)=24-8=16. \]

Poiché la densità è uniforme,

\[ 1=\iint_Dc\,dx\,dy=16c \quad\Longrightarrow\quad c=\frac1{16}. \]

Marginale di \(X\)

Per \(|x|\leq2\), la sezione verticale contiene le due strisce \([-2,-1]\) e \([1,2]\), di lunghezza totale \(2\). Per \(2<|x|\leq3\), non c’è il foro e la lunghezza è \(4\). Quindi

\[ f_X(x)= \begin{cases} \dfrac18,&|x|\leq2,\\[1mm] \dfrac14,&2<|x|\leq3,\\[1mm] 0,&|x|>3. \end{cases} \]

Il grafico è pari, con un livello centrale \(1/8\) e due gradini laterali di altezza \(1/4\). La verifica di normalizzazione è

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,dx =4\cdot\frac18+2\cdot\frac14=1. \]

Indipendenza e incorrelazione

Le variabili non sono indipendenti. Per esempio \((0,0)\notin D\), dunque

\[ f_{XY}(0,0)=0, \]

mentre entrambe le marginali sono positive nell’origine e quindi \(f_X(0)f_Y(0)>0\).

Il dominio e la densità sono simmetrici rispetto sia all’asse \(x\) sia all’asse \(y\). Di conseguenza

\[ E[X]=0,\qquad E[Y]=0. \]

Anche l’integrando \(xyf_{XY}(x,y)\) cambia segno riflettendo una sola coordinata, perciò

\[ E[XY]=0. \]

La covarianza è quindi

\[ C_{XY}=E[XY]-E[X]E[Y]=0. \]

Le variabili sono incorrelate, ma dipendenti.

Risultato

\[ c=\frac1{16},\qquad f_X(x)= \begin{cases} \dfrac18,&|x|\leq2,\\ \dfrac14,&2<|x|\leq3,\\ 0,&|x|>3, \end{cases} \] \[ X\ \text{e}\ Y\ \text{sono dipendenti ma incorrelate},\qquad C_{XY}=0. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La densità congiunta integra a \((1/16)\cdot16=1\).
La marginale è non negativa e la sua area totale è \(1\).
La marginale aumenta nelle fasce \(2<|x|\leq3\), perché lì la sezione verticale è più lunga.
La covarianza nulla deriva dalle simmetrie, non da un'ipotesi di indipendenza.

Errori che fanno perdere il filo

Normalizzare con l'area del solo rettangolo esterno \(24\), senza sottrarre il foro.
Assegnare \(f_X(x)=c\): la marginale è \(c\) moltiplicato per una lunghezza verticale.
Concludere che covarianza nulla implica indipendenza; l'implicazione non vale in generale.

FonteT_210223.pdf

12/01 Prova scritta · 150 minutiAppello del 12/01/2021

Segnali e sistemi a tempo discreto · Segnali e sistemi a tempo continuo · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Autocorrelazione di impulsi continui e sequenze finite

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Onda quadra in un passa-banda monolatero con notch

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Densità triangolare: CDF, varianza e probabilità condizionate

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 12/01/2021

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoAutocorrelazione di impulsi continui e sequenze finite

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare \(R_x\) per tre segnali e verificare in ogni caso che \(R_x(0)\) coincida con l’energia.

Prima immagine mentale

L’autocorrelazione misura la sovrapposizione del segnale con una sua copia traslata. Per i rettangoli, ogni sovrapposizione è triangolare; per la sequenza geometrica finita compare una serie geometrica troncata; per l’impulso triangolare basta eseguire i prodotti campione per campione. Tutti e tre i segnali hanno energia finita, quindi il valore nell’origine deve essere proprio \(E_x\).

La strada, prima di fare i conti

Sviluppare l'autocorrelazione della differenza di due rettangoli in quattro termini.
Per la sequenza geometrica, determinare l'intersezione dei supporti al variare del ritardo.
Sfruttare la parità di ogni autocorrelazione per trattare soltanto ritardi non negativi.
Elencare i campioni non nulli di \(3B_6[n-4]\) e costruire la tabella dei prodotti.
Valutare ogni risultato in zero e confrontarlo con la somma dei quadrati.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Autocorrelazione per segnali a energia

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x^*(t-\tau)\,dt,\qquad R_x[m]=\sum_nx[n]x^*[n-m]\]

Perché è quella giusta qui

È la definizione applicata nei tre calcoli continui e discreti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Valore nell'origine

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x(0)=E_x\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce la verifica energetica esplicitamente richiesta dalla traccia.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Autocorrelazione di un rettangolo

Formulario_tds.pdf, pp. 6–7

\[\Pi(t)*\Pi(t)=\Lambda(t)\]

Perché è quella giusta qui

È una conseguenza della convoluzione a pagina 6 e della coppia rettangolo-sinc a pagina 7; trasforma le quattro sovrapposizioni in triangoli traslati.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Somma geometrica finita

Non tabulata nel formulario ufficiale

\[\sum_{k=0}^{N-1}a^k=\frac{1-a^N}{1-a}\]

Perché è quella giusta qui

La somma finita non è tabulata autonomamente: deriva sottraendo due code dell’esponenziale discreto ammesso e chiude l’autocorrelazione troncata.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Differenza di due rettangoli

Sia

\[ x(t)=\Pi(t-1)-\Pi(t+1). \]

Ciascun rettangolo ha durata \(1\). L’autocorrelazione di un rettangolo unitario è \(\Lambda(\tau)\); i due termini incrociati sono triangoli traslati di \(\pm2\) e hanno segno negativo. Quindi

\[ R_x(\tau) =2\Lambda(\tau)-\Lambda(\tau-2)-\Lambda(\tau+2). \]

Nell’origine i due triangoli traslati sono nulli:

\[ R_x(0)=2. \]

I due impulsi hanno supporti disgiunti ed energia unitaria ciascuno, perciò \(E_x=2\), come richiesto.

2. Geometrica troncata

Poiché \(R_{51}[n]\) è non nullo per \(0\leq n\leq50\), il valore assoluto nell’esponente non cambia il segnale:

\[ x[n]=a^n,\quad 0\leq n\leq50,\qquad a=\frac14. \]

Per \(m\geq0\), la sovrapposizione tra \(x[n]\) e \(x[n-m]\) esiste per \(m\leq n\leq50\):

\[ \begin{aligned} R_x[m] &=\sum_{n=m}^{50}a^n a^{n-m}\\ &=a^m\sum_{r=0}^{50-m}a^{2r}\\ &=a^m\frac{1-a^{2(51-m)}}{1-a^2}. \end{aligned} \]

L’autocorrelazione è pari, dunque

\[ R_x[m]= \begin{cases} a^{|m|}\dfrac{1-a^{2(51-|m|)}}{1-a^2},&|m|\leq50,\\[2mm] 0,&|m|>50, \end{cases} \qquad a=\frac14. \]

In zero,

\[ R_x[0]=\frac{1-a^{102}}{1-a^2} =\frac{16}{15}\left(1-4^{-102}\right)=E_x. \]

3. Impulso triangolare discreto

La traslazione non modifica l’autocorrelazione. I campioni utili di \(3B_6[n-4]\), ignorando lo zero iniziale, sono

\[ \{1,2,3,2,1\}. \]

La somma dei prodotti tra copie a distanza \(m\) fornisce

\[ R_x[0]=1+4+9+4+1=19, \]

\[ R_x[\pm1]=16,\quad R_x[\pm2]=10,\quad R_x[\pm3]=4,\quad R_x[\pm4]=1, \]

e \(R_x[m]=0\) per \(|m|\geq5\). In forma tabellare,

\[ R_x[m]= \begin{cases} 19,&m=0,\\ 16,&|m|=1,\\ 10,&|m|=2,\\ 4,&|m|=3,\\ 1,&|m|=4,\\ 0,&|m|\geq5. \end{cases} \]

Il valore \(R_x[0]=19\) coincide ancora con l’energia.

Risultato

\[ R_{x_1}(\tau)=2\Lambda(\tau)-\Lambda(\tau-2)-\Lambda(\tau+2), \qquad R_{x_1}(0)=2, \] \[ R_{x_2}[m]= \begin{cases} \left(\dfrac14\right)^{|m|} \dfrac{1-\left(\frac14\right)^{2(51-|m|)}}{1-\frac1{16}}, &|m|\leq50,\\ 0,&|m|>50, \end{cases} \] \[ R_{x_3}[m]=\{19,16,10,4,1\}\ \text{per}\ |m|=\{0,1,2,3,4\}, \] con valore nullo altrove e \(R_x(0)=E_x\) in ogni caso.

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Tutte e tre le autocorrelazioni sono reali e pari.
Per ogni ritardo, \(|R_x(\tau)|\leq R_x(0)\); i valori ottenuti rispettano il limite.
Il supporto della seconda autocorrelazione è \([-50,50]\), doppio in estensione rispetto al supporto relativo della sequenza.
I valori del terzo caso decrescono da \(19\) a \(1\) al diminuire della sovrapposizione.

Errori che fanno perdere il filo

Dimenticare i due termini incrociati negativi nell'autocorrelazione della differenza di rettangoli.
Usare una serie geometrica infinita nel secondo punto: \(R_{51}\) tronca la sequenza al campione \(50\).
Lasciare il ritardo \(n-4\) dentro il calcolo del terzo caso: una traslazione comune non cambia l'autocorrelazione.

FonteT_210112.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoOnda quadra in un passa-banda monolatero con notch

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare i coefficienti dell’ingresso, la risposta complessiva del sistema e il segnale d’uscita.

Prima immagine mentale

Il primo blocco è sottratto al ramo diretto, perciò crea il fattore \(1-H_1(f)\); il secondo blocco seleziona soltanto una banda a frequenze positive. L’onda quadra possiede solo armoniche dispari. Il notch cancella l’armonica \(k=3\), mentre la banda monolatera elimina tutte le righe negative: rimane soltanto \(k=5\), e l’uscita è quindi complessa.

La strada, prima di fare i conti

Rappresentare l'onda quadra su un periodo e calcolarne la serie.
Trasformare \(h_1(t)\) usando sinc quadrata e modulazione.
Leggere dal diagramma la cascata \(H(f)=[1-H_1(f)]H_2(f)\).
Determinare quali righe dispari appartengono alla banda positiva di \(H_2\).
Valutare il notch sulle righe residue e sintetizzare l'uscita.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Serie di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-j2\pi kt/T}\,dt,\qquad x(t)=\sum_kX_ke^{j2\pi kt/T}\]

Perché è quella giusta qui

Serve sia per l’analisi dell’onda quadra sia per la sintesi dell’unica riga residua.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppia sinc quadrata-triangolo

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\operatorname{sinc}^2(t)\longleftrightarrow\Lambda(f)\]

Perché è quella giusta qui

Permette di ottenere la forma triangolare di \(H_1(f)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)\cos(2\pi f_0t)\longleftrightarrow\frac12[X(f-f_0)+X(f+f_0)]\]

Perché è quella giusta qui

È applicabile perché \(h_1(t)\) contiene \(\cos(6\pi t/T)\), che trasla il triangolo di base nelle due posizioni \(\pm3/T\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di un segnale periodico

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[Y_k=X_kH(k/T)\]

Perché è quella giusta qui

Seleziona la sola armonica \(k=5\) dopo il passa-banda e il notch.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Coefficienti dell’onda quadra

In un periodo centrato nell’origine,

\[ x(t)= \begin{cases} -1,&-T/2<t<0,\\ 1,&0<t<T/2. \end{cases} \]

La media è nulla. Per \(k\neq0\),

\[ \begin{aligned} X_k &=\frac1T\left[ -\int_{-T/2}^{0}e^{-j2\pi kt/T}\,dt +\int_0^{T/2}e^{-j2\pi kt/T}\,dt\right]\\ &=\frac{1-(-1)^k}{j\pi k}. \end{aligned} \]

Quindi

\[ X_0=0,\qquad X_k= \begin{cases} -\dfrac{2j}{\pi k},&k\ \text{dispari},\\ 0,&k\ \text{pari}. \end{cases} \]

2. Risposta complessiva

La coppia sinc-quadrata dà

\[ \frac{2}{T}\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac tT\right) \longleftrightarrow 2\Lambda(fT). \]

La modulazione con \(\cos(6\pi t/T)\), di frequenza \(3/T\), produce

\[ H_1(f)=\Lambda(fT-3)+\Lambda(fT+3). \]

Dal nodo sommatore, il ramo filtrato da \(h_1\) viene sottratto al ramo diretto; poi il risultato attraversa \(H_2\). Dunque

\[ H(f)=\left[1-\Lambda(fT-3)-\Lambda(fT+3)\right] \Pi\!\left(\left|\frac{fT}{4}-1\right|\right). \]

La scrittura stampata di \(H_2\) seleziona

\[ \frac2T\leq f\leq\frac6T. \]

Si tratta quindi di un passa-banda monolatero a frequenze positive, con un notch triangolare centrato in \(3/T\). L’asimmetria implica che la risposta impulsiva complessiva non sia reale.

3. Uscita

Nella banda di \(H_2\) cadono le righe \(k=2,3,4,5,6\). Le righe pari sono nulle già nell’ingresso. La riga \(k=3\) viene cancellata perché

\[ H_1(3/T)=1 \quad\Longrightarrow\quad H(3/T)=0. \]

Resta soltanto \(k=5\), per la quale \(H_1(5/T)=0\) e \(H_2(5/T)=1\). Pertanto

\[ y(t)=X_5e^{j2\pi5t/T} =-\frac{2j}{5\pi}e^{j10\pi t/T}. \]

Non va aggiunta la riga \(k=-5\): il rettangolo \(H_2\) è monolatero e la sopprime.

Risultato

\[ X_0=0,\qquad X_k=\frac{1-(-1)^k}{j\pi k}, \] \[ H(f)=\left[1-\Lambda(fT-3)-\Lambda(fT+3)\right] \Pi\!\left(\left|\frac{fT}{4}-1\right|\right), \] \[ y(t)=-\frac{2j}{5\pi}e^{j10\pi t/T}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Il segnale d'ingresso è reale e dispari, quindi \(X_{-k}=X_k^*\) e i coefficienti sono immaginari puri.
Il supporto di \(H_2\) si ricava da \(\left|fT/4-1\right|\leq1/2\), cioè \(2\leq fT\leq6\).
L'armonica \(k=3\) cade nel massimo del triangolo sottratto e viene annullata esattamente.
L'unica riga d'uscita ha ampiezza \(2/(5\pi)\), uguale a \(|X_5|\).

Errori che fanno perdere il filo

Rendere artificialmente pari \(H_2(f)\): il valore assoluto è interno all'argomento stampato e non genera una seconda banda negativa.
Sommare \(H_1\) al ramo diretto invece di sottrarlo, contro il segno del nodo nel diagramma.
Ricostruire un coseno aggiungendo \(k=-5\), che il filtro monolatero non lascia passare.

FonteT_210112.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoDensità triangolare: CDF, varianza e probabilità condizionate

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Normalizzare \(f_X(x)=K(1-x)\Pi(x-1/2)\), ricavare la CDF e calcolare momenti e probabilità richieste.

Prima immagine mentale

La finestra rettangolare limita il supporto a \([0,1]\), dove la densità è una retta decrescente. Tutti i calcoli diventano quindi integrali elementari del polinomio \(2(1-x)\); per la probabilità condizionata è particolarmente comodo usare direttamente la CDF.

La strada, prima di fare i conti

Tradurre la finestra \(\Pi(x-1/2)\) nel supporto \([0,1]\).
Imporre l'integrale unitario per determinare \(K\).
Integrare la densità fino a \(x\) per costruire la CDF a tratti.
Calcolare primo e secondo momento e sottrarre il quadrato della media.
Trasformare gli eventi nelle corrispondenti disuguaglianze su \(X\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Normalizzazione di una PDF

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[f_X(x)\geq0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)\,dx=1\]

Perché è quella giusta qui

Determina \(K\) e verifica che il triangolo sia una densità valida.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Funzione di ripartizione

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[F_X(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(\alpha)\,d\alpha\]

Perché è quella giusta qui

Produce la CDF e rende immediati i due calcoli di probabilità.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Media e varianza

Formulario_prob.pdf, p. 3

\[E[X]=\int xf_X(x)\,dx,\qquad \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2\]

Perché è quella giusta qui

È applicabile alla densità normalizzata sul supporto \([0,1]\) e fornisce i due momenti necessari per ricavare la varianza.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Qui \(\{X<1/4\}\subset\{X<1/2\}\), quindi l’intersezione al numeratore coincide con l’evento più restrittivo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Normalizzazione e grafico

\[ \Pi\!\left(x-\frac12\right)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\leq x\leq1. \]

La normalizzazione impone

\[ 1=K\int_0^1(1-x)\,dx=\frac K2, \]

quindi

\[ K=2,\qquad f_X(x)= \begin{cases} 2(1-x),&0\leq x\leq1,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Il grafico è il segmento che scende da \(2\) in \(x=0\) a \(0\) in \(x=1\).

2. Funzione di ripartizione

Per \(0\leq x\leq1\),

\[ F_X(x)=\int_0^x2(1-\alpha)\,d\alpha=2x-x^2. \]

Pertanto

\[ F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ 2x-x^2,&0\leq x\leq1,\\ 1,&x>1. \end{cases} \]

3. Varianza

\[ E[X]=\int_0^1 2x(1-x)\,dx=\frac13, \]

\[ E[X^2]=\int_0^1 2x^2(1-x)\,dx=\frac16. \]

Quindi

\[ \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2 =\frac16-\frac19=\frac1{18}. \]

4. Evento trasformato

\[ |4X-2|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac14<X<\frac34. \]

Di conseguenza

\[ \begin{aligned} P(|4X-2|<1) &=F_X(3/4)-F_X(1/4)\\ &=\frac{15}{16}-\frac7{16}\\ &=\frac12. \end{aligned} \]

5. Probabilità condizionata

Poiché \(\{X<1/4\}\subset\{X<1/2\}\),

\[ \begin{aligned} P(X<1/4\mid X<1/2) &=\frac{F_X(1/4)}{F_X(1/2)}\\ &=\frac{7/16}{3/4}\\ &=\frac7{12}. \end{aligned} \]

Risultato

\[ K=2,\qquad F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ 2x-x^2,&0\leq x\leq1,\\ 1,&x>1, \end{cases} \] \[ E[X]=\frac13,\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac1{18}, \] \[ P(|4X-2|<1)=\frac12,\qquad P(X<1/4\mid X<1/2)=\frac7{12}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La densità è non negativa sul supporto e l'area del triangolo è \((1)(2)/2=1\).
La CDF è continua, crescente, vale \(0\) all'estremo sinistro e \(1\) a quello destro.
La varianza \(1/18\) è positiva e inferiore a quella massima compatibile con un supporto lungo uno.
L'intervallo dell'evento \(|4X-2|<1\) è centrato in \(1/2\) e interamente contenuto nel supporto.

Errori che fanno perdere il filo

Usare il supporto \([-1/2,1/2]\): la traslazione \(x-1/2\) sposta la finestra su \([0,1]\).
Confondere \(E[X^2]\) con \(\operatorname{Var}(X)\).
Nella condizionata, dividere per \(P(X<1/4)\) anziché per \(P(X<1/2)\).

FonteT_210112.pdf

02/12 Prova scritta · 150 minutiAppello del 02/12/2020

Segnali e sistemi a tempo discreto · Segnali e sistemi a tempo continuo · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Autocorrelazione mediante Parseval e somme geometriche

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Progetto di un filtro per estrarre una riga da una non linearità

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Finale play-off al meglio delle cinque

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 02/12/2020

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoAutocorrelazione mediante Parseval e somme geometriche

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare l’autocorrelazione di una sinc continua e di due sequenze geometriche, verificando \(R_x(0)=E_x\).

Prima immagine mentale

Per la sinc, il percorso più corto passa dal dominio della frequenza: la trasformata dell’autocorrelazione è \(|X(f)|^2\). Per le due sequenze discrete si deve invece individuare l’intersezione dei supporti e sommare una progressione geometrica, infinita nel secondo caso e finita nel terzo.

La strada, prima di fare i conti

Trasformare la sinc scalata e traslata.
Usare \(R_x\longleftrightarrow|X|^2\) e antitrasformare il rettangolo.
Per la sequenza sinistra, calcolare la sovrapposizione per \(m\geq0\) e usare la parità.
Per la geometrica troncata, ricavare gli estremi comuni dei due supporti.
Porre il ritardo a zero e confrontare con la somma o l'integrale dei quadrati.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Autocorrelazione e spettro di energia

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[R_x(\tau)\longleftrightarrow |X(f)|^2\]

Perché è quella giusta qui

Trasforma il primo calcolo nell’antitrasformata di un rettangolo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppia sinc-rettangolo

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow\Pi(f)\]

Perché è quella giusta qui

Con scalamento e traslazione produce \(X(f)=4e^{-j4\pi f}\Pi(4f)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Parseval

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,dt=\int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2\,df\]

Perché è quella giusta qui

È applicabile perché la sinc è a energia finita e consente di verificare \(E_x=4\) integrando il rettangolo \(|X(f)|^2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Somme geometriche

Non tabulata nel formulario ufficiale

\[\sum_{k=0}^{N-1}a^k=\frac{1-a^N}{1-a},\qquad \sum_{k=0}^{+\infty}a^k=\frac1{1-a}\]

Perché è quella giusta qui

Le somme non sono tabulate come identità autonome: derivano dalle code esponenziali discrete ammesse e chiudono le autocorrelazioni geometrica finita e infinita.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Sinc traslata e dilatata

\[ x(t)=\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t-2}{4}\right) \]

ha trasformata

\[ X(f)=4e^{-j4\pi f}\Pi(4f). \]

L’autocorrelazione non dipende dalla traslazione assoluta. Per il teorema di Wiener,

\[ \mathcal F\{R_x(\tau)\}=|X(f)|^2=16\Pi(4f). \]

Antitrasformando,

\[ R_x(\tau)=4\operatorname{sinc}\!\left(\frac{\tau}{4}\right). \]

Nell’origine,

\[ R_x(0)=4=E_x, \]

risultato che si ottiene anche integrando \(|X(f)|^2\) sulla banda larga \(1/4\).

2. Esponenziale sinistro

Posto \(a=1/4\),

\[ x[n]=a^{-n}u[-n]. \]

Per \(m\geq0\), i due supporti si sovrappongono per \(n\leq0\):

\[ \begin{aligned} R_x[m] &=\sum_{n=-\infty}^{0}a^{-n}a^{-(n-m)}\\ &=a^m\sum_{r=0}^{+\infty}a^{2r}\\ &=\frac{a^m}{1-a^2}. \end{aligned} \]

Per parità,

\[ R_x[m]=\frac{a^{|m|}}{1-a^2} =\frac{16}{15}\left(\frac14\right)^{|m|}. \]

Quindi

\[ R_x[0]=\frac{16}{15}=E_x. \]

3. Geometrica su una finestra finita

\[ x[n]=a^nR_{50}[n+10],\qquad a=\frac14, \]

è non nulla per \(-10\leq n\leq39\). Per \(m\geq0\), l’intersezione con la copia ritardata è \(m-10\leq n\leq39\). Ne segue

\[ \begin{aligned} R_x[m] &=\sum_{n=m-10}^{39}a^na^{n-m}\\ &=a^{m-20}\sum_{r=0}^{49-m}a^{2r}\\ &=a^{m-20}\frac{1-a^{100-2m}}{1-a^2}, \qquad 0\leq m\leq49. \end{aligned} \]

Estendendo per parità,

\[ R_x[m]= \begin{cases} a^{|m|-20}\dfrac{1-a^{100-2|m|}}{1-a^2},&|m|\leq49,\\[2mm] 0,&|m|>49, \end{cases} \qquad a=\frac14. \]

All’origine,

\[ R_x[0]=a^{-20}\frac{1-a^{100}}{1-a^2}=E_x. \]

Risultato

\[ R_{x_1}(\tau)=4\operatorname{sinc}\!\left(\frac{\tau}{4}\right), \] \[ R_{x_2}[m]=\frac{16}{15}\left(\frac14\right)^{|m|}, \] \[ R_{x_3}[m]= \begin{cases} \left(\dfrac14\right)^{|m|-20} \dfrac{1-\left(\frac14\right)^{100-2|m|}}{1-\frac1{16}}, &|m|\leq49,\\ 0,&|m|>49. \end{cases} \] In tutti i casi \(R_x(0)=E_x\).

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La fase \(e^{-j4\pi f}\) scompare in \(|X(f)|^2\), confermando che una traslazione non cambia l'autocorrelazione.
Le tre autocorrelazioni sono pari e raggiungono il massimo in zero.
Nel secondo caso \(R_x[0]=16/15\) coincide con \(\sum_{r=0}^{\infty}(1/16)^r\).
Nel terzo caso il supporto di \(R_x[m]\) è \([-49,49]\), coerente con una sequenza di cinquanta campioni.

Errori che fanno perdere il filo

Mantenere la fase della traslazione dentro \(|X(f)|^2\).
Interpretare \(u[-n]\) come una sequenza destra anziché sinistra.
Perdere il fattore \(a^{-20}\) dovuto all'inizio del terzo supporto in \(n=-10\).

FonteT_201202.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoProgetto di un filtro per estrarre una riga da una non linearità

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Rappresentare l’uscita del primo sistema, calcolarne la trasformata generalizzata e scegliere \(A,f_0,B,t_0\) per ottenere \(y(t)=2\sin(\pi t)\).

Prima immagine mentale

La non linearità conserva il coseno soltanto dove supera \(1/2\): ne risulta un arco di coseno largo quattro unità, ripetuto ogni dodici. Il suo spettro è quindi a righe. Il secondo sistema può essere progettato come un passa-banda strettissimo attorno a \(\pm1/2\), mentre il ritardo ruota le due righe fino a convertirle nel seno desiderato.

La strada, prima di fare i conti

Determinare gli intervalli in cui \(\cos(\pi t/6)\geq1/2\).
Calcolare i coefficienti della serie del segnale periodico finestrato.
Individuare le righe \(k=\pm6\) corrispondenti alla frequenza \(\pm1/2\).
Scrivere la risposta in frequenza parametrica di \(h_2(t)\).
Scegliere banda, centro, ritardo e guadagno e verificarli su entrambe le righe.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Analisi e trasformata di un periodico

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1T\int_Tx(t)e^{-j2\pi kt/T}\,dt,\qquad X(f)=\sum_kX_k\delta(f-k/T)\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce i coefficienti \(Z_k\) e lo spettro generalizzato.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppia sinc-rettangolo e scalamento

Formulario_tds.pdf, pp. 6–7

\[\operatorname{sinc}(Bt)\longleftrightarrow\frac1{|B|}\Pi\!\left(\frac fB\right)\]

Perché è quella giusta qui

Determina le due bande rettangolari della risposta \(H_2(f)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)\cos(2\pi f_0t)\longleftrightarrow\frac12[X(f-f_0)+X(f+f_0)]\]

Perché è quella giusta qui

È applicabile al prodotto con il coseno in \(h_2(t)\) e centra le due copie rettangolari esattamente nelle frequenze \(\pm f_0\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Ritardo temporale

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t-t_0)\longleftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_0}\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce la rotazione di fase necessaria a ottenere un seno.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Uscita della non linearità

L’ingresso ha periodo \(12\). La condizione del gradino è

\[ \cos\!\left(\frac{\pi t}{6}\right)\geq\frac12. \]

Su un periodo centrato nell’origine ciò avviene per \(|t|\leq2\). Quindi un generatore di \(z(t)\) è

\[ z(t)= \begin{cases} \cos(\pi t/6),&|t|\leq2,\\ 0,&2<|t|\leq6, \end{cases} \]

con ripetizione di periodo \(12\).

2. Spettro a righe

I coefficienti sono

\[ \begin{aligned} Z_k &=\frac1{12}\int_{-2}^{2} \cos\!\left(\frac{\pi t}{6}\right)e^{-j2\pi kt/12}\,dt\\ &=\frac16\left[ \operatorname{sinc}\!\left(\frac{k-1}{3}\right) +\operatorname{sinc}\!\left(\frac{k+1}{3}\right)\right]. \end{aligned} \]

La trasformata generalizzata è

\[ Z(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}Z_k \delta\!\left(f-\frac{k}{12}\right). \]

Il segnale desiderato ha righe a \(f=\pm1/2\), cioè \(k=\pm6\). Il coefficiente disponibile è

\[ Z_6=Z_{-6} =\frac16\left[\operatorname{sinc}\!\left(\frac53\right) +\operatorname{sinc}\!\left(\frac73\right)\right] =-\frac{\sqrt3}{70\pi}. \]

3. Progetto del secondo sistema

Per \(B>0\),

\[ \begin{aligned} H_2(f) &=\frac{A}{2B}\left[ \Pi\!\left(\frac{f-f_0}{B}\right) +\Pi\!\left(\frac{f+f_0}{B}\right)\right] e^{-j2\pi ft_0}. \end{aligned} \]

Una scelta possibile, non unica, è

\[ f_0=\frac12,\qquad B=\frac1{12},\qquad t_0=\frac32,\qquad A=\frac{35\pi}{3\sqrt3}. \]

Le due bande hanno semilarghezza \(1/24\), quindi contengono le sole righe \(\pm1/2\) e respingono quelle adiacenti. Alla frequenza positiva,

\[ H_2(1/2) =\frac{A}{2B}e^{-j3\pi/2} =j\,\frac{70\pi}{\sqrt3}. \]

Pertanto

\[ Y(1/2)=Z_6H_2(1/2)=-j. \]

Alla frequenza negativa, per simmetria coniugata,

\[ Y(-1/2)=j. \]

La sintesi è proprio

\[ y(t)=-je^{j\pi t}+je^{-j\pi t}=2\sin(\pi t). \]

Risultato

\[ Z_k=\frac16\left[ \operatorname{sinc}\!\left(\frac{k-1}{3}\right) +\operatorname{sinc}\!\left(\frac{k+1}{3}\right)\right], \qquad Z(f)=\sum_kZ_k\delta\!\left(f-\frac{k}{12}\right). \] Una scelta valida è \[ f_0=\frac12,\qquad B=\frac1{12},\qquad t_0=\frac32,\qquad A=\frac{35\pi}{3\sqrt3}, \] che produce \[ y(t)=2\sin(\pi t). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Il generatore di \(z(t)\) è pari, quindi tutti i coefficienti \(Z_k\) sono reali e soddisfano \(Z_{-k}=Z_k\).
La distanza tra righe è \(1/12\), mentre ciascuna banda scelta ha larghezza \(B=1/12\): gli estremi cadono a metà tra righe adiacenti.
Il prodotto \(Z_6H_2(1/2)\) vale esattamente \(-j\), coefficiente positivo-frequenza di \(2\sin(\pi t)\).
I parametri non sono unici: la verifica sulle righe è ciò che certifica la scelta.

Errori che fanno perdere il filo

Trattare \(z(t)\) come un singolo arco non periodico e usare una trasformata continua invece di uno spettro a righe.
Centrare il filtro in \(f_0=1\) anziché in \(1/2\).
Regolare solo il modulo: senza il ritardo la coppia di righe ricostruirebbe un coseno, non il seno richiesto.

FonteT_201202.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoFinale play-off al meglio delle cinque

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare cinque probabilità relative a una serie che termina quando una squadra raggiunge tre vittorie.

Prima immagine mentale

Ogni partita è una prova di Bernoulli con \(p=0.6\) per la squadra \(A\). Per la vittoria complessiva si può contare quando arriva la terza vittoria; per la quinta gara serve un pareggio \(2\)-\(2\) dopo quattro incontri. Due frasi della traccia ammettono letture diverse: per questo riportiamo sia la probabilità congiunta sia quella condizionata nel punto 2, e distinguiamo “tre vittorie consecutive” da “vittoria per \(3\)-\(0\)” nel punto 3.

La strada, prima di fare i conti

Porre \(p=0.6\) e \(q=0.4\).
Contare la terza vittoria di \(A\) in gara \(3\), \(4\) o \(5\).
Nel secondo punto fissare la prima sconfitta e contare i finali ammessi.
Per tre vittorie consecutive, ricordare che la terza vittoria chiude la serie.
Per gara cinque, imporre due vittorie per parte nelle prime quattro.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Prove di Bernoulli

Formulario_prob.pdf, pp. 1–2

\[P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\]

Perché è quella giusta qui

Conta le disposizioni di vittorie e sconfitte prima della partita decisiva.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Distingue in modo esplicito le due letture del secondo quesito.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Indipendenza

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=\prod_{i=1}^{n}P(A_i)\]

Perché è quella giusta qui

Consente di moltiplicare \(p\) e \(q\) lungo ogni sequenza di gare.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Sia \(p=0.6\) la probabilità di vittoria di \(A\) e \(q=0.4\) quella di \(B\).

1. Vittoria di \(A\)

\(A\) può chiudere in tre, quattro o cinque partite:

\[ \begin{aligned} P(A\text{ vince}) &=p^3+\binom32p^3q+\binom42p^3q^2\\ &=0.216+0.2592+0.20736\\ &=0.68256=\frac{2133}{3125}. \end{aligned} \]

2. Vittoria dopo aver perso la prima

La formulazione naturale chiede l’evento congiunto. Dopo la prima sconfitta, \(A\) può vincere le tre gare successive oppure arrivare alla quinta con due vittorie e una sconfitta nelle gare \(2,3,4\), e poi vincere:

\[ \begin{aligned} P(A\text{ vince}\cap A_1^c) &=qp^3+q\binom32p^3q\\ &=0.19008=\frac{594}{3125}. \end{aligned} \]

Se invece si volesse la probabilità condizionata sapendo già che \(A\) ha perso la prima,

\[ P(A\text{ vince}\mid A_1^c) =\frac{0.19008}{0.4}=0.4752. \]

3. Tre vittorie consecutive

Per osservare tre vittorie consecutive di \(A\), esse devono essere le tre vittorie che chiudono la serie. Prima della sequenza possono esserci zero, una o due sole vittorie di \(B\):

\[ \begin{aligned} P(A\text{ vince tre gare di fila}) &=p^3+qp^3+q^2p^3\\ &=p^3(1+q+q^2)\\ &=0.33696=\frac{1053}{3125}. \end{aligned} \]

Se la docente intendesse invece specificamente una vittoria per \(3\)-\(0\), il solo esito è \(AAA\) e la probabilità sarebbe

\[ p^3=0.216. \]

4. Si disputa la quinta gara

La quinta partita si gioca se dopo quattro incontri il punteggio è \(2\)-\(2\):

\[ P(\text{gara 5})=\binom42p^2q^2 =0.3456=\frac{216}{625}. \]

5. \(B\) vince alla quinta

Occorre arrivare sul \(2\)-\(2\) e poi far vincere \(B\):

\[ P(B\text{ vince in gara 5}) =\binom42p^2q^2q =0.13824=\frac{432}{3125}. \]

Risultato

\[ P(A\text{ vince})=0.68256,\qquad P(A\text{ vince e perde gara 1})=0.19008, \] \[ P(A\text{ vince}\mid\text{perde gara 1})=0.4752, \] \[ P(A\text{ ottiene tre vittorie consecutive})=0.33696 \quad \bigl(P(3\!-\!0)=0.216\bigr), \] \[ P(\text{gara 5})=0.3456,\qquad P(B\text{ vince in gara 5})=0.13824. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La probabilità che \(A\) vinca più quella che \(B\) vinca deve dare uno; il valore \(0.68256>1/2\) è coerente con \(p=0.6\).
La probabilità congiunta del punto 2 è minore sia di \(P(A\text{ vince})\) sia di \(P(A_1^c)=0.4\).
Nel punto 3 non può precedere una vittoria di \(A\): la serie terminerebbe prima di osservare tutte e tre le vittorie successive.
La probabilità di \(B\) in gara cinque è \(0.4\) volte la probabilità che la gara cinque venga disputata.

Errori che fanno perdere il filo

Modellare sempre cinque partite anche quando una squadra raggiunge prima tre vittorie.
Confondere nel punto 2 l'evento congiunto con la condizionata senza dichiarare l'interpretazione.
Nel punto 3 contare sequenze impossibili che continuano dopo la terza vittoria di una squadra.
Per la quinta gara, imporre un generico risultato non decisivo anziché esattamente due vittorie per parte.

FonteT_201202.pdf

26/10 Prova scritta · 150 minutiAppello del 26/10/2020

2× Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Quattro convoluzioni con rettangoli, armoniche e gradini

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Cascata di filtri FIR su un segnale periodico

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Cinque salti gaussiani indipendenti

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 26/10/2020

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoQuattro convoluzioni con rettangoli, armoniche e gradini

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare quattro uscite di convoluzione continue e discrete.

Prima immagine mentale

La geometria dei supporti risolve il primo punto; nel secondo l’esponenziale complesso è un’autofunzione di ogni sistema LTI; nel terzo il segnale periodico va filtrato riga per riga; nell’ultimo la somma di una geometrica bilatera a partire da una soglia richiede due casi.

La strada, prima di fare i conti

Interpretare \(x(-2t)\) come un rettangolo di durata dimezzata e misurare la sovrapposizione.
Integrare il secondo prodotto imponendo il supporto del gradino.
Calcolare i coefficienti di \(\operatorname{rep}_4[\Lambda(t/2)]\) dalla trasformata del generatore.
Lasciare passare soltanto le righe comprese nella banda della sinc.
Nel caso discreto, separare la soglia \(n-2\) positiva o negativa.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione continua e discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y(t)=\int x(\alpha)h(t-\alpha)\,d\alpha,\qquad y[n]=\sum_kx[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

È applicabile a tutti e quattro i punti perché ciascuna uscita è definita come sovrapposizione traslata dei due segnali assegnati.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Ripetizione periodica e Poisson

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[x_p(t)=\operatorname{rep}_T[g(t)]\Longrightarrow X_k=\frac1T G(k/T)\]

Perché è quella giusta qui

Converte la trasformata del triangolo nei coefficienti del terzo ingresso.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppie triangolo-sinc e sinc-rettangolo

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\Lambda(t)\longleftrightarrow\operatorname{sinc}^2(f),\qquad \operatorname{sinc}(t)\longleftrightarrow\Pi(f)\]

Perché è quella giusta qui

Forniscono sia \(X_k\) sia la banda passante del terzo filtro.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Progressione geometrica

Non tabulata nel formulario ufficiale

\[\sum_{k=N}^{+\infty}a^k=\frac{a^N}{1-a},\qquad |a|<1\]

Perché è quella giusta qui

La progressione non è tabulata autonomamente: deriva dalla coda esponenziale discreta ammessa e chiude le due parti della somma nel quarto punto.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Due rettangoli di diversa durata

\[ x(t)=\Pi\!\left(\frac t2\right) \]

ha supporto \([-1,1]\), mentre

\[ x(-2t)=\Pi(t) \]

ha supporto \([-1/2,1/2]\). La convoluzione è la lunghezza della loro sovrapposizione. Il rettangolo stretto è completamente contenuto per \(|t|\leq1/2\), poi la sovrapposizione decresce linearmente:

\[ y_1(t)= \begin{cases} 1,&|t|\leq\frac12,\\ \frac32-|t|,&\frac12<|t|\leq\frac32,\\ 0,&|t|>\frac32. \end{cases} \]

2. Esponenziale complesso

\[ y_2(t)=e^{jt}*\bigl[e^{-(t-1)}u(t)\bigr]. \]

Nell’integrale di convoluzione il gradino impone \(\alpha\leq t\):

\[ \begin{aligned} y_2(t) &=\int_{-\infty}^{t}e^{j\alpha}e^{-(t-\alpha-1)}\,d\alpha\\ &=e^{1-t}\int_{-\infty}^{t}e^{(1+j)\alpha}\,d\alpha\\ &=\frac{e}{1+j}e^{jt}. \end{aligned} \]

Il coefficiente \(e/(1+j)\) è proprio la risposta armonica del secondo fattore alla pulsazione \(1\).

3. Periodico filtrato da una sinc

Per il generatore \(g(t)=\Lambda(t/2)\),

\[ G(f)=2\operatorname{sinc}^2(2f). \]

I coefficienti della ripetizione di periodo \(4\) sono

\[ X_k=\frac14G(k/4) =\frac12\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac k2\right). \]

Il filtro

\[ h(t)=\operatorname{sinc}\!\left(\frac{2t}{3}\right) \]

ha risposta

\[ H(f)=\frac32\Pi\!\left(\frac{3f}{2}\right), \]

non nulla per \(|f|\leq1/3\). Tra le righe \(k/4\) passano soltanto \(k=0,\pm1\). Si ha

\[ Y_0=\frac32\frac12=\frac34, \]

\[ Y_{\pm1}=\frac32\cdot\frac12 \operatorname{sinc}^2\!\left(\frac12\right) =\frac3{\pi^2}. \]

Pertanto

\[ y_3(t)=\frac34+\frac6{\pi^2}\cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right). \]

4. Geometrica bilatera e gradino sinistro

Posto \(a=1/4\),

\[ y_4[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a^{|k|}u[2-(n-k)] =\sum_{k=n-2}^{+\infty}a^{|k|}. \]

Se \(n\geq2\), tutti gli indici della somma sono non negativi:

\[ y_4[n]=\frac{a^{n-2}}{1-a} =\frac43\left(\frac14\right)^{n-2}. \]

Se \(n\leq2\), si separano gli indici negativi da quelli non negativi:

\[ y_4[n] =\sum_{k=n-2}^{-1}a^{-k}+\sum_{k=0}^{+\infty}a^k =\frac53-\frac43\left(\frac14\right)^{3-n}. \]

Quindi

\[ y_4[n]= \begin{cases} \dfrac53-\dfrac43\left(\dfrac14\right)^{3-n},&n\leq2,\\[2mm] \dfrac43\left(\dfrac14\right)^{n-2},&n\geq2. \end{cases} \]

Le due formule coincidono in \(n=2\), dove valgono \(4/3\).

Risultato

\[ y_1(t)= \begin{cases} 1,&|t|\leq1/2,\\ 3/2-|t|,&1/2<|t|\leq3/2,\\ 0,&|t|>3/2, \end{cases} \qquad y_2(t)=\frac{e}{1+j}e^{jt}, \] \[ y_3(t)=\frac34+\frac6{\pi^2}\cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right), \] \[ y_4[n]= \begin{cases} \dfrac53-\dfrac43(1/4)^{3-n},&n\leq2,\\ \dfrac43(1/4)^{n-2},&n\geq2. \end{cases} \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

L'area del primo risultato è il prodotto delle aree dei due rettangoli, \(2\cdot1=2\).
Nel secondo punto l'uscita mantiene la frequenza dell'esponenziale complesso, come previsto dalla proprietà di autofunzione.
Nel terzo punto la continua vale \(H(0)X_0=(3/2)(1/2)=3/4\).
Nel quarto punto entrambe le espressioni danno \(y_4[2]=4/3\) e la coda destra tende a zero.

Errori che fanno perdere il filo

Dimenticare lo scalamento temporale in \(x(-2t)\) e usare due rettangoli entrambi larghi due.
Traslare anche il gradino nel secondo segnale: la traccia contiene \(e^{-(t-1)}u(t)\), non \(u(t-1)\).
Applicare il filtro sinc direttamente al generatore non periodico, ignorando lo spettro a righe.
Usare una sola somma geometrica nel quarto punto anche quando la soglia attraversa l'indice zero.

FonteT_201026.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoCascata di filtri FIR su un segnale periodico

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare le risposte armoniche, interpretare i filtri e determinare uscita, media e potenza nel dominio della frequenza.

Prima immagine mentale

Il primo FIR è una differenza centrale e annulla sia la continua sia la frequenza di Nyquist: per questo elimina interamente \(\sin^2(\pi n/2)\). Resta il treno periodico di impulsi rettangolari. Moltiplicando i suoi coefficienti per le due risposte armoniche, oppure equivalentemente usando la risposta impulsiva complessiva, si ottiene un periodo con due soli campioni non nulli.

La strada, prima di fare i conti

Trasformare le quattro delta ritardate dei due filtri.
Studiare zeri e massimi dei moduli su \(-1/2\leq\nu\leq1/2\).
Scomporre \(\sin^2(\pi n/2)\) nelle righe \(\nu=0\) e \(\nu=1/2\).
Calcolare i coefficienti del treno \(2\operatorname{rep}_5[R_3]\) e moltiplicarli per \(H_1H_2\).
Ricostruire un periodo e calcolarne media e potenza.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

DTFT

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[H(\nu)=\sum_nh[n]e^{-j2\pi\nu n}\]

Perché è quella giusta qui

Trasforma direttamente ciascuna delta ritardata nelle due risposte armoniche.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Cascata di sistemi LTI

Formulario_tds.pdf, pp. 4–6

\[h[n]=h_1[n]*h_2[n]\Longleftrightarrow H(\nu)=H_1(\nu)H_2(\nu)\]

Perché è quella giusta qui

Permette di moltiplicare le risposte e di ricavare la risposta impulsiva complessiva.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di un periodico discreto

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[Y_k=X_kH(k/N)\]

Perché è quella giusta qui

È applicabile perché l’ingresso ha periodo cinque e il sistema è LTI; moltiplicando ogni riga per \(H(k/5)\) si ottengono i coefficienti \(Y_k\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Potenza di un periodico discreto

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[P_x=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2\]

Perché è quella giusta qui

Calcola la potenza \(8/5\) dai cinque campioni d’uscita.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

1. Risposte armoniche

\[ h_1[n]=\delta[n-1]-\delta[n+1] \]

ha risposta

\[ H_1(\nu)=e^{-j2\pi\nu}-e^{j2\pi\nu} =-2j\sin(2\pi\nu), \]

e quindi

\[ |H_1(\nu)|=2|\sin(2\pi\nu)|. \]

È una differenza centrale: annulla la continua e la frequenza di Nyquist e mette in evidenza le frequenze intermedie.

Per

\[ h_2[n]=\delta[n]+\delta[n-3], \]

\[ H_2(\nu)=1+e^{-j6\pi\nu} =2e^{-j3\pi\nu}\cos(3\pi\nu), \]

\[ |H_2(\nu)|=2|\cos(3\pi\nu)|. \]

È un filtro a pettine, con zeri periodici dove \(\cos(3\pi\nu)=0\). Il sistema complessivo ha \(H(\nu)=H_1(\nu)H_2(\nu)\) e

\[ h[n]=\delta[n-1]+\delta[n-4]-\delta[n+1]-\delta[n-2]. \]

2. Uscita

La prima componente dell’ingresso è

\[ \sin^2\!\left(\frac{\pi n}{2}\right) =\frac12-\frac12\cos(\pi n). \]

Contiene soltanto le righe \(\nu=0\) e \(\nu=1/2\), entrambe annullate da \(H_1\), quindi non contribuisce.

Per il termine

\[ p[n]=2\operatorname{rep}_5[R_3[n]], \]

i coefficienti sono

\[ P_k=\frac25\sum_{r=0}^{2}e^{-j2\pi kr/5}. \]

Nel dominio della frequenza,

\[ Y_k=P_kH_1(k/5)H_2(k/5). \]

Semplificando, si ottiene

\[ Y_k=\frac25\left( e^{-j2\pi k/5}-e^{-j8\pi k/5} \right). \]

Questi sono precisamente i coefficienti della sequenza periodica che, su \(0\leq n\leq4\), vale

\[ \{y[0],y[1],y[2],y[3],y[4]\} =\{0,2,0,0,-2\}. \]

La media è

\[ \mu_y=\frac15(0+2+0+0-2)=0, \]

e la potenza

\[ P_y=\frac15(0^2+2^2+0^2+0^2+(-2)^2) =\frac85. \]

Risultato

\[ H_1(\nu)=-2j\sin(2\pi\nu),\qquad H_2(\nu)=2e^{-j3\pi\nu}\cos(3\pi\nu), \] \[ Y_k=\frac25\left(e^{-j2\pi k/5}-e^{-j8\pi k/5}\right), \] \[ \{y[0],\ldots,y[4]\}=\{0,2,0,0,-2\},\qquad \mu_y=0,\qquad P_y=\frac85. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(H_1(0)=H_1(1/2)=0\), quindi la componente \(\sin^2(\pi n/2)\) deve sparire completamente.
La risposta complessiva contiene due delta positive e due negative, dunque la sua somma è zero e annulla la continua.
I cinque campioni d'uscita sommano a zero, coerentemente con \(Y_0=0\).
Parseval discreto sulla serie dà \(\sum_{k=0}^{4}|Y_k|^2=8/5\), uguale alla potenza calcolata nel tempo.

Errori che fanno perdere il filo

Scrivere \(H_1(\nu)=2\cos(2\pi\nu)\): il segno tra le delta è una differenza, non una somma.
Lasciare passare la componente alternata di \(\sin^2(\pi n/2)\), benché \(H_1(1/2)=0\).
Dimenticare il fattore \(2\) davanti al treno di \(R_3[n]\).
Calcolare l'energia finita dell'uscita: il segnale è periodico non nullo, quindi va calcolata la potenza.

FonteT_201026.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoCinque salti gaussiani indipendenti

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare probabilità su un singolo salto, una probabilità condizionata e due eventi relativi a cinque tentativi.

Prima immagine mentale

Nel corso la notazione \(\mathcal N(\mu,\sigma^2)\) usa come secondo parametro la varianza: qui \(\sigma^2=0.25\) e quindi \(\sigma=0.5\). Standardizzando, \(7\), \(8\) e \(8.5\) corrispondono rispettivamente a \(-1\), \(1\) e \(2\). L’indipendenza trasforma gli eventi su tutti i salti in potenze della probabilità di un singolo tentativo.

La strada, prima di fare i conti

Ricavare \(\sigma=\sqrt{0.25}=0.5\) e standardizzare le tre soglie.
Usare la coda normale per il miglioramento al primo salto.
Scrivere la probabilità condizionata come rapporto di due code annidate.
Elevare alla quinta la probabilità dell'intervallo per l'evento “tutti”.
Usare l'evento complementare per il massimo dei cinque salti.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Densità e standardizzazione gaussiana

Formulario_prob.pdf, pp. 2–3

\[X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2),\qquad Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal N(0,1)\]

Perché è quella giusta qui

Porta tutte le soglie ai valori standard \(-1\), \(1\) e \(2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Con eventi annidati riduce il secondo quesito al rapporto di due code gaussiane.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Indipendenza

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=\prod_{i=1}^{n}P(A_i)\]

Perché è quella giusta qui

Giustifica le potenze quinte nei quesiti sui cinque tentativi.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Sia

\[ X_i\sim\mathcal N(7.5,0.25),\qquad \sigma=0.5, \]

con i cinque tentativi indipendenti. Indichiamo con \(\Phi\) la CDF della normale standard.

1. Migliora il personale al primo salto

\[ P(X_1>8) =1-\Phi\!\left(\frac{8-7.5}{0.5}\right) =1-\Phi(1) =\Phi(-1) \approx0.158655254. \]

2. Record dato il miglioramento

Poiché \(\{X_1>8.5\}\subset\{X_1>8\}\),

\[ \begin{aligned} P(X_1>8.5\mid X_1>8) &=\frac{P(X_1>8.5)}{P(X_1>8)}\\ &=\frac{\Phi(-2)}{\Phi(-1)}\\ &\approx0.143393499. \end{aligned} \]

3. Tutti i salti tra \(7\) e \(8\) metri

Per un singolo salto,

\[ P(7<X_i<8)=\Phi(1)-\Phi(-1). \]

L’indipendenza dà

\[ \begin{aligned} P(7<X_i<8\ \forall i) &=[\Phi(1)-\Phi(-1)]^5\\ &\approx0.148291443. \end{aligned} \]

4. Il migliore supera \(8\) metri

L’evento complementare è che tutti i salti siano al più \(8\):

\[ \begin{aligned} P\!\left(\max_{1\leq i\leq5}X_i>8\right) &=1-P(X_1\leq8,\ldots,X_5\leq8)\\ &=1-[\Phi(1)]^5\\ &\approx0.578429770. \end{aligned} \]

Risultato

\[ P(X_1>8)\approx0.158655254, \] \[ P(X_1>8.5\mid X_1>8)\approx0.143393499, \] \[ P(7<X_i<8\ \forall i)\approx0.148291443, \] \[ P\!\left(\max_iX_i>8\right)\approx0.578429770. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La soglia del personale è una deviazione standard sopra la media, quindi la probabilità del primo punto deve essere circa \(0.16\).
La condizionata del secondo punto è inferiore a uno e maggiore della probabilità non condizionata di superare \(8.5\).
La probabilità di tutti i cinque salti nell'intervallo è inferiore alla probabilità \(0.6827\) di un solo salto.
La probabilità che almeno un salto superi \(8\) è maggiore di quella del primo tentativo e inferiore a uno.

Errori che fanno perdere il filo

Usare \(0.25\) come deviazione standard anziché come varianza, contro la convenzione del corso.
Nel secondo punto, dividere la probabilità dell'intervallo \(8<X<8.5\) per \(P(X>8)\).
Nel terzo punto, moltiplicare la probabilità per \(5\) invece di elevarla alla quinta.
Nel quarto punto, calcolare \([1-\Phi(1)]^5\), che descrive tutti e cinque i salti oltre \(8\).

FonteT_201026.pdf

21/09 Prova scritta · 150 minutiAppello del 21/09/2020

Segnali e sistemi a tempo discreto · Segnali e sistemi a tempo continuo · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Classificazione di tre sistemi

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Raddrizzatore ideale e filtro esponenziale

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Test di ammissione e inferenza sul candidato

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 21/09/2020

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoClassificazione di tre sistemi

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Classificare i tre legami ingresso-uscita e ricavare \(h[n]\) quando il sistema è LTI.

Prima immagine mentale

La domanda si risolve più rapidamente cercando prima la struttura del legame. Nel primo caso l’ingresso compare due volte e questo anticipa la non linearità. Nel secondo la somma della coda futura può essere riscritta come convoluzione con un gradino sinistro. Nel terzo la delta discreta seleziona un solo campione e rivela un decimatore.

La strada, prima di fare i conti

Applicare il test di omogeneità e il test di traslazione temporale al primo legame.
Confrontare la seconda somma con la convoluzione discreta e calcolare la risposta alla delta.
Usare la condizione su \(h[n]\) per causalità, istantaneità e stabilità del sistema LTI.
Nel terzo legame applicare la proprietà di selezione di \(\delta[2n-k]\).
Verificare causalità e invarianza del decimatore con un controesempio temporale.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Proprietà di selezione della delta discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\]

Perché è quella giusta qui

Con \(n_0=2n\) riduce il terzo legame a \(y[n]=x[2n]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Convoluzione discreta LTI

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

Permette di riconoscere la seconda somma come convoluzione con \(h[n]=u[-n-1]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Causalità e stabilità LTI

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[h[n]=0\ \text{per}\ n<0,\qquad \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|h[n]|<+\infty\]

Perché è quella giusta qui

Le due condizioni classificano senza ambiguità il secondo sistema; per gli altri due la classificazione viene invece dalla definizione perché non sono LTI.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Primo sistema

Il legame è

\[ \mathcal T\{x\}(t)=x(t)*x(-2t) =\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha)\, x\!\left[-2(t-\alpha)\right]d\alpha . \]

Se l’ingresso viene moltiplicato per una costante \(a\), entrambe le copie dell’ingresso vengono moltiplicate per \(a\):

\[ \mathcal T\{a x\}(t)=a^2\mathcal T\{x\}(t). \]

In generale \(a^2\mathcal T\{x\}\neq a\mathcal T\{x\}\); il sistema è quindi non lineare. Per controllare l’invarianza, si trasla l’ingresso:

\[ \begin{aligned} \mathcal T\{x(t-t_0)\}(t) &=\int x(\alpha-t_0) x\!\left[-2(t-\alpha)-t_0\right]d\alpha\\ &=\int x(\beta) x\!\left[-2t+2\beta+t_0\right]d\beta , \end{aligned} \]

dove \(\beta=\alpha-t_0\). L’uscita semplicemente traslata sarebbe invece

\[ y(t-t_0)=\int x(\beta) x\!\left[-2t+2\beta+2t_0\right]d\beta . \]

I due risultati non coincidono: il sistema è tempo-variante. L’integrale usa campioni dell’ingresso su tutto l’asse; per esempio, per \(\alpha>t\) compare un valore futuro rispetto all’istante di uscita. Il sistema è dunque non causale e dispersivo, perché l’uscita in \(t\) non dipende dal solo \(x(t)\). Non è BIBO stabile: l’ingresso limitato \(x(t)=1\) renderebbe divergente l’integrale di convoluzione. Essendo non LTI, non possiede una risposta impulsiva che possa caratterizzarlo mediante convoluzione.

Secondo sistema

\[ y[n]=\sum_{k=n+1}^{+\infty}x[k]. \]

La somma è lineare. Inoltre, per l’ingresso traslato \(x[n-n_0]\),

\[ \sum_{k=n+1}^{+\infty}x[k-n_0] =\sum_{r=n-n_0+1}^{+\infty}x[r] =y[n-n_0], \]

perciò il sistema è tempo-invariante. La risposta alla delta è

\[ \begin{aligned} h[n] &=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\delta[k]\\ &= \begin{cases} 1,&n\leq-1,\\ 0,&n\geq0, \end{cases} =u[-n-1]. \end{aligned} \]

Infatti

\[ (x*h)[n] =\sum_k x[k]u[k-n-1] =\sum_{k=n+1}^{+\infty}x[k]. \]

Il sistema è quindi LTI, non causale perché \(h[n]\neq0\) per \(n<0\), dispersivo perché \(h[n]\) non è una delta, e instabile perché

\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|h[n]|=+\infty. \]

Terzo sistema

La delta di Kronecker è non nulla soltanto quando \(k=2n\):

\[ y[n]=\sum_k\delta[2n-k]x[k]=x[2n]. \]

È un decimatore di fattore \(2\). Il sistema è lineare, ma non è tempo-invariante:

\[ \mathcal T\{x[n-n_0]\}=x[2n-n_0], \qquad y[n-n_0]=x[2n-2n_0]. \]

Per \(n_0\neq0\) i due segnali sono in generale diversi. È non causale, poiché per \(n>0\) usa il campione futuro \(x[2n]\); è non istantaneo e quindi dispersivo, perché usa \(x[2n]\) invece di \(x[n]\). È però BIBO stabile:

\[ |x[n]|\leq M\quad\Longrightarrow\quad |y[n]|=|x[2n]|\leq M. \]

La risposta alla delta sarebbe \(\delta[2n]=\delta[n]\), ma non può essere usata come risposta impulsiva caratterizzante: il sistema non è tempo-invariante.

Risultato

\[ \begin{array}{c|ccccc} \text{sistema}&\text{lineare}&\text{tempo-invariante}&\text{causale}& \text{istantaneo}&\text{stabile}\\ \hline x*x(-2\,\cdot)&\text{no}&\text{no}&\text{no}&\text{no}&\text{no}\\ \sum_{k=n+1}^{\infty}x[k]&\text{sì}&\text{sì}&\text{no}&\text{no}&\text{no}\\ x[2n]&\text{sì}&\text{no}&\text{no}&\text{no}&\text{sì} \end{array} \qquad h[n]=u[-n-1]\ \text{solo per il secondo sistema}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Nel primo sistema la scalatura produce \(a^2\), prova immediata della non linearità.
Per il secondo sistema \(h[-1]=1\) e \(h[0]=0\), coerentemente con il fatto che la somma parte da \(n+1\).
La somma assoluta di \(u[-n-1]\) diverge, quindi il sistema LTI non è stabile.
Il decimatore conserva il limite di ampiezza dell'ingresso, quindi è BIBO stabile.

Errori che fanno perdere il filo

Confondere la convoluzione del primo sistema con un sistema LTI: anche la seconda funzione dipende dall'ingresso.
Scrivere \(h[n]=u[-n]\) nel secondo caso, includendo erroneamente \(x[n]\).
Ritenere causale \(y[n]=x[2n]\) soltanto perché non contiene somme infinite.
Usare \(\mathcal T\{\delta\}\) per caratterizzare un sistema tempo-variante.

FonteT_200921.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoRaddrizzatore ideale e filtro esponenziale

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare la serie di Fourier di \(|\cos(2\pi f_0t)|\), imporre le due specifiche e ricavare la banda a \(3\,\mathrm{dB}\).

Prima immagine mentale

Il valore assoluto dimezza il periodo: la frequenza fondamentale minima del segnale è \(2f_0\). Nella seconda richiesta esiste però una convenzione terminologica importante: lo svolgimento della professoressa chiama “quarta armonica” la riga a \(4f_0\), contando i multipli della frequenza del coseno originario. Seguiamo questa convenzione come risultato principale e riportiamo anche la lettura basata sul periodo minimo.

La strada, prima di fare i conti

Individuare il periodo \(T_x\) e calcolare i coefficienti complessi su un periodo centrato.
Trasformare \(h(t)\) per ottenere \(H(f)\).
Imporre \(H(0)=1\) per conservare la componente continua.
Seguire lo svolgimento ufficiale valutando \(H(f)\) sulla riga \(4f_0\) e imporre il rapporto di potenza.
Ricavare la frequenza di taglio dal punto in cui \(|H|^2\) si dimezza.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Analisi della serie di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}\,dt\]

Perché è quella giusta qui

Si applica con \(T_0=T_x=1/(2f_0)\); l’integrale viene poi ridotto a due funzioni \(\operatorname{sinc}\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Esponenziale monolatero

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[Ae^{-t/T}u(t)\longleftrightarrow \frac{AT}{1+j2\pi fT}\]

Perché è quella giusta qui

È esattamente la risposta impulsiva assegnata e fornisce il guadagno statico e l’attenuazione armonica.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di segnali periodici

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[Y_k=H(kf_0)X_k\]

Perché è quella giusta qui

Nel formulario la relazione è scritta in forma cosinusoidale; sui coefficienti complessi equivale a moltiplicare ogni armonica per \(H(kf_0)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtro del primo ordine e taglio

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[|H(f)|_{\mathrm{dB}}=-10\log_{10}\!\left[1+(2\pi fT)^2\right],\qquad f_T=\frac{1}{2\pi T}\]

Perché è quella giusta qui

Dopo aver imposto \(AT=1\), il filtro coincide con il passa-basso del primo ordine del formulario.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Periodo e serie di Fourier

Poiché il valore assoluto rende identiche le due semionde,

\[ T_x=\frac{1}{2f_0}, \qquad f_x=\frac{1}{T_x}=2f_0. \]

Su \([-T_x/2,T_x/2]\) il coseno è non negativo, quindi \(x(t)=\cos(2\pi f_0t)\). I coefficienti complessi sono

\[ \begin{aligned} X_k &=\frac{1}{T_x}\int_{-T_x/2}^{T_x/2} \cos(2\pi f_0t)e^{-j2\pi kf_xt}\,dt\\ &=\frac12\left[ \operatorname{sinc}\!\left(k-\frac12\right) +\operatorname{sinc}\!\left(k+\frac12\right) \right]\\ &=\frac{2(-1)^k}{\pi(1-4k^2)}, \qquad k\in\mathbb Z . \end{aligned} \]

La formula include anche la continua:

\[ X_0=\frac{2}{\pi}. \]

Essendo il segnale reale e pari, tutti i coefficienti sono reali e \(X_{-k}=X_k\). La forma trigonometrica equivalente è

\[ x(t)=\frac{2}{\pi} +\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{1-4k^2} \cos(4\pi kf_0t). \]

In particolare il coefficiente della prima cosinusoide è positivo, \(4/(3\pi)\), mentre quello della seconda è negativo, \(-4/(15\pi)\): l’alternanza è coerente con la cuspide del segnale raddrizzato.

Risposta armonica e specifica in continua

La trasformata dell’esponenziale monolatero è

\[ H(f)=\frac{AT}{1+j2\pi fT}. \]

La componente continua in uscita è \(Y_0=H(0)X_0=ATX_0\). Per averla identica a quella d’ingresso occorre

\[ AT=1, \qquad A=\frac1T. \]

Con questa scelta

\[ H(f)=\frac{1}{1+j2\pi fT}, \qquad |H(f)|^2=\frac{1}{1+(2\pi fT)^2}. \]

Specifica sulla quarta armonica: convenzione ufficiale

Lo svolgimento allegato all’appello interpreta “quarta armonica” come la riga al quarto multiplo della frequenza del coseno che precede il raddrizzamento:

\[ f_4=4f_0. \]

Questa riga è presente nello spettro, anche se, rispetto alla fondamentale minima \(f_x=2f_0\), è la seconda armonica.

Il rapporto fra la potenza della riga in uscita e quella della corrispondente riga in ingresso è \(|H(f_4)|^2\). La specifica dà

\[ \frac{1}{1+(8\pi f_0T)^2}=\frac{1}{100}. \]

Da cui

\[ (8\pi f_0T)^2=99, \qquad T=\frac{\sqrt{99}}{8\pi f_0} =\frac{\sqrt{99}}{4\pi}T_x, \]

\[ A=\frac{8\pi f_0}{\sqrt{99}}. \]

Numericamente

\[ T\simeq0.791786\,T_x. \]

Se si indica con \(T_c=1/f_0\) il periodo del coseno non raddrizzato, lo stesso risultato è

\[ T=\frac{\sqrt{99}}{8\pi}T_c \simeq0.395893\,T_c, \]

che nello svolgimento manoscritto viene arrotondato a \(T\simeq2T_c/5\).

Banda a tre decibel

La frequenza positiva alla quale la potenza si dimezza soddisfa

\[ |H(B_{3\mathrm{dB}})|^2=\frac12. \]

Pertanto

\[ B_{3\mathrm{dB}} =\frac{1}{2\pi T} =\frac{4f_0}{\sqrt{99}} \simeq0.402015\,f_0. \]

Questa è la banda monolatera, cioè la frequenza di taglio positiva. Se si chiama banda la larghezza complessiva dell’intervallo simmetrico, essa è \(2B_{3\mathrm{dB}}\).

Lettura basata sul periodo fondamentale minimo

Se l’espressione “quarta armonica” viene invece intesa in senso stretto rispetto a \(f_x=2f_0\), la frequenza da usare è \(8f_0\). In tal caso si ottengono i valori, diversi di un fattore due,

\[ T_{\mathrm{min}}=\frac{\sqrt{99}}{16\pi f_0}, \qquad A_{\mathrm{min}}=\frac{16\pi f_0}{\sqrt{99}}, \qquad B_{3\mathrm{dB,min}}=\frac{8f_0}{\sqrt{99}}. \]

Questa seconda terna è matematicamente coerente con il periodo minimo, ma non è quella adottata nella soluzione della professoressa.

Risultato

\[ X_k=\frac{2(-1)^k}{\pi(1-4k^2)},\qquad T=\frac{\sqrt{99}}{8\pi f_0},\qquad A=\frac{8\pi f_0}{\sqrt{99}}, \] \[ B_{3\mathrm{dB}}=\frac{4f_0}{\sqrt{99}} \quad\text{(convenzione dello svolgimento ufficiale)}. \] \[ T_{\mathrm{min}}=\frac{\sqrt{99}}{16\pi f_0},\quad A_{\mathrm{min}}=\frac{16\pi f_0}{\sqrt{99}},\quad B_{3\mathrm{dB,min}}=\frac{8f_0}{\sqrt{99}} \quad\text{(lettura sul periodo minimo)}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La media nota di \(|\cos(\cdot)|\) è \(2/\pi\), quindi \(X_0\) è corretto.
Con \(A=1/T\), \(H(0)=1\) e la continua resta invariata.
Sostituendo \(f=4f_0\) con la convenzione ufficiale, si ottiene esattamente \(|H|^2=1/100\).
Alla frequenza \(B_{3\mathrm{dB}}=1/(2\pi T)\), il modulo vale \(1/\sqrt2\).

Errori che fanno perdere il filo

Usare \(8f_0\) senza dichiarare la lettura: lo svolgimento ufficiale chiama quarta armonica la riga a \(4f_0\).
Imporre un rapporto di ampiezza pari a \(1/100\) invece di un rapporto di potenza.
Scrivere \(X_0=1/\pi\): l'area media di una semionda raddrizzata è \(2/\pi\).
Confondere la banda monolatera con la larghezza bilatera.

FonteT_200921.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoTest di ammissione e inferenza sul candidato

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare probabilità binomiali, posteriori di Bayes e la probabilità di una risposta corretta dopo un errore.

Prima immagine mentale

Il numero di risposte corrette è binomiale soltanto dopo aver fissato il tipo di candidato. Le probabilità globali sono quindi una miscela di due popolazioni. L’ultimo punto è particolarmente istruttivo: le risposte sono indipendenti condizionatamente al tipo, ma osservare un errore cambia la probabilità che il candidato appartenga a ciascun tipo.

La strada, prima di fare i conti

Definire l'evento di superamento come almeno cinque successi su sei prove.
Calcolare le probabilità condizionate al tipo con la legge binomiale.
Usare probabilità totale e Bayes per i due posteriori richiesti.
Nel quarto punto condizionare prima sul tipo del candidato.
Controllare che ogni posteriore sia compreso fra le probabilità condizionate rilevanti.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Prove di Bernoulli

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(K=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\]

Perché è quella giusta qui

Si applica separatamente con \(n=6\), \(p=0.5\) e \(p=0.9\), sommando i casi \(k=5\) e \(k=6\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità totale

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(E)=\sum_i P(E\mid B_i)P(B_i)\]

Perché è quella giusta qui

Gli eventi \(A\) e \(B\) formano la partizione usata per ottenere le probabilità globali di ammissione, esclusione ed errore.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata e Bayes

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce sia la quota di preparati fra ammessi o esclusi, sia la probabilità dell’ultima risposta dopo aver osservato la prima.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Indichiamo con \(A\) il candidato non preparato, con \(B\) quello preparato e con \(S\) il superamento del test. Le probabilità a priori sono

\[ P(A)=0.7,\qquad P(B)=0.3. \]

Candidato non preparato ammesso

Per un candidato di tipo \(A\), il numero \(N\) di risposte corrette ha distribuzione binomiale con \(6\) prove e probabilità di successo \(1/2\). Il test è superato con \(N=5\) oppure \(N=6\):

\[ \begin{aligned} P(S\mid A) &=\binom65\left(\frac12\right)^5\left(\frac12\right) +\binom66\left(\frac12\right)^6\\ &=\frac6{64}+\frac1{64} =\frac7{64} =0.109375. \end{aligned} \]

Per i passaggi successivi serve anche

\[ \begin{aligned} P(S\mid B) &=\binom65(0.9)^5(0.1)+(0.9)^6\\ &=0.885735. \end{aligned} \]

Preparato fra chi non supera

\[ P(S^c\mid A)=\frac{57}{64}=0.890625, \qquad P(S^c\mid B)=1-0.885735=0.114265. \]

La probabilità totale di non superare il test è

\[ \begin{aligned} P(S^c) &=P(S^c\mid A)P(A)+P(S^c\mid B)P(B)\\ &=0.890625\cdot0.7+0.114265\cdot0.3\\ &=0.657717. \end{aligned} \]

Per Bayes,

\[ \begin{aligned} P(B\mid S^c) &=\frac{P(S^c\mid B)P(B)}{P(S^c)}\\ &=\frac{0.114265\cdot0.3}{0.657717}\\ &\simeq0.052119. \end{aligned} \]

Solo circa il \(5.2119\%\) dei non ammessi è preparato.

Preparati fra gli ammessi

La probabilità totale di superare è

\[ \begin{aligned} P(S) &=\frac7{64}\cdot0.7+0.885735\cdot0.3\\ &=0.342283. \end{aligned} \]

Quindi

\[ \begin{aligned} P(B\mid S) &=\frac{0.885735\cdot0.3}{0.342283}\\ &\simeq0.776318. \end{aligned} \]

La percentuale richiesta è circa il \(77.6318\%\).

Seconda risposta corretta dopo la prima errata

Siano \(E_1\) l’errore alla prima domanda e \(C_2\) la risposta corretta alla seconda. Condizionatamente al tipo, le risposte sono indipendenti. Perciò

\[ \begin{aligned} P(C_2\cap E_1) &=P(A)P(E_1\mid A)P(C_2\mid A)\\ &\quad+P(B)P(E_1\mid B)P(C_2\mid B)\\ &=0.7(0.5)(0.5)+0.3(0.1)(0.9)\\ &=0.202. \end{aligned} \]

Il denominatore è

\[ P(E_1)=0.7(0.5)+0.3(0.1)=0.38. \]

Pertanto

\[ P(C_2\mid E_1) =\frac{0.202}{0.38} =\frac{101}{190} \simeq0.531579. \]

Il valore è appena superiore a \(1/2\): dopo un errore il candidato è molto probabilmente non preparato, ma resta una piccola probabilità che sia preparato.

Risultato

\[ P(S\mid A)=\frac7{64}=0.109375,\qquad P(B\mid S^c)\simeq0.052119, \] \[ P(B\mid S)\simeq0.776318,\qquad P(C_2\mid E_1)=\frac{101}{190}\simeq0.531579. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(P(S\mid A)=7/64\) coincide con i sette esiti favorevoli equiprobabili fra i sessantaquattro possibili.
\(P(S)+P(S^c)=0.342283+0.657717=1\).
Il posteriore \(P(B\mid S)\) è maggiore del prior \(P(B)=0.3\), come ci si aspetta da un test selettivo.
\(P(C_2\mid E_1)\) è compreso fra \(0.5\) e \(0.9\), le due probabilità condizionate al tipo.

Errori che fanno perdere il filo

Usare una sola binomiale con probabilità media \(0.62\): le due popolazioni vanno mantenute separate.
Scambiare \(P(B\mid S^c)\) con \(P(S^c\mid B)\).
Ritenere la seconda risposta indipendente dalla prima anche senza condizionare sul tipo.

FonteT_200921.pdf

13/07 Prova scritta · 150 minutiAppello del 13/07/2020

Segnali e sistemi a tempo continuo · Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Esponenziale ritardato e integratore mobile

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Cascata discreta, attenuazione e annullamento armonico

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Densità uniforme su un dominio a elle

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 13/07/2020

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoEsponenziale ritardato e integratore mobile

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare energia, potenza e media dell’ingresso, classificare il sistema e ricavare l’uscita completa.

Prima immagine mentale

L’esponenziale è un segnale di energia perché è attivo da \(T\) in poi e decade. L’integrale mobile ha estremi che traslano insieme all’istante di osservazione: è quindi una convoluzione con una finestra rettangolare. L’uscita si ottiene intersecando la finestra mobile con il supporto dell’esponenziale.

La strada, prima di fare i conti

Usare il supporto \(t\geq T\) per calcolare energia, potenza e valor medio.
Applicare il sistema a \(\delta(t)\) per determinare \(h(t)\).
Classificare il sistema mediante le proprietà di \(h(t)\).
Scrivere \(y=x*h\) e trovare gli estremi dell'intersezione dei supporti.
Controllare continuità dell'uscita nei due istanti di cambio formula.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Energia, potenza e media

Formulario_tds.pdf, pp. 1–2

\[E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt,\quad P_x=\lim_{L\to\infty}\frac1L\int_{-L/2}^{L/2}|x(t)|^2dt\]

Perché è quella giusta qui

Le definizioni si applicano direttamente dopo aver riconosciuto il supporto \(t\geq T\); la media usa la formula di pagina uno.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Convoluzione continua

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha)h(t-\alpha)d\alpha\]

Perché è quella giusta qui

Il legame assegnato viene ricondotto a questa forma e consente di calcolare l’uscita mediante l’intersezione dei supporti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Causalità e stabilità LTI

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[h(t)=0\ \text{per}\ t<0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt<+\infty\]

Perché è quella giusta qui

La finestra ottenuta viola la prima condizione ma soddisfa la seconda.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Si assume \(T>0\), come implicito nella traccia.

Energia, potenza e valor medio

Il segnale è

\[ x(t)=e^{-4t}u(t-T) = \begin{cases} 0,&t<T,\\ e^{-4t},&t\geq T. \end{cases} \]

La sua energia è

\[ \begin{aligned} E_x &=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt\\ &=\int_T^{+\infty}e^{-8t}dt\\ &=\left[-\frac18e^{-8t}\right]_{T}^{+\infty}\\ &=\frac18e^{-8T}. \end{aligned} \]

Poiché l’energia è finita, la potenza media è nulla:

\[ P_x=\lim_{L\to\infty}\frac1L \int_{-L/2}^{L/2}|x(t)|^2dt=0. \]

Anche il valor medio è nullo. Infatti l’integrale assoluto è finito,

\[ \int_T^{+\infty}e^{-4t}dt=\frac14e^{-4T}, \]

e, dividendolo per una finestra di durata crescente, il risultato tende a zero:

\[ \langle x\rangle=0. \]

Classificazione e risposta impulsiva

Il sistema è

\[ y(t)=\int_{t-2T}^{t+2T}x(\alpha-T)d\alpha. \]

È lineare perché l’integrale è lineare nell’ingresso. Per ricavare la risposta impulsiva si pone \(x(t)=\delta(t)\):

\[ h(t)=\int_{t-2T}^{t+2T}\delta(\alpha-T)d\alpha. \]

La delta contribuisce se e solo se

\[ t-2T\leq T\leq t+2T, \]

ossia

\[ -T\leq t\leq3T. \]

Quindi

\[ h(t)= \begin{cases} 1,&-T\leq t\leq3T,\\ 0,&\text{altrove}, \end{cases} =\Pi\!\left(\frac{t-T}{4T}\right). \]

Il sistema è LTI: il legame è la convoluzione con questa risposta impulsiva. Non è causale perché \(h(t)\) è non nulla per \(-T<t<0\); è dispersivo perché \(h(t)\) non è una delta; è stabile perché

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|dt=4T<+\infty. \]

Uscita per l’esponenziale assegnato

Usando la convoluzione,

\[ y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\alpha)h(t-\alpha)d\alpha. \]

La finestra \(h(t-\alpha)\) è attiva quando

\[ t-3T\leq\alpha\leq t+T, \]

mentre \(x(\alpha)\) richiede \(\alpha\geq T\). L’intersezione cambia in \(t=0\) e in \(t=4T\).

Per \(t<0\), l’estremo superiore \(t+T\) è minore di \(T\), quindi

\[ y(t)=0. \]

Per \(0\leq t\leq4T\), l’intervallo utile è \([T,t+T]\):

\[ \begin{aligned} y(t) &=\int_T^{t+T}e^{-4\alpha}d\alpha\\ &=\frac14\left(e^{-4T}-e^{-4(t+T)}\right). \end{aligned} \]

Per \(t\geq4T\), tutta la finestra mobile cade nel supporto dell’esponenziale:

\[ \begin{aligned} y(t) &=\int_{t-3T}^{t+T}e^{-4\alpha}d\alpha\\ &=\frac14\left(e^{-4(t-3T)}-e^{-4(t+T)}\right). \end{aligned} \]

La forma completa è dunque

\[ y(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\[1mm] \dfrac14\left(e^{-4T}-e^{-4(t+T)}\right), &0\leq t\leq4T,\\[2mm] \dfrac14\left(e^{-4(t-3T)}-e^{-4(t+T)}\right), &t\geq4T. \end{cases} \]

Risultato

\[ E_x=\frac18e^{-8T},\qquad P_x=0,\qquad\langle x\rangle=0, \] \[ h(t)=\Pi\!\left(\frac{t-T}{4T}\right), \] \[ y(t)= \begin{cases} 0,&t<0,\\ \dfrac14\!\left(e^{-4T}-e^{-4(t+T)}\right),&0\leq t\leq4T,\\ \dfrac14\!\left(e^{-4(t-3T)}-e^{-4(t+T)}\right),&t\geq4T. \end{cases} \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(R_x(0)=E_x=e^{-8T}/8\) sarebbe finito, coerentemente con la classificazione come segnale di energia.
La durata di \(h(t)\) è \(4T\), uguale alla lunghezza dell'intervallo di integrazione.
In \(t=0\) la seconda espressione vale zero e raccorda il primo tratto.
In \(t=4T\) le ultime due espressioni coincidono.

Errori che fanno perdere il filo

Dimenticare il ritardo nel gradino e integrare da \(0\) invece che da \(T\).
Concludere che il sistema è causale perché l'integrale contiene \(t\): l'estremo superiore usa valori futuri.
Usare sempre gli estremi \(t-3T\) e \(t+T\) senza intersecarli con il supporto dell'ingresso.

FonteT_200713.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoCascata discreta, attenuazione e annullamento armonico

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Determinare \(\Delta\) dalla specifica in decibel e calcolare l’uscita per il treno alternato di impulsi.

Prima immagine mentale

Una sinusoide discreta attraversa la cascata senza cambiare frequenza: servono soltanto il modulo e la fase della risposta armonica alla frequenza assegnata. Il secondo ingresso è in realtà un coseno di frequenza normalizzata \(1/4\). Con il valore nominale adottato nello svolgimento della professoressa, il primo blocco pone uno zero proprio su questa frequenza.

La strada, prima di fare i conti

Moltiplicare le due risposte armoniche per ottenere \(H(\nu)\).
Tradurre l'attenuazione di potenza in una condizione su \(|H(1/6)|^2\).
Seguire la convenzione dell'appello, in cui \(6\,\mathrm{dB}\) è il valore nominale del rapporto di potenza \(1/4\).
Riscrivere il treno alternato come \(\cos(\pi n/2)\).
Valutare \(H(1/4)\) e discutere anche il valore matematicamente esatto di \(6.000\,\mathrm{dB}\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Potenza di una sinusoide discreta

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[x[n]=A\cos(2\pi\nu_0n+\theta)\Longrightarrow P_x=\frac{A^2}{2}\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce \(P_x=8\); dopo il filtro la stessa formula si applica con ampiezza moltiplicata per \(|H(1/6)|\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Rappresentazione in decibel

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[|H(f)|_{\mathrm{dB}}=10\log_{10}\!\left(\frac{|H(f)|^2}{|H(f_0)|^2}\right)\]

Perché è quella giusta qui

Giustifica la condizione esatta \(P_y/P_x=10^{-0.6}\); l’approssimazione \(1/4\) è quella usata nello svolgimento dell’appello.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di una sinusoide

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[y[n]=A|H(\nu_0)|\cos\!\left(2\pi\nu_0n+\theta+\angle H(\nu_0)\right)\]

Perché è quella giusta qui

La versione discreta deriva direttamente dalla formula periodica riportata: se \(H(1/4)=0\), l’intera uscita è nulla.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

La cascata ha risposta armonica

\[ H(\nu)=H_1(\nu)H_2(\nu) =\cos(2\pi\Delta\nu)e^{-j4\pi\nu}. \]

Il secondo fattore ha modulo unitario e rappresenta un ritardo di due campioni; tutta l’attenuazione è prodotta dal coseno.

Determinazione di \(\Delta\)

L’ingresso è

\[ x[n]=4\cos\!\left(2\pi\frac16n+\frac{\pi}{4}\right), \]

e ha potenza

\[ P_x=\frac{4^2}{2}=8. \]

La potenza in uscita è

\[ P_y=P_x|H(1/6)|^2 =8\cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{3}\right). \]

Nello svolgimento ufficiale dell’appello, l’espressione “attenuata di \(6\,\mathrm{dB}\)” è trattata con l’approssimazione didattica

\[ 6\,\mathrm{dB}\simeq10\log_{10}4, \]

quindi

\[ \frac{P_y}{P_x}=\frac14. \]

Segue

\[ \cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{3}\right)=\frac14. \]

Le soluzioni sono periodiche; una forma compatta è

\[ \Delta=3m\pm1,\qquad m\in\mathbb Z. \]

La minima soluzione positiva, scelta nello svolgimento, è

\[ \Delta=1. \]

Se si interpreta invece \(6\,\mathrm{dB}\) come esattamente \(6.000\,\mathrm{dB}\), la condizione rigorosa sarebbe

\[ \cos^2\!\left(\frac{\pi\Delta}{3}\right)=10^{-0.6}. \]

La minima soluzione positiva diventerebbe

\[ \Delta_{\mathrm{esatto}} =\frac{3}{\pi}\arccos(10^{-0.3}) \simeq0.998690. \]

La differenza è piccola ma non nulla. Per il punto seguente si usa \(\Delta=1\), perché è la convenzione e il risultato esplicitamente adottato dalla professoressa.

Treno alternato di impulsi

\[ x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k\delta[n-2k]. \]

Il segnale ha periodo \(4\) e, campione per campione, coincide con

\[ x[n]=\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right). \]

La sua frequenza normalizzata è \(\nu_0=1/4\). Con \(\Delta=1\),

\[ \begin{aligned} H(1/4) &=\cos\!\left(2\pi\frac14\right) e^{-j4\pi(1/4)}\\ &=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)e^{-j\pi}\\ &=0. \end{aligned} \]

Di conseguenza

\[ y[n]=0. \]

Per completezza, usando il valore esatto \(\Delta_{\mathrm{esatto}}\), lo zero non sarebbe perfetto:

\[ y[n]=-\cos\!\left(\frac{\pi\Delta_{\mathrm{esatto}}}{2}\right) \cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right), \]

con

\[ \left|\cos\!\left(\frac{\pi\Delta_{\mathrm{esatto}}}{2}\right)\right| \simeq0.002057. \]

Risultato

\[ \Delta=1\quad\text{secondo la convenzione dello svolgimento ufficiale}, \qquad y[n]=0. \] \[ \Delta_{\mathrm{esatto}} =\frac{3}{\pi}\arccos(10^{-0.3}) \simeq0.998690 \quad\text{se si impongono esattamente }6.000\,\mathrm{dB}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Con \(\Delta=1\), \(|H(1/6)|^2=\cos^2(\pi/3)=1/4\).
Il ritardo \(e^{-j4\pi\nu}\) non modifica la potenza.
Il treno ha campioni \(1,0,-1,0\) e coincide con \(\cos(\pi n/2)\).
\(H(1/4)=0\) annulla entrambe le righe coniugate della cosinusoide.

Errori che fanno perdere il filo

Usare \(20\log_{10}\) sul rapporto di potenza: per la potenza si usa \(10\log_{10}\).
Dimenticare che l'equazione in \(\Delta\) ha infinite soluzioni periodiche.
Trattare il treno di impulsi come un segnale aperiodico.
Mescolare il valore nominale \(\Delta=1\) con l'interpretazione esatta in decibel senza dichiararlo.

FonteT_200713.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoDensità uniforme su un dominio a elle

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Normalizzare la densità congiunta, ricavare la marginale, i momenti di \(X\) e una probabilità geometrica.

Prima immagine mentale

Per una densità uniforme bidimensionale, probabilità e aree sono proporzionali. Il dominio è il rettangolo \(3\times2\) privato del rettangolo \(2\times1\) in basso a sinistra. La marginale di \(X\) è l’altezza verticale disponibile moltiplicata per la densità costante.

La strada, prima di fare i conti

Descrivere \(D\) come unione di due rettangoli disgiunti e calcolarne l'area.
Imporre che l'integrale doppio della densità valga uno.
Integrare verticalmente per ottenere \(f_X(x)\).
Calcolare \(E[X]\), \(E[X^2]\) e la varianza.
Confrontare geometricamente \(D\) con il disco unitario nel primo quadrante.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Normalizzazione congiunta

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dx\,dy=1\]

Perché è quella giusta qui

Poiché la densità è costante su \(D\), l’integrale diventa \(c\) moltiplicato per l’area del dominio.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Densità marginale

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\,dy\]

Perché è quella giusta qui

Per ogni \(x\), l’integrale misura la lunghezza della sezione verticale di \(D\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Media e varianza continue

Formulario_prob.pdf, p. 3

\[E[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)\,dx,\qquad \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2\]

Perché è quella giusta qui

Si applicano alla marginale a gradini appena ricavata: i due integrali sui rispettivi intervalli forniscono i momenti necessari.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Dal grafico,

\[ D=\bigl([0,3]\times[1,2]\bigr) \cup \bigl([2,3]\times[0,1]\bigr), \]

con unione disgiunta a meno dei bordi. Equivalentemente, è il rettangolo \([0,3]\times[0,2]\) privato di \([0,2]\times[0,1]\).

Costante di normalizzazione

L’area vale

\[ |D|=3\cdot1+1\cdot1=4. \]

Poiché \(f_{XY}(x,y)=c\) su \(D\),

\[ 1=\iint_Dc\,dx\,dy=4c, \qquad c=\frac14. \]

Densità marginale

Per un valore fissato di \(x\), si integra lungo la sezione verticale. Se \(0\leq x<2\), il dominio contiene soltanto \(1\leq y\leq2\), di altezza \(1\):

\[ f_X(x)=\int_1^2\frac14dy=\frac14. \]

Se \(2\leq x\leq3\), sono disponibili \(0\leq y\leq2\), di altezza \(2\):

\[ f_X(x)=\int_0^2\frac14dy=\frac12. \]

Quindi

\[ f_X(x)= \begin{cases} \dfrac14,&0\leq x<2,\\[1mm] \dfrac12,&2\leq x\leq3,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Il grafico è un gradino: altezza \(1/4\) fino a \(x=2\), poi altezza \(1/2\) fino a \(x=3\).

Media e varianza

\[ \begin{aligned} E[X] &=\int_0^2x\frac14dx+\int_2^3x\frac12dx\\ &=\frac14\frac{2^2}{2} +\frac12\frac{3^2-2^2}{2}\\ &=\frac12+\frac54 =\frac74. \end{aligned} \]

Il secondo momento è

\[ \begin{aligned} E[X^2] &=\int_0^2x^2\frac14dx+\int_2^3x^2\frac12dx\\ &=\frac14\frac{2^3}{3} +\frac12\frac{3^3-2^3}{3}\\ &=\frac23+\frac{19}{6} =\frac{23}{6}. \end{aligned} \]

Pertanto

\[ \operatorname{Var}(X) =E[X^2]-E[X]^2 =\frac{23}{6}-\left(\frac74\right)^2 =\frac{37}{48}. \]

Evento circolare

L’evento \(X^2+Y^2\leq1\) è il quarto di disco unitario nel primo quadrante. Nel tratto del dominio con \(x<2\) vale sempre \(y\geq1\); il disco può incontrarlo soltanto nel punto di bordo \((0,1)\). Nel tratto con \(x\geq2\) vale già \(x^2\geq4\). L’intersezione ha quindi area nulla:

\[ P(X^2+Y^2\leq1)=0. \]

Risultato

\[ c=\frac14,\qquad f_X(x)= \begin{cases} \frac14,&0\leq x<2,\\ \frac12,&2\leq x\leq3,\\ 0,&\text{altrove}, \end{cases} \] \[ E[X]=\frac74,\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{37}{48},\qquad P(X^2+Y^2\leq1)=0. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(\int f_X(x)dx=2(1/4)+1(1/2)=1\).
La media \(7/4\) cade nel supporto \([0,3]\).
La varianza \(37/48\) è positiva.
L'unico contatto con il disco unitario è su un insieme di area nulla.

Errori che fanno perdere il filo

Normalizzare con l'area del rettangolo esterno \(6\) senza sottrarre la parte mancante.
Scambiare le due altezze della marginale ai lati di \(x=2\).
Assegnare probabilità positiva a un singolo punto per una distribuzione continua.

FonteT_200713.pdf

30/06 Prova scritta · 150 minutiAppello del 30/06/2020

Segnali e sistemi a tempo discreto · 2× Segnali e sistemi a tempo continuo3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Autocorrelazione di tre segnali

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Serie di Fourier e filtro passa-banda

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Due estrazioni senza reinserimento da urne nascoste

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 30/06/2020

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoAutocorrelazione di tre segnali

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare \(R_x\) nei tre casi e verificare \(R_x(0)=E_x\) oppure \(R_x(0)=P_x\).

Prima immagine mentale

L’autocorrelazione misura la sovrapposizione fra un segnale e una sua copia traslata. Per l’esponenziale bilatero occorre separare gli intervalli determinati dai cambi di segno. Il gradino sinistro è un segnale di potenza e la traslazione finita non cambia la frazione asintotica di campioni attivi. La sequenza finestrata richiede soltanto una somma geometrica sul tratto di sovrapposizione.

La strada, prima di fare i conti

Stabilire prima se ciascun segnale è di energia o di potenza.
Per il segnale continuo sfruttare la parità di \(R_x(\tau)\) e calcolare il caso \(\tau\geq0\).
Per il gradino sinistro valutare il limite della media del prodotto.
Per la sequenza finestrata trovare il supporto comune di \(x[n]\) e \(x[n-m]\).
Porre il ritardo uguale a zero e confrontare con energia o potenza.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Autocorrelazione di energia e di potenza

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x(\tau)=\int x(t)x^*(t-\tau)dt,\qquad R_x[m]=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}x[n]x^*[n-m]\]

Perché è quella giusta qui

La prima definizione si usa per i segnali di energia; la seconda per il gradino discreto di potenza.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Valore nell'origine

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[R_x(0)=E_x\ \text{oppure}\ R_x(0)=P_x\]

Perché è quella giusta qui

È il controllo esplicitamente richiesto dalla traccia e viene verificato in tutti i casi.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Somma geometrica finita

Formulario_tds.pdf, p. 3

\[\sum_{n=M}^{N}\alpha^n=\frac{\alpha^M-\alpha^{N+1}}{1-\alpha},\qquad \alpha\neq1\]

Perché è quella giusta qui

Con \(\alpha=1/4\) calcola sia l’autocorrelazione sia l’energia della sequenza finestrata.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Esponenziale bilatero dispari

\[ x(t)=e^{-|t|}\operatorname{sign}(t). \]

Il segnale è reale e di energia. La sua autocorrelazione è pari, quindi è sufficiente considerare \(\tau\geq0\):

\[ R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x(t-\tau)dt. \]

I cambi di espressione sono in \(t=0\) e \(t=\tau\). Per \(t<0\), entrambi i fattori sono negativi:

\[ \int_{-\infty}^{0}e^{2t-\tau}dt=\frac12e^{-\tau}. \]

Per \(0<t<\tau\), i fattori hanno segno opposto e il prodotto è costante:

\[ \int_0^\tau -e^{-\tau}dt=-\tau e^{-\tau}. \]

Per \(t>\tau\), entrambi sono positivi:

\[ \int_\tau^{+\infty}e^{-2t+\tau}dt=\frac12e^{-\tau}. \]

Sommando e ripristinando la parità,

\[ R_x(\tau)=e^{-|\tau|}(1-|\tau|). \]

La funzione può diventare negativa quando \(|\tau|>1\): non è un errore, perché il segnale cambia segno. Nell’origine

\[ R_x(0)=1. \]

L’energia diretta conferma:

\[ E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2|t|}dt =2\int_0^{+\infty}e^{-2t}dt=1. \]

Gradino sinistro discreto

\[ x[n]=u[6-n] = \begin{cases} 1,&n\leq6,\\ 0,&n>6. \end{cases} \]

La sequenza ha energia infinita ma potenza finita. Per ogni ritardo intero fissato \(m\),

\[ x[n]x[n-m]=1 \]

quando

\[ n\leq\min(6,6+m). \]

Nella finestra simmetrica \([-N,N]\), il numero di campioni attivi è \(N+O(1)\). Pertanto

\[ \begin{aligned} R_x[m] &=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N}x[n]x[n-m]\\ &=\frac12, \qquad m\in\mathbb Z. \end{aligned} \]

In particolare

\[ R_x[0]=\frac12=P_x. \]

Il risultato non dipende dal ritardo finito: due gradini sinistri traslati differiscono soltanto in un numero finito di campioni, irrilevante nel limite di potenza.

Esponenziale discreto finestrato

Con la convenzione del corso,

\[ R_{41}[n+20]=1 \quad\Longleftrightarrow\quad -20\leq n\leq20. \]

Quindi

\[ x[n]= \begin{cases} 2^{-n},&-20\leq n\leq20,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

È un segnale di energia. Per \(m\geq0\), i supporti di \(x[n]\) e \(x[n-m]\) si sovrappongono quando

\[ m-20\leq n\leq20, \]

possibile soltanto per \(m\leq40\). Il prodotto vale

\[ x[n]x[n-m]=2^{-n}2^{-(n-m)}=2^m4^{-n}. \]

Per \(0\leq m\leq40\),

\[ \begin{aligned} R_x[m] &=2^m\sum_{n=m-20}^{20}4^{-n}\\ &=2^m\frac{4^{20-m}-4^{-21}}{1-1/4}\\ &=\frac43\,2^m\left(4^{20-m}-4^{-21}\right). \end{aligned} \]

L’autocorrelazione reale è pari. La forma completa è

\[ R_x[m]= \begin{cases} \dfrac43\,2^{|m|} \left(4^{20-|m|}-4^{-21}\right), &|m|\leq40,\\[2mm] 0,&|m|>40. \end{cases} \]

Nell’origine,

\[ R_x[0] =\frac43\left(4^{20}-4^{-21}\right). \]

Il calcolo diretto dell’energia dà la stessa quantità:

\[ E_x=\sum_{n=-20}^{20}4^{-n} =\frac43\left(4^{20}-4^{-21}\right). \]

Risultato

\[ R_{x_1}(\tau)=e^{-|\tau|}(1-|\tau|),\qquad R_{x_1}(0)=E_{x_1}=1, \] \[ R_{x_2}[m]=\frac12,\qquad R_{x_2}[0]=P_{x_2}=\frac12, \] \[ R_{x_3}[m]= \begin{cases} \dfrac43\,2^{|m|}\left(4^{20-|m|}-4^{-21}\right),&|m|\leq40,\\ 0,&|m|>40, \end{cases} \quad R_{x_3}[0]=E_{x_3}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Per il primo segnale \(R_x(\tau)\) è reale e pari.
\(|R_x(\tau)|\leq R_x(0)=1\) anche nel tratto in cui la correlazione è negativa.
Per il gradino \(R_x[0]=1/2\), uguale alla potenza del gradino traslato.
Per la sequenza finita \(R_x[m]=0\) quando \(|m|>40\), perché i supporti non si sovrappongono.
Tutte e tre le espressioni soddisfano il controllo nell'origine richiesto dalla traccia.

Errori che fanno perdere il filo

Forzare l'autocorrelazione a essere sempre non negativa: deve essere definita positiva, non puntualmente positiva.
Attribuire potenza unitaria al gradino sinistro ignorando la media simmetrica.
Dimenticare che \(R_{41}[n+20]\) ha supporto da \(-20\) a \(20\).
Usare \(m\) invece di \(|m|\) nella formula finale dell'autocorrelazione discreta.

FonteT_200630.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoSerie di Fourier e filtro passa-banda

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Rappresentare \(x(t)\), calcolarne i coefficienti e determinare l’uscita del filtro.

Prima immagine mentale

Il segnale è la somma periodica di una forma a v e di un rettangolo. Per i coefficienti conviene costruire un solo generatore e trasformarlo, usando le coppie rettangolo e triangolo. Il filtro lascia passare soltanto armoniche vicine a \(1/T\); la sola armonica al centro della banda ha però coefficiente nullo, quindi l’uscita scompare.

La strada, prima di fare i conti

Descrivere analiticamente un periodo nell'intervallo \([-2T,2T)\).
Scrivere il generatore come somma di due rettangoli meno un triangolo.
Usare \(X_k=X_g(k/(4T))/(4T)\).
Campionare il supporto di \(|H(f)|\) sulle frequenze armoniche \(k/(4T)\).
Valutare il coefficiente \(X_{\pm4}\) prima di ricostruire l'uscita.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Coefficienti da un generatore periodico

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[x_p(t)=\sum_n x_g(t-nT_0)\Longrightarrow X_k=\frac1{T_0}X_g\!\left(\frac{k}{T_0}\right)\]

Perché è quella giusta qui

Si applica con \(T_0=4T\) al generatore costruito con rettangoli e triangolo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Trasformate di rettangolo e triangolo

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\Pi(t/T)\longleftrightarrow T\operatorname{sinc}(fT),\qquad \Lambda(t/T)\longleftrightarrow T\operatorname{sinc}^2(fT)\]

Perché è quella giusta qui

Forniscono i tre termini di \(X_g(f)\); il rettangolo traslato usa anche la proprietà di traslazione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio periodico

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[Y_k=H(kf_0)X_k\]

Perché è quella giusta qui

Campionando \(H\) sulle armoniche si vede che l’unica riga potenzialmente trasmessa ha coefficiente nullo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Grafico di un periodo

Il periodo è

\[ T_0=4T. \]

Nell’intervallo \([-2T,2T)\), il rettangolo periodico \(x_2(t)\) occupa i due tratti estremi, mentre \(x_1(t)\) forma una v al centro:

\[ x(t)= \begin{cases} 1,&-2T\leq t<-T,\\[1mm] -\dfrac{t}{T},&-T\leq t<0,\\[2mm] \dfrac{t}{T},&0\leq t<T,\\[2mm] 1,&T\leq t<2T. \end{cases} \]

Il segnale è non negativo, vale zero in \(t=0\), raggiunge valore unitario in \(t=\pm T\) e resta unitario sui tratti esterni.

Coefficienti della serie

Un generatore comodo è

\[ x_g(t)= \Pi\!\left(\frac{t}{2T}\right) -\Lambda\!\left(\frac{t}{T}\right) +\Pi\!\left(\frac{t-2T}{2T}\right). \]

Nel primo rettangolo, la sottrazione della triangolare lascia \(|t|/T\); l’ultimo rettangolo genera \(x_2\). La trasformata è

\[ X_g(f) =2T\operatorname{sinc}(2Tf) -T\operatorname{sinc}^2(Tf) +2T\operatorname{sinc}(2Tf)e^{-j4\pi Tf}. \]

Per la ripetizione di periodo \(4T\),

\[ X_k=\frac{1}{4T}X_g\!\left(\frac{k}{4T}\right). \]

Sostituendo,

\[ \boxed{ X_k= \frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{2}\right) -\frac14\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{k}{4}\right) +\frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{2}\right)e^{-j\pi k} }. \]

Poiché \(k\) è intero, \(e^{-j\pi k}=(-1)^k\), quindi si può anche scrivere

\[ X_k= \frac12\bigl[1+(-1)^k\bigr] \operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{2}\right) -\frac14\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{k}{4}\right). \]

Il controllo sulla continua dà

\[ X_0=1-\frac14=\frac34. \]

È anche l’area media del grafico: in un periodo l’area totale è \(3T\), divisa per \(4T\).

Azione del filtro

Il modulo è

\[ |H(f)|=\Lambda\!\left(4(|f|T-1)\right). \]

È diverso da zero per

\[ \frac34<|f|T<\frac54, \]

con massimo in \(|f|=1/T\). Le armoniche del segnale si trovano in

\[ f_k=\frac{k}{4T}. \]

Gli indici di bordo sono \(k=\pm3\) e \(k=\pm5\), dove il triangolo vale zero. La sola coppia potenzialmente trasmessa con guadagno non nullo è \(k=\pm4\). Tuttavia

\[ \begin{aligned} X_4 &=\frac12\operatorname{sinc}(2) -\frac14\operatorname{sinc}^2(1) +\frac12\operatorname{sinc}(2)e^{-j4\pi}\\ &=0. \end{aligned} \]

Per simmetria \(X_{-4}=0\). Tutti i coefficienti in uscita sono quindi nulli:

\[ Y_k=H\!\left(\frac{k}{4T}\right)X_k=0, \qquad y(t)=0. \]

La fase

\[ \angle H(f)=\frac{\pi fT}{2} \Pi\!\left(\frac{2fT}{5}\right) \]

non produce alcun effetto osservabile, perché non sopravvive nessuna armonica.

Risultato

\[ X_k= \frac12\bigl[1+(-1)^k\bigr]\operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{2}\right) -\frac14\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{k}{4}\right), \qquad y(t)=0. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(X_0=3/4\) coincide con la media geometrica del segnale.
I coefficienti sono reali, coerentemente con il fatto che il periodo scelto è pari.
Il filtro è nullo sulle armoniche \(k=\pm3\) e \(k=\pm5\).
L'armonica centrale \(k=\pm4\) cade su uno zero di entrambe le funzioni \(\operatorname{sinc}\).

Errori che fanno perdere il filo

Campionare il filtro alle frequenze \(k/T\) invece che \(k/(4T)\).
Dimenticare il fattore \(1/(4T)\) nella formula dei coefficienti da un generatore.
Concludere che \(k=\pm4\) passa senza controllare che \(X_{\pm4}=0\).
Tentare di usare la fase del filtro dopo aver trovato coefficienti tutti nulli.

FonteT_200630.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoDue estrazioni senza reinserimento da urne nascoste

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare probabilità marginali, congiunte e posteriori per due estrazioni dalla stessa urna.

Prima immagine mentale

La scelta dell’urna è una variabile nascosta. La traccia non specifica la probabilità di scelta; lo svolgimento ufficiale assume implicitamente le due urne equiprobabili. Condizionatamente all’urna, le estrazioni sono senza reinserimento, quindi la seconda probabilità cambia dopo la prima estrazione.

La strada, prima di fare i conti

Assumere, come nello svolgimento, \(P(U_1)=P(U_2)=1/2\).
Calcolare le probabilità condizionate dei colori in ciascuna urna.
Applicare la probabilità totale agli eventi sul colore.
Usare Bayes per risalire all'urna dopo due palline bianche.
Sfruttare l'exchangeability delle due posizioni per l'ultimo punto.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Regola della catena

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)\]

Perché è quella giusta qui

Descrive correttamente le due estrazioni senza reinserimento nella prima urna.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità totale

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)\]

Perché è quella giusta qui

Le urne formano la partizione usata per le probabilità marginali sui colori.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Formula di Bayes

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)P(B_i)}{P(A)}\]

Perché è quella giusta qui

Permette di aggiornare la probabilità dell’urna dopo aver osservato due palline bianche.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Indichiamo con \(U_1\) e \(U_2\) le urne e con \(C_1,C_2\) i colori osservati. Seguendo l’ipotesi implicita dello svolgimento ufficiale,

\[ P(U_1)=P(U_2)=\frac12. \]

Nella prima urna vi sono cinque palline bianche e tre nere; nella seconda le otto palline sono bianche.

Colore della prima pallina

\[ \begin{aligned} P(C_1=b) &=P(C_1=b\mid U_1)P(U_1) +P(C_1=b\mid U_2)P(U_2)\\ &=\frac58\frac12+1\cdot\frac12\\ &=\frac{13}{16}. \end{aligned} \]

Due palline bianche

Nella prima urna le estrazioni sono senza reinserimento:

\[ P(C_1=b,C_2=b\mid U_1) =\frac58\frac47=\frac5{14}. \]

Nella seconda urna la probabilità è \(1\). Quindi

\[ \begin{aligned} P(C_1=b,C_2=b) &=\frac5{14}\frac12+1\cdot\frac12\\ &=\frac5{28}+\frac{14}{28}\\ &=\frac{19}{28}. \end{aligned} \]

Urna dopo due bianche

Per Bayes,

\[ \begin{aligned} P(U_1\mid C_1=b,C_2=b) &=\frac{P(C_1=b,C_2=b\mid U_1)P(U_1)} {P(C_1=b,C_2=b)}\\ &=\frac{(5/14)(1/2)}{19/28}\\ &=\frac5{19}. \end{aligned} \]

L’osservazione di due palline bianche favorisce \(U_2\), ma non esclude \(U_1\).

Seconda bianca sapendo che la prima è bianca

\[ \begin{aligned} P(C_2=b\mid C_1=b) &=\frac{P(C_1=b,C_2=b)}{P(C_1=b)}\\ &=\frac{19/28}{13/16}\\ &=\frac{76}{91}. \end{aligned} \]

Prima bianca sapendo che la seconda è bianca

Le due posizioni di estrazione sono scambiabili: in entrambe le urne l’estrazione è casuale senza reinserimento. Quindi

\[ P(C_2=b)=P(C_1=b)=\frac{13}{16}, \]

\[ P(C_1=b\mid C_2=b) =\frac{P(C_1=b,C_2=b)}{P(C_2=b)} =\frac{76}{91}. \]

Se la scelta delle urne non fosse uniforme, ponendo \(P(U_1)=q\) tutti i risultati si otterrebbero sostituendo i pesi \(1/2\) con \(q\) e \(1-q\). La traccia da sola non fissa \(q\); il valore uniforme è verificato nello svolgimento della professoressa.

Risultato

\[ P(C_1=b)=\frac{13}{16},\qquad P(C_1=b,C_2=b)=\frac{19}{28}, \] \[ P(U_1\mid C_1=b,C_2=b)=\frac5{19},\qquad P(C_2=b\mid C_1=b)=P(C_1=b\mid C_2=b)=\frac{76}{91}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(P(C_1=b)=13/16\) è compresa fra \(5/8\) e \(1\).
\(P(C_1=b,C_2=b)=19/28<P(C_1=b)\).
Il posteriore \(P(U_1\mid bb)=5/19\) è minore del prior \(1/2\), perché \(U_2\) garantisce due bianche.
Le ultime due probabilità condizionate coincidono per simmetria delle posizioni.

Errori che fanno perdere il filo

Trattare le due estrazioni dalla prima urna come indipendenti e usare \((5/8)^2\).
Dimenticare il peso \(1/2\) della scelta dell'urna.
Applicare Bayes senza normalizzare con \(P(C_1=b,C_2=b)\).
Nascondere l'ipotesi di urne equiprobabili, che non è scritta nella traccia.

FonteT_200630.pdf

15/06 Prova scritta · 150 minutiAppello del 15/06/2020

Segnali e sistemi a tempo continuo · Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Cascata LTI e selezione delle armoniche

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Filtro discreto, modulazione e decimazione

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Velocità triangolare, spia e limite rispettato

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 15/06/2020

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoCascata LTI e selezione delle armoniche

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare la risposta impulsiva equivalente e l’uscita per l’ingresso trigonometrico assegnato.

Prima immagine mentale

In cascata, le risposte impulsive si convolvono. Convolvere con il gradino equivale a integrare cumulativamente la seconda risposta: il rettangolo a segno alterno diventa un triangolo. Per l’uscita è più efficiente passare in frequenza, dopo aver ridotto l’ingresso a continua e due sole sinusoidi.

La strada, prima di fare i conti

Scrivere \(h=h_1*h_2\) e interpretare la convoluzione con \(u(t)\) come integrale cumulativo.
Calcolare \(h(t)\) per intervalli e riconoscere \(\Lambda(t)\).
Semplificare l'ingresso con le identità di duplicazione.
Usare \(H(f)=\operatorname{sinc}^2(f)\) sulle frequenze \(0\), \(1/2\) e \(1\).
Ricostruire l'uscita e controllare quali armoniche sono annullate.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Cascata di sistemi LTI

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[x*(h_1*h_2)=(x*h_1)*h_2\]

Perché è quella giusta qui

La proprietà associativa mostra che la risposta impulsiva complessiva è \(h_1*h_2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Identità trigonometriche

Formulario_tds.pdf, p. 1

\[\sin^2\alpha=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2},\qquad \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha\]

Perché è quella giusta qui

Consentono di ridurre l’ingresso a continua, coseno a \(f=1/2\) e seno a \(f=1\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Trasformata del triangolo

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[\Lambda(t/T)\longleftrightarrow T\operatorname{sinc}^2(fT)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(T=1\) fornisce direttamente \(H(f)=\operatorname{sinc}^2(f)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di segnali periodici

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[Y_k=H(kf_0)X_k\]

Perché è quella giusta qui

Permette di trattare separatamente le tre componenti armoniche dell’ingresso.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Risposta impulsiva equivalente

\[ h_1(t)=u(t), \qquad h_2(t)=\operatorname{sign}(-t)\Pi(t/2). \]

La seconda risposta vale

\[ h_2(t)= \begin{cases} 1,&-1<t<0,\\ -1,&0<t<1,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Per la cascata,

\[ h(t)=h_1*h_2 =\int_{-\infty}^{t}h_2(\alpha)d\alpha. \]

L’integrale cumulativo dà

\[ h(t)= \begin{cases} 0,&t<-1,\\ t+1,&-1\leq t<0,\\ 1-t,&0\leq t\leq1,\\ 0,&t>1. \end{cases} \]

Questa è precisamente

\[ h(t)=\Lambda(t). \]

Il grafico è un triangolo pari, di altezza unitaria in \(t=0\) e supporto \([-1,1]\). La risposta armonica è

\[ H(f)=\operatorname{sinc}^2(f). \]

Semplificazione dell’ingresso

\[ x(t)=1+\cos(\pi t) \sin^2\!\left(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi}{4}\right). \]

Poiché

\[ \sin^2\!\left(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{1+\sin(\pi t)}{2}, \]

si ottiene

\[ \begin{aligned} x(t) &=1+\frac12\cos(\pi t) +\frac12\sin(\pi t)\cos(\pi t)\\ &=1+\frac12\cos(\pi t) +\frac14\sin(2\pi t). \end{aligned} \]

Le tre componenti si trovano alle frequenze

\[ f=0,\qquad f=\frac12,\qquad f=1. \]

Il filtro fornisce

\[ H(0)=1, \qquad H(1/2)=\operatorname{sinc}^2(1/2)=\frac{4}{\pi^2}, \qquad H(1)=0. \]

La continua resta invariata, il coseno viene attenuato senza sfasamento e il seno a frequenza unitaria viene annullato. Pertanto

\[ \boxed{ y(t)=1+\frac{2}{\pi^2}\cos(\pi t) }. \]

La scelta del dominio della frequenza evita una seconda convoluzione integrale e rende immediatamente visibile lo zero del filtro.

Risultato

\[ h(t)=\Lambda(t),\qquad H(f)=\operatorname{sinc}^2(f), \qquad y(t)=1+\frac{2}{\pi^2}\cos(\pi t). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

L'area di \(h_2(t)\) è nulla, quindi l'integrale cumulativo torna a zero per \(t>1\).
\(h(t)=\Lambda(t)\) è pari e non negativa, come mostra il calcolo a tratti.
\(H(0)=\int h(t)dt=1\), uguale all'area del triangolo.
La componente a \(f=1\) scompare perché \(\operatorname{sinc}(1)=0\).

Errori che fanno perdere il filo

Sommare le risposte impulsive della cascata invece di convolvere.
Perdere il segno di \(h_2(t)\) nel tratto \(0<t<1\).
Dimenticare il fattore \(1/2\) nell'identità di \(\sin^2\).
Valutare il coseno \(\cos(\pi t)\) alla frequenza \(f=1\) invece che \(f=1/2\).

FonteT_200615.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoFiltro discreto, modulazione e decimazione

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Classificare il filtro, ricavare il legame complessivo e costruire gli spettri intermedi.

Prima immagine mentale

La risposta impulsiva simmetrica produce una risposta armonica reale e massima in continua, quindi il primo blocco è passa-basso. Il moltiplicatore sposta lo spettro di \(\pm1/8\), mentre il decimatore comprime e somma due copie. Nel tempo, la presenza di \(2n\), della modulante e di un campione futuro rende subito visibili tempo-varianza e non causalità.

La strada, prima di fare i conti

Trasformare \(h[n]\) e riscrivere \(H(\nu)\) come quadrato di un coseno.
Calcolare \(w[n]\), poi applicare modulazione e decimazione per ottenere \(y[n]\).
Classificare il sistema complessivo direttamente dal legame trovato.
Applicare in sequenza le formule DTFT di filtro, modulazione e decimazione.
Indicare supporti, centri e larghezze delle repliche nell'intervallo richiesto.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Trasformata della delta traslata

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[\delta[n-n_0]\longleftrightarrow e^{-j2\pi\nu n_0}\]

Perché è quella giusta qui

Trasforma i tre impulsi di \(h[n]\) nei tre termini di \(H(\nu)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x[n]\cos(2\pi\nu_0n+\theta)\longleftrightarrow \frac12X(\nu-\nu_0)e^{j\theta}+\frac12X(\nu+\nu_0)e^{-j\theta}\]

Perché è quella giusta qui

Con \(\nu_0=1/8\) genera le due copie di \(W(\nu)\), esattamente gli spostamenti spettrali prodotti dal moltiplicatore nello schema.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Decimazione

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x[Mn]\longleftrightarrow \frac1M\sum_{k=0}^{M-1}X\!\left(\frac{\nu-k}{M}\right)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(M=2\) produce le due copie compresse che formano \(Y(\nu)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Convoluzione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y[n]=\sum_kx[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

Permette di passare dalla risposta impulsiva al legame \(w[n]=2x[n+1]+4x[n]+2x[n-1]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Natura del primo filtro

\[ h[n]=2\delta[n+1]+4\delta[n]+2\delta[n-1]. \]

La DTFT è

\[ \begin{aligned} H(\nu) &=2e^{j2\pi\nu}+4+2e^{-j2\pi\nu}\\ &=4+4\cos(2\pi\nu)\\ &=8\cos^2(\pi\nu). \end{aligned} \]

Il modulo è massimo in \(\nu=0\), dove vale \(8\), e si annulla in \(\nu=\pm1/2\) modulo \(1\). Il sistema è quindi un passa-basso.

Legame ingresso-uscita

Il primo blocco produce

\[ w[n]=2x[n+1]+4x[n]+2x[n-1]. \]

Dopo la modulazione,

\[ z[n]=w[n]\cos\!\left(\frac{\pi n}{4}\right). \]

Il decimatore di fattore \(2\) restituisce \(y[n]=z[2n]\):

\[ \begin{aligned} y[n] &=\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right)w[2n]\\ &=\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right) \bigl(2x[2n+1]+4x[2n]+2x[2n-1]\bigr). \end{aligned} \]

Il sistema complessivo è lineare. Non è tempo-invariante: una traslazione dell’ingresso non si traduce nella stessa traslazione dell’uscita a causa degli indici \(2n\) e della modulante dipendente da \(n\). È dispersivo, perché ogni uscita combina più campioni. È non causale: per esempio \(y[0]\) dipende da \(x[1]\), che è futuro rispetto all’istante \(0\). È infine BIBO stabile, perché

\[ |x[n]|\leq M \quad\Longrightarrow\quad |y[n]|\leq(2+4+2)M=8M. \]

Spettri

Per il filtro LTI,

\[ W(\nu)=H(\nu)X(\nu) =8\cos^2(\pi\nu)\operatorname{rep}_1[\Pi(8\nu)]. \]

In ogni periodo, \(X(\nu)\) è sostenuto in

\[ -\frac1{16}\leq\nu\leq\frac1{16}. \]

Quindi \(W(\nu)\) ha lo stesso supporto, ma l’altezza rettangolare viene modellata dal fattore \(8\cos^2(\pi\nu)\).

La modulazione usa la frequenza

\[ \nu_m=\frac18, \]

perciò

\[ Z(\nu)=\frac12W\!\left(\nu-\frac18\right) +\frac12W\!\left(\nu+\frac18\right). \]

Nel periodo principale le due bande sono centrate in \(\nu=\pm1/8\), hanno semilarghezza \(1/16\) e occupano

\[ \left[-\frac3{16},-\frac1{16}\right] \cup \left[\frac1{16},\frac3{16}\right]. \]

Per la decimazione,

\[ Y(\nu)=\frac12\left[ Z\!\left(\frac{\nu}{2}\right) +Z\!\left(\frac{\nu-1}{2}\right) \right]. \]

Le bande vengono dilatate di un fattore \(2\) sull’asse della frequenza di uscita e ripiegate modulo \(1\). Nel periodo principale sono centrate in \(\nu=\pm1/4\), con semilarghezza \(1/8\):

\[ \left[-\frac38,-\frac18\right] \cup \left[\frac18,\frac38\right]. \]

Nell’intervallo \([-1,1]\) si ripetono con periodo unitario; i centri sono

\[ -\frac34,\quad-\frac14,\quad\frac14,\quad\frac34. \]

Il profilo non è rettangolare, perché già \(W(\nu)\) contiene il fattore \(8\cos^2(\pi\nu)\). Ogni passaggio conserva questa forma, la trasla o la comprime secondo le formule indicate.

Risultato

\[ H(\nu)=8\cos^2(\pi\nu), \] \[ y[n]=\cos\!\left(\frac{\pi n}{2}\right) \bigl(2x[2n+1]+4x[2n]+2x[2n-1]\bigr), \] \[ W=HX,\qquad Z(\nu)=\frac12\!\left[W(\nu-\tfrac18)+W(\nu+\tfrac18)\right], \qquad Y(\nu)=\frac12\!\left[Z(\tfrac{\nu}{2})+Z(\tfrac{\nu-1}{2})\right]. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(H(0)=8\) e \(H(1/2)=0\), comportamento coerente con un passa-basso.
Il legame temporale contiene esattamente i tre coefficienti \(2,4,2\) della risposta impulsiva.
I supporti di \(Z\) sono quelli di \(W\) traslati di \(\pm1/8\).
Dopo il decimatore, i centri \(\pm1/8\) diventano \(\pm1/4\) modulo \(1\).
Il limite \(|y[n]|\leq8M\) dimostra la stabilità senza richiedere invarianza temporale.

Errori che fanno perdere il filo

Classificare il primo filtro da \(h[n]\) senza calcolare dove \(H(\nu)\) è massimo e nullo.
Dimenticare di valutare la modulante in \(2n\) dopo il decimatore.
Usare la formula di decimazione senza la seconda copia aliasata.
Disegnare \(W(\nu)\) come un rettangolo piatto ignorando \(H(\nu)\).

FonteT_200615.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoVelocità triangolare, spia e limite rispettato

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Costruire pdf e CDF della velocità, caratterizzare la spia e calcolare una probabilità condizionata.

Prima immagine mentale

La densità triangolare è simmetrica attorno a \(100\) e ha base da \(50\) a \(150\). La spia è una trasformazione indicatrice e quindi una variabile di Bernoulli. Quando il limite è rispettato, la distribuzione osservata non è la densità originale troncata senza rinormalizzazione: occorre condizionare all’evento \(V\leq110\).

La strada, prima di fare i conti

Normalizzare il triangolo usando base e altezza.
Integrare i due rami lineari per ottenere la CDF.
Calcolare \(P(V>110)\) e usarlo come parametro della Bernoulli \(S\).
Tradurre il rispetto del limite nell'evento condizionante \(V\leq110\).
Valutare il rapporto di aree tramite la CDF.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

CDF e probabilità di intervallo

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[F_V(v)=P(V\leq v),\qquad P(v_1

Perché è quella giusta qui

Serve sia a costruire i due rami della CDF sia a calcolare le probabilità sulla velocità.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Variabile Bernoulli

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[P(S=1)=p,\qquad P(S=0)=1-p\]

Perché è quella giusta qui

La spia è l’indicatrice dell’evento \(V>110\), quindi ha parametro \(p=0.32\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Perché è quella giusta qui

Si usa con \(A=\{V>80\}\) e \(B=\{V\leq110\}\) per rappresentare il limite rispettato.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Densità e funzione di ripartizione

Il triangolo ha centro \(100\) e semilarghezza \(50\). La forma compatta è

\[ f_V(v)=\frac1{50} \Lambda\!\left(\frac{v-100}{50}\right). \]

Esplicitamente,

\[ f_V(v)= \begin{cases} \dfrac{v-50}{2500},&50\leq v\leq100,\\[2mm] \dfrac{150-v}{2500},&100<v\leq150,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

L’altezza massima è \(1/50\), e l’area è

\[ \frac12\cdot100\cdot\frac1{50}=1. \]

Integrando il primo ramo,

\[ F_V(v)=\frac{(v-50)^2}{5000}, \qquad 50\leq v\leq100. \]

Per il secondo ramo è più semplice sottrarre la coda destra:

\[ F_V(v)=1-\frac{(150-v)^2}{5000}, \qquad100<v\leq150. \]

Quindi

\[ F_V(v)= \begin{cases} 0,&v<50,\\ \dfrac{(v-50)^2}{5000},&50\leq v\leq100,\\[2mm] 1-\dfrac{(150-v)^2}{5000},&100<v\leq150,\\[2mm] 1,&v>150. \end{cases} \]

Variabile della spia

La spia vale \(1\) quando \(V>110\):

\[ \begin{aligned} p_S &=P(S=1)=P(V>110)\\ &=1-F_V(110)\\ &=\frac{(150-110)^2}{5000}\\ &=\frac{1600}{5000}=0.32. \end{aligned} \]

Pertanto \(S\) è Bernoulli:

\[ P(S=1)=0.32, \qquad P(S=0)=0.68. \]

La sua densità discreta può essere scritta

\[ f_S(s)=0.68\,\delta[s]+0.32\,\delta[s-1], \]

\[ E[S]=0\cdot0.68+1\cdot0.32=0.32. \]

Autostrada con limite rispettato

Il fatto che il signor K rispetti il limite significa che si osserva la velocità condizionatamente a

\[ V\leq110. \]

La probabilità richiesta è

\[ \begin{aligned} P(V>80\mid V\leq110) &=\frac{P(80<V\leq110)}{P(V\leq110)}\\ &=\frac{F_V(110)-F_V(80)}{F_V(110)}. \end{aligned} \]

Si ha

\[ F_V(110)=0.68, \qquad F_V(80)=\frac{30^2}{5000}=0.18. \]

Quindi

\[ P(V>80\mid V\leq110) =\frac{0.68-0.18}{0.68} =\frac{25}{34} \simeq0.735294. \]

La rinormalizzazione è essenziale: il numeratore \(0.50\) è una probabilità rispetto alla popolazione originaria, mentre il denominatore \(0.68\) è la massa che resta dopo l’imposizione del limite.

Risultato

\[ f_V(v)=\frac1{50}\Lambda\!\left(\frac{v-100}{50}\right), \] \[ P(S=1)=E[S]=0.32, \qquad P(V>80\mid V\leq110)=\frac{25}{34}\simeq0.735294. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

La pdf triangolare ha area unitaria e supporto \([50,150]\).
I due rami della CDF valgono entrambi \(1/2\) in \(v=100\).
\(P(S=0)+P(S=1)=0.68+0.32=1\) ed \(E[S]=P(S=1)\) per una Bernoulli.
La probabilità condizionata \(25/34\) è maggiore del numeratore non condizionato \(0.50\) perché la massa totale è stata ridotta.

Errori che fanno perdere il filo

Usare altezza \(1/100\) per il triangolo, dimenticando il fattore \(1/2\) nell'area.
Scrivere la CDF decrescente sul ramo destro.
Confondere la spia con una variabile continua.
Calcolare semplicemente \(P(V>80)\) senza condizionare al rispetto del limite.

FonteT_200615.pdf

18/05 Prova scritta · 150 minutiAppello del 18/05/2020

Segnali e sistemi a tempo continuo · Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Tre trasformate mediante proprietà

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Serie discreta e filtro passa-banda ideale

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Somma di variabili con densità a due intervalli

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 18/05/2020

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoTre trasformate mediante proprietà

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Determinare gli spettri di due segnali analitici e del segnale costruito graficamente.

Prima immagine mentale

Ogni punto è pensato per evitare l’integrazione diretta. Nel primo, la moltiplicazione per \(t\) diventa una derivata in frequenza. Nel secondo, la somma dei due gradini è unitaria quasi ovunque. Nel terzo, il grafico mostra un triangolo lento moltiplicato per un treno periodico di finestre: il prodotto nel tempo diventa una somma di repliche in frequenza.

La strada, prima di fare i conti

Partire dalla coppia \(\operatorname{sinc}^2(t)\leftrightarrow\Lambda(f)\) e applicare la derivazione in frequenza.
Semplificare la somma \(u(t-1)+u(1-t)\) prima di trasformare.
Ricostruire il terzo segnale come prodotto di \(\Lambda(t/(2T))\) e un treno di rettangoli.
Calcolare i coefficienti del treno periodico usando un generatore di durata \(T/2\).
Convolvere lo spettro continuo dell'inviluppo con le righe del treno.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Derivazione in frequenza

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[t^kx(t)\longleftrightarrow\left(\frac{j}{2\pi}\right)^k\frac{d^kX(f)}{df^k}\]

Perché è quella giusta qui

Con \(k=1\) trasforma \(t\operatorname{sinc}^2(t)\) nella derivata della triangolare.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppia sinc quadrato–triangolo

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[A\operatorname{sinc}^2(2Bt)\longleftrightarrow\frac{A}{2B}\Lambda\!\left(\frac{f}{2B}\right)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(2B=1\) serve al primo punto; con la proprietà di scala fornisce anche la trasformata di \(\Lambda(t/(2T))\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coefficienti di una ripetizione periodica

Formulario_tds.pdf, p. 7

\[x_p(t)=\sum_nx_g(t-nT)\Longrightarrow X_k=\frac1T X_g\!\left(\frac{k}{T}\right)\]

Perché è quella giusta qui

Applicata al rettangolo di durata \(T/2\), dà \(P_k=\frac12\operatorname{sinc}(k/2)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Prodotto nel tempo

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x(t)y(t)\longleftrightarrow X(f)*Y(f)\]

Perché è quella giusta qui

Converte il prodotto tra inviluppo e treno di finestre nella somma di repliche spettrali.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Primo segnale

\[ x_1(t)=t\,\operatorname{sinc}^2(t). \]

Dalla coppia notevole,

\[ \operatorname{sinc}^2(t)\longleftrightarrow\Lambda(f). \]

La moltiplicazione per \(t\) nel tempo corrisponde alla derivazione in frequenza:

\[ X_1(f)=\frac{j}{2\pi}\frac{d}{df}\Lambda(f). \]

La triangolare è continua, quindi la sua derivata distribuzionale non contiene delta nei punti angolosi. A meno dei valori puntuali in \(f=-1,0,1\),

\[ \frac{d}{df}\Lambda(f)= \begin{cases} 1,&-1<f<0,\\ -1,&0<f<1,\\ 0,&|f|>1. \end{cases} \]

Pertanto

\[ X_1(f)= \begin{cases} \dfrac{j}{2\pi},&-1<f<0,\\[2mm] -\dfrac{j}{2\pi},&0<f<1,\\ 0,&|f|>1, \end{cases} \]

oppure, in forma compatta,

\[ X_1(f)=-\frac{j}{2\pi}\operatorname{sign}(f)\Pi(f/2). \]

Lo spettro è immaginario e dispari, come deve essere per un segnale reale e dispari.

Secondo segnale

\[ x_2(t)=\Lambda(t/2)\,[u(t-1)+u(-t+1)]. \]

Per \(t<1\), \(u(-t+1)=1\); per \(t>1\), \(u(t-1)=1\). Con la convenzione \(u(0)=1/2\), la somma vale \(1\) anche in \(t=1\). Con qualunque altra convenzione differisce soltanto in un punto, irrilevante per la trasformata:

\[ x_2(t)=\Lambda(t/2). \]

Quindi

\[ X_2(f)=2\operatorname{sinc}^2(2f). \]

Segnale mostrato in figura

Il grafico mostra l’inviluppo triangolare

\[ a(t)=\Lambda\!\left(\frac{t}{2T}\right), \]

limitato a \([-2T,2T]\), osservato soltanto dentro finestre di durata \(T/2\), centrate nei multipli di \(T\). In forma analitica,

\[ p(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \Pi\!\left(\frac{t-kT}{T/2}\right), \qquad x_3(t)=a(t)p(t). \]

Questa ricostruzione è confermata dai riferimenti grafici: la finestra centrale termina in \(T/4\), le successive sono centrate in \(T\) e l’inviluppo si annulla in \(2T\).

La trasformata dell’inviluppo è

\[ A(f)=2T\operatorname{sinc}^2(2Tf). \]

Il treno \(p(t)\) ha periodo \(T\). I suoi coefficienti di Fourier sono

\[ \begin{aligned} P_k &=\frac1T \int_{-T/4}^{T/4}e^{-j2\pi kt/T}dt\\ &=\frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{2}\right). \end{aligned} \]

Pertanto

\[ P(f)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} P_k\delta\!\left(f-\frac{k}{T}\right). \]

Il prodotto nel tempo diventa convoluzione in frequenza:

\[ \begin{aligned} X_3(f) &=A(f)*P(f)\\ &=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac12\operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{2}\right) A\!\left(f-\frac{k}{T}\right)\\ &=T\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{2}\right) \operatorname{sinc}^2(2Tf-2k). \end{aligned} \]

Le repliche con indice pari non nullo scompaiono perché \(\operatorname{sinc}(k/2)=0\); resta la replica centrale e quelle con indice dispari, pesate con segno alterno. Gli estremi delle finestre non influenzano lo spettro perché costituiscono un insieme di misura nulla.

Risultato

\[ X_1(f)=-\frac{j}{2\pi}\operatorname{sign}(f)\Pi(f/2), \qquad X_2(f)=2\operatorname{sinc}^2(2f), \] \[ X_3(f)=T\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \operatorname{sinc}\!\left(\frac{k}{2}\right) \operatorname{sinc}^2(2Tf-2k). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(X_1(f)\) è immaginario dispari, simmetria corretta per \(x_1(t)\) reale dispari.
\(X_2(0)=2\), uguale all'area del triangolo \(\Lambda(t/2)\).
Per il treno, \(P_0=1/2\), uguale al ciclo utile \((T/2)/T\).
La formula di \(X_3(f)\) ha dimensione temporale \(T\), come una trasformata continua.
Le repliche pari non nulle sono eliminate dagli zeri di \(\operatorname{sinc}(k/2)\).

Errori che fanno perdere il filo

Introdurre delta derivando \(\Lambda(f)\): la funzione è continua, quindi i soli salti sono nella pendenza.
Trattare \(u(t-1)+u(1-t)\) come due intervalli sovrapposti di area positiva.
Leggere \(T/4\) come semilarghezza dell'inviluppo invece che della finestra centrale.
Dimenticare i pesi \(P_k\) quando si replicano gli spettri dell'inviluppo.

FonteT_200518.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoSerie discreta e filtro passa-banda ideale

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare modulo e fase dei coefficienti periodici e determinare il segnale in uscita.

Prima immagine mentale

Il segnale ha periodo \(10\) ed è formato da quattro campioni positivi, un campione nullo, quattro negativi e un altro nullo. La seconda metà è l’opposto della prima, quindi tutte le armoniche pari scompaiono. Il filtro, ottenuto modulando una sinc discreta, conserva soltanto le righe a frequenza \(\pm3/10\).

La strada, prima di fare i conti

Calcolare i coefficienti della ripetizione di \(R_4[n]\) e applicare la traslazione di cinque campioni.
Usare l'antisimmetria di semiperiodo per individuare subito gli zeri.
Separare modulo e fase dei coefficienti non nulli in una tabella modulo \(10\).
Trasformare \(\operatorname{sinc}(n/5)\) e applicare la modulazione a \(\nu_0=1/4\).
Selezionare le sole armoniche che cadono nelle due bande del filtro e ricostruire il coseno reale.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Trasformata della finestra discreta

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[R_N[n]\longleftrightarrow\frac{\sin(\pi\nu N)}{\sin(\pi\nu)}e^{-j(N-1)\pi\nu}\]

Perché è quella giusta qui

Valutata in \(\nu=k/10\), fornisce modulo e fase del blocco di quattro campioni.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Traslazione temporale della serie

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[x[n-n_0]\longleftrightarrow X_ke^{-j2\pi k\nu_0n_0}\]

Perché è quella giusta qui

Con \(n_0=5\) introduce il fattore \(e^{-j\pi k}\) della seconda ripetizione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Coppia sinc discreta

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[2\nu_c\operatorname{sinc}(2\nu_cn)\longleftrightarrow\operatorname{rep}_1\!\left[\Pi\!\left(\frac{\nu}{2\nu_c}\right)\right]\]

Perché è quella giusta qui

Con \(2\nu_c=1/5\) dà lo spettro base di \(\operatorname{sinc}(n/5)\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Modulazione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 6

\[x[n]\cos(2\pi\nu_0n)\longleftrightarrow\frac12X(\nu-\nu_0)+\frac12X(\nu+\nu_0)\]

Perché è quella giusta qui

Con \(\nu_0=1/4\) costruisce le due bande del filtro, perché il coseno moltiplica la sinc nel tempo e ne trasla lo spettro.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Coefficienti dell’ingresso

Il periodo è \(N_0=10\). In un periodo,

\[ x[n]= \begin{cases} 1,&0\leq n\leq3,\\ 0,&n=4,\\ -1,&5\leq n\leq8,\\ 0,&n=9. \end{cases} \]

In particolare

\[ x[n+5]=-x[n], \]

quindi le armoniche pari devono essere nulle. Partendo dal generatore \(R_4[n]\),

\[ X_k=\frac1{10} \left(\sum_{n=0}^{3}e^{-j2\pi kn/10}\right) \left(1-e^{-j\pi k}\right). \]

Per \(k\not\equiv0\pmod{10}\), la somma del rettangolo è

\[ \sum_{n=0}^{3}e^{-j2\pi kn/10} =\frac{\sin(4\pi k/10)}{\sin(\pi k/10)} e^{-j3\pi k/10}. \]

Pertanto

\[ X_k= \frac1{10} \frac{\sin(2\pi k/5)}{\sin(\pi k/10)} e^{-j3\pi k/10} \left(1-e^{-j\pi k}\right). \]

Se \(k\) è pari, l’ultimo fattore è zero. Se \(k\) è dispari,

\[ X_k= \frac15 \frac{\sin(2\pi k/5)}{\sin(\pi k/10)} e^{-j3\pi k/10}. \]

Nel periodo degli indici \(k=0,\ldots,9\), le sole righe non nulle sono \(k=1,3,7,9\). Definiamo

\[ M_1=\frac{\sqrt{5+2\sqrt5}}{5}, \qquad M_3=\frac{\sqrt{5-2\sqrt5}}{5}. \]

Modulo e fase sono

\[ \begin{array}{c|c|c} k&|X_k|&\angle X_k\\ \hline 1&M_1&-\dfrac{3\pi}{10}\\[1mm] 3&M_3&\dfrac{\pi}{10}\\[1mm] 7&M_3&-\dfrac{\pi}{10}\\[1mm] 9&M_1&\dfrac{3\pi}{10} \end{array} \]

\[ X_k=0\quad\text{per}\quad k\in\{0,2,4,5,6,8\}. \]

Le coppie \(k=9\equiv-1\) e \(k=7\equiv-3\) sono coniugate, come richiesto dalla realtà di \(x[n]\).

Risposta armonica del filtro

La coppia notevole discreta dà

\[ \operatorname{sinc}(n/5) \longleftrightarrow 5\,\operatorname{rep}_1[\Pi(5\nu)]. \]

La moltiplicazione per

\[ \cos(\pi n/2)=\cos(2\pi(1/4)n) \]

trasla lo spettro in \(\pm1/4\):

\[ H(\nu)=\frac52\left\{ \operatorname{rep}_1\!\left[\Pi\!\left(5(\nu-\tfrac14)\right)\right] + \operatorname{rep}_1\!\left[\Pi\!\left(5(\nu+\tfrac14)\right)\right] \right\}. \]

Nel periodo principale il filtro è diverso da zero negli intervalli

\[ \frac3{20}\leq\nu\leq\frac7{20}, \qquad -\frac7{20}\leq\nu\leq-\frac3{20}. \]

Le righe non nulle dell’ingresso sono a \(\pm1/10\) e \(\pm3/10\). Il filtro elimina \(\pm1/10\) e conserva \(\pm3/10\) con guadagno \(5/2\):

\[ Y_3=\frac52X_3, \qquad Y_7=\frac52X_7. \]

Poiché

\[ |Y_3|=\frac12\sqrt{5-2\sqrt5}, \qquad \angle Y_3=\frac{\pi}{10}, \]

la ricostruzione reale è

\[ \begin{aligned} y[n] &=2|Y_3| \cos\!\left(2\pi\frac3{10}n+\frac{\pi}{10}\right)\\ &=\sqrt{5-2\sqrt5} \cos\!\left(\frac{3\pi n}{5}+\frac{\pi}{10}\right). \end{aligned} \]

Numericamente l’ampiezza è

\[ \sqrt{5-2\sqrt5}\simeq0.726543. \]

Risultato

\[ |X_1|=|X_9|=\frac{\sqrt{5+2\sqrt5}}5,\qquad |X_3|=|X_7|=\frac{\sqrt{5-2\sqrt5}}5, \] \[ \angle X_1=-\frac{3\pi}{10},\quad \angle X_3=\frac{\pi}{10},\quad \angle X_7=-\frac{\pi}{10},\quad \angle X_9=\frac{3\pi}{10}, \] \[ y[n]=\sqrt{5-2\sqrt5} \cos\!\left(\frac{3\pi n}{5}+\frac{\pi}{10}\right). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(X_0=0\) coincide con la media nulla del periodo.
Le armoniche pari sono nulle perché \(x[n+5]=-x[n]\).
\(X_9=X_1^*\) e \(X_7=X_3^*\), simmetria corretta per un segnale reale.
Solo \(|\nu|=3/10\) cade nelle bande \([3/20,7/20]\) e \([-7/20,-3/20]\).
L'uscita contiene una sola coppia coniugata e quindi una sola cosinusoide.

Errori che fanno perdere il filo

Dimenticare il fattore \(1-e^{-j\pi k}\) dovuto alla copia negativa traslata.
Assegnare una fase a coefficienti nulli.
Traslare le bande di \(\pm1/2\) invece che di \(\pm1/4\).
Ricostruire il coseno con ampiezza \(|Y_3|\) anziché \(2|Y_3|\).

FonteT_200518.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoSomma di variabili con densità a due intervalli

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare probabilità e CDF di \(X,Y\), quindi la pdf di \(Z=X+Y\).

Prima immagine mentale

La differenza di rettangoli nella densità di \(Y\) crea due intervalli uniformi separati da un vuoto. La convoluzione con \(X\), uniforme su un intervallo di larghezza \(2\), misura una lunghezza di sovrapposizione. Le due componenti della convoluzione si affiancano esattamente e formano un trapezio senza vuoto.

La strada, prima di fare i conti

Tradurre le due funzioni \(\Pi\) nel supporto esplicito di \(f_Y\).
Calcolare le probabilità come lunghezze pesate.
Integrare le due pdf per costruire le CDF a tratti.
Scrivere \(f_Z=f_X*f_Y\) come somma di due lunghezze di sovrapposizione.
Unire i tratti e controllare l'area della pdf risultante.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

CDF e probabilità di intervallo

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[F_X(x)=P(X\leq x),\qquad P(x_1

Perché è quella giusta qui

Guida la costruzione delle due CDF e la lettura delle probabilità richieste.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Densità uniforme

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[X\sim U(a,b)\Longrightarrow f_X(x)=\frac1{b-a}\ \text{su}\ [a,b]\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce direttamente \(f_X(x)=1/2\) su \([0,2]\), densità che entra nella convoluzione e pesa ogni lunghezza di sovrapposizione.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Somma di variabili indipendenti

Formulario_prob.pdf, p. 5

\[Z=X+Y,\ X\perp Y\Longrightarrow f_Z(z)=f_X*f_Y\]

Perché è quella giusta qui

Riduce la densità della somma alla lunghezza di sovrapposizione fra gli intervalli dei due supporti.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Densità di partenza

\[ X\sim U[0,2], \qquad f_X(x)= \begin{cases} \dfrac12,&0\leq x\leq2,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Per \(Y\),

\[ \Pi(y/3-1/2)=1\quad\text{su}\quad[0,3], \]

mentre

\[ \Pi(y-3/2)=1\quad\text{su}\quad[1,2]. \]

La sottrazione rimuove l’intervallo centrale:

\[ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac12,&0\leq y\leq1,\\ \dfrac12,&2\leq y\leq3,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

I valori agli estremi non influenzano probabilità o integrali.

Probabilità richieste

\[ P(1\leq X\leq5) =\int_1^2\frac12dx =\frac12. \]

Analogamente,

\[ P(2\leq Y\leq3) =\int_2^3\frac12dy =\frac12. \]

Funzioni di ripartizione

\[ F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ \dfrac{x}{2},&0\leq x\leq2,\\ 1,&x>2. \end{cases} \]

Per \(Y\), la CDF cresce sul primo intervallo, resta costante nel vuoto e riprende a crescere sul secondo:

\[ F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<0,\\ \dfrac{y}{2},&0\leq y\leq1,\\[1mm] \dfrac12,&1<y<2,\\[1mm] \dfrac{y-1}{2},&2\leq y\leq3,\\[1mm] 1,&y>3. \end{cases} \]

Entrambe sono continue, perché \(X\) e \(Y\) sono variabili continue.

Densità della somma

Per indipendenza,

\[ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx. \]

Definiamo la funzione di sovrapposizione fra gli intervalli \([0,2]\) e \([0,1]\):

\[ g(z)= \begin{cases} z,&0\leq z\leq1,\\ 1,&1<z\leq2,\\ 3-z,&2<z\leq3,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

La componente di \(Y\) sostenuta in \([2,3]\) genera la stessa forma traslata di due unità. Poiché le due densità hanno altezza \(1/2\),

\[ f_Z(z)=\frac14\,[g(z)+g(z-2)]. \]

Raccogliendo i tratti,

\[ f_Z(z)= \begin{cases} \dfrac{z}{4},&0\leq z\leq1,\\[2mm] \dfrac14,&1<z\leq4,\\[2mm] \dfrac{5-z}{4},&4<z\leq5,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Nel tratto \(2<z<3\), la discesa della prima convoluzione e la salita della seconda sommano a \(1/4\); per questo il vuoto presente in \(f_Y\) non compare in \(f_Z\).

Il grafico è un trapezio: sale linearmente da \(0\) a \(1/4\), resta costante fino a \(4\), poi scende linearmente a zero in \(5\).

Risultato

\[ P(1\leq X\leq5)=\frac12,\qquad P(2\leq Y\leq3)=\frac12, \] \[ f_Z(z)= \begin{cases} \dfrac{z}{4},&0\leq z\leq1,\\ \dfrac14,&1<z\leq4,\\ \dfrac{5-z}{4},&4<z\leq5,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(\int f_Y(y)dy=(1/2)(1+1)=1\).
La CDF di \(Y\) vale \(1/2\) su tutto il vuoto \((1,2)\).
Il supporto della somma è \([0,5]=[0,2]+[0,3]\).
L'area di \(f_Z\) è \(1/8+3/4+1/8=1\).
La pdf è continua nei punti \(z=1\) e \(z=4\).

Errori che fanno perdere il filo

Interpretare \(\Pi(y/3-1/2)\) come una finestra centrata in \(1/2\) anziché in \(3/2\).
Attribuire densità negativa nell'intervallo \([1,2]\): i due rettangoli lì si cancellano.
Sommare direttamente le variabili senza convolvere le densità.
Dimenticare il fattore \(1/4\), prodotto delle due altezze \(1/2\).

FonteT_200518.pdf

22/07 Prova scritta · 150 minutiAppello del 22/07/2019

Segnali e sistemi a tempo continuo · Segnali e sistemi a tempo discreto · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Retroazione sottrattiva e semionda raddrizzata

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Media mobile non causale e ingresso finestrato

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Collaudo, difetti e garanzia

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 22/07/2019

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoRetroazione sottrattiva e semionda raddrizzata

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Ricavare il filtro equivalente, la serie di Fourier della semionda positiva e la costante \(\tau\).

Prima immagine mentale

Il nodo sottrae all’ingresso la sua versione passa-basso: il sistema equivalente è quindi un passa-alto del primo ordine. La semionda raddrizzata ha continua, una fondamentale sinusoidale e sole armoniche pari cosinusoidali. Per fissare \(\tau\) basta seguire la fondamentale, senza ricostruire l’intera uscita.

La strada, prima di fare i conti

Trasformare \(h_1(t)\) e calcolare \(H(f)=1-H_1(f)\).
Separare modulo e fase del passa-alto equivalente.
Calcolare i coefficienti di \(x(t)\) integrando sulla sola semionda positiva.
Verificare \(X_0\) mediante la media temporale.
Imporre che l'ampiezza della fondamentale filtrata sia \(1/6\).

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Filtro CR

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[h(t)=\delta(t)-\frac1{RC}e^{-t/(RC)}u(t)\longleftrightarrow H(f)=\frac{j2\pi fRC}{1+j2\pi fRC}\]

Perché è quella giusta qui

Lo schema realizza esattamente questa differenza con \(RC=\tau\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Analisi della serie di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}dt\]

Perché è quella giusta qui

Con \(T_0=1\) l’integrale si restringe alla semionda positiva \(0<t<1/2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di una sinusoide

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[A\cos(2\pi f_0t+\theta)\longrightarrow A|H(f_0)|\cos(2\pi f_0t+\theta+\angle H(f_0))\]

Perché è quella giusta qui

La stessa regola vale per il seno e permette di imporre l’ampiezza della fondamentale senza calcolare tutte le armoniche in uscita.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Risposta armonica equivalente

Il ramo inferiore ha

\[ h_1(t)=\frac1\tau e^{-t/\tau}u(t), \qquad H_1(f)=\frac{1}{1+j2\pi f\tau}. \]

Dal segno del sommatore,

\[ y(t)=x(t)-x(t)*h_1(t), \]

quindi

\[ \begin{aligned} H(f) &=1-H_1(f)\\ &=1-\frac{1}{1+j2\pi f\tau}\\ &=\frac{j2\pi f\tau}{1+j2\pi f\tau}. \end{aligned} \]

Il modulo è

\[ |H(f)| =\frac{2\pi|f|\tau} {\sqrt{1+(2\pi f\tau)^2}}. \]

È nullo in continua e tende a \(1\) per \(|f|\to\infty\): il sistema è un passa-alto. Per \(f>0\),

\[ \angle H(f)=\frac{\pi}{2}-\arctan(2\pi f\tau), \]

mentre per \(f<0\),

\[ \angle H(f)=-\frac{\pi}{2}+\arctan(2\pi|f|\tau). \]

In \(f=0\) il modulo è nullo e la fase non è definita. La fase è dispari, come richiesto per un sistema reale.

Serie della semionda positiva

\[ s(t)=\sin(2\pi t), \qquad x(t)=s(t)u[s(t)]. \]

Il periodo fondamentale è \(T_0=1\). In un periodo \([0,1)\),

\[ x(t)= \begin{cases} \sin(2\pi t),&0<t<1/2,\\ 0,&1/2<t<1. \end{cases} \]

I coefficienti complessi sono

\[ X_k=\int_0^{1/2}\sin(2\pi t)e^{-j2\pi kt}dt. \]

Per \(k=0\),

\[ X_0=\int_0^{1/2}\sin(2\pi t)dt=\frac1\pi. \]

Per \(k=1\) e \(k=-1\), il calcolo separato dà

\[ X_1=-\frac{j}{4}, \qquad X_{-1}=\frac{j}{4}. \]

Per gli altri indici,

\[ X_k=-\frac{1+(-1)^k}{2\pi(k^2-1)}, \qquad k\neq\pm1. \]

La formula include \(k=0\). In forma esplicita,

\[ X_k= \begin{cases} \dfrac1\pi,&k=0,\\[1mm] -\dfrac{j}{4},&k=1,\\[1mm] \dfrac{j}{4},&k=-1,\\[1mm] -\dfrac{1}{\pi(k^2-1)},&k\ \text{pari e non nullo},\\[2mm] 0,&k\ \text{dispari},\ |k|>1. \end{cases} \]

La serie trigonometrica equivalente è

\[ x(t)=\frac1\pi+\frac12\sin(2\pi t) -\frac2\pi\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{\cos(4\pi mt)}{4m^2-1}. \]

Il controllo sulla media è immediato:

\[ \langle x\rangle =\int_0^1x(t)dt =\int_0^{1/2}\sin(2\pi t)dt =\frac1\pi =X_0. \]

Scelta di \(\tau\)

La fondamentale reale in ingresso è

\[ \frac12\sin(2\pi t), \]

quindi ha ampiezza \(1/2\). In uscita l’ampiezza è

\[ \frac12|H(1)|. \]

La specifica richiede

\[ \frac12|H(1)|=\frac16, \qquad |H(1)|=\frac13. \]

Pertanto

\[ \frac{2\pi\tau}{\sqrt{1+(2\pi\tau)^2}}=\frac13. \]

Elevando al quadrato,

\[ \frac{4\pi^2\tau^2}{1+4\pi^2\tau^2}=\frac19, \]

da cui

\[ 36\pi^2\tau^2=1+4\pi^2\tau^2, \qquad 32\pi^2\tau^2=1. \]

Con \(\tau>0\),

\[ \boxed{\tau=\frac{1}{4\sqrt2\,\pi}}. \]

Risultato

\[ H(f)=\frac{j2\pi f\tau}{1+j2\pi f\tau}, \] \[ X_0=\frac1\pi,\quad X_1=-\frac j4,\quad X_{-1}=\frac j4,\quad X_k=-\frac{1+(-1)^k}{2\pi(k^2-1)}\ \text{per}\ k\neq\pm1, \] \[ \tau=\frac{1}{4\sqrt2\,\pi}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(|H(0)|=0\) e \(\lim_{|f|\to\infty}|H(f)|=1\), quindi il filtro è passa-alto.
I coefficienti soddisfano \(X_{-k}=X_k^*\).
\(X_0=1/\pi\) coincide con l'area della semionda in un periodo.
Con \(\tau=1/(4\sqrt2\pi)\), si ottiene \(2\pi\tau=1/(2\sqrt2)\) e \(|H(1)|=1/3\).

Errori che fanno perdere il filo

Sommare i due rami dello schema invece di sottrarre il ramo filtrato.
Trattare \(x(t)\) come un'onda interamente raddrizzata: qui la semionda negativa è posta a zero.
Confondere \(|X_1|=1/4\) con l'ampiezza reale della fondamentale, che è \(2|X_1|=1/2\).
Assegnare una fase al filtro in \(f=0\), dove il modulo è nullo.

FonteT_190722.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoMedia mobile non causale e ingresso finestrato

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Ricavare \(h[n]\), la risposta al gradino, il valore di \(a\) e l’uscita per l’ultimo ingresso.

Prima immagine mentale

Il sistema è una media mobile simmetrica di cinque campioni. La risposta al gradino è una rampa corta che si assesta a \(5a\); nella media temporale il transitorio finito non conta. Per l’ultimo punto è decisivo usare la definizione del corso \(R_N[n]=1\) per \(0\leq n\leq N-1\): la traslazione \(R_9[n-4]\) crea un intervallo nullo da \(4\) a \(12\).

La strada, prima di fare i conti

Applicare il sistema alla delta per ottenere una finestra di cinque campioni.
Convolvere la finestra con \(u[n]\) e scrivere la risposta al gradino a tratti.
Calcolare la media dal valore asintotico e imporla uguale a uno.
Esplicitare il supporto di \(R_9[n-4]\) secondo la convenzione del formulario.
Calcolare la somma mobile dei cinque campioni e tabulare tutti i tratti di transizione.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

Identifica la finestra mobile di cinque campioni e guida sia la risposta al gradino sia l’ultimo calcolo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Media di un gradino discreto

Formulario_tds.pdf, pp. 1–2

\[x[n]=A\,u[n]\Longrightarrow P_x=\frac{A^2}{2},\qquad \langle u[n]\rangle=\frac12\]

Perché è quella giusta qui

La formula della media è a pagina uno; applicata al livello asintotico \(5a\,u[n]\) dà \(\langle y_u\rangle=5a/2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Finestra rettangolare discreta

Formulario_tds.pdf, p. 8

\[R_N[n]\longleftrightarrow\frac{\sin(\pi\nu N)}{\sin(\pi\nu)}e^{-j(N-1)\pi\nu}\]

Perché è quella giusta qui

La fase \(e^{-j(N-1)\pi\nu}\) corrisponde alla convenzione causale \(R_N[n]=1\) per \(0\leq n\leq N-1\); da essa segue il supporto di \(R_9[n-4]\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Risposta impulsiva

\[ y[n]=\sum_{k=-2}^{2}a\,x[n-k]. \]

Ponendo \(x[n]=\delta[n]\),

\[ h[n]=a\sum_{k=-2}^{2}\delta[n-k] = \begin{cases} a,&-2\leq n\leq2,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Il sistema è LTI, stabile e non causale, perché \(h[-2]\) e \(h[-1]\) sono non nulli.

Risposta al gradino

Con \(x[n]=u[n]\),

\[ y_u[n]=a\sum_{k=-2}^{2}u[n-k]. \]

Contando i termini attivi,

\[ y_u[n]= \begin{cases} 0,&n<-2,\\ a(n+3),&-2\leq n\leq2,\\ 5a,&n\geq3. \end{cases} \]

I valori della rampa sono \(a,2a,3a,4a,5a\). Il tratto iniziale è finito; nella media simmetrica non contribuisce. Il gradino asintotico \(5a\,u[n]\) ha media

\[ \langle y_u\rangle=\frac{5a}{2}. \]

Imponendo la media unitaria,

\[ \frac{5a}{2}=1, \qquad a=\frac25. \]

Ingresso finale: convenzione della finestra

La traccia assegna

\[ x[n]=\operatorname{sign}(n)\bigl(1-R_9[n-4]\bigr). \]

Nel corso,

\[ R_9[m]=1\quad\text{per}\quad0\leq m\leq8. \]

Quindi

\[ R_9[n-4]=1\quad\text{per}\quad4\leq n\leq12, \]

e, assumendo \(\operatorname{sign}(0)=0\),

\[ x[n]= \begin{cases} -1,&n\leq-1,\\ 0,&n=0,\\ 1,&1\leq n\leq3,\\ 0,&4\leq n\leq12,\\ 1,&n\geq13. \end{cases} \]

Con \(a=2/5\),

\[ y[n]=\frac25\sum_{r=n-2}^{n+2}x[r]. \]

La somma mobile dà

\[ y[n]= \begin{cases} -2,&n\leq-3,\\ -\dfrac85,&n=-2,\\[1mm] -\dfrac45,&n=-1,\\[1mm] 0,&n=0,\\[1mm] \dfrac45,&n=1,\\[1mm] \dfrac65,&n=2,3,\\[1mm] \dfrac45,&n=4,\\[1mm] \dfrac25,&n=5,\\[1mm] 0,&6\leq n\leq10,\\[1mm] \dfrac25,&n=11,\\[1mm] \dfrac45,&n=12,\\[1mm] \dfrac65,&n=13,\\[1mm] \dfrac85,&n=14,\\[1mm] 2,&n\geq15. \end{cases} \]

Lo svolgimento manoscritto allegato all’appello disegna invece una finestra centrata nell’origine e produce una risposta simmetrica: in quel passaggio viene ignorata la traslazione \([n-4]\). La soluzione sopra segue sia la traccia stampata sia la definizione ufficiale di \(R_N[n]\); è quindi quella matematicamente coerente con il formulario.

Risultato

\[ h[n]=\frac25\sum_{k=-2}^{2}\delta[n-k], \qquad y_u[n]= \begin{cases} 0,&n<-2,\\ \frac25(n+3),&-2\leq n\leq2,\\ 2,&n\geq3, \end{cases} \] \[ y[n]= \begin{cases} -2,&n\leq-3,\\ -\frac85,&n=-2,\\ -\frac45,&n=-1,\\ 0,&n=0,\\ \frac45,&n=1,\\ \frac65,&n=2,3,\\ \frac45,&n=4,\\ \frac25,&n=5,\\ 0,&6\leq n\leq10,\\ \frac25,&n=11,\\ \frac45,&n=12,\\ \frac65,&n=13,\\ \frac85,&n=14,\\ 2,&n\geq15. \end{cases} \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(\sum_n|h[n]|=5|a|\), quindi la risposta impulsiva è stabile.
Per \(a=2/5\), il valore asintotico della risposta al gradino è \(5a=2\) e la sua media è \(1\).
L'ingresso finale è nullo esattamente per \(4\leq n\leq12\), come impone \(R_9[n-4]\).
L'uscita tende a \(-2\) a sinistra e a \(2\) a destra, pari al guadagno statico \(5a=2\) moltiplicato per i livelli dell'ingresso.
Nel tratto \(6\leq n\leq10\), tutti i cinque campioni della finestra cadono nella zona nulla.

Errori che fanno perdere il filo

Calcolare la media della risposta al gradino come il solo livello finale \(5a\): la media simmetrica del gradino introduce il fattore \(1/2\).
Ritenere causale una risposta impulsiva sostenuta anche in \(n=-2,-1\).
Trattare \(R_9[n-4]\) come una finestra centrata nell'origine, cancellando la traslazione scritta nella traccia.
Saltare il campione \(n=0\), dove \(\operatorname{sign}(0)=0\).

FonteT_190722.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoCollaudo, difetti e garanzia

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare probabilità di sopravvivenza, posteriori dopo il collaudo e rischio di rimborso.

Prima immagine mentale

Il tempo di vita è una miscela di due uniformi: una scheda è prima classificata come difettosa o buona, poi ha la relativa durata. Il collaudo equivale al condizionamento \(X>20\). La frase sulla garanzia ha una reale ambiguità temporale: lo svolgimento ufficiale usa la soglia totale \(X\leq180\), mentre la lettura letterale “dalla vendita” porta a \(X\leq200\). Sono riportati entrambi i risultati.

La strada, prima di fare i conti

Calcolare le sopravvivenze oltre venti giorni per le due uniformi.
Usare probabilità totale per la quota di schede commercializzate.
Applicare Bayes per la probabilità di difetto dopo il collaudo.
Seguire la convenzione ufficiale \(20<X\leq180\) per il rimborso principale.
Calcolare separatamente la lettura letterale \(20<X\leq200\) e dichiarare la differenza.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Distribuzione uniforme

Formulario_prob.pdf, p. 2

\[X\sim U(a,b)\Longrightarrow P(c

Perché è quella giusta qui

Calcola tutte le sopravvivenze e le probabilità di guasto su intervalli per i due tipi di scheda.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità totale

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A)=\sum_iP(A\mid B_i)P(B_i)\]

Perché è quella giusta qui

Le classi \(D\) e \(B\) formano la partizione usata per commercializzazione e rimborso.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Formula di Bayes

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(D\mid C)=\frac{P(C\mid D)P(D)}{P(C)}\]

Perché è quella giusta qui

Fornisce la probabilità che una scheda sopravvissuta al collaudo sia difettosa.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Distribuzione condizionata

Formulario_prob.pdf, p. 4

\[F_X(x\mid C)=\frac{P(X\leq x,\ C)}{P(C)}\]

Perché è quella giusta qui

Il rischio di rimborso fra le sole schede vendute è un rapporto condizionato all’evento \(C=\{X>20\}\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Indichiamo con \(D\) una scheda difettosa e con \(B\) una scheda buona:

\[ P(D)=0.02=\frac1{50}, \qquad P(B)=0.98=\frac{49}{50}. \]

Le durate condizionate sono

\[ X_D\sim U[0,40], \qquad X_B\sim U[0,4000]. \]

Scheda difettosa che supera il collaudo

Una scheda è venduta se sopravvive oltre il giorno \(20\). Per una scheda difettosa,

\[ P(X_D>20\mid D) =\frac{40-20}{40} =\frac12. \]

Probabilità di difetto dopo il collaudo

Per una scheda buona,

\[ P(X_B>20\mid B) =\frac{4000-20}{4000} =\frac{199}{200}. \]

Sia \(C=\{X>20\}\) l’evento di commercializzazione. Per probabilità totale,

\[ \begin{aligned} P(C) &=P(C\mid D)P(D)+P(C\mid B)P(B)\\ &=\frac12\frac1{50}+\frac{199}{200}\frac{49}{50}\\ &=\frac{9851}{10000} =0.9851. \end{aligned} \]

Per Bayes,

\[ \begin{aligned} P(D\mid C) &=\frac{P(C\mid D)P(D)}{P(C)}\\ &=\frac{1/100}{9851/10000}\\ &=\frac{100}{9851}\\ &\simeq0.010151. \end{aligned} \]

Il collaudo dimezza circa il tasso di difetti, dal \(2\%\) a poco più dell’\(1\%\).

Rimborso: convenzione dello svolgimento ufficiale

Lo svolgimento allegato interpreta la garanzia mediante

\[ 20<X\leq180. \]

Per le schede difettose, tutto il tratto sopravvissuto \((20,40]\) è compreso nell’evento:

\[ P(20<X_D\leq180\mid D)=\frac{20}{40}=\frac12. \]

Per le schede buone,

\[ P(20<X_B\leq180\mid B)=\frac{160}{4000}=0.04. \]

La probabilità congiunta di commercializzazione e rimborso è

\[ \begin{aligned} P(20<X\leq180) &=\frac12(0.02)+0.04(0.98)\\ &=0.0492. \end{aligned} \]

Condizionando alla commercializzazione,

\[ \begin{aligned} P(\text{rimborso}\mid C) &=\frac{0.0492}{0.9851}\\ &=\frac{492}{9851}\\ &\simeq0.049944. \end{aligned} \]

Lettura letterale della data di vendita

Il testo dice anche “entro \(180\) giorni dalla data di vendita”. Poiché la vendita avviene dopo un collaudo di \(20\) giorni, questa lettura porta all’intervallo totale

\[ 20<X\leq200. \]

La componente difettosa resta \(0.01\), mentre quella buona diventa

\[ 0.98\frac{200-20}{4000}=0.0441. \]

Quindi

\[ P_{\mathrm{letterale}}(\text{rimborso}\mid C) =\frac{0.0541}{0.9851} =\frac{541}{9851} \simeq0.054918. \]

Per aderire alla soluzione della professoressa, il risultato principale è \(492/9851\); la seconda cifra è la conseguenza della lettura temporale letterale della traccia.

Risultato

\[ P(C\mid D)=\frac12,\qquad P(D\mid C)=\frac{100}{9851}\simeq0.010151, \] \[ P_{\mathrm{ufficiale}}(\text{rimborso}\mid C) =\frac{492}{9851}\simeq0.049944. \] \[ P_{\mathrm{letterale}}(\text{rimborso}\mid C) =\frac{541}{9851}\simeq0.054918 \quad\text{se i centottanta giorni decorrono dopo la vendita}. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(P(C)=0.9851\) è elevata perché il \(98\%\) delle schede è buono e quasi tutte superano il collaudo.
\(P(D\mid C)\simeq0.010151<P(D)=0.02\), quindi il collaudo migliora la popolazione venduta.
Nella convenzione ufficiale, \(0.0492<P(C)=0.9851\), come richiesto per un evento contenuto.
La soglia letterale di \(200\) giorni aumenta il rischio rispetto alla soglia ufficiale di \(180\) giorni.

Errori che fanno perdere il filo

Usare \(P(D)=0.02\) come probabilità di difetto dopo il collaudo senza Bayes.
Dimenticare di condizionare il rimborso alla scheda effettivamente commercializzata.
Usare \(180/4000\) per le schede buone senza sottrarre i venti giorni già superati.
Nascondere l'incoerenza fra la soglia usata nello svolgimento e la frase “dalla data di vendita”.

FonteT_190722.pdf

24/06 Prova scritta · 150 minutiAppello del 24/06/2019

Segnali e sistemi a tempo discreto · Segnali e sistemi a tempo continuo · Probabilità e variabili aleatorie3 esercizi · 3 svolgimenti completiTraccia originale verificata

Esercizio 1

Convoluzioni, energia, potenza e media

Segnali e sistemi a tempo discreto

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 2

Segnale periodico a rampe e filtro triangolare

Segnali e sistemi a tempo continuo

Vai allo svolgimento completo

Esercizio 3

Due calzini scelti al buio

Probabilità e variabili aleatorie

Vai allo svolgimento completo

Apri la scansione della traccia originale

Traccia completa della prova scritta del 24/06/2019

Non solo il risultato

Svolgimenti esercizio per esercizio

Apri un esercizio: trovi l’idea, il piano, il richiamo esatto al formulario, ogni passaggio motivato e i controlli finali.

1 Esercizio 1 · svolgimento completoConvoluzioni, energia, potenza e media

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Disegnare e classificare quattro segnali, calcolandone energia o potenza e valor medio.

Prima immagine mentale

Il primo segnale satura a due livelli costanti ed è quindi di potenza. Il secondo è un treno periodico di rettangoli alternati. Gli ultimi due sono a durata finita e quindi di energia: nel terzo la convoluzione conta la sovrapposizione di due finestre, nel quarto i due addendi hanno supporti disgiunti.

La strada, prima di fare i conti

Calcolare la convoluzione continua come integrale del segno su una finestra di larghezza due.
Usare la delta per replicare \(R_4[n]\) ogni otto campioni con segno alternato.
Contare le sovrapposizioni nella convoluzione di due \(R_6[n]\).
Esplicitare i campioni di \(B_4[n+9]\) e sfruttare i supporti disgiunti.
Applicare le definizioni di energia, potenza e media al segnale risultante, non ai singoli fattori.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Convoluzione continua e discreta

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[y(t)=\int x(\alpha)h(t-\alpha)d\alpha,\qquad y[n]=\sum_kx[k]h[n-k]\]

Perché è quella giusta qui

Le due definizioni producono rispettivamente il tratto lineare del primo segnale e il conteggio delle sovrapposizioni nel terzo.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Delta traslata in convoluzione

Formulario_tds.pdf, p. 4

\[x[n]*\delta[n-n_0]=x[n-n_0]\]

Perché è quella giusta qui

Converte il secondo segnale in copie traslate di \(R_4[n]\) pesate da \((-1)^k\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Energia e potenza

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[E_x=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2,\qquad P_x=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2\]

Perché è quella giusta qui

Servono a distinguere i due segnali periodici o non decrescenti dai due segnali a energia finita.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Esponenziale discreto monolatero

Formulario_tds.pdf, p. 2

\[x[n]=Aa^nu[n],\ |a|<1\Longrightarrow E_x=\frac{A^2}{1-a^2}\]

Perché è quella giusta qui

Con \(A=1\) e \(a=1/4\) fornisce \(16/15\), poi sommato all’energia della finestra disgiunta.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Convoluzione fra segno e rettangolo

\[ x_1(t)=\operatorname{sign}(t)*\Pi(t/2). \]

La finestra \(\Pi((t-\alpha)/2)\) seleziona \(t-1\leq\alpha\leq t+1\):

\[ x_1(t)=\int_{t-1}^{t+1}\operatorname{sign}(\alpha)d\alpha. \]

Se \(t\leq-1\), l’intervallo è tutto negativo e l’integrale vale \(-2\). Se \(-1<t<1\), l’intervallo attraversa l’origine:

\[ \int_{t-1}^{0}(-1)d\alpha+\int_0^{t+1}1\,d\alpha=2t. \]

Se \(t\geq1\), l’integrale vale \(2\). Quindi

\[ x_1(t)= \begin{cases} -2,&t\leq-1,\\ 2t,&-1<t<1,\\ 2,&t\geq1. \end{cases} \]

Il segnale è dispari, perciò

\[ \langle x_1\rangle=0. \]

Non decade e ha energia infinita. Il tratto finito \([-1,1]\) non cambia la potenza asintotica; quasi tutto l’asse ha modulo \(2\):

\[ P_{x_1}=4. \]

Treno discreto di rettangoli alternati

\[ x_2[n]=R_4[n]* \sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k\delta[n-8k]. \]

Usando la proprietà di traslazione della delta,

\[ x_2[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (-1)^kR_4[n-8k]. \]

Ogni finestra occupa i campioni \(8k,\ldots,8k+3\); i quattro campioni successivi sono nulli. Il segno cambia ogni otto campioni, quindi il periodo fondamentale è \(16\). In un periodo ci sono quattro campioni \(+1\), quattro campioni \(-1\) e otto zeri:

\[ \langle x_2\rangle =\frac{4-4}{16}=0, \]

\[ P_{x_2} =\frac{4+4}{16} =\frac12. \]

L’energia è infinita perché il motivo non nullo si ripete indefinitamente.

Convoluzione di due rettangoli discreti

\[ x_3[n]=R_6[n]*[-R_6[n]]. \]

Entrambe le finestre sono sostenute in \(0\leq n\leq5\). Il numero di coppie sovrapposte cresce da uno a sei e poi decresce:

\[ x_3[n]= \begin{cases} -(n+1),&0\leq n\leq5,\\ -(11-n),&6\leq n\leq10,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

La sequenza dei valori non nulli è

\[ -1,-2,-3,-4,-5,-6,-5,-4,-3,-2,-1. \]

In notazione triangolare,

\[ x_3[n]=-6B_{12}[n+1]. \]

Il segnale è di energia, con media e potenza nulle. L’energia è

\[ \begin{aligned} E_{x_3} &=2\sum_{r=1}^{5}r^2+6^2\\ &=2(55)+36\\ &=146. \end{aligned} \]

Esponenziale e finestra di Bartlett traslata

\[ x_4[n]=\left(\frac14\right)^nu[n]-B_4[n+9]. \]

Con la convenzione del corso,

\[ B_4[m]= \begin{cases} 0,&m=0,\\ 1/2,&m=1,\\ 1,&m=2,\\ 1/2,&m=3,\\ 0,&\text{altrove}. \end{cases} \]

Quindi il termine traslato è non nullo in

\[ n=-8,-7,-6 \]

con valori rispettivamente \(1/2,1,1/2\). Il termine esponenziale è invece sostenuto per \(n\geq0\): i supporti sono disgiunti e non esistono termini energetici incrociati.

L’energia dell’esponenziale è

\[ \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac1{16}\right)^n =\frac{1}{1-1/16} =\frac{16}{15}. \]

L’energia della finestra è

\[ \left(\frac12\right)^2+1^2+\left(\frac12\right)^2 =\frac32. \]

Pertanto

\[ E_{x_4} =\frac{16}{15}+\frac32 =\frac{77}{30}. \]

Anche questo è un segnale di energia, dunque

\[ P_{x_4}=0, \qquad \langle x_4\rangle=0. \]

Risultato

\[ x_1(t)= \begin{cases} -2,&t\leq-1,\\ 2t,&-1<t<1,\\ 2,&t\geq1, \end{cases} \quad P_{x_1}=4,\quad\langle x_1\rangle=0, \] \[ x_2[n]=\sum_k(-1)^kR_4[n-8k], \quad P_{x_2}=\frac12,\quad\langle x_2\rangle=0, \] \[ x_3[n]=-6B_{12}[n+1], \quad E_{x_3}=146, \] \[ E_{x_4}=\frac{77}{30}, \qquad P_{x_3}=P_{x_4}=0, \qquad \langle x_3\rangle=\langle x_4\rangle=0. \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(x_1(t)\) è dispari e la sua media è quindi nulla.
Nel periodo di \(x_2[n]\), la frazione di campioni di modulo unitario è \(8/16\), quindi la potenza è \(1/2\).
Il supporto della convoluzione \(R_6*R_6\) va da \(0\) a \(10\), con lunghezza \(11\).
L'energia \(146\) coincide con la somma dei quadrati della sequenza triangolare.
Per \(x_4[n]\), i supporti disgiunti giustificano la somma diretta delle due energie.

Errori che fanno perdere il filo

Concludere che \(\operatorname{sign}*\Pi\) ha durata finita: la convoluzione satura invece a \(\pm2\).
Assegnare periodo \(8\) al treno alternato: una traslazione di otto campioni cambia il segno.
Dimenticare il segno meno nella convoluzione dei due rettangoli.
Includere un termine incrociato in \(E_{x_4}\) nonostante i supporti disgiunti.

FonteT_190624.pdf

2 Esercizio 2 · svolgimento completoSegnale periodico a rampe e filtro triangolare

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare i coefficienti del segnale grafico e ricostruire l’uscita filtrata.

Prima immagine mentale

Il generatore è dispari: le due rampe positive a destra hanno copie negative speculari a sinistra. Questa simmetria rende i coefficienti puramente immaginari. Il filtro triangolare conserva soltanto le armoniche con \(|k|<3\); la sua fase trasforma la prima armonica in coseno e lascia alla seconda una componente sinusoidale.

La strada, prima di fare i conti

Descrivere il generatore su \([-3T,3T]\) e sfruttarne la disparità.
Calcolare i coefficienti mediante gli integrali dei due soli tratti positivi.
Semplificare la formula usando \(a_k=k\pi/3\).
Valutare \(H(k/(6T))\) e selezionare \(k=\pm1,\pm2\).
Moltiplicare i coefficienti e ricostruire il segnale reale.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Analisi della serie di Fourier

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_k=\frac1{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-j2\pi kf_0t}dt\]

Perché è quella giusta qui

Con \(T_0=6T\), la disparità riduce il calcolo ai due tratti positivi del generatore.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Simmetria per segnali reali

Formulario_tds.pdf, p. 5

\[X_{-k}=X_k^*\]

Perché è quella giusta qui

Verifica i coefficienti immaginari e permette di ricostruire l’uscita dalle sole armoniche positive.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Filtraggio di segnali periodici

Formulario_tds.pdf, p. 9

\[Y_k=H(kf_0)X_k\]

Perché è quella giusta qui

Campionando \(H\) in \(k/(6T)\) si selezionano soltanto \(k=\pm1,\pm2\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Generatore e simmetria

Il periodo è

\[ T_0=6T, \qquad f_0=\frac{1}{6T}. \]

Dal grafico, su \([-3T,3T]\),

\[ x(t)= \begin{cases} -\dfrac{t+3T}{T},&-3T\leq t\leq-2T,\\[2mm] -\dfrac{t+T}{T},&-T\leq t\leq0,\\[2mm] 1-\dfrac{t}{T},&0\leq t\leq T,\\[2mm] 3-\dfrac{t}{T},&2T\leq t\leq3T,\\[2mm] 0,&\text{negli altri tratti del periodo}. \end{cases} \]

Il generatore è dispari:

\[ x(-t)=-x(t). \]

Quindi \(X_0=0\) e \(X_k\) è puramente immaginario.

Coefficienti

Ponendo \(u=t/T\) e

\[ a_k=\frac{k\pi}{3}, \]

il coefficiente sinusoidale reale è

\[ b_k=\frac{4}{6T}\left[ \int_0^T\left(1-\frac{t}{T}\right) \sin\!\left(\frac{k\pi t}{3T}\right)dt + \int_{2T}^{3T}\left(3-\frac{t}{T}\right) \sin\!\left(\frac{k\pi t}{3T}\right)dt \right]. \]

In variabile normalizzata,

\[ b_k=\frac23\left[ \int_0^1(1-u)\sin(a_ku)du + \int_2^3(3-u)\sin(a_ku)du \right]. \]

I due integrali valgono

\[ \int_0^1(1-u)\sin(a_ku)du =\frac1{a_k}-\frac{\sin a_k}{a_k^2}, \]

\[ \int_2^3(3-u)\sin(a_ku)du =\frac{\cos(2a_k)}{a_k} +\frac{\sin(2a_k)-\sin(3a_k)}{a_k^2}. \]

Poiché \(\sin(3a_k)=\sin(k\pi)=0\),

\[ b_k=\frac23\left[ \frac{1+\cos(2a_k)}{a_k} +\frac{\sin(2a_k)-\sin(a_k)}{a_k^2} \right]. \]

Per un segnale dispari \(X_k=-jb_k/2\). Sostituendo \(a_k=k\pi/3\),

\[ \boxed{ X_k=-j\left[ \frac{1+\cos(2\pi k/3)}{\pi k} +\frac{3\left(\sin(2\pi k/3)-\sin(\pi k/3)\right)} {\pi^2k^2} \right], \quad k\neq0 } \]

e \(X_0=0\).

Le due armoniche utili sono

\[ X_1=-\frac{j}{2\pi}, \]

\[ X_2= \frac{j(3\sqrt3-\pi)}{4\pi^2}. \]

Selezione del filtro

\[ H(f)=\Lambda(2fT)e^{j3\pi fT}. \]

Alla frequenza armonica \(f_k=k/(6T)\),

\[ H_k= \Lambda(k/3)e^{j\pi k/2}. \]

Il triangolo è nullo per \(|k|\geq3\), con valore nullo anche ai bordi \(k=\pm3\). Restano soltanto \(k=\pm1,\pm2\).

Per \(k=1\),

\[ H_1=\frac23e^{j\pi/2}=\frac{2j}{3}, \qquad Y_1=X_1H_1=\frac{1}{3\pi}. \]

Per \(k=2\),

\[ H_2=\frac13e^{j\pi}=-\frac13, \]

\[ Y_2=X_2H_2 =-\frac{j(3\sqrt3-\pi)}{12\pi^2}. \]

Con \(Y_{-k}=Y_k^*\), la sintesi reale dà

\[ \begin{aligned} y(t) &=2\operatorname{Re} \left\{ Y_1e^{j2\pi t/(6T)} +Y_2e^{j4\pi t/(6T)} \right\}\\ &=\frac{2}{3\pi} \cos\!\left(\frac{\pi t}{3T}\right) +\frac{3\sqrt3-\pi}{6\pi^2} \sin\!\left(\frac{2\pi t}{3T}\right). \end{aligned} \]

La fase lineare del filtro ha quindi convertito la prima armonica originariamente sinusoidale in una cosinusoide.

Risultato

\[ X_0=0,\qquad X_k=-j\left[ \frac{1+\cos(2\pi k/3)}{\pi k} +\frac{3(\sin(2\pi k/3)-\sin(\pi k/3))}{\pi^2k^2} \right], \] \[ y(t)=\frac{2}{3\pi}\cos\!\left(\frac{\pi t}{3T}\right) +\frac{3\sqrt3-\pi}{6\pi^2} \sin\!\left(\frac{2\pi t}{3T}\right). \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

\(X_0=0\) coincide con la media nulla di un generatore dispari.
\(X_{-k}=X_k^*\) perché i coefficienti sono immaginari e dispari nell'indice.
\(\Lambda(k/3)\) conserva soltanto \(|k|<3\).
\(Y_1\) è reale, quindi la prima armonica in uscita è un coseno.
Il segnale ricostruito è reale perché ogni coefficiente positivo è accompagnato dal coniugato negativo.

Errori che fanno perdere il filo

Usare periodo \(3T\) invece di \(6T\): il generatore completo si ripete ogni \(6T\).
Perdere il segno negativo fra coefficienti sinusoidali e coefficienti complessi \(X_k=-jb_k/2\).
Conservare l'armonica \(k=3\), dove \(\Lambda(1)=0\).
Ignorare la fase \(e^{j3\pi fT}\) e limitarsi a moltiplicare le ampiezze.

FonteT_190624.pdf

3 Esercizio 3 · svolgimento completoDue calzini scelti al buio

Che cosa ti sta chiedendo davvero

Calcolare probabilità senza reinserimento, un posteriore sul cassetto e la scelta ottima.

Prima immagine mentale

La scelta iniziale del cassetto è equiprobabile, ma le estrazioni all’interno del cassetto sono senza reinserimento. Le probabilità globali si ottengono mediando i due cassetti. Dopo aver osservato due grigi, Bayes favorisce fortemente il primo cassetto; per la decisione finale vanno invece confrontate direttamente le probabilità di colori uguali.

La strada, prima di fare i conti

Calcolare le probabilità di due grigi condizionate a ciascun cassetto.
Mediare con i pesi \(1/2\) per la probabilità globale.
Applicare Bayes dopo l'osservazione di due grigi.
Sommare, in ogni cassetto, i casi disgiunti due grigi e due blu.
Confrontare le due probabilità condizionate per scegliere il cassetto migliore.

Durante lo scritto

Usa questo dal formulario della professoressa

Prima riconosci la struttura del problema, poi prendi la relazione e adattala ai dati: il formulario non decide il metodo al posto tuo.

Regola della catena

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)\]

Perché è quella giusta qui

Descrive le due estrazioni senza reinserimento, facendo passare il denominatore da \(10\) a \(9\).

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Probabilità totale

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(A)=\sum_iP(A\mid C_i)P(C_i)\]

Perché è quella giusta qui

Media i risultati dei due cassetti per gli eventi due grigi e stesso colore.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Formula di Bayes

Formulario_prob.pdf, p. 1

\[P(C_1\mid GG)=\frac{P(GG\mid C_1)P(C_1)}{P(GG)}\]

Perché è quella giusta qui

Aggiorna la probabilità del cassetto dopo l’osservazione di due calzini grigi.

Come adattarla: copia la struttura, non i simboli alla cieca; associa ogni grandezza del foglio ai dati della traccia e verifica le ipotesi prima di sostituire.

Svolgimento accompagnato, riga per riga

Indichiamo con \(C_1,C_2\) i due cassetti e con \(GG\), \(BB\) gli eventi di due calzini grigi o due blu. La scelta iniziale è

\[ P(C_1)=P(C_2)=\frac12. \]

Due grigi dal primo cassetto

La domanda è interpretata, come nello svolgimento ufficiale, come probabilità condizionata alla scelta del primo cassetto:

\[ \begin{aligned} P(GG\mid C_1) &=\frac6{10}\frac5{9}\\ &=\frac13. \end{aligned} \]

Se si chiedesse la probabilità congiunta di scegliere il primo cassetto e poi due grigi, essa sarebbe \((1/2)(1/3)=1/6\).

Due grigi senza conoscere il cassetto

Nel secondo cassetto,

\[ P(GG\mid C_2)=\frac2{10}\frac1{9}=\frac1{45}. \]

Per probabilità totale,

\[ \begin{aligned} P(GG) &=\frac12\frac13+\frac12\frac1{45}\\ &=\frac16+\frac1{90}\\ &=\frac8{45}. \end{aligned} \]

Primo cassetto dopo due grigi

\[ \begin{aligned} P(C_1\mid GG) &=\frac{P(GG\mid C_1)P(C_1)}{P(GG)}\\ &=\frac{(1/3)(1/2)}{8/45}\\ &=\frac{15}{16}. \end{aligned} \]

Due grigi sono quindi un’indicazione molto forte del primo cassetto.

Due calzini dello stesso colore

Nel primo cassetto,

\[ P(BB\mid C_1)=\frac4{10}\frac3{9}=\frac2{15}, \]

perciò

\[ P(\text{stesso}\mid C_1) =\frac13+\frac2{15} =\frac7{15}. \]

Nel secondo,

\[ P(BB\mid C_2)=\frac8{10}\frac7{9}=\frac{28}{45}, \]

\[ P(\text{stesso}\mid C_2) =\frac1{45}+\frac{28}{45} =\frac{29}{45}. \]

Mediando i cassetti,

\[ \begin{aligned} P(\text{stesso}) &=\frac12\frac7{15}+\frac12\frac{29}{45}\\ &=\frac{21}{90}+\frac{29}{90}\\ &=\frac59. \end{aligned} \]

Scelta ottima

\[ \frac{29}{45}>\frac7{15}. \]

Conviene scegliere il secondo cassetto, perché la forte prevalenza di calzini blu rende più probabile ottenere una coppia dello stesso colore.

Risultato

\[ P(GG\mid C_1)=\frac13,\qquad P(GG)=\frac8{45},\qquad P(C_1\mid GG)=\frac{15}{16}, \] \[ P(\text{stesso})=\frac59,\qquad P(\text{stesso}\mid C_1)=\frac7{15},\qquad P(\text{stesso}\mid C_2)=\frac{29}{45}. \] \[ \text{Scelta ottima: secondo cassetto.} \]

Come controllare che non sia un risultato assurdo

Le probabilità senza reinserimento usano denominatori \(10\) e poi \(9\).
\(P(GG)=8/45\) è compresa fra \(1/45\) e \(1/3\).
Il posteriore \(15/16\) è maggiore del prior \(1/2\), perché due grigi sono molto più probabili nel primo cassetto.
\(P(\text{stesso}\mid C_2)=29/45>P(\text{stesso}\mid C_1)=7/15\).
La probabilità globale \(5/9\) è la media dei due valori condizionati.

Errori che fanno perdere il filo

Usare il reinserimento e moltiplicare due volte per \(6/10\) o \(2/10\).
Dimenticare il peso della scelta del cassetto nella probabilità globale.
Scambiare \(P(C_1\mid GG)\) con \(P(GG\mid C_1)\).
Scegliere il cassetto con più grigi invece di confrontare la probabilità totale di colori uguali.

FonteT_190624.pdf

Audit del corpus

Che cosa è stato usato

Gruppo	Ruolo	File	Pagine / durata
Appunti ufficiali 01-06	Fondamento teorico	6 PDF	199
Lezioni ed esercitazioni 2025-2026	Verifica del perimetro e della sequenza	44 PDF visuali	44
Domande e definizioni personali	Elenco esatto delle formulazioni	3 PDF + 2 DOCX	270
Formulari	Notazione e condizioni operative	2 PDF	14
Prove d'esame e svolgimenti	Esercizi e simulazioni	47 file	32
Registrazioni	Controllo cronologico delle lezioni	42 video	74,57 ore

I due manuali nella cartella sono stati classificati come testi di supporto e non sono stati usati per aggiungere argomenti. Le registrazioni servono a verificare calendario e sequenza; la formulazione delle risposte resta ancorata agli appunti e alle domande della professoressa.

Come usarla davvero

Otto lezioni accompagnate, dalle fondamenta

Come si legge davvero un segnale continuo prima di calcolare?

1. Trasforma la formula in un disegno mentale

2. Distingui quantità locali e quantità globali

3. Usa le simmetrie prima degli integrali

4. Interpreta la correlazione come uno scorrimento

Puoi passare oltre quando…

Che cosa cambia quando il tempo diventa un indice intero?

1. Pensa per campioni, non per tratti

2. Tratta gli estremi delle somme come campioni

3. Riduci la periodicità a un problema tra interi

4. Espansione e decimazione cambiano la griglia

Puoi passare oltre quando…

Come si passa da una scatola ingresso-uscita a un modello calcolabile?

1. Verifica una proprietà dalla definizione

2. Leggi causalità, memoria e stabilità come domande sui dati

3. Costruisci la convoluzione come sovrapposizione

4. Ricava i criteri direttamente da \(h\)

Puoi passare oltre quando…

Perché un segnale periodico può essere descritto tramite armoniche?

1. Identifica periodo e frequenza fondamentale

2. Leggi il coefficiente come una proiezione

3. Separa convergenza e identità puntuale

4. Usa Parseval come controllo energetico

Puoi passare oltre quando…

Come si descrive in frequenza un segnale non periodico?

1. Prevedi lo spettro prima dei conti

2. Scomponi il segnale in blocchi noti

3. Distingui trasformata ordinaria, \(L^2\) e generalizzata

4. Nel discreto ricorda la periodicità spettrale

Puoi passare oltre quando…

Che cosa fa davvero un filtro alle componenti del segnale?

1. Leggi separatamente modulo e fase

2. Classifica il filtro dai limiti

3. Interpreta la frequenza di taglio

4. Usa densità spettrali per energia e potenza

Puoi passare oltre quando…

Quando i campioni conservano davvero l'informazione del continuo?

1. Trova la banda dal contenuto spettrale

2. Visualizza le repliche

3. Comprendi l'aliasing come perdita irreversibile

4. Separa campionamento, ricostruzione e quantizzazione

Puoi passare oltre quando…

Come si trasforma l'incertezza in quantità calcolabili?

1. Definisci esperimento, esiti ed eventi

2. Parti sempre dal supporto della variabile

3. Usa la CDF per gestire correttamente gli estremi

4. Interpreta media, varianza e Bayes

Puoi passare oltre quando…

Centro di allenamento

Inizia con una diagnosi breve

Ripassa ciò che ti ha ingannato

Qui che cosa faresti?

Prima verifica concettuale

Trova l'errore

Estrai una domanda quando sei pronto.

Tre esercizi della stessa prova originale

Laboratori interattivi

Mappa del corso

Le risposte complete

Segnali nel dominio del tempo continuo

La domanda in parole semplici

Come costruire la risposta senza perderti

Errore che sembra innocuo

Come raddrizzare il ragionamento

Fermati e verifica se hai capito

La domanda in parole semplici

Come costruire la risposta senza perderti

Errore che sembra innocuo

Come raddrizzare il ragionamento

Fermati e verifica se hai capito

La domanda in parole semplici

Come costruire la risposta senza perderti

Leggi i simboli, non recitarli

Errore che sembra innocuo

Come raddrizzare il ragionamento

Fermati e verifica se hai capito

La domanda in parole semplici

Come costruire la risposta senza perderti